10.1 Justificación

10. Teorema de la energía potencial estacionaria
El método de los elementos finitos se fundamenta matemáticamente en la
minimización de un funcional asociado con las ecuaciones diferenciales que
gobiernan el problema. En elasticidad lineal ese funcional es la energía potencial del
cuerpo, la cual, al ser minimizada, genera ecuaciones que son iguales o equivalentes a
las ecuaciones de equilibrio. A continuación se presenta una justificación del teorema
de la energía potencial estacionaria y se ilustra luego su aplicación con un ejemplo
sencillo de un sistema de resortes.
10.1 Justificación
Considere un cuerpo elástico (Figura 10.1) sometido a la acción de fuerzas de
volumen fi (en lo que sigue se usa la notación del índice repetido)
 f1 
 
f   f 2 ( F / L3 )
f 
 3
R
Ui
ti
n
R*
fi
x2
Bu
x1
x3
Bt
Figura 10.1. Cuerpo elástico sometido a fuerzas de superficie y de volumen
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y fuerzas de superficie ti que actuan en una parte del contorno Bt
t1 
 
t  t 2   ( F / L2 )
t 
 3
En la otra parte del contorno Bu los desplazamientos están especificados.
Se desea conocer los desplazamientos ui (en la dirección xi) que se producen en el
cuerpo después de que se aplican las cargas. Las regiones R y R* de la Figura 10.1
coinciden con el cuerpo antes y después de la deformación, respectivamente.
Supóngase ahora que dado el cuerpo deformado R*, se produce un campo adicional de
desplazamientos virtuales ui, tales que no se modifiquen las fuerzas internas ni
externas actuando sobre el cuerpo. Estos desplazamientos virtuales deben satisfacer
las condiciones de borde, o sea que deben ser iguales a cero en Bu. El trabajo
producido a lo largo de este campo de desplazamientos virtuales, o trabajo virtual, es
W   t i u i dB   f i u i dV
Bt
(10.1)
R
Dadas las relaciones entre las tracciones en la superficie ti y los componentes del
tensor esfuerzo ki
ti = kink
(10.2)
se puede escribir W en términos de los ki. En la ecuación (10.2) los ni son los
componentes del vector unitario normal a la superficie.
Reemplazando (10.2) en (10.1) se obtiene
W    ki nk u i dB   f i u i dV
Bt
R
A continuación, y mediante el teorema de divergencia se puede transformar la integral
de superficie en una de volumen, con lo que se obtiene
  ki
W   
R
 xk
ui   ki
u i 
 dV   f i u i dV
xk 
R
Si se aplican las relaciones entre las deformaciones y los desplazamientos
1  u u 
 ik   i  k 
2  x k x i 
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Se puede reescribir W así
  ki

 f i u i dV    ki ki dV
 xk

R
R

W   
ya que como el tensor esfuerzo es simétrico se cumple que
ui
 ki
  ki ki .
xk
Los términos contenidos en la primera integral son cero si el cuerpo está en equilibrio
 ki
 fi  0
xk
La segunda integral es la energía de deformación del cuerpo a lo largo de los
desplazamientos virtuales ui, que como se mostró es igual al trabajo virtual si el
cuerpo está en equilibrio, con lo cual queda justificado el principio del trabajo virtual
que dice:
Dado un cuerpo elástico en equilibrio, el trabajo de las fuerzas externas a lo largo de
un campo de desplazamientos virtuales es igual al incremento de la energía de
deformación debido a los desplazamientos virtuales.
En ecuacion
W = U
(U - W) = 0
Donde U es la energía de deformación.
Se define ahora
p = U - W,
donde p es la energía potencial del cuerpo, calculada como la energía de
deformación U, menos el trabajo de las cargas externas a lo largo de los
desplazamientos, W. Nótese que W no es el trabajo real de las cargas externas, sino
que se calcula como el producto de las fuerzas externas por los desplazamientos,
como si el valor total de las fuerzas ya estuviera aplicada en el momento de producirse
los desplazamientos. Obsérvese que la minimización de la energía potencial equivale
a establecer la ecuación del trabajo virtual, la cual a su vez es válida si el sistema está
en equilibrio, queda justificado entonces el teorema de la Energía Potencial
Estacionaria que dice así:
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Entre todos los campos de desplazamiento que satisfacen las ecuaciones de
compatibilidad y las condiciones de borde, aquel que también satisface las
ecuaciones de equilibrio hace que la energía potencial p tenga un valor
estacionario.
Se puede demostrar también, que si el equilibrio es estable, la energía potencial tiene
un valor mínimo.
(U - W) = p = 0, para equilibrio.
10.2 Ejemplo
Se ilustra ahora la aplicación del teorema con el ejemplo de la Figura 10.2. k1, k2, k3 y
k4 son las constantes de cada uno de los resortes. El desplazamiento de 4 es nulo y se
desean conocer los desplazamientos de los nodos 1, 2 y 3; u1, u2 y u3.
k2
(2)
P
1
u1
k1
3
2
k4
(4)
(1)
k3
u2
(3)
u3
Figura 10.2. Sistema de resortes
El cálculo de la energía potencial es como sigue,
p = U - W
donde
W = P u1 ,
y
1
1
1
1
2
2
2
2
U  k1 u1  u 2   k 2 u 2  u 3   k 3 u 2  u 3   k 4 u 3 
2
2
2
2
Los valores de equilibrio de u1, u2 y u3 deben ser tales que minimicen a p, por tanto
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 p
 0  k1 (u1  u 2 )  P
u1
 p
 0  k1 (u1  u 2 )  k 2 (u 2  u3 )  k 3 (u 2  u3 )
u 2
 p
 0  k 2 (u 2  u3 )  k 3 (u 2  u3 )  k 4 (u3 )
u3
El sistema anterior de tres ecuaciones se puede reorganizar matricialmente para
obtener
 k1
 u1   P 
 k1
0

   
(k 2  k 3 )  u 2    0 
  k1 ( k1  k 2  k 3 )
 0
(k 2  k 3 )
(k 2  k 3  k 4 ) u 3   0 

el cual se puede escribir en forma simbólica como
Ku =F.
Donde K es la matriz de rigidez del sistema, simétrica y de banda y u es el vector
de desplazamientos globales o de todo el sistema.
Para ilustrar la equivalencia entre el teorema de la energía potencial y el equilibrio, se
resuelve a continuación el mismo problema mediante la aplicación de las ecuaciones
de equilibrio en cada nodo.
Nodo 1,
P
k1(u1 - u2)
Nodo 2,
k1 (u1 - u2)
k2 (u2 - u3)
Fx = P - k1 (u1 - u2) = 0
k3(u2 - u3)
Fx = k1 (u1 - u2) - k2 (u2 - u3) - k3 (u2 - u3).
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Nodo 3,
k2 (u2 - u3)
k4u3
k3 (u2 - u3)
Fx = k2 (u2 - u3) + k3(u2 - u3) - k4u3 = 0
Que son las mismas ecuaciones obtenidas anteriormente mediante el teorema de la
energía potencial estacionaria.
Si se piensa en la solución del mismo problema en el computador, el algoritmo
consiste en construir la matriz de rigidez global K a partir de las contribuciones de
la matriz de rigidez de cada resorte K (e), definida como
1
 K(e)  k e 1

1
1 
la cual relaciona las fuerzas y desplazamientos en los nodos correspondientes a cada
elemento, es decir
 1 1 u1( e )   F1( e ) 
ke 
  ( e)    ( e)  ,
1 1  u2   F2 
donde el superescrito (e) indentifica el elemento y permite diferenciar las
numeraciones locales con las globales de todo el sistema.
F1(e
1,i
ke
2,j
F2(e
)
)
u1(e)
u2(e)
Figura 10.3. Elemento resorte
Por ejemplo, los nodos 1 y 2 mostrados corresponden a una numeración local, serán
llamados i y j en la numeración global. Para el ejemplo en consideración, el nodo 2
del elemento (3), es el nodo 3 global. Cada entrada, Kij(e) de esta matriz, es igual a la
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fuerza que es necesario aplicar en i si hay un desplazamiento unitario en j, siendo los
otros desplazamientos iguales a cero.
Conocidas las matrices de rigidez de los elementos es posible ensamblar la matriz
global K de la manera sistemática que se ilustra en la Figura 10.4. Esta es una de las
ventajas del método de los elementos finitos que permite su fácil implementación en
programas de computador.
1
2
1  k1
2   k1
2
2  k2
3  k 2
2
2  k3
3  k 3
3
3  k4
0  k 4
 k1 
k1 
3
 k2 
k 2 
3
 k3 
k 3 
1
 k1
 k
 1

2
 k1
k1  k 2  k 3
 k 2  k3
3
1
 k 2  k 3  2
k 2  k 3  k 4  3
0
 k4 
k 4 
Figura 10.4. Adición de las matrices locales en la matriz global
10.3 Ejercicios propuestos
1. Calcule la energía potencial del elemento resorte de la Figura 10.3 y con base en
ella obtenga la matriz de rigidez del elemento.
2. Calcule los desplazamientos y fuerzas en el sistema de resortes mostrados en la
Figura 10.5.
99
4 N/mm
1
3 N/mm
2 N/mm
3N
4N
5 N/mm
Figura 10.5. Esquema para el problema 2
3. Escriba un algoritmo para adicionar una matriz de rigidez de un elemento en una
matriz global. Se supone que la matriz de rigidez del elemento tiene dimensiones
nexne y que la conectividad está dada en el arreglo nn(ne)
100