Ejercicios de matemáticas aplicadas a la economía

Ejercicios de matemáticas aplicadas a la economía
(Excepto cuando se indica Spiegel (que corresponde al libro de Murray Spiegel, "Theory and
Problems of Real Variables", Schaum, 1969, todos los ejercicios están extraídos del libro de
Taro Yamane, "Mathematics for Economists – An Elementary Survey", Prentice-Hall, 1962).
1. Hallar la unión de los conjuntos siguientes:
S1= {a,b,c} ; S2= {1,2,3}
S1= {a,b,c} ; S2= {a,b,3}
2. Hallar la intersección de los conjuntos del Problema 1.
3. Hallar la diferencia entre los conjuntos del Problema 1.
4. Dados los conjuntos siguientes, encuentre y grafique el producto cartesiano: S1={a,b,c} ; S2 =
{c,d,e}
5. Sean los conjuntos S1 = {a,b,c,d} ; S2 = {1,2,3,4}. Halle el producto cartesiano P. Grafíquelo.
6. Dados los conjuntos del Problema 5. construya una función que mapea S1 en S2. Muestre esta
función mediante un gráfico que conecta los puntos mediante líneas rectas. Chequee que la
función f construída es un subconjunto de P.
7. (Spiegel) ¿Es verdad que 2= {2}?
No, 2 es un número real en tanto que {2} es un conjunto con un único número, 2. Este tipo de
conjuntos es llamado singleton por contener un único elemento y debe ser distinguido del
elemento que contiene.
8. (Spiegel) ¿Es verdad que {x: x≠x} = {Ø}?
No, es falso. Todo objeto se presume siempre igual a sí mismo. Luego, no hay objetos que sean
distintos de sí mismos. Por lo tanto, {x: x≠x} = Ø. El error radica en escribir {Ø} en lugar de Ø,
pues {Ø} es un conjunto no vacío cuyo elemento único es Ø.
9. (Spiegel) Si A = {x: x2=4, x>9} y B = {x: x≤1} ¿es verdad que A ( B?
Como no existe ningún número tal que x2=4 y x>9, se sigue que A=Ø. Y como el conjunto vacío
es un subconjunto de todo otro conjunto, se desprende que la afirmación es verdadera.
10. Halle las derivadas de las siguientes funciones:
(a) y=x4
(b) y= xn+1
(c) y= xn/m
(d) y= x –m
(e) y= x n+m
(f) y = x-1
(g) y= 3 x4
(h) y= 3 xn
(i) y = x2 – x
(j) y = x5(2x2+1)
(k) y = x3/ (x2+1)
11. Halle la tercera derivada de y= 4x5+3x+5
12. Halle el diferencial de y: y= x3+2x2; y= x(3x2-2x3)
13. Halle el cambio aproximado de y cuando hay un pequeño cambio de x en la función y=3x2+4,
x=2 cambia a x=2.1
14. Halle el cambio aproximado de y cuando hay un pequeño cambio de x en la función y=x(x2+1)
x=3 cambia a x=3.05
15. Encuentre las derivadas parciales fx y fy de u= 2x2+3y2 y de u=3x2+x/y
16. Encuentre las derivadas parciales fxx, fyy, fyx, fxy en el problema anterior.
17. Halle el diferencial total del u=xy; u= x2+ y2; u=x2+2 xy+ y2.
18. Encuentre la derivada total de u con respecto a t en el siguiente problema u=x2+y2, x=t3,
y=t3+3
19. Halle ∂z/∂x y ∂x/∂y de la función x2-y2+z2=0.
20. Dada la función de demanda qa= 50-4pa-5pb , pa=5, pb=5, halle la elasticidad parcial de la
demanda con respecto a pa y evalúela.
21. Dada la función y=1/2 x4 – 3x2 grafíquela y hallar los dos puntos de inflexión.
22. Sea la función z= x2-y2+xy+5x. Halle el valor extremo de la función sujeto a las dos
condiciones subsidiarias x-2y=0 y x+y=-3.
23. Hallar el ó los puntos de inflexión de las funciones y=x4-6x2 ; y=3x3-6x2
24. Examine la función z=x2-2xy+y2 en términos de máximo ó mínimo.
25. Determinar si las funciones siguientes son cóncavas o convexas: y=2x2-6x+2 en el punto x=2;
y=x3-3x2 en el punto x=1 y en x=4; y=-x2+4x en x=1 y en x=5.
26. En base a las funciones del problema anterior, determinar si se está en presencia de un
máximo ó de un mínimo.
27. Evalúe las integrales siguientes realizando el chequeo del resultado mediante el proceso de
diferenciación correspondiente:
∫x4 dx; ∫xn+1 dx ; ∫e2x dx ; ∫ 2 dx .
28. Dada la Función de Costo Marginal, f'(x) =2+x+x2 hallar la función de costo total f(x)
[f(0)=50].
29. Resuelva y verifique la ecuación en diferencias yt+2-6yt+1+8yt=0.
30. Resuelva y verifique la siguiente ecuación en diferencias yt+2-6yt+1+9yt=0.