1 EL MODELO NUCLEAR DEL ÁTOMO

CAPITULO 11
EL EXPERIMENTO DE RUTHERFORD
11-1 EL MODELO NUCLEAR DEL ÁTOMO
Para 1398 Sir J. J. Thomson había descubierto el electrón y entonces propuso un
modelo físico del átomo conocido como "pudín de ciruela". El átomo, como él lo
describía, era un pudín de ciruela positivo en el cual estaban incrustadas pasas de
electrones negativos, distribuidos de tal forma que hicieran neutral el conjunto.
En 1911 el profesor Ernest Rutherford (1871-1937), quien había sido discípulo de
Thomson, y dos de sus estudiantes, Hans Geiger y Ernest Manden, efectuaron cierto
número de experimentos sobre la dispersión de partículas a por una delgada hoja de
oro. Como resultado de estos famosos experimentos, se descartó la idea del modelo
"pudín de ciruela" a favor del modelo aceptado ahora generalmente. En este modelo,
se dice que el átomo consiste de un núcleo muy pequeño (dimensiones del orden de
10"' 4m), en el cual se concentran toda la carga positiva y la mayor parte de la masa, y
de una nube de electrones cargados negativamente que rodea al núcleo. Ya que las
dimensiones del átomo son del orden de 10"10 m, la mayor parte del espacio dentro
del átomo está vacío; y para átomos neutrales, la carga de los electrones alrededor del
núcleo es igual a la carga positiva del núcleo.
Repasemos el experimento de Rutherford, para efectuar un estudio detallado del
átomo. Rutherford propuso que una delgada hoja de oro (Z = 79) fuese bombardeada
con partículas  de alta velocidad procedentes de una fuente de Po-214.
Un estudio de os ángulos de dispersión o deflexión de las partículas  que pasan
a través de la hoja, debería dar detalles de le-3 átomos blancos que actuaban como
dispersores. Una partícula  es simplemente un núcleo de helio y consiste de dos
protones y dos neutrones. En aquel tiempo no se conocía la existencia del neutrón,
pero Rutherford y Thomas Royds habían determinado previamente (en 1909) que la
carga de la partícula  en 2e
Rutherford efectuó un estudio teórico del ángulo θ de dispersión de los modelos
propuestos por el y por Thomson, y luego se llevó a cabo una comparación con los
resultados experimentales. La figura 11-1 compara los modelos de Rutherford y
Thomson y muestra el campo eléctrico esperado asociado con cada uno de ellos. Una
partícula  que penetre un átomo como el del modelo de Thomson [figuras 1l-l(a) y lll(c)] sólo experimentará pequeñas deflexiones, ya que el campo eléctrico dentro de tal
átomo sería débil, especialmente cuando se compara con el del modelo de Rutherford.
En el modelo de Rutherford, el campo eléctrico para la misma distancia al núcleo a
mucho más fuerte, porque toda la carga positivo del átomo, + Ze, está concentrada en
el pequeño volumen del núcleo, y por k> tanto el ángulo 6 de dispersión será mucho
mayor que para el modelo de Thomson [figuras 1 l-l(b) y 11-1 (d)].
Figura 11-1
la deflexión esperada de la partícula a es pequeña porque el campo eléctrico dentro
del átomo es pequeño, (b) La carga positiva está concentrada en un pequeño volumen
del núcleo, y la deflexión de la partícula a es mayor, (c) El campo eléctrico aumenta
linealmente hasta una superficie donde es un máximo. Para r > R, disminuye de
acuerdo con E= k(Ze¡r2). (d) El campo eléctrico disminuye con la distancia al núcleo
de acuerdo con E = k (Ze/r2). En r = R, es el mismo que pira el modelo de Thomson,
pero para r < R, se vuelve mayor.
11-2 MONTAJE EXPERIMENTAL
Geiger había efectuado muchas veces el experimento de enviar un haz de partículas 
a través de Wa delgada hoja de metal anotando la dispersión de las partículas. Sin
embargo, fue casi como una idea tardía que Rutherford y Geiger sugirieron a Marsden
que estudiara las dispersiones para ángulos mayores, aun hasta 90°. Cuando se
encontró que las partículas a eran dispersadas hacia atrás, Rutherford exclamó: "Es
tan sorprendente como si un artillero disparara a un hoja de papel y por una u otra
razón el proyectil regresara".
La figura 11-2 muestra el experimento de dispersión de partículas a de Rutherford. El
polonio 214 es una fuente monoenergética de partículas de 7.68 Mev. La delgada
hoja de oro (f = 6 X 10-7 m) permite que la mayor parte de las partículas pasen a
través de ella sin experimentar ninguna desviación. Sin embargo, algunas son
dispersadas a través de varios ángulos 6 para producir centelleos que pueden ser
observados y contados medio de un microscopio amplificador. El experimento
consiste en contar el número de partículas por unidad de tiempo que son desviadas
con ángulos de dispersión entre 0 y 0 + A0 y comparar estos resultados con los
valores esperados de los modelos de Rutherford y Thomson. El ángulo promedio de
deflexión predicho por ambos modelos era alrededor de Io, pero la gran diferencia
entre los dos modelos radicaba en la deflexión predicha para ángulos de dispersión
muy grandes/Por ejemplo, de acuerdo con el modelo de Thomson sólo una de cada
103500 partículas a experimentará una deflexión de 0 > 90°, pero los resultados
experimentales mostraron que una de cada 8000 partículas fue desviada a través de 0
> 90a. Esta cifra concordaba estrechamente con el modelo de Rutherford, y atrajo la
aceptación del modelo nuclear del átomo propuesto por Rutherford.
Figura 11-2
Diagrama esquemático de partículas a dispersadas por los átomos dentro de una
delgada hoja de oro.
11-3 PARÁMETRO DE IMPACTO Y ÁNGULO DE DISPERSIÓN
Las figuras 1 l-3(a) y 1 l-3(b) muestran una partícula a dispersada por un núcleo. El
parámetro de impacto b en cada figura es la distancia mínima que la partícula a se
aproximaría al núcleo si no existieran fuerzas entre ellos. La repulsión electrostática de
Coulomb entre la partícula a y el núcleo de oro localizado en M harán que la partícula
a siga la trayectoria ACB. La fuerza repulsiva de Coulomb, sigue una ley de cuadrado
inverso, y la trayectoria debe ser la hipérbola ACB con el núcleo N en el foco de la
hipérbola. Para una colisión de frente, es evidente que el parámetro de impacto b = 0.
El eje de la hipérbola será Nz, y Nx yNy son direcciones asimptóticas, que pasan a
través de N paralelamente a la dirección de viaje cuando la partícula a se encuentra
muy lejos del núcleo ante y después de la interacción.
El parámetro de impacto b no debe confundir» con la distancia D de máximo
acercamiento. Para determinar la distancia de máximo acercamiento considere una
partícula  a una gran distancia del núcleo pero aproximándose a una colisión de
frente te con una energía cinética Ka. En el punto P de o figura 1 l-3(a), la fuerza
repulsiva del núcleo detiene momentáneamente a la panícula  que se aproxima, y
toda su energía cinética se transforma en energía potencial. Así que podemos escribir
Y la distancia de máximo acercamiento es
Figura 11-3
El parámetro de impacto b es la distancia por la cual la partícula a erraría el núcleo si
no hubiera fuerzas implicadas. El ángulo θ de dispersión depende del parámetro de
impacto, (b) Dispersión de partículas a por un núcleo de carga +Ze. Las coordenadas
polares que localizan a la partícula a en Al son r y 9
Si la colisión no es "de frente", la distancia de máximo acercamiento será NC como se
ve en la figura 1 l-3(b). Nótese también de la figura 11-3(b) que aproximadamente,
Para una colisión de frente, b = 0 y de la ecuación (11-3) . Ø = 180º, que es un
resultado esperado.
Al derivar la relación entre b y Ø, supondremos lo siguiente:
La partícula y el núcleo son cargas puntuales
La dispersión se debida a las fuerzas electrostáticas repulsivas de Coulomb entre la
partícula  y la carga positiva (Ze) del núcleo
El núcleo de oro (masa = 197 u a m) es lo suficientemente masivo comparado con la
partícula  (masa a 4 u a m) como para que pueda ignorarse su retroceso. 4. Las
partículas a no penetran b región nuclear y las intensas fuerzas nucleares de
interacción no atan impura das.
Si P1 y P2 en la figura 1 l-3(b) son los momentos lineales de la partícula  cuando
está lejos del núcleo antes y después de la interacción, respectivamente, podemos
escribir
P12 = P22
2m 2m
y entonces p, = p,. La partícula a se mueve bajo la acción de una fuerza central F (1/4 ire0) (2Z e1/^) dirigida a k> largo del radio vector. Por lo tanto, el momento angular
se conserva ya que de acuerdo con las leyes de Newton r X F = dL/dt = 0, ya que r y F
se alinean en la misma dirección. Por lo tanto, L = ¿>p, = 6'p2 y b = b' También, de la
segunda ley de Newton,
De la ecuación (11-4), los momentos lineales p, y PJ tienen igual magnitud, pero Δp =
0 ya que P1 y P2 tienen diferentes direcciones.
y el vector Δp está dirigido a lo largo del eje N, como se puede ver comparando las
figuras 1 l-3(b) y 11-4.
Ya que el impulso total
F está dirigido a lo largo del eje Nz, una ecuación escalar
que combina las ecuaciones (11-5) y (11-6) es
Donde dθ/dt = co es la velocidad angular de Partícula a. De nuevo, de la conservación
del mentó angular
mv, b = mv
Donde v0 = wr r es la componente transversal de velocidad, y entonces
vb = wr2
Cuando F y w de las ecuaciones (11-1) y (11-11) se sustituyen en la ecuación (11-8),
obtenemos
Usando el hecho de que Ka = mt, / 2, obtener» de esta ecuación
Que nos da la relación entre el parámetro de impacto b y el ángulo de dispersión 0.
La figura 11-5 muestra de manera más realista cómo son dispersadas la partícula 
por los núcleos en una hoja de oro. La mayor parte de las partículas
Figura 11 - 5
Partículas a dispersadas por los núcleos en una hoja de oro.
Partículas pasar, sin desviarse; sólo aquellas que pasan cerca de un núcleo son
desviadas.
El ángulo o; dispersión depende de b; y, como se ve por la ecuación (11-11) y la
figura ll-3(a), mientras más pequeño sea 6, mayor será 0 ti ángulo de dispersión. La
ecuación (11-11) también se puede poner en términos de la distancia D de máximo
acercamiento a partir de la ecuación (11-2),
11-4 FORMULA DE DISPERSIÓN DE RUTHERFORD
No hay forma de comprobar la ecuación (11-12) contra los resultados experimentales,
porque es imposible medir directamente el parámetro de impacto b. En un experimento
real, lo que se mide es el número de partículas dN con ángulos de dispersión entre Ø y
Ø + dØ o dentro del ángulo sólido dΩ = dS/r2. La figura 11-6 muestra que dS = 2πr2
sen Ø d Ø es el área de la pantalla sobre la que chocan las partículas a. Por lo tanto,
el ángulo sólido en el cual quedan encerradas estas dN partículas es dΩ = 2πrsen Ø d
Ø.
Todas las partículas a que se aproximan al núcleo con un parámetro de impacto < b
serán dispersadas a través de un ángulo > Ø. El área alrededor de cada núcleo en la
figura ll-7(a) con un radio igual al parámetro de impacto b es llamada sección
transversal integral. Esta área es
a = nb2
La figura ll-7(b) muestra una porción agrandada de una hoja de oro con un área
superficial A y un espesor t tan delgado (t = 6.0 X l0-7 m) que las secciones
transversales individuales a de los diferentes núcleos no se superponen. Cuando un
número Na de partículas a se dirige perpendicular-mente hacia A, aquellas que
interactúan con núcleos diferentes (todos con la misma sección
Figura 11-6
Área de la pantalla golpeada por aquellas partículas a con ángulos de dispersión entre
£ y 0y0+ d0. Las partículas se encuentran dentro del ángulo sólido dπ = ds/r2 = 2π.
sen 0d0 d visto desde el punto 0 en la hoja de oro.
Transversal experimentarán una "dispersión única". Si n es el número de núcleos por
unidad de volumen, la hoja de oro contendrá (At) núcleos, y por lo tanto el área de
blanco T presentada por estos núcleos con el fin de tener ángulos de dispersión
mayores que ó y parámetros de impacto menores que b será
T = na(At)
Ya que A es el área de blanco total, la fracción de partículas a que sufren dispersiones
mayores que las dadas por é será
F= Área blanco ofrecida por los núcleos en la hoja
Área blando total
= n(At)
A
Esta razón también es dada por / = N/NQ, donde N es el número de partículas que
experimentan la dispersión y N0 es el número total dirigido contra el blanco. La
combinación de las ecuaciones (11-12) y (11-15) da ahora
Esta ecuación aún no es una fórmula práctica que pueda ser verificada
experimentalmente. Para calcular el número de partículas por ángulo sólido unitario, d
= 2n sen ó dé, diferenciara
La ecuación (ll-I6) con respecto a o y dividía
Por díl para obtener
df =
d
dN = - nnt D2 cot (0/2) csc2(0/2)
N0d.
8sen 0d0
El signo menos implica que df y dé tienen si nos opuestos. Tomando sólo el valor
absoluto 4
df/d y, ya que sen 0 = 2 sen (0/2) COSÍ0/2), tenemos
Ya que d=S/r2, podemos escribir
y finalmente,
Que es el número de partículas a por unidad de área que golpea la pantalla dentro de
un anillo de área Smr2= La ecuación (11-18) cono-oda corno fórmula de dispersión de
Rutherford, fue verificada experimentalmente, y por esto debe acreditarse a
Rutherford, como el descubridor del núcleo. La verificación experimental de la fórmula
de dispersión de Rutherford muestra que si 106 de bs partículas incidentes tienen
ángulos de dispersos > 10°, entonces sólo cerca de 230 son desviadas i través de un
ángulo 0 > 90°.
El número de núcleos por unidad de volumen puede calcularse de
Done; p i -kg/m3) es la densidad del material de la hoja. .es el número de Avogadro =
6.02 X 102 átomos /kg-mol, y .V/(kg/kg-mol) es el peso atómico. En su verificación
experimental, Geiger y Mariden usaron diferentes materiales, que variaban desde el
carbón hasta el oro.
EJEMPLO 11-1
(a) La energía cinética de las partículas a en el experimento de Geiger-Marsden era
Ka — 7.68 Mev. Calcule la distancia D de máximo acercamiento a un núcleo de oro (Z
= 79).
A la distancia de máximo acercamiento, la Ka de la partícula a se trasforma en la
energía del sistema. Por lo tanto a partir de la ecuación (11 -2)
El radio del núcleo de oro debe tener una magnitud del orden de 10"l4m ó menor, lo
que viene siendo cerca de 10* veces mejor que el radio del átomo. Continuando con el
experimento de Geiger-Manden y considerando que el material de la hoja es oro,
calcule el parámetro de impacto necesario para producir ángulos é > 90°.
Cuando se usan el valor de D anterior y ó = 90°, la ecuación (11-12) da
Que da
¿Cuál es la sección transversal correspondiente en este caso?
De la ecuación (11-13), la sección transversal es
La sección transversal se mide a menudo en términos de una unidad llamada bam,
donde 1 bam = 1 X 10-2.8m2. Por lo tanto, en este cálculo a = 6.87 barns.
¿Qué fracción de partículas a es desviada un ángulo de 90° o mayor si el espesor de
la hoja es = 6.00X10-7m?
Para el oro
Kg/Kg-mol), a partir de la ecuación (1119) el número de núcleos por unidad de volumen es
ó, sustituyendo los valores calculados,
lo que significa que aproximadamente sólo dos de cada 100.000 panículas a
experimentan desviaciones > 90°. La conclusión es que una hoja de oro de este
espesor es relativamente transparente a las partículas a.
PROBLEMAS
¿Cuál es la velocidad de una partícula a con una energía cinética de 7.68 MeV?
(a) Si la distancia de máximo acercamiento de una panícula a dirigida contra un núcleo
de oro es de 3.00 X 10"'3 m, calcule la energía cinética en MeV de la partícula a. (b)
¿Cuál es la energía potencial del sistema a la distancia de máximo acercamiento?
Use los datos del problema 11-2 y (a) determine el parámetro de impacto necesario
para producir un ángulo de dispersión 0 > 60°; (b) calcule la sección trasversal
correspondiente en bams, y (c) encuentre la fracción de partículas a que serán
dispersadas a través de un ángulo > 60 por una hoja de oro de espesor 3.00 X 10-7m.
(a) Para partículas a de 7.68 MeV dirigidas contra una hoja de oro de 3.00 X 10-7 m de
espesor, encuentre la fracción de partículas a cuyos ángulos de dispersión están entre
0! = 10° y (¡>-, = 12°.
(b) Si el número total de partículas a dirigidas contra la hoja de oro es 1.00 X 106,
¿cuántas serán dispersadas entre los ángulos de 10° y 12°? [Sugerencia: Para los
datos anotados en (a), calcule n y D y luego use la ecuación (11-16)].
Para una hoja dada, encuentre la razón de partículas dispersadas entre 60° y 90° con
respecto a aquellas dispersadas por 90º más. Suponga que la energía cinética de la
partícula  es la misma en ambos casos.
Usando los datos del problema 11-10, grafique la energía potencial de Coulomb contra
r, la distancia de la partícula a que se acerca al núcleo de oro, desde la superficie del
núcleo hasta el infinito (a) cuando se aproxima una partícula a, y (b) cuando se trata
de un protón.
La anchura de la barrera de energía potencial de un núcleo para una partícula cargada
que se le aproxima está dada por D —R, donde D es la distancia de máximo
acercamiento y R = (1.3 X 10-15 m) A1/3 . (a) En el caso del núcleo de oro, calcule la
anchura de la carrera de potencial para una partícula a que se acerca con una energía
de 7.63 MeV cuando aún está lejos del núcleo, (b) ¿Cuál será la energía cinética en
MeV de la partícula a cuando su distancia al centro del núcleo es 3.20 X 10-14m?
(Suponga una colisión de frente).
Una panícula a de 8.00 MeV es dispersada a un ángulo de 45° por un núcleo de oro.
(a) Calcule el parámetro de impacto b. (b) Si la hoja de oro tiene un espesor de
0.400u, ¿qué fracción de partículas a es dispersada a un ángulo mayor de 45°? (c)
¿Qué fracción es dispersada a un ángulo menor de 45°?
8CAPITULO 12
πe0
r
EL MODELO DE BOHR I
12-1 EL MODELO PLANETARIO
De acuerdo con el modelo de Rutherford, el átomo consiste de un núcleo muy
pequeño pero masivo (dimensiones del orden de 10"'4 m) que lleva una carga + Z¿.
Alrededor de esta región central están localizados los electrones Z del átomo neutro.
El diámetro de un átomo es alrededor de 10"'° m, o sea 10,000 veces mayor que el
del
Núcleo. Consideramos que este modelo es dinámico. Si se supone un modelo
estático, todos los electrones que rodean al núcleo se verían atraídos hacia éste
debido a la fuerza de Coulomb entre el núcleo y los electrones, y el átomo pronto
sufriríi un colapso. En el modelo planetario dinámico el núcleo está esencialmente en
reposo, con los electrones girando alrededor en órbitas circulares y elípticas.
Consideremos la estructura atómica más simple.
El modelo planetario del átomo de hidrógeno. Un electrón de masa m giraalrededor del
núcleo con movimiento circular uniforme. La fuerza motora es la atracción
electrostática F de Coulomb entre el núcleo (protón) y el electrón.
El átomo de hidrógeno, con este modelo en mente. La figura 12-1 muestra la situación
mis simple con un protón (de carga +e) en el centro y un electrón (de masa m y carga
— e) girando alrededor del núcleo con movimiento circular uniforme. En esta primera
aproximación el movimiento del protón, con una masa 1836 veces mayor que la del
electrón, se despreciará.
8
La fuerza motora F es provista por la atracción electrostática entre el protón y el
electrón. Esta es una fuerza central cuya magnitud está dada por
π
Donde r es el radio de la trayectoria circular del electrón. De acuerdo con la segunda
ley de Newton,
e
Donde ar=r2 es la aceleración centrípeta (figura 12-2). De la ecuación (12-2), la
energía cinética el electrón se puede obtener de
0
r
Suponiendo un punto de vista clásico. La energía potencial del sistema es
El signo menos indica que el sistema es de atracción y no de repulsión, ya que el
electrón es traído el núcleo positivo. La energía total de este sistema es
Donde el signo menos indica que se trata de un sistema
cerrado.
La energía de enlace de un electrón se des como la
mínima energía requerida para remover electrón
completamente del átomo o, en otras palabras, para
ionizar el átomo. Con trabajos experimentales se ha
encontrado que la energía de en del átomo de hidrógeno
es 13.6 eV. Cuando este calor se sustituye por E en la
ecuación (12-5), se puede encontra
r el radio r:
Este valor de r, se llama radio de Bohr y concuerda con los valores obtenidos con
otras técnicas experimentales.
La velocidad lineal c está relacionada a la ciencia de revolución del electrón en su
órbita
En el modelo planetario del átomo, el electrón describiría una espiral decreciente
alrededor del núcleo basta que ocurriera el colapso.
Remplazando este valor en la ecuación (12-3), tenemos de la cual obtenemos
Para el número de revoluciones por segundo efectuadas por un electrón en una órbita.
Usando el | valor de r ya encontrado y los valores conocidos de e y m para el electrón
obtenemos / = 7 X 1015 seg"1. Valor que también concuerda ron k» obtenidos por
otros métodos.
Sin embargo, a pesar de estos logros iniciales, los físicos encontraron que este
modelo planetario tenía que ser abandonado ya que, de acuerdo con la
electrodinámica clásica,
Una carga acelerada debe radiar energía electromagnética continuamente yla
frecuencia de la radiación emitida debe ser igual a la frecuencia de revolución.
Por lo tanto, de acuerdo con este modelo, la energía total del átomo deber;'» disminuir
(hacerse más negativa), mientras que la frecuencia de rotación [ecuación (12-7)] debe
aumentar continuamente. Un simple cálculo muestra que sólo se requieren 10"* seg
para que el átomo sufra un colapso. De acuerdo con este modelo, el espectro óptico
del hidrógeno (así como los espectros de otros elementos) ti continúo, y todos los
átomos deben desplomarse en corto tiempo. Ambas conclusiones, desde luego,
contradicen a la evidencia experimenta Los átomos se han mostrado renuentes a
desaparecer; aún más, los espectros ópticos de los gases muestran sólo frecuencias
discretas ("líneas") y no una distribución continua de frecuencia. El modelo planetario
pronto fue abandonado.
Esquema de un espectrógrafo de prisma. Luz procedente de un tubo de descarga con
hidrógeno a baja presión es refractada a través de un prisma para producir un
espectro de líneas.
12-2 ESPECTROS ATÓMICOS 8πe
La luz de una descarga eléctrica a través de un tubo que contiene un gas
monoatómico a baja presión, exhibe una serie de líneas características "cuando se
analiza por medio de un espectrómetro de prisma como el de la jigura12-3. Estas
líneas, características del gas usado en el tubo, son llamadas el espectro de líneas del
gas. Al espectro visible del hidrógeno mostrado en la figura 12-3 se le llama serie de
Balmer en honor a J. J. Balmer quien lo descubrió en 1885. Si se usa gas de nitrógeno
en el tubo de descarga, el espectro es un arreglo regular de líneas espaciadas muy
estrechamente, conocidos como espectro de bandas. El espectro de bandas es
característico de la molécula Ñ2 y es evidentemente de un origen diferente al de los
espectros lineales. La luz blanca de una fuente incandescente tal como un foco de luz
da un espectro continuo y contiene un continuo de longitudes de onda. Cuando (a luz
de un espectro continuo se hace pasar a través de un gas monoatómico tal como el
hidrógeno, se produce un espectro de absorción. Un espectrógrafo muestra entonces
líneas obscuras contra un fondo blanco. Las posiciones de estas líná obscura
corresponden a las longitudes de onda las blancas líneas espectrales del hidrógeno.
El espectroscopista sueco J. R.
Rydbq (1854-1919) encontró una fórmula
empírica, 0
De la podían calcularse las longitudes de oía de la serie de Balmer. La constante de
Rydbergj tiene W» valor de R = 1.0973731 X 10"^ A"1 p2, n = 3, X = 6563 A, que se
identifica con la línea H roja; para n = 4, X = 4681 A, la línea HB azul; y para valores
crecientes de n, las longitudes de onda se juntan caja vez más, y las intensidades se
vuelven cada vez mas débiles hasta que se alcana el límite de la serie en n =°° , X =
3645 A. Además de la serie de Balmer, la tabla 12-1 muestra otra series encontradas
en las regiones ultravioleta e inflararrojo
12-3 EL MODELO DE BOHR-POSTULADOSr
Néils Bohr recibió su doctorado en 1911 en Copenhazue, y el mismo año viajó a
Inglaterra para estudiar bajo dirección tanto de J. J. Thomson como de Ernest
Rutherford. A partir de la descripción a que hacía Rutherford del átomo, era evidente
ara Bohr que; átomo tenia que consistir de un núcleo pesado alrededor del cual, y a
cierta distancia, girarían los electrones. Entonces Bohr propuso ii notable conjunto de
postulados como base para D nuevo modelo del átomo. León Cooper lo ex-Ktsa bien
cuando declara: "Había una cierta premunen al sostener lo que era contrario a la electrodinámica de Maxwell y a la mecánica de Newton. Pero Benr era joven.
El modelo atómico de Bohr, aunque haya a sido remplazado; por los mas poderosos
modelos: atómicos de Heisenberg, Schródinger, Dirac y otros, sigue siendo una forma
pictórica satisfactoria para introducir. El concepto de estados estacionarios. El modelo
de Bohr dio la primera explica-ión satisfactoria de la estructura atómica, y fue mejorado
duraste los siguientes diez años por Sonmerfeld, Wilson, y otros. Debido a la dificultad
que encontraren para hacerlo compatible con los nuevos descubrimientos
experimentales en espectroscopia, fue remplazado entre 1924 y 1926 por I modelo
memos cuántico.
Para corregir las fallas del modelo planetario del tomo, Bohr bisó su modelo del átomo
de hidrófilo en los siguientes postulados:
El electrón gira alrededor del protón en el átomo de hidrógeno con movimiento circular
uniforme, debido a la fuerza de Coulomb y de acuerdo con las leyes de Newton.
Las únicas órbitas permitidas son aquellas en que el momento angular del electrón
orbitante es un múltiplo entero de h/2n == h. Los momentos angulares de lis únicas
órbitas permitidas están dados por
Donde h es la constante de Planck y h = 1.05 X 10-34J-seg.
Cuando un electrón está en una órbita permitida, el átomo no radia energía. (La teoría
electromagnética clásica predice que cualuier carga acelerada radiará energía
electromagnética).
Si el electrón salta desde una órbita inicial de energía E¡ a una órbita final de energía
EfE, > Ef), se emite un fotón de frecuencia
8
En la figura 12-1. Si un electrón salta de la órbita « = 5 a la órbita i = 4, un fotón de
frecuencia v — (£s - £4)/hes emitido. (Esto explica las frecuencias discretas obtenidas
en el espectro de emisión). Por otro lado, si un fotón de energía hv = £5- - £4 incide
sobre el átomo, puede ser absorbido, y un electrón saltará desde C en la órbita n = 4
hasta D en la órbita n = 5. Este e
12-4 EL MODELO 0E BOHR -ESTADOS DE LA ENERGÍA
El punto de partida del modelo de Bohr (figura 12-5) es el mismo que el del modelo
planetario. El primer postulado del modelo de Bohr, la aplicación de la Ley de Coulomb
y de la segunda ley de Newton, da la energía total del sistema como apare
E= - 1
e2
la ecuación (12-9) se produce una notable divergencia con respecto a la física clásica.
En la física clásica, el espectro de valores del momento angular L es continuo, o sea,
todos los valores de L son posibles; pero la ecuación (12-9)
Significa que los valores del momento angular L deben ahora escogerse de un
espectro discreto de valores. Así, el momento angular está cuantizado y los valores
"permitidos" h,2h,3h,...y h debe ser considerada como una unidad natural de momento
angular. Esta situación es similar a la cuantización de la carga eléctrica en la física
clásica.
De acuerdo con el tercer postulado, cuando el átomo está en cualquiera de los
estados cuantizados designados por el momento angular en la ecuación 12-9, no
radiará energía como era de esperarse en la teoría electromagnética clásica. Estos
estados, u órbitas "no-radiantes", son llamados estados estacionaria. El estado de
menor energía es aquel definido por n = 1, y es llamado estado base o normal, en el
cual el átomo se encuentra la mayor parte del tiempo. Los estados donde n = 2,3,4r..
son los estados excitados, porque entonces el átomo tiene más energía que en el
estado base. En el modelo de Bohr, no se explica la aseveración de que, cuando se
encuentra en un estado estacionario, el átomo no radia energía electromagnética
Esto se toma simplemente como un postulado, a imposible mostrar experimentalmente
que el electrón se mueve en una órbita circular alrededor del núcleo. Sin embargo,
estas dificultades se remueven, cuando el átomo de hidrógeno se analiza en términos
de la mecánica cuántica ondulatoria. Como ya se declaró antes, el modelo de Bohr
tiene sus límites, pero es un buen modelo mecánico pan introducir los estados de la
energía y otros conceptos físicos.
Ahora, de la ecuación (12-9),
v=
nh
mr
Y de la ecuación (12-3) el enema cinético toma la forma
1
2
m ﴾nh﴿2 = 1
8πe0
e2
r
o finalmente
(12-11)
que da los radios de las órbitas "no radiantes". Para el estado base, n = l y
(12-12)
que es llamado el radio de Bohr. Este resultado concuerda con el radio del átomo
obtenido previamente de la ecuación (12-5) usando el modelo planetario.
De la ecuación (12-11)
rn = n2r1
(12-13)
que muestra que los radios de las órbitas de los estados estacionarios también están
cuantizados y que están dados por r1, 4r1, 9r1 y así sucesivamente. Estos radios son
proporcionales al cuadrado del número entero n llamado número cuántico principal.
Ahora, si r en la ecuación (12-5) se remplaza en la ecuación (12-11), obtenemos
(12-14)
donde el signo negativo indica que se trata de un sistema cerrado. Así, una segunda
consecuencia es que la energía está cuantizada. Los únicos valores permitidos de la
energía son aquellos dados por la ecuación (12-14) donde n toma los valores n =
1,2,3 Usando los valores m = 9.11 x10-3lkg y e = 1.60 x 10-19 C para la masa y la
carga del electrón, podemos evaluar la ecuación (12-14) para dar
(12-15)
El estado de menor energía o estado base corresponde a n = 1, y su energía es E1 = 13.6 ev.
La figura 12-6 es un diagrama de niveles de energía que representa las energías
permitidas para el átomo de hidrógeno. Note que todos los estados desde n = 1 hasta
n = ∞ son estados ligados, ya que tienen energías negativas. Cuando n aumenta y se
aproxima a n = ∞, los estados de energía se aproximan entre sí cada vez más, hasta
que la diferencia de energía entre dos estados consecutivos se hace tan pequeña que
la distribución da un espectro prácticamente continuo, de acuerdo con el modelo
planetario
clásico y con el principio de correspondencia. Por arriba de la línea dada por n = ∞, los
estados de energía tienen energías positivas, E > 0, y el espectro de los estados es
continuo. El sistema es entonces abierto, lo que significa que el electrón es libre.
De la ecuación (12-14), se puede ver fácilmente que si el átomo está en su estado
base, se necesitan 13.6 e V para liberar al electrón del átomo. Por lo tanto, la energía
de enlace (BE) o energía de ionización para el átomo de hidrógeno en su estado base
es
Este resultado (confirmado experimentalmente) fue usado en la ecuación (12-5) del
modelo planetario del átomo para obtener el radio de Bohr, r1 0.53 A.
En relación con el diagrama de niveles de energía (figura 12-6), son importantes
algunas definiciones.
La energía de excitación Ee es la energía que debe ser suministrada al átomo para
elevar al electrón desde el estado base hasta un estado excitado.
Por ejemplo, Ee = -3.40 -(-13.6)= 10.2 eV es la energía de excitación para el estado n
= 2 (primer estado excitado).
La energía de ionización E1, es la energía que debemos suministrar pan liberar al
electrón del átomo cuando el electrón está en el estado base. Evidentemente, en la
figura 12-6, E1 = 13.6 eV.
La energía de enlace (BE), también llamada de amarre, para un estado dado, es la
energía que debe ser suministrada al átomo para desalojar un electrón cuando el
electrón se encuentra en un estado excitado cualquiera. Por ejemplo, la BE para el
estado n = 2 es de 3.40 eV. Si el átomo está en el estado base, b BE para ese estado
es igual a la energía de ionización (13.6 eV).
Cuando hablamos de la BE sin mencionar el estado, se entiende que la BE y b energía
de ionización tienen el mismo valor numérico con respecto a esto hemos dicho que la
BE para el átomo de hidrógeno es de 13.6 eV.
12-5 LA CONSTANTE DE RYOBERG Y LAS SERIES ESPECTRALES
Ahora bien, de acuerdo con el cuarto postulado de Bohr, si un electrón salta de un
estado inicial "¡(energía E¡) a otro estado de menor energía n f (energía Ef), la
frecuencia del fotón emitido es, a partir de b formula de Bohr (ecuación 12-10),
Cuando introducimos las expresiones de la energía dadas por la ecuación (12-14), la
frecuencia del fotón emitido toma la forma
(12-16)
o finalmente, la longitud de onda del fotón emitido es
(12-17)
Note que esta ecuación es similar a las dé las series «pedrales dadas en la tabla 12-1.
Si n1, se remplaza por n y nf por 1, esta ecuación toma la misma forma que la
ecuación empírica para la serie de Lyman; o si nf = 2, toma la forma de b serie de
Balmer, y así sucesivamente. Por lo tanto, de esta comparación encontramos que
(12-18)
es el valor teórico de la constante de Rydberg. La ecuación (12-17) se puede escribir
ahora como
(12-19)
Si remplazamos los valores numéricos correctos en la ecuación (12-18), el cálculo de
la constante de Rydberg R = 1.0974 X 107 m-l está de acuerdo con el valor
experimental dado en la sección 12-2.
Una ecuación sumamente práctica para la energía de los fotones liberada en una
transición entre los estados estacionarios n1 y nf se puede obtener de las ecuaciones
(12-10) y (12-15), cuando se remplazan los valores numéricos de las constantes
implicadas:
(12-20)
El diagrama de niveles de energía de b figura 12-6 representa las transiciones posibles
de los estados n = 2,3,4,... al estado base n — l(serie de Lyman), la serie de Balmer
para transiciones a n = 2 desde n = 3,4,5,... la serie de Paschen para transiciones a n
= 3 desde n = 4,5,6,... y así sucesivamente. Las transiciones entre estados con
energía negativa dan lugar a los espectros lineales, mientras que las transiciones entre
estados con energía positiva E > 0 y estados con E < 0 dan por resultado un espectro
continuo.
12-6 EL MODELO DE BOHR Y EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA
Una hermosa aplicación del principio de correspondencia (recuérdese la sección 4-2)
se puede hacer comparando la frecuencia de los fotones emitidos cuando aplicamos el
modelo de Bohr al mundo macroscópico (grandes números cuánticos) con la
frecuencia de revolución del modelo clásico planetario. De acuerdo con la teoría
electromagnética clásica, la última debe ser igual a la frecuencia de las ondas
electromagnéticas radiadas.
Según la teoría clásica, la frecuencia orbital [ecuación (12-7)] es
pero los radios de las órbitas estacionarias, de acuerdo con el modelo de Bohr
[ecuación (12-11)], están dados por
Remplazando ésta en la expresión para la frecuencia obtenemos
(12-21)
Ahora, según el modelo de Bohr, la frecuencia del fotón emitido en una transición de
n1 a nf es
v=
me4
64 3 h3 E02
(
1
nf2
- 1 )
n12
que puede tomar la forma
PROBLEMAS
12-1 Suponga que el modelo planetario desenlie el movimiento del electrón en el
átomo de hidrógeno. Si el radio de la órbita del electrón es de 0.53 A, calcule (a) la
frecuencia angular del electrón, (b) su velocidad lineal (c) su energía cinética en
electrón volts, (d) la energía potencial del átomo en electrón volts, y (e) su energía total
en electrón volts. ¿Cuál es la energía mínima en electrón volü necesaria para ionizar el
átomo (energía de enlace)?
12-2 Encontrando la razón e la fuerza de atracción gravitacional entre un electrón y un
protón y la fuerza de atracción de Coulomb entre las mismas dos partículas, muestre
que la fuerza gravitacional puede despreciarse en el estudio del átomo de hidrógeno.
(Si solo estuvieran implicadas las fuerzas gravitacionales, ¡el radio de la primera órbita
de
Bohr sería r, = 1 X 10a* millas! )
12-3 En el modelo planetario del átomo, el radio de la órbita es 0.53 A y la velocidad
lineal él aproximadamente 2.2 X 106 m/seg. Encuentre (a) la aceleración centrípeta,
(b) la fuera centrípeta, y (c) la fuerza de atracción electrostática entre el electrón y el
protón, (i) Compare las fuerzas calculadas en las partes (b) y (c). ¿Cuál es su
conclusión?
12-4 (a) Encuentre la longitud de onda en angstroms de las primeras tres líneas
de la serie de Líneas del hidrógeno,
(b) De la figura 12-6, determine la longitud de onda en angstroms de la línea
12-5 Los esxctroscopistas a menudo identifican los espectros de acuerdo con los
números de onda ¿fluidos por v = 1/X (no debe confundirse con la frecuencia v). (a)
¿Cuál es el significado físico del número de onda? (b) Calcule tres números de onda
en centímetros recíprocos (cm-1) para las partes (a) y (b) del problema 12-4.
12-6 Muestre que los niveles de energía del átomo de hidrogeno se pueden describir
por En = (- 2nic;n2)R, donde R es la constante de Rydbert
12-7 La luz de un tubo de descarga de hidrógeno usada z>zt un espectroscopio incide
normalmente sobre una red de difracción de 15.000 líneas, ría. Si el espectro de
primer orden de la serie de Balmer muestra la línea Ha difractada a un ángulo 9 = 23°,
calcule (a) la longitud de onda de la línea Ha (línea roja en la serie de Balmer), y (b) la
constante de Rydberi en metros recíprocos (m"1).
12-8 En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, las órbitas n — 1,2,3,... Son
representadas simbólicamente por las letras K, L, M,... etc. Para los electrones en
cada una de las órbitas K, L. y .Vi, calcule (a) los radios, (b) las frecuencias de
revolución, (c) las velocidades lineales, (d) los momentos angulares, y (e) la energía
total del sistema. (0 Para cada órbita, calcule la razón o/c y decida si el tratamiento
clásico está justificado.
12-9 La razón  = v,/c, donde c¡ es la velocidad lineal del electrón en la órbita K(n = 1)
del átomo de hidrógeno de Bchr. es llamada la constante de la estructura fina, (a)
Muestre que  = e2/ 4 πo hc.(b) Sustituyendo los valores numéricos, muestre que a =
1/137.
12-10 Un electrón en un átomo de hidrógeno efectúa una transición desde n = 5 hasta
n = 1, el estado base, (a) Encuentre la energía y el momento del fotón emitido, (b)
Encuentre la velocidad y el momento del electrón en retroceso.
12-11 El tiempo de vida de un estado excitado es alrededor de 10"8 seg. Calcule
cuantas revoluciones efectuará un electrón en el estado excitado n = 4 antes de
regresar al estado base.
12-12 Calcule hs primeras tres longitudes de onda para la serie de Paschen del
hidrógeno. En que región del espectro yacen las líneas ¿t la serie ce Paschen.
12-13 (a) Para un electrón que gira en la Forrera órbita (n = 1) alrededor de un protón,
determine la frecuencia ¿e revolución.
¿Cuál es el valor en amperes de la corriente equivalente?
Calcule la densidad de flujo magnético B (en teslas = Wb/m2) en el centro de esta
trayectoria circular. ¿Cómo está alineada la densidad de flujo con respecto al momento
angular orbital?
12-14 (a) Indique gráficamente, por medio di un diagrama de niveles de energía, la
energía de excitación Et, la energía de enlace BÉ, y la energía de ionización Ej para un
estado cualquiera.
Pira cualquier n dada, muestre que £; = £,+BE.
Encuentre la energía de excitación para n = 4 en el átomo de hidrógeno.
Encuentre la BE para el electrón en el mismo estado n = 4, y verifique la parte (b)
numéricamente.
12-15 En el átomo de hidrógeno, un electrón experimenta una transición de un estado
cuya energía de enlace es 0.54 eV a otro estado, cuya energía de excitación es 10.2
eV. (a) ¿Cuáles son los números cuánticos de estos estados? (b) Calcule la longitud
de onda del fotón emitido, (c) ¿A qué serie pertenece esta línea?
12-16 Calcule la energía mínima que debe suministrarse a un átomo de hidrógeno para
que pueda emitir la línea Hy de la serie de Balmer. ¿Cuántas líneas espectrales posibles puden esperarse si el electrón cae finalmente al estado base?
12-17 Encuentre la longitud de onda de de Broglie de un electrón en la órbita n = 3 del
átomo de hidrógeno. En que región del espectro quedará clasificado un fotón de la
misma longitud de onda.
12-18 En la colisión inlástica de un electrón de masa m con un átomo estacionario de
hidrógeno de masa M, el átomo es excitado a un nivel cuya energía es E sobre el
estado base. (3) Pruebe que la energía cinética mínima del electrón debe ser K = [(m
+M) /M\E. (b) Encuentre la energía cinética mínima de un electrón que efectúa una co-
lisión inelástica con un átomo de hidrógeno en reposo y eleva al átomo desde el estado
base (n = 1) hasta el segundo estado excitado (n = 3). (c) Resuelva el mismo problema, si la partícula incidente es un fotón.