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Inestabilidades
Por Enrique A. Bour
Fundación de Investigaciones
Latinoamericanas (FIEL)
Económicas
I. Comentario
Quisiera comenzar mi comentario
con un elogio del paper de Juan
Carlos Vera1 , funcionario del
Ministerio de Economía que ha
encontrado tiempo para investigar
las propiedades de los modelos de
insumo-producto, que, como es
sabido, son utilizados a los efectos
de proyectar el futuro esperado de
un
conjunto
de
variables
macroeconómicas cumpliendo con
las restricciones de mercado.
¿Qué mensaje nos deja? Vera ha
puesto énfasis en la inestabilidad de
un modelo lineal con la idea de
reforzar el carácter robusto de
estos modelos. La idea de
inestabilidad proviene en el modelo
de insumo-producto 2 de que,
escrito en términos de diferencias,
es del tipo
A ∆X = ∆B
1
Dr. Juan Carlos Vera, "nestabilidad en un
Modelo Insumo-Producto Estático". Anales de la
XLIV
Reunión Anual de la Asociación
Argentina de Economía Política, Salta,
Noviembre de 2006.
Esta forma de ver el sistema
expresa el cambio de la solución del
sistema debido a un cambio de los
parámetros B. ¿Qué tan limitado es
el cambio de X asociado a un
cambio (pequeño) de B?
El asunto en consideración debería
tener alguna relación significativa
con
el
grado
óptimo
de
desagregación de una matriz de
insumo-producto para estimar
factores de conversión y precios de
cuenta. Un documento del Banco
Mundial realizado para Colombia 3
persigue el propósito "de explicar el
cálculo de precios de cuenta al nivel
nacional (llamados "Precios de
Cuenta Nacionales") usando la
técnica denominada "Matriz de
Input-Output". En contraste con
estimaciones previas de los precios
de cuenta para los bienes y el
trabajo, la nueva técnica de
estimación permite el cálculo de
muchos más de tales precios. "El
conjunto más amplio de precios de
cuenta pre-calculados, derivados a
partir de la información contenida
en la Matriz de Input-Output de un
país, debería ahorrar tiempo de
proyecto de los economistas y al
mismo
tiempo
mejorar
los
resultados". Un sinnúmero de otros
documentos han aplicado la misma
3
2
Obsérvese que el mismo problema tiende a
plantearse en la porción estructural de un modelo
econométrico que haya sido estimado linealmente.
Wolfgang W. Schohl, Estimating Shadow Prices
for Colombia in an Input-Output framework
(World Bank Staff Working Paper Nº 357),
September 1979.
metodología a otros países (entre
los cuales se encuentran Argentina
y Chile).
El presente trabajo demuestra que
existe un límite técnico para lograr
este objetivo.
Vera pone énfasis, con arreglo a la
literatura sobre el tema, en la
condición de número para una
inversión matricial con respecto a
una norma matricial | ║ | de una
matriz cuadrada A| definida por
K(A) = ||A|||||A-1|| si A| es nosingular. Es decir, la condición de
número de una matriz es igual a su
máximo valor singular dividido por
su mínimo valor singular. Golub y
Van Loan han extendido esta
definición a matrices singulares,
mediante K(A)=+∞.4 Todas las
matrices con condición de número
muy superior a la unidad (caso de
las matrices de Hilbert) están mal
condicionadas. Un ejemplo de
matriz de Hilbert de 5x5 es la
siguiente:
4
Matrix Computations, 3rd edition, Johns
Hopkins University Press, 1996.
donde Hij=(i+j-1)-1 (propiedad de
Hilbert) y que, como se puede
apreciar,
bien
podría
tener
disposición como para constituir
una matriz de insumo-producto.
La condición de número es una
medida de la sensibilidad de una
matriz del sistema lineal asociada a
operaciones numéricas. En otros
términos, debemos desconfiar de
los cómputos practicados con una
matriz A "mal condicionada". De
este resultado se desprende el
consejo del autor de que, en
sistemas originalmente lineales o
provenientes de una linealización,
es ilustrativo un examen de la
condición de la matriz A para tener
una mejor idea de la estabilidad de
las soluciones exactas del sistema.
En los Anexos el autor extiende el
análisis a la matriz A transpuesta,
deduciendo
que
está
peor
condicionada que la matriz original.
De ahí que los análisis realizados
utilizando la matriz transpuesta
sean aún menos confiables que los
realizados con la matriz A.
Recuérdese que esta matriz es
necesaria para el cálculo de los
pagos monetarios y transferencias
entre los factores productivos.
En la sección IV del paper el autor
presenta dos motivos por los cuales
es de esperar una sistemática
divergencia respecto de la solución
del sistema. El primero es lo que
podría denominarse el sesgo de
especificación del modelo (basar la
estimación de relaciones de
equilibrio en situaciones de
desequilibrio). En segundo lugar, al
diferir los valores de la matriz B
respecto de los observados o
deseados podría surgir otra fuente
de diferencia entre la solución de
equilibrio y la predicha por el
modelo.
Las soluciones no son simples, ya
que pasan en el primer caso por reestimar la matriz X o, en el segundo
caso, apostar a una condición de la
matriz A muy próxima a uno.
Pregunto: ¿cuáles son las garantías?
Los ejemplos presentados en la
sección V ofrecen simplificaciones
extremas, y, como menciona el
autor, los objetivos de política en
un conjunto de países podrían
"tener efectos reales dispares
restándole importancia práctica a
las soluciones del modelo de
insumo-producto
que
podrían
generar resultados inconsistentes
con las posibilidades fácticas
observables en los intercambios
comerciales entre los países
involucrados".
Un teorema sobre funciones
homogéneas A fin de investigar las
implicancias de la especificación
tecnológica y de demanda en el
modelo de insumo-producto, Vera
analiza las consecuencias de la
homogeneidad lineal de 1º grado 5.
Supóngase que la función de
producción vectorial X(...) del
modelo
de
insumo-producto
estático es homogénea de grado 1
(es decir, se verifican rendimientos
constantes a escala) y las elecciones
estáticas son económicamente
óptimas (es decir, se verifica la
minimización de costos en todos los
sectores productivos) luego: la
matriz A asociada al modelo es
A=I-E, donde I es la matriz
identidad y E es la matriz de
elasticidades de X(...). Hay dos
resultados:
(a) Con una matriz X la matriz E
cambia con el nivel de gastos de la
economía, con lo cual la condición
de A dependerá de la distribución
de gastos cuando se tomen los datos
para elaborar la matriz de inputoutput. Como señala el autor, esto
restará relevancia al modelo de
insumo-producto. La inestabilidad
de la economía podría interpretarse
como un problema monetario.
(b) Con una función de producción
vectorial X de grado 1 de tipo
Cobb-Douglas, las elasticidades E
serán constantes y no se alterará la
5
La necesidad de considerar como variables a los
coeficientes técnicos de las matrices input-output
fue vista desde muy temprano. Cf. L. R. Klein, On
the interpretation of Professor Leontief's System,
Rev. of Economic Studies, 20, 1953, y B.
Cameron, The Construction of the Leontief
System, The Review of Economic Studies, Vol.
XIX (I), 1950-51.
distribución del gasto de la
economía. La condición de A no
cambiará con reestimaciones. Esto
hace que la inestabilidad de la
economía
sea
un
problema
estrictamente tecnológico.
Conclusiones La inestabilidad de
las soluciones de los modelos
macro- lineales es conocida desde
hace muchos años, y una forma
económica de resumirla es a través
de la condición de número para una
inversión matricial. El autor utiliza
este resultado para recomendar
prudencia en las recomendaciones
que surgen de este tipo de modelos.
Adicionalmente, asumiendo el
supuesto fuerte de que todas las
funciones de producción de la
economía tienen rendimientos
constantes a escala, resulta que la
matriz A está conectada con la
matriz
de
elasticidades
de
producción E(...) del sistema. Si
esta matriz es constante, la
inestabilidad del modelo insumoproducto
es
un
problema
estrictamente tecnológico.
Estas son ciertamente conclusiones
valiosas que requieren de cierta
elaboración para salir a la luz. Por
todo ello, considero muy fructífero
y esclarecedor el paper del Dr.
Vera.
II. Comentario adicional
Osvaldo Bachino me hizo un
comentario a mi comentario, lo que
me sugirió extender mi comentario
previo.
Revisando algún material de
internet se encuentran documentos
de interés sobre el tema en cuestión.
Primero, una cuestión de glosario.
Se define la condición de número
de una matriz A como la cantidad
A2A-12. Es una medida
de la sensibilidad de la solución
del
sistema
Ax=b
a
perturbaciones de A ó b. Si la
condición de número es ‘amplia’, A
se dice mal condicionada. Si la
condición de número es uno, A se
dice perfectamente condicionada.
En
fin,
una
matriz
mal
condicionada es una cuya solución
de Ax=b es extrema-damente
sensible a perturbaciones ya sea de
A ó de b.
Segundo, Philip Erdelsky se
atribuye haber publicado hace 37
años lo que algunos describieron
como un “resultado elegante” sobre
la condición de número de una
matriz, que establece que se está en
presencia de una matriz no
singular
con
inversas
aproximadas a la derecha y a la
izquierda si y sólo si está mal
condicionada. La demostración no
es compleja y recién la publicó por
primera vez en 2001.
Tercero, El problema también
aparece con asiduidad en otros
campos. Por ejemplo, en medicina,
los modelos matemáticos de
rendimiento en diagnóstico por
imagen requieren estimar con
precisión el nivel de radioactividad
dentro de una estructura estimada.
Modelos basados sobre la cota
inferior de precisión de Barankin
dependen de propiedades físicas del
sistema de imágenes así como de
características de la imagen
objetivo que son utilizados para
optimizar el sistema. La derivación
de la cota requiere diferenciación e
integración simbólica, así como la
inversión con alta precisión
numérica de grandes matrices mal
condicionadas * . Rudolf Sponsel ha
hecho notar, en el campo de la
psicoterapia,
las
implicancias
constructivas y destructivas de la
colinealidad implícitas en las
matrices de correlación altamente
inestables.
III. Final
Los
economistas
estamos
acostumbrados
a
definir
la
estabilidad en términos de las
soluciones (X) y no en términos de
los parámetros. Para preservar este
uso, creo que es más apropiado
hablar en estos últimos casos de
confiabilidad (reliability) de A ó
b.
*
The Mathematical Journal, 1990, Vol. 1
Iss.1