Importancia del Sistema de Ecuaciones

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Situación problemática
RECUERDA:
La importancia de los sistemas de ecuaciones no es otra que ayudarnos a resolver
situaciones problemáticas que se nos plantean en la realidad, para ello en primer lugar
se traduce el problema al lenguaje algebraico, después se obtienen las soluciones del
sistema, y por último se comprueba si la solución matemática obtenida es válida como
respuesta al problema de partida.
Resolución general de sistemas de ecuaciones
Como norma general, antes de decidir cómo solucionar un sistema, es necesario realizar
todas las operaciones necesarias para que tenga la estructura típica de un sistema, esto
es, las x y las y en el primer miembro (parte izquierda del igual) y los números, o
términos independientes, en el segundo miembro (parte derecha del igual) como puedes
ver aquí:
donde las letras a, b y c con subíndices representan números.
RECUERDA
La siguiente cuestión a plantearse sería ¿qué método de resolución de sistemas elijo?
Ten en cuenta lo siguiente:



El método de SUSTITUCIÓN es muy adecuado cuando el coeficiente de, al
menos, una de las incógnitas es 1.
El método de IGUALACIÓN es muy adecuado cuando el coeficiente de una de
las incógnitas es igual en las dos ecuaciones.
En el resto de casos es preferible utilizar el método de REDUCCIÓN. Además a
veces es más cómodo usar la reducción dos veces y encontrar así el valor de las
dos incógnitas.
Traducción a lenguaje algebraico y resolución de la misma mediante un sistema de
dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que se va a resolver por el sistema de
igualación.
Ana ha recibido ofertas de distintas compañías telefónicas y quiere analizarlas para
poder decidir por cual optar en su casa o si es preferible que continúe con la que está.
La realidad es que desde su domicilio está realizando llamadas a teléfonos fijos y a
teléfonos móviles, pero no sabe a cuánto le sale el minuto en cada tipo de llamada.
Considera, con buen criterio, que antes de pasar a analizar ningún tipo de oferta ha de
conocer cuál es la situación que ahora tiene y saber cuánto le cuesta el minuto según
llame a un teléfono fijo o a un teléfono móvil.
Recupera las dos últimas facturas (del mes de octubre y del de diciembre de 2010) y se
encuentra con los siguientes datos:
Octubre Diciembre
Cuantía a teléfonos fijos
960 €
950 €
Cuantía a teléfonos móviles 520 €
610 €
Total pagado (€)
141,60 € 157,30 €
Aunque tales datos no le dan, de manera inmediata, la información que quiere conocer
si considera que son suficientes para poder averiguar el precio por minuto de los
distintos tipos de llamadas que está realizando.
Lo traduce a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y lo resuelve por
el método de igualación.
x = precio por minuto a fijo
y = precio por minuto a móvil
960x + 520y = 141,6
950x + 610y = 157,3
960x + 520y = 141,6
950x + 610y = 157,3
Voy a trabajar por separado la primera
ecuación y la segunda ecuación. En
ambas buscaré el valor de “x”
Hemos despejado para “x” la primera
ecuación. El resultado o valor obtenido,
lo emplearemos más adelante.
Ahora despejamos la “x” en la segunda
ecuación. El resultado o valor obtenido,
lo emplearemos más adelante.
Procedemos a igualar ambas
ecuaciones. Ahora atención: los
términos que están dividiendo pasarán
a multiplicar.
Resolvemos la ecuación como si se tratase
simplemente de una ecuación de primer grado.
Hallaremos el valor numérico de la variable “y”.
Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de
las ecuaciones.
x = 0,05€
y = 0,18€
Finalmente valoramos el significado obtenido:
x = precio por minuto a fijo
y = precio por minuto a móvil
Se concluye que el precio por minuto de llamada que
se paga a un móvil es 0,13€ más caro que lo que se
paga por minuto a un fijo.
A partir de este momento Ana ya puede comenzar a valorar las distintas ofertas que le
hacen otras compañías.
Métodos de resolución de sistemas: reducción
Para resolver un sistema por el método de reducción buscamos otro sistema equivalente,
en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales o de signo opuesto.
Vamos a resolver, por ejemplo, el siguiente sistema por el método de reducción: x+y =
8 , x-y = 2
Se trata del mismo sistema que se utilizó para mostrar los otros métodos de resolución.
Hay que realizar los siguientes pasos:
1) Preparar
Se trata de conseguir que los coeficientes de una de las incógnitas (la x o la y) sean
números iguales de signo opuesto. De esta manera, esa incógnita quedará preparada
para ser eliminada en el segundo paso, pero no podremos avanzar a este paso hasta que
no se cumpla esa condición con alguna de las dos incógnitas.
Por ejemplo, si en un sistema, en la una de las ecuaciones hay 2x, tenemos que tener en
la otra 2x, o sea, que los coeficientes sean números opuestos.
RECUERDA
Recuerda las dos condiciones necesarias en alguna de las dos incógnitas:


Mismo coeficiente en las dos ecuaciones.
Signos contrarios.
En el sistema de ecuaciones que vamos a resolver como ejemplo, vemos que la
incógnita y tiene coeficientes opuestos en una y otra ecuación (el 1 y el -1).
2) Sumar las ecuaciones y eliminar una de las incógnitas
Se trata de sumar las ecuaciones, miembro a miembro, una debajo de la otra. De esta
forma, la incógnita que en el paso anterior estaba preparada con signos opuestos
quedará eliminada:
Al sumar: x+y = 8 , x-y = 2



Sumando en la primera parte de la igualdad una x con otra x son 2x.
Sumando en la primera parte de la igualdad una y positiva con una y negativa se
eliminan.
Sumando en la segunda parte de la igualdad 8 más 2 son 10.
3) Resolver
Se trata de resolver la ecuación que nos queda tras realizar suma. Ésta es una sencilla
ecuación de primer grado con una sola incógnita. Al final obtendremos el valor de la x.
2x = 10 → x = 10/2 → x = 5
Para resolver el sistema, solamente nos falta calcular el valor de la otra incógnita, en
este caso la y.
Para ello, el camino más fácil y habitual es despejarla en alguna de las dos ecuaciones,
donde resulte más cómodo (recuerda los consejos que dimos para despejar en los
métodos de sustitución e igualación) y luego reemplazar el valor de la x por el 5 que
acabamos de calcular.
En nuestro caso, lo más sencillo es despejar la y en la ecuación de arriba puesto que es
positiva, cambiarla por un 5 y calcular: y = 8-x → y = 8-5 → y = 3
4) Validar e interpretar la solución
Por último se trata de comprobar que se han efectuado los cálculos correctamente y que
efectivamente los valores de x y de y son la solución del sistema de ecuaciones
inicialmente planteado. Para ello se sustituye la x por 5 y la y por 3 en ambas
ecuaciones y se observa si se cumplen las igualdades:
La solución del sistema es: x = 5 , y = 3
5+3 = 8
5-3 = 2
Luego el par de números (5,3) es la solución del sistema.


Situación problemática
Traducción a lenguaje algebraico y resolución de la misma mediante un
sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que se va a resolver
por el sistema de reducción.
La importancia de los sistemas de ecuaciones no es otra que ayudarnos a resolver
situaciones problemáticas que se nos plantean en la realidad, para ello en primer lugar
se traduce el problema al lenguaje algebraico, después se obtienen las soluciones del
sistema, y por último se comprueba si la solución matemática obtenida es válida como
respuesta al problema de partida.




Los precios de la cafetería de al lado de mi casa han vuelto a subir. Al comenzar
el año aplican al precio de cada producto un porcentaje fijo de subida que se
corresponde con la subida general de los precios en ese año (el IPC).
El dueño nos dice que el incremento de este año tenía que ser del 4%, pero creo
que ha aplicado una subida mayor.
En el pasado mes de enero, antes de aumentar los precios, el bocadillo de tortilla
valía 1€ más que un refresco de cola.
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
En este mes, dos refrescos de cola y un bocadillo nos cuestan 4 €. También con
los precios actuales, tres refrescos de cola y dos bocadillos de tortilla cuestan
7,70 €.
¿Realmente el incremento que ha aplicado el dueño del bar es del 4%?
Para tratar de dar la respuesta voy a tratar de traducir la situación a un sistema de
dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y resolverlo por el método de
reducción.
x = precio del refresco de cola tras la subida
y = precio del bocadillo de tortilla tras la subida
2x + y = 4
3x + 2y = 7,7
Voy a multiplicar la primera de las ecuaciones por -2 para conseguir tener
coeficientes opuestos en la incógnita y. Me queda:
-4x - 2y = -8
3x + 2y = 7,7
Sumando ambas ecuaciones se obtiene:
-x = -0,3
Y multiplicando ambos términos por -1
x = 0,3
Voy a sustituir el precio del refresco de cola en la primera ecuación y obtengo:
2(0,3) + y = 4
y = 4 - 0,6
y = 3,4
Se tendría que el refresco de cola vale 30 céntimos de euro y el bocadillo de
tortilla sería 3,4 €.
La diferencia de precio entre ambos es de 3,1 €, y con la subida porcentual
señalada por el dueño del bar la diferencia habría de ser 1,04 € (es decir la
diferencia de precios con la subida porcentual)
Claramente el dueño del bar no está respetando la subida del 4% de IPC que
corresponde.
Ejercicio resuelto
Resolver el siguiente sistema por el método de reducción: 2x + 3y = 1 , 3x + 4y = 2
Seguiremos los pasos que se explicaron anteriormente.
1) Preparar
En primer lugar vamos a repasar, incógnita por incógnita, si se cumplen las condiciones
que se establecieron en el primer paso:
Recuerda las dos condiciones necesarias en alguna de las dos incógnitas:


mismo coeficiente en las dos ecuaciones.
signos contrarios.
En el caso de la x, hay 2x en la primera ecuación y 3x en la segunda. Además, en las
dos ecuaciones los coeficientes de x son positivos.
En el caso de la y, hay 3y arriba y 4y abajo y en las dos ecuaciones los coeficientes de la
y son positivos.
Así pues se trata de encontrar un sistema de ecuaciones equivalente (con las mismas
soluciones) tras realizar algunas operación en las ecuaciones para poder aplicar este
método de resolución.
Las operaciones que se realizan, en estos casos, para obtener otro sistema de ecuaciones
equivalente son multiplicaciones en las dos ecuaciones, de manera que se multiplican
todos los términos de una de las ecuaciones por un número y todos los de la otra por
otro número. Pero ¿qué números?
Para elegir los números que vamos a utilizar en primer lugar hay que señalar cuál de las
dos incógnitas queremos que quede eliminada en cuando se sumen las dos ecuaciones.
Por ejemplo, imaginemos que queremos eliminar la y (lo mismo si quisiéramos eliminar
la x):
Entonces los números que vamos a emplear serán los coeficientes de la y en las dos
ecuaciones, pero de una forma cruzada, esto es, vamos a multiplicar toda la primera
ecuación por el coeficiente de la y de abajo (un 4) y toda la segunda ecuación por el
coeficiente de la y de de la primera ecuación pero cambiado de signo (un -3):


toda la ecuación de arriba por 4: (2x + 3y = 1)·(4)
toda la ecuación de abajo por -3: (3x + 4y = 2)·(-3)
Se trata de conseguir otro sistema de ecuaciones en que los coeficientes de la incógnita
y sean números opuestos.
Finalmente:


toda la ecuación de arriba por 4: (2x + 3y = 1)·(4)
toda la ecuación de abajo por -3: (3x + 4y = 2)·(-3)
Realizamos las multiplicaciones y el sistema equivalente obtenido nos quedará
preparado para poder aplicar el método de reducción:
(2x + 3y = 1)·(4)
(3x + 4y = 2)·(-3)
8x + 12y = 4
-9x - 12y = -6
Fíjate ahora que se cumplen las condiciones necesarias para pasar al siguiente paso.


hay 12y tanto arriba como abajo.
tienen los signos contrarios: arriba son positivas y abajo negativas.
2) Sumar y eliminar
Sumaremos ahora las dos ecuaciones, miembro a miembro y la columna de las y, ya
preparada va a desaparecer:
Al sumar en vertical:
8x + 12y = 4
-9x - 12y = -6



8x menos 9x es una x negativa: x
12y positivas con 12y negativas se eliminan
4 más -6 son -2
3) Resolver
Resolvemos la ecuación que nos ha quedado tras realizar suma. Ésta es una sencilla
ecuación de primer grado con una sola incógnita. Al final obtendremos el valor de la x.
-x = 2, x = - 2
Sólo falta calcular el valor de la y. Lo mejor es despejarla en cualquiera de las dos
ecuaciones iniciales y reemplazar la x por el valor 2 que acabamos de obtener:
Por ejemplo, al despejar y en la ecuación de arriba: y = 1-2x / 3
Ahora vamos a sustituir la x por el valor recientemente calculado: x = 2
4) Validar e interpretar la solución
La solución del sistema es: x = 2 , y = -1
Vamos a comprobar su validez en el sistema inicial de ecuaciones:
2x + 3y = 1
3x + 4y = 2
Para ello se sustituye tanto la x como la y por los valores obtenidos:
2(2) + 3(-1) = 1
3(2) + 4(-1) = 2
Se observa que cumplen las ecuaciones:
4-3 = 1
6-4 = 2
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