2007 - Guía de T.P.: Introducción matemática, Consumidor, Productor, Incertidumbre, Consumo inter-temporal, Teoría de la Inversión, Frontera de carteras eficientes, Programación lineal, Equilibrio parcial, Teoría de los juegos, Equilibrio general, Externalidades

286. Microeconomía II
Cátedra Prof. Enrique Bour
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad de Buenos Aires
Guía de Trabajos Prácticos
I. Introducción Matemática
EJERCICIO 1
Hallar los óptimos locales. Luego hallar las funciones valor.
f1 ( x) = ax 2 + bx + c, a > 0 y a < 0
f 2 ( x) = ax 3 − bx
f3 ( x1 , x2 ) = x1α x21−α , 0 < α < 1
f 4 ( x1 , x2 , x3 ) = 3 x12 + 5 x22 + 9 x32
f5 ( x1 , x2 ) = ( x11/ 2 + x21/ 2 ) 2
EJERCICIO 2
Determinar la concavidad de las funciones del punto 1. ¿Que podemos asegurar sobre los óptimos?
EJERCICIO 3
Decidir si los siguientes conjuntos son convexos
A1 = { x ∈ ℜ / x < 2}
A2 = { x ∈ℜ / x > 2}
A3 = {( x1 , x2 ) ∈ℜ2 / x12 + x22 ≥ 2}
A4 = {( x1 , x2 ) ∈ℜ2 / p1 x1 + p2 x2 = m}
A6 = {( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ ℜn / p( x − x0 ) = 0}
A7 = ℜ
EJERCICIO 4
Optimización sujeta a restricciones
a. f5 sujeto a A4 : utilice la información de los puntos anteriores para caracterizar el óptimo
b. α ln x1 + (1 − α ) ln x2 sujeto a A 4 , 0 < α < 1
c. p1 x1 + p2 x2 ; sa x1α x12−α = y , 0 < α < 1
EJERCICIO 5
Decidir cuáles de las siguientes funciones son homogéneas y su grado:
a. f (x,y) = 3 x 1/2
+4y
b. h(x,y,z) = (x + y1/2 + z1/2 ) / (x + y + z)
c. g(x,y) = ln x + ln y2
d. f (x,y) = 3xy 1/2
+ 4y – 2y
e. h(x,y) = (xy) ln [ (x2 + y2) / (xy) ]
EJERCICIO 6
Si f(x) y g(x) son funciones homogéneas de grado r y s respectivamente, averiguar cuáles de las
siguientes funciones sonm homogéneas
y su grado:
a. h(x1, … , xpn) = f(x1 , … , xnm)
b. h(x) = g(x)
c. h = f + g
d. h = f g
e. h = f/g (para g ≠ 0)
1
EJERCICIO 7
Diferenciar las siguientes funciones y decidir si son C1:
a. f(x,y) = xy2 + x21/2 2 1/2
b. f(x,y) = xy / (x + y )
c. f (x,y) = ln (x + y)
EJERCICIO 8
Encontrar la derivada total de y con respecto a x dado el siguiente sistema de ecuaciones:
y = x2z + (ln z) x3
z = 2x + w
w = x2
EJERCICIO 9
Considerar una empresa operando en mercados de competencia perfecta tanta para la venta de su
producto y como para la compra de sus insumos: trabajo, L , y capital, K . Los precios
prevalecientes en estos mercados son, respectivamente, p (precio de venta del producto de la firma en
cuestión), w (salario nominal), r (precio nominal de una unidad de capital).
a.
Formular la función de beneficios de la firma y derivar las condiciones de primer orden para la
maximización de los mismos.
b. Calcular a partir de allí las demandas óptimas de los factores L y K (recuerde que tales
funciones surgen de la condición de primer orden que establece que el valor del producto marginal
físico de cada factor debe igualar a su precio). Como resulta obvio, aunque no conozca la forma
específica de las funciones de demanda de factores puede establecer que las mismas son función
de los precios exógenos de cada uno de ellos y del precio prevaleciente de venta del producto de la
firma. Como efectivamente aquí no tiene las ecuaciones de la forma reducida del modelo, el
mismo le viene dado en su forma estructural. Esto es:
pFk [L (w, r, p ), K (w, r, p )]- r = 0 .
c.
A partir de esta formulación, calcular el efecto sobre las cantidades óptimas de trabajo y capital
(L* , K * ) demandadas por la firma ante:
I. Un incremento del salario nominal.
II. Un incremento del precio de venta del producto.
Recuerde que la función de producción: y = f (L, K ) exhibe rendimientos marginales decrecientes y
que FKL = FL K . Suponga además, que dichas derivadas parciales cruzadas son positivas y que las
2
condiciones de suficiencia para la maximización del beneficio exigen que FLL FKK - FKL
> 0.
EJERCICIO 10
Dada una función de beneficio, teniendo en cuenta que es convexa en p y w, y utilizando el Teorema
de la Envolvente (Lema de Hotelling):
a. Decida que sucede con la demanda de insumos al modificarse el precio de ese mismo factor.
b. Decida que sucede con la oferta de bienes al modificarse el precio de ese mismo factor.
EJERCICIO 11
Considere la siguiente función:
y = f ( x, a ) = a 2 + x − ax 2
a. Halle las condiciones de primer orden para puntos críticos de esta función.
b. Decida si se trata de un máximo, de un mínimo o de un punto de inflexión.
c. Resuelva para x * = x (a ), la cantidad óptima y halle también f * = f (x * ,a ), el valor óptimo de
la función que surge de reemplazar x por x * .
dy* / da .
d. Hallar dx* / da,
e. Utilice las condiciones de primer orden del punto a. y el teorema de la función implícita para
hallar dx* / da .
f. Utilice el teorema de la envolvente para hallar dy * / da .
2
II. Teoría del Consumidor
EJERCICIO 1
Considere a un individuo que maximiza la siguiente función de utilidad:
u (x 1, x 2 ) = x 1a x 21- a ,
0< a < 1 ,
p1, p2 > 0 .
sujeto a su restricción de presupuesto: m = p1x 1 + p2x 2 ,
a. Derive las demandas marshallianas de ambos bienes: x 1 ( p, m ), x 2 ( p, m ) .
b. ¿Cuál es el grado de homogeneidad de la función de utilidad? ¿Qué implica esto sobre el grado de
homogeneidad de las demandas?
c. Calcule el grado de homogeneidad de las demandas
d. Vea que la utilidad es cóncava, ¿Qué implica esto económicamente? ¿Qué implica esto sobre las
curvas de indiferencia?
e. Encuentre la función de utilidad indirecta del consumidor: v( p, m ) .
f. Vea que se cumplen las cuatro propiedades de las funciones indirectas de utilidad, i.e.
homogeneidad de grado 0, estrictamente creciente en m, y no decreciente en p, cuasi-convexidad,
y continuidad.
g. Compruebe que vale la identidad de Roy.
EJERCICIO 2
Considere el caso del mismo consumidor minimizando su gasto:
m (x 1, x 2 ) = p1x 1 + p2x 2 ,
p1, p2 > 0 ,
a
1- a
.
sujeto a cierto nivel predeterminado de utilidad u = x 1 x 2
a. Encuentre las funciones de demandas compensadas: h1 ( p, u ), h2 ( p, u ) . Además de la
minimización del presupuesto, ¿Existe otra forma de obtener esta función?
b. Encuentre la función de gasto: e( p, u ) . Además de la minimización del presupuesto
¿Existe otra forma de obtener esta función?
c. Vea que si (x 1* , x 2* ) es el argumento que maximiza la utilidad dado m , entonces también será el
argumento que minimiza el gasto, dado u = u (x 1* , x 2* ) . Además vea que el valor óptimo del
problema de minimización es m . Es decir se verifican la siguiente identidad.
x( p, m ) = h( p, v( p, m )) .
d. Vea que si (x 1* , x 2* ) es el argumento que minimiza el gasto dado u , entonces también será el
argumento que maximiza la utilidad dado m = e( p, u ) . Además el valor de utilidad máximo será
u . Es decir se verifica la siguiente identidad: h ( p, u ) = x ( p, e( p, u )),
EJERCICIO 3
Dada la siguiente función de utilidad cuasi-lineal: u (x , y ) = x + 0.5 ln(y ) . Obtenga las demandas
marshallianas y las compensadas. ¿Qué se puede decir de ellas?
EJERCICIO 4
Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad: u (x , y ) = u (x ) + y . El bien x es discreto, los
py = 1
únicos niveles de consumo son x = 0 y x = 1 . Además U (0) = 0
a. ¿Qué tipo de preferencias tiene el consumidor?
b. ¿Cuál es el valor px , tal que si px es estrictamente menor a ese valor el consumidor elegirá
decididamente x = 1 ?
EJERCICIO 5
Si las preferencias pueden ser representadas por las siguientes funciones de utilidad y la restricción de
riqueza usual:
u 1 ( x 1, x 2 ) =
u 2 ( x 1, x 2 ) =
u 3 (x 1, x 2 ) =
u 4 ( x 1, x 2 ) =
x 11/ 4x 2 3 / 4
0.4 ln x 1 + 0.6 ln x 2
x1 + x2
Min {x 1, x 2 }
u5 ( x1 , x2 ) = x1 x22
u6 ( x1 , x2 ) = ( x1 + 2)0.5 x20.5 (Pista: no suponga soluciones interiores)
En cada caso:
3
a.
Hallar demandas marshallianas y hicksianas, función de gasto y de utilidad indirecta.
EJERCICIO 6
a. Verificar que las preferencias lexicográficas son completas, transitivas, estrictamente monótonas y
estrictamente convexas.
b. Verifique que la relación: xry ↔ x es indiferente a y se trata de una relación de equivalencia.
Describa la clase de equivalencia del cesto x ¿Como podemos particionar al conjunto de
consumo?
c. Decida si la relación xry ↔ x f y es una relación de orden , decida si es de preorden.
d. En el primer período px = 2 y py = 1, y el consumidor compra 11 unidades de x y 8 unidades de y.
En el segundo período px = 1 and py = 2 y el consumo es de 10 unidades para el bien x y 10 para
el bien y. Probar que este set no es consistente con la maximización racional de la utilidad de
preferencias bien comportadas.
EJERCICIO 7
α
β
Demostrar que la función de utilidad U = Aq1 q 2 es el resultado de una transformación monótona
α
de W = q1 β q 2 (donde A, α , β > 0 ) y viceversa.
EJERCICIO 8
1, 5
Sea la función de utilidad de un consumidor U = q1 q 2 y su restricción presupuestaria
3q1 + 4q 2 = 100
a. Hallar la cesta óptima de consumo.
6
4
b. Si U = q1 q 2 + 1,5 ln q1 + ln q1 (con igual restricción presupuestaria), demostrar que la cesta de
consumo óptima es igual que en el punto (a). ¿Por qué ocurre esto?
EJERCICIO 9
El lugar geométrico de los puntos de tangencia entre las rectas de presupuesto -dados p1 y p2, y
dejando variar la renta- se llama línea de expansión de la renta o curva de Engel. Demostrar que si
γ
U = q1 q 2 (para γ>0) la curva de Engel es una línea recta.
EJERCICIO 10
Construya la función indirecta de utilidad a partir de la función directa U = α ln q1 + q 2 . Utilice luego
la identidad de Roy para hallar las demandas óptimas y compruebe la igualdad de este resultado con el
obtenido del proceso de maximización.
4
III. Teoría del Productor
EJERCICIO 1
Suponga que un operario necesita por lo menos de 2 horas de trabajo para producir un determinado
bien “Y”, manteniendo siempre la misma escala. Además se sabe que el operador puede trabajar hasta
10 horas diarias.
a. Suponga que el bien “Y” es perfectamente divisible. ¿El conjunto de producción es convexo?
b. Ahora suponga que el bien “Y” solo puede tomar números enteros. ¿Cómo será el nuevo conjunto
de producción?
EJERCICIO 2
Análisis:
I. Conjunto de producción
II. Conjunto de cantidades necesarias
III. Isocuantas
IV. Relación técnica de sustitución
V. Elasticidad de sustitución
VI. Homogeneidad y elasticidad de escala.
a.
Dada la función de producción de elasticidad de sustitución constante (CES)
y = (a1x 1r + a 2x 2r )r .
Haga un análisis de la función de producción (I a VI).
b. Tomar el límite a la función de producción CES cuando el parámetro r tiende a cero. Verificar
que en ese caso la función de producción es Cobb-Douglas. Haga un análisis de la función de
producción Cobb-Douglas (I a VI).
c. Analizar la función CES cuando su parámetro r vale 1. Verificar que en ese caso la función de
producción es una función de producción lineal. Haga un análisis de la función de producción
lineal (I a VI).
EJERCICIO 3
¿Por qué la estabilización de los precios del producto puede ser tomada con antipatía por los
productores? Varian (1992), Cap. II.
EJERCICIO 4
Hallar la función de beneficio y = ⎡⎣ min {2 x1 ,3 x2 }⎤⎦
1/ 2
.
EJERCICIO 5
¿Que valor debe tomar α para que y = xα , admita una función de beneficios?
EJERCICIO 6
Hallar las funciones de costos para:
4
a. y = x11/ 2 x1/
2
b.
y = ⎡⎣ min {ax1 , bx2 }⎤⎦
EJERCICIO 7
Una firma maximiza beneficios en condiciones competitivas, usando trabajo calificado ( LC ) y no
calificado ( L NC ). Se ha observado que cuando aumenta el precio del producto que vende, la firma
contrata más trabajadores calificados pero menos no calificados. Los trabajadores no calificados
consiguen un aumento de su salario en una mediación colectiva. Suponiendo que el resto de los
precios permanece constante, discuta:
a. Que sucederá con la cantidad demandada de trabajadores no calificados.
b. Que sucederá con la cantidad producida.
Varian (1992), Cap. V.
EJERCICIO 8
Una empresa competitiva maximizadora de beneficios tiene la siguiente función de beneficios:
B ( w1 , w2 ) = φ1 ( w1 ) + φ2 ( w2 ) Se supone que el precio del producto es igual a 1.
a. ¿Qué puede decirse de la 1era y 2da derivada con respecto a los precios de los factores?
b. ¿ Cuál es el signo de la derivada de la demanda del factor 1 con respecto al factor 2?
5
c.
Sea f(x, y) la función de producción que generó dicha función de beneficios. ¿Que se puede decir
acerca de la función de producción?
Varian (1992), Cáp. III.
EJERCICIO 9
Demuestre que la maximización de beneficios implica la minimización de costos.
Varian (1992), Cáp. IV.
EJERCICIO 10
Una empresa tiene 2 instalaciones. En una produce de acuerdo con la función de costos
C 1 (Y 1 ) = Y 12 y en la otra C 2 (Y 2 ) = Y 22 . Los precios de los factores son fijos, por lo que se omiten
en el análisis. ¿Cuál es la función de costos de la empresa?
Varian (1992), Cáp. V.
EJERCICIO 11
Una empresa tiene la función de producción: Z = X*Y. Obtenga las demandas condicionadas de los
factores. Si el costo mínimo de producción cuando w1 = w2 = 1 es igual a 4, ¿cuál es el valor de “Z”?.
Varian (1992), Cáp. IV.
EJERCICIO 12
Una empresa de alta tecnología produce una cantidad de chips “y” utilizando la función de costos
C(y), la cual muestra costos marginales crecientes. La proporción (1 – k) de los chips que produce es
defectuosa y no puede venderse. Los chips de buena calidad pueden venderse al precio P y el mercado
es sumamente competitivo.
a. Calcule la derivada de los beneficios con respecto a k y su signo.
b. Calcule la derivada de la producción con respecto a k y su signo.
Varian (1992), Cáp. V.
EJERCICIO 13
Una empresa utiliza 4 factores para producir un bien. La función de producción es la siguiente:
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = MIN { x1 , x2 } + MIN { x3 , x4 } .
a. ¿ Cuál es el vector de demandas condicionadas de los factores para producir una unidad cuando el
vector de precios es W = (1,2,3,4).
b. ¿Cuál es la función de costos?
c. ¿Qué tipo de rendimientos de escala muestra esta tecnología?
d. Otra empresa tiene la siguiente función de producción:
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = MIN { x1 + x2 , x3 + x4 } .
¿Cuál es el vector de demandas condicionadas de los factores para producir una unidad cuando los
precios son W = (1,2,3,4).
e. ¿Cuál es la función de costos de esta empresa?
f. ¿Qué tipo de rendimientos de escala muestra?
Varian (1992), Cáp. V.
6
IV. Incertidumbre
EJERCICIO 1
Un productor agropecuario enfrenta la alternativa de asegurar o no su cosecha contra el granizo. El
valor de la cosecha es de $5.000, y la ocurrencia del siniestro le provocaría una pérdida de $4.000. La
probabilidad de que ocurra el siniestro es 0.01. En caso de asegurarse deberá pagar una prima de $40.
La cobertura del seguro es del 80% de las pérdidas causadas por siniestro. Dada la siguiente función
de utilidad del agropecuario u ( w) = w1/ 2 , determinar si contratará o no el seguro.
EJERCICIO 2
Una persona dispone de $527.000 y debe decidir si comprar o no un billete de lotería cuyo precio es de
$27.000. Hay una probabilidad de 0.02 de que gane $500.000. Indicar que decide hacer, si su función
2
(
) - (W
de utilidad es U (W ) = 1 2 W 100. 000
Lombardero, Cáp. I.
)
100. 000 + 9 .
EJERCICIO 3
La embotelladora “Savannah Cola” promete al consumidor que ganará $20.000 con una probabilidad
de 0.00002. “Bahama Cola” copia la estrategia y sostiene que en una de cada 10.000 botellas hay un
premio de $50.000. Suponga que ambas botellas cuestan lo mismo y el individuo es indiferente entre
sus sabores. Calcule:
a. Los valores esperados de las loterías asociadas con cada una de las marcas.
b. La utilidad esperada de cada una de las gaseosas y la actitud frente al riesgo del individuo, cuya
función de utilidad es U (W ) = 100. 000W - 0, 5W 2 .
Lombardero, Cáp. I.
EJERCICIO 4
Un individuo posee un campo de $5.000 que es susceptible de inundarse en cuyo caso pierde su valor
completamente. Utilizando la hipótesis de la utilidad esperada como modelo de elección bajo
incertidumbre, y si la función de utilidad de la riqueza del individuo está dada por
U (W ) = ln (W + 1), averigue:
a. Qué probabilidad de inundación hará que el individuo acepte pagar una prima de $800 por un
seguro que cubre el 100% del valor del campo.
b. Si se toma en cuenta una probabilidad de inundación de 0.01. Se le ofrece al individuo efectuar un
pago que lograría con certeza evitar el riesgo de inundación ¿Cuánto pagaría en este caso?
c. En base a todo esto ¿es el individuo intolerante al riesgo? Justifique
EJERCICIO 5 (mayor dificultad)
Un individuo es Von-Neumann Morgenstern maximizador de utilidad esperada con función de utilidad
bien comportada, continuamente diferenciable. A el se le presentan las siguientes opciones.
a. ($1.000, 1).
b. ($800,0.5; $1.500, 0.5).
c. ($500,1).
d. ($400,0.5; $900, 0.5).
Sabiendo que el individuo se encuentra indiferente entre a. y b. y también se encuentra indiferente
entre c. y d., ¿es el individuo neutral, averso, amante del riesgo o es imposible saberlo? Explique. Si es
posible saberlo conteste: ¿que decidiría si se le presentaran estas dos loterías?:
d. ($750, 1).
e. ($400, 0.25; $900, 0.25, $800, 0.25; $1, 0.25).
V. Consumo Intertemporal
EJERCICIO 1
Dada una función de utilidad intertemporal aditivamente separable
U (x 1 , x 2 ) = u (x 1 ) + b u (x 2 ),
a. Escriba la restricción presupuestaria intertemporal del consumidor. Interprete.
b. Plantee el problema de maximización del consumidor que debe decidir su flujo de consumo para
los períodos 1 y 2.
7
c.
Muestre que la tasa marginal de sustitución entre consumo en el período 1 y consumo en el
período 2 viene dada por
u ¢(x 1 )
= b (1 + r ). Comente. En particular, explique cómo es la
u ¢(x 2 )
decisión del consumidor si la tasa de interés es igual a la tasa de impaciencia.
EJERCICIO 2
Si las preferencias de un consumidor se representan a través de una función de utilidad de elasticidad
de sustitución constante como
x 11- q
x 21- q
U (x 1 , x 2 ) =
+
,
1- q 1- q
ccn q > 0 y q ¹ 1 :
a.
Encuentre la trayectoria óptima del consumo, asumiendo que el consumidor tiene libre acceso a
los mercados de capitales a una tasa de interés r.
b. Cómo se comporta el consumidor para distintos valores del parámetro q . En particular, muestre la
relación entre el parámetro y la elasticidad de sustitución entre consumo en el período 1 y el
período 2.
EJERCICIO 3
Dadas las preferencias del consumidor representadas por la siguiente función de utilidad
U (x 1 , x 2 ) = ln (x 1 ) + b ln (x 2 )
y sean los ingresos del consumidor en los diferentes períodos y 1 = 100 y y 2 = 1000 .
a. Obtenga el flujo óptimo de consumo.
b. Muestre qué sucedería ante un aumento de la tasa de interés. Comente.
EJERCICIO 4
a. Plantee el Teorema de Separación de Fisher.
b. ¿Por qué es deseable que existan mercados de capitales perfectos?
c. ¿Cómo modificaría la restricción de presupuesto intertemporal del consumidor si, violando los
supuestos del teorema, la tasa a la que se endeuda es mayor a la que presta? Comente e ilustre
gráficamente.
EJERCICIO 5
Explique qué se supone al plantear que la utilidad intertemporal del consumidor es aditivamente
separable.
EJERCICIO 6
Comente el supuesto de consistencia dinámica. ¿Por qué podría criticarse la aplicabilidad del
supuesto?
EJERCICIO 7
Suponiendo que el consumidor tiene preferencias representadas por la siguiente función de utilidad
U (x 1 , x 2 ) = u (x 1 ) + b u (x 2 )
a.
Plantee la restricción de presupuesto suponiendo que el consumidor sólo puede prestar en el
primer período (no puede pedir prestado). Comente.
b. Resuelva el problema de maximización dada la restricción presupuestaria intertemporal del punto
s. Comente los resultados obtenidos.
EJERCICIO 8
Indique cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas, justificando en cada
caso su respuesta.
a. Si el consumidor tiene libre acceso a los mercados de capitales, y estos son perfectos, entonces
siempre consumirá más en el futuro.
b. Independientemente de la forma de su función de utilidad, si aceptamos el supuesto de que el
consumidor es impaciente, siempre consumirá más en el presente.
c. Una alta elasticidad de sustitución intertemporal significa que el consumidor trasladará mucho
consumo presente al futuro ante un cambio de una unidad porcentual en la tasa de interés.
8
d. Las decisiones del consumidor sobre su secuencia intertemporal de consumo sólo dependerán de
sus preferencias, es decir, de la forma de su función de utilidad. De esta forma, cuanto más
cóncava sea la función de utilidad el consumidor preferirá consumos más dispares en el tiempo.
VI. Teoría de la Inversión
EJERCICIO 1
Considere las dos siguientes corrientes de rentas alternativas:
a. t1 = 300
b.
t1 = 100
t2 = 321
t2 = 535
¿A qué tasa de interés el individuo será indiferente entre ambas corrientes?
Henderson y Quandt (1985), Cáp. VIII.
EJERCICIO 2
Consideremos un empresario que se dedica al proceso de añejamiento de vino del tipo punto input punto output. Su costo inicial para producir es de $20, el valor de las ventas del vino es
I (t ) = 100 t y el tipo de interés es 0.05. ¿Cuál es la duración óptima del periodo de inversión?
Henderson y Quandt (1985), Cáp. VIII.
EJERCICIO 3
Un empresario se dedica a cultivar un árbol. Compra semillas por 4 dólares, incurre en un flujo costos
de cultivo a la razón de G (t ) = 0, 4t dólares anuales durante la vida del árbol y lo vende en el
instante t = T por I (T ) = 4 + 8T - T 2 dólares. El tipo de interés es de 0.20. Determinar T .
Henderson y Quandt (1985), Cáp. VIII.
EJERCICIO 4
Deduzca la condición de 1er orden que debe satisfacer un programa de renovación de máquinas en una
cadena óptima de reposición de capital. (Sugerencia: plantear el problema de reemplazo de una sola
máquina y luego plantear el problema de la cadena).
Henderson y Quandt (1985), Cáp. VIII.
EJERCICIO 5
Suponga dos proyectos de inversión, caracterizados por los siguientes flujos de caja:
1- (-1, 2, 1)
2- (-1, 0, 4)
a. Compare la TIR de cada proyecto.
b. Si la tasa de interés fuese del 6%, ¿Qué proyecto sería más conveniente?
EJERCICIO 6
Una compañía invierte $100,000 en un proyecto cuyo flujo de caja único es $150,000 dentro de 1 año.
El beta del proyecto es 2.0, y el premio al riesgo del mercado (que es igual a la diferencia entre el
rendimiento de la cartera de mercado y la tasa libre de riesgo) es 8%. La tasa de interés libre de riesgo
es 6%. Utilice el modelo CAPM para encontrar el costo de oportunidad del capital y el valor presente
del proyecto.
VII. Frontera de carteras Eficientes
EJERCICIO 1
Un pequeño inversor dispone de una suma de dinero que dedicará a dos alternativas de inversión
disponibles en el mercado. La alternativa A tiene una rentabilidad esperada de $3 y una varianza de 3;
mientras que la alternativa B tiene una rentabilidad esperada de $15 y una varianza de 5. La
rentabilidad de los activos es independiente.
a. Obtenga un punto “z” de la frontera de carteras eficientes mediante la maximización condicionada
de la rentabilidad de la cartera, suponiendo que se desee obtener una cartera con varianza de 3.5.
b. Indique la composición de dicha cartera.
c. Grafique las preferencias de un inversor con aversión al riesgo.
d. ¿Qué signo de covarianza le conviene al inversor? ¿Por qué?
EJERCICIO 2
En un mercado existen 3 activos financieros, la rentabilidad esperada de cada uno es de 3%, 6% y 8%
respectivamente. La varianza de cada uno es 10%, 25% y 30% respectivamente. Determinar la
composición de la cartera eficiente suponiendo un rendimiento esperado del 5%. Suponga que los
rendimientos de los activos son independientes.
9
VIII. Programación lineal
EJERCICIO 1
Una empresa produce calefactores y termotanques. Para producir cada calefactor se usan 2 horas
hombre y 3 horas máquina. Para producir cada termotanque se necesitan 3 horas hombre y 2 horas
máquina. Las contribuciones marginales son $40 por calefactor y $35 por termotanque. Se dispone de
200 horas hombre y 100 horas máquina.
a. ¿Debería la empresa descontinuar la producción de termotanques debido a su menor contribución
marginal?
b. ¿Cuánto está dispuesta la empresa a pagar por una unidad adicional de hora hombre?
c. Interprete económicamente el significado de las variables duales.
EJERCICIO 2
Demuestre que los puntos x* = (8, 0), y* = (0,3) son óptimos para el par dual de problemas:
max 3x 1 + 2x 2 s.a. - 2x 1 + x 2 £ 2 , x 1 + x 2 £ 8 , x 1 , x 2 ³ 0 .
min 2y 1 + 8y 2 s.a. - 2y 1 + y 2 ³ 3 , y 1 + y 2 ³ 3 , y 1 , y 2 ³ 0 .
EJERCICIO 3
Un criador de ovejas debe confeccionar su dieta en base a 2 alimentos: A y B. Según el veterinario las
ovejas deben obtener por lo menos 2000 calorías diarias y 600 proteínas. Conociendo la siguiente
información:
Cada 100 grs
Alimento A
Alimento B
a.
b.
c.
d.
Contenido
calórico
400
500
Contenido
Proteico
150
130
Precio
10$
13$
Plantee el problema que enfrenta el criador en términos de minimización sujeta a restricciones.
Plantee el problema dual
Halle las cantidades óptimas de cada alimento, y el costo total asociado.
En general, ¿qué es un precio sombra? ¿Cómo se relaciona con la efectividad de la restricción?
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IX. Equilibrio Parcial
Competencia Perfecta
EJERCICIO 1
Dadas las siguientes funciones inversas de oferta y demanda domesticas de un determinado bien:
p s (q ) = 10 + 10q , pd = 80 - 4q .
Suponga que nuestro país es chico, por ende es tomador de precios. Se sabe que el precio internacional
del bien es u$s40. Analizar las medidas posibles para que la cantidad transada en el mercado aumente
un 50%, manteniendo la apertura de la economía.
Monopolio
EJERCICIO 1
La curva inversa de demanda viene dada por p (y ) = 10 - y . El monopolista pone a la venta una
oferta fija de 4 unidades.
a. ¿Cuál será la cantidad óptima y a qué precio?
b. ¿Cuál sería la solución en un mercado de competencia perfecta, dada esta demanda y esta oferta?
c. ¿Qué pasa si el monopolista tuviera 6 unidades del bien?
Varian (1992), Cáp. XIV.
EJERCICIO 2
Un monopolista produce y al costoC (y ), y vende su producto en dos mercados separados,
produciendo beneficios totales según P (y ) = P 1 (y 1 ) + P 2 (y 2 ) con y = y 1 + y 2 .
.
a. Muestre que el monopolista maximizador de beneficios igualará el costo marginal de la
producción al beneficio marginal en cada mercado.
(
)
b. Usando la ecuación IMg = p 1 + 1 e , muestre que el monopolista discriminador de precios
cobrará un precio más alto en el mercado cuya demanda es menos elástica.
c. Suponga que se aplica un impuesto unitario de t a las ventas en el primer mercado. Realice el
ejercicio de estática comparada para mostrar que un aumento en t reducirá las ventas en el
mercado 1.
d. Por si sola, que dice la hipótesis de maximización del beneficio sobre la respuesta de las ventas en
el segundo mercado al aumento de t.
e. Suponga que la producción en el mercado 2 fuese fijada al nivel que antes maximizaba el
beneficio por medio de una regulación del gobierno. Muestre que la respuesta en el mercado 1 de
un aumento en t es menor en valor absoluto de lo que sería en ausencia de esta regulación. Ofrezca
una explicación intuitiva para esto.
Silberberg (1990), Cap. 4.
EJERCICIO 3
Suponga que un monopolista enfrenta la función de costos C (x ) = 2x y la función de demanda
X (p ) = 10 - p .
a. Calcule la oferta del monopolista y el beneficio máximo.
b. Calcule la producción de óptimo de Pareto.
c. Suponga el impuesto T (x ) = 64 - 8x . Calcule la oferta del monopolista.
Wolfstetter (1999), Cap. 1.
Oligopolio
EJERCICIO 1
Considere el caso de una industria en la que hay 2 empresas, cada una de las cuales tiene costos
marginales nulos. La curva inversa de demanda a la cual se enfrenta esta industria es p = 100 - Y
donde Y = y 1 + y 2 es la producción total.
a. ¿Cuál es el nivel de producción de equilibrio competitivo?
b. ¿Cuál el nivel de producción de cada empresa correspondiente al equilibrio de Cournot?
c. ¿Cuál es la producción de la industria correspondiente al cartel?
d. Si la empresa 1 es líder y la 2 seguidora, calcule el nivel de producción de cada empresa
correspondiente al equilibrio de Stackelberg.
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X. Teoría de los juegos
EJERCICIO 1
Encuentre el equilibrio de Nash (recordando el concepto de estrategias mixtas) del juego representado
por la siguiente matriz de pagos:
Izquierda
1,0
0,3
Alta
Baja
Centro
1,2
0,1
Derecha
0,1
2,0
EJERCICIO 2
Encuentre el equilibrio de Nash por estrategias mixtas del siguiente juego (Batalla de los Sexos):
Boxeo
2,1
0,0
Boxeo
Teatro
Teatro
0,0
1,2
EJERCICIO 3
Defina la estrategia a seguir por los prisioneros de modo que la cooperación resulte estable en el
tiempo. Calcule la tasa de descuento necesaria.
Confesar
No confesar
Confesar
3,3
4,0
No confesar
0,4
1,1
EJERCICIO 4
Resuelva los siguientes juegos de suma cero.
Juego A
Izquierda
-1
1
3
Alta
Media
Baja
Juego B
Centro
2
-2
4
Izquierda
0.05
-0.03
Alto
Bajo
Derecha
1
2
-3
Derecha
-0.08
0.06
XI. Equilibrio General
EJERCICIO 1
Considere una economía de intercambio con dos consumidores; 1 y 2. Las preferencias de los mismos
sobre los dos bienes existentes (x, y ) pueden ser representadas por las siguientes funciones de
utilidad:
β 1− β
u1 ( x1 , y1 ) = x1α y11−α , u2 ( x2 , y2 ) = x2 y2
Los vectores de dotaciones iniciales son: ( x1 , y1 ) = (2,1) , ( x 2 , y 2 ) = (1, 2)
Se pide:
a. Hallar los equilibrios Walrasianos (precios relativos y cantidad consumida de cada bien)
b. Hallar el conjunto de asignaciones Pareto- eficientes
c. Graficar la caja de Edgeworth para α = β = 0.5 . Incluir el núcleo de la economía.
EJERCICIO 2
En una economía existen dos individuos y dos bienes. Las preferencias del agente i-ésimo están dadas
por u ( xi , yi ) = ln xi + ln yi , i = 1, 2 . Las dotaciones iniciales son las siguientes:
12
(x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) = (2, 3, 3, 2).
Se pide:
a. Verificar si la situación inicial de autarquía es un óptimo de Pareto.
b. Hallar el óptimo de Pareto si todo el poder de negociación está en manos del individuo 1.
c. Verificar que la solución debida al “equilibrio competitivo” es óptimo de Pareto.
EJERCICIO 3
En una economía existen dos individuos y dos bienes. Las preferencias del agente i-ésimo están dadas
por u ( xi , yi ) = Min { xi , yi } , i = 1,2 . Las dotaciones iniciales son las siguientes:
(x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) = (2, 3, 3, 2).
Se pide:
a. Hallar los equilibrios Walrasianos (precios relativos y cantidad consumida de cada bien).
b. Hallar el conjunto de asignaciones Pareto-eficientes.
c. Graficar la caja de Edgeworth. Incluir el núcleo de la economía.
EJERCICIO 4
Equilibrio general con propiedad privada y producción. Hay 100 individuos que poseen cantidades
dadas de 4 bienes. Dos de ellos son además producidos por 50 empresas y los dos restantes son
factores primarios no demandados por los consumidores. Plantee formalmente el modelo, indicando
claramente variables, datos y ecuaciones.
a. Plantee la ecuación típica para la determinación de la renta del individuo 15, que tiene
participaciones accionarias del 4% en las empresas 3 y 4.
b. Plantee la ecuación típica para el equilibrio de mercado del bien producido 2, que es demandado
por los últimos 50 individuos, poseído por los primeros 50 y fabricado por las empresas 16 y 17.
c. Ídem para el equilibrio de mercado del factor 4, que es poseído por los primeros 10 individuos y
demandado por las 50 empresas.
d. Ídem para el beneficio de la empresa 25, que fabrica los 2 bienes y usa los 2 factores.
e. Analice el grado de homogeneidad de cada una.
f. ¿Por qué determino los precios relativos?
Basado en Malinvaud, E., Cáp. V.
Ejercicios de mayor dificultad
EJERCICIO 5
Considere la economía de intercambio con dos consumidores 1 y 2 y dos bienes x e y. Las funciones
de utilidad vienen dadas por:
u1 ( x1 , y1 ) = ( x1−2 + (12 / 37)3 y1−2 ) −1/ 2
u2 ( x2 , y2 ) = ((12 / 37)3 x2−2 + y2−2 ) −1/ 2
Los vectores de dotaciones iniciales son: ( x1 , y1 ) = (1,0) , ( x2 , y2 ) = (0,1)
Se pide:
a. Hallar los equilibrios Walrasianos (precios relativos y cantidad consumida de cada bien)
b. Hallar el conjunto de asignaciones Pareto- eficientes
c. Graficar la caja de Edgeworth. Incluir el núcleo de la economía.
EJERCICIO 6
Consideren un país que produce dos bienes x e y, utilizando las siguientes funciones de producción:
x = ALα K 1−α , y = BLβ K 1− β con A, B > 0; α , β ∈ (0,1); α < β . El consumidor representativo
tiene preferencias sobre x,y que pueden ser representados a través de la siguiente función de utilidad
u ( x, y ) = ln x + ln y . Las cantidades de trabajo y capital vienen dadas exógenamente. Se supone que
un solo consumidor tiene todo esta dotación y ambas firmas.
a. Utilizar las condiciones de primer orden de maximización de beneficios (Ej: px f x '( Lx ) = w ) en
K
K
ambas industrias para obtener un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas: k x = x ; k y = y
Lx
Ly
dado un nivel de precios relativos p = px . Resolver el sistema para obtener:
py
k x = f ( p); k y = g ( p ) . Mostrar que k x < k y , es decir que el bien y es capital intensivo relativo
al bien x, utiliza mas unidades de capital por unidad de trabajo.
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b. Utilizando las condiciones de primer orden halladas en el punto anterior, obtener las expresiones
de: w , w , r , r , en términos de p.
p x p y p y px
c. Suponga que aumenta p, que espera que suceda con los retornos reales al trabajo y capital.
Relacione con la intensidad de los factores. Ha verificado el cumplimiento del teorema de StolperSamuelson.
d. Obtenga funciones de demanda para x e y en términos de los retornos reales: w , w , r , r .
px p y
e.
f.
py
px
Utilice los resultados de b. para reescribir la demanda de x en términos de p.
Utilice las condiciones de equilibrio en el mercado de factores para obtener expresiones de Lx ,
K x en términos de p (Obtener en primer lugar un sistema con dos ecuaciones y dos incognitas kx
y ky). Utilizar estas para obtener la oferta de x en terminos de p. Hallar los precios de equilibrio.
(Igualar oferta y demanda de x: nota se utilizan las condiciones de equilibrio en 3 de los 4
mercados utilizando la Ley de Walras)
g. Suponga que hay una mejora de la tecnología para producir y, relativa a la de x (es decir un
aumento de B con respecto a A). Analice el impacto sobre los precios relativos de equilibrio.
h. Suponga que aumenta la dotación inicial de capital. Analice el impacto sobre los precios relativos
de equilibrio.
XII. Externalidades
EJERCICIO 1
Considere una economía de intercambio con dos consumidores; 1 y 2. Las preferencias de los mismos
sobre los dos bienes existentes (x,y) pueden ser representadas por las siguientes funciones de utilidad:
u1 ( x1 , y1 , x2 ) = ( x1 / x2 )0.5 y10.5 , u2 ( x2 , y2 ) = ( x2 )0.5 y20.5
Note que el consumidor uno sufre una externalidad negativa a partir del consumo del bien x por parte
del otro consumidor. Dadas las siguientes dotaciones iniciales: ( x1 , y1 ) = (5,1) , ( x2 , y2 ) = (1, 2) .
a. Halle los equilibrios competitivos. (Recuerde que el individuo 1 toma x2 a como dado).
b. Halle el set de Pareto. ¿Pertenece el equilibrio hallado a dicho set? ¿Por qué?
c. Grafique la caja de Edgeworth.
EJERCICIO 2
Suponga una empresa en un mercado competitivo que fabrica un bien “x”, cuyo precio es de $20. Su
función de costos es CT(x) = 2 x + 4. Se sospecha que esta empresa genera externalidades negativas,
las cuales están siendo evaluadas por el estado.
a. ¿Cuál será la cantidad optima de producción, en caso de que el gobierno no aplique ninguna
sanción?
b. ¿Qué sucede si el estado le impone un impuesto de $12 por unidad producida?
c. Suponga que el impuesto logra internalizar totalmente la externalidad. ¿Cuál sería el valor de
dicha externalidad?
Varian (1992), Cáp. XX.
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