Descarga - Juguemos con las matematicas

Orden de Hermanos Menores Capuchinos
Colegio San Francisco de Asís
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
.
Una ecuación es una igualdad formada por expresiones algebraicas. Las cantidades
desconocidas se llaman incógnitas de la ecuación.
Ejemplo:
1. 3X + 5 = 11
2. 3X + 6 = 2X – 3.
3. 2X - 1 = - 3, etc.
3X + 6 = 2X - 3.
Primer
Miembro
Segundo
Miembro
Resolver una ecuación de primer grado es hallar el valor de la incógnita que satisface la
ecuación original.
La ecuación de primer grado tiene una sola solución.
CLASES DE ECUACIONES.
1- ENTERA
Ejemplo: 2X + 5 = - 13X - 17.
2- LITERAL
Además de las incógnita existen otros literales. Ejemplo: 2X + m = 3.
3- FRACCIONARIA
Alguno o todos los términos contienen denominadores.
Ejemplo: 3/ 2 X - 6/ 5 X = 5 + 1/ 3 X.
PROPIEDADES UNIFORME EN LAS IGUALDADES:
Orden de Hermanos Menores Capuchinos
Colegio San Francisco de Asís
Propiedades que te serán de suma importancia en la solución de ecuaciones de primer
grado para cualquier número real a, b y c; se cumple que:
A) Propiedad de adición: Si a = b entonces a + c =
b + c.
b) Propiedad de sustracción: Si a = b entonces a - c = b - c.
c) Propiedad de la multiplicación: Si a = b entonces a . c = b . c.
d) Propiedad de la división: Si a = b
entonces a / b = b / c con c = 0.
EJEMPLO 1.
3X - 2 ( 2X - 5 ) = 2 ( X + 3 ) - 8
Igualdad dada.
3X - 4X + 10 = 2X + 6 - 8
- X + 10
Propiedad Distributiva.
= 2X - 2
Suma de términos semejantes.
- X + 10 - 10 = 2X - 2 - 10
- X
Propiedad de la sustracción.
= 2X - 12
- X - 2X
- 3X =
= 2X - 2X - 12
Propiedad de la sustracción.
- 12.
- 3X / - 3
= - 12 / - 3
Solución.
X = 4
Propiedad de la división.
EJEMPLO 2.
X + 3X - 2 = 18
Igualdad dada.
X + 3X - 2 + 2 = 18 + 2
Propiedad de la adición.
4 = 20
4X / 4
Adición de términos.
= 20 / 4
Propiedad de la división.
Solución.
X = 5
Orden de Hermanos Menores Capuchinos
Colegio San Francisco de Asís
EJEMPLO 3.
X/3 - 1/ 2 = 5/ 6
m . c. m de 3, 2, 6 = 6.
6 ( X / 3 - 1 / 2 ) = 6 ( 5 / 6 ).
6/3X - 6/2
= 30 / 6
Propiedad distributiva.
2X - 3 = 5
2X - 3 + 3
Resultado de la división.
= 5 + 3
Propiedad de la adición.
2X = 8.
2X / 2
= 8/ 2
Solución.
Propiedad de la división.
X = 4
TALLER No. 1
Dada las siguientes ecuaciones, resuelva aplicando las propiedades de la igualdad.
1. 4X + 1 = 2.
2. 15X + 5X - 1 = 65X - 36.
3. X - ( 2X + 1 ) = 8 - ( 3X + 3 )
4. 15X - 10 = 6X - ( X + 2 ) + ( - X + 3 ).
5. ( 5 - 3X ) - ( - 4X + 6 ) = ( 8X + 11 ) - ( 3X - 6 ).
6. 3X - 5X - ( X + 3 ) = 8X + ( - 5X - 9 ).
7. X / 6 + 5 = 1 / 3 - X.
8. 3X / 5 - 2X / 3 + 1 / 5 = 0
9. 3X / 4 - 1 / 5 + 2X = 5 / 4 - 3X / 20.
10.Y / 4 + Y / 2 = 9.
Orden de Hermanos Menores Capuchinos
Colegio San Francisco de Asís
PROBLEMAS DE APLICACIÓN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Un problema es un enunciado en el que nos piden que determinemos una cantidad
que esta sometida a cumplir ciertas relaciones con otras.
La cantidad desconocida se llama incógnita del problema; y las cantidades conocidas
son los datos del problema.
Son muchos los problemas de la vida diaria, que pueden ser planteados en términos de
ecuaciones, y por lo tanto una vez planteada puede resolverse por los métodos
expuestos anteriormente.
Para resolver un problema tenga en cuenta la traducción del lenguaje usual a un
lenguaje simbólico.
EJEMPLO.
LENGUAJE USUAL.
A)
B)
C)
D)
E)
F)
LENGUAJE MATEMÁTICO.
El doble de un número.
Un número par.
Un número impar.
La tercera parte de un número aumentado en tres
2X.
2X.
2X + 1.
X / 3 + 3.
La edad hace cuatro años de una persona que tiene actualmente X años X - 4.
La edad dentro de X años de una persona que tiene actualmente 50 años 50 + X.
EJEMPLO No. 1
En un corral hay entre vacas y caballos 56 animales, si los caballos suman 12 menos
que las vacas, ¿ Cuántos animales hay de cada especie?.
SOLUCIÓN:
Sea :
X Número de vacas.
X - 12 Número de caballos.
De donde:
X + ( X - 12 ) = 56 número de animales.
Resolvemos esta ecuación y obtenemos el resultado:
X + X - 12 = 56.
2X - 12 + 12 = 56 + 12.
2X
= 68.
2X / 2 = 68 / 2.
X = 34.
Respuesta: Hay 34 vacas y 22 caballos.
Orden de Hermanos Menores Capuchinos
Colegio San Francisco de Asís
EJEMPLO No. 2
La edad de Mario y Jorge suman 68 años, si Mario es 14 años mayor que jorge, ¿ Cuáles
son sus respectivas edades?.
SOLUCIÓN:
Sea:
X
edad de Jorge.
X + 14 edad de Mario.
De donde:
X + ( X + 14 ) = 68.
X + X + 14 = 68.
2X + 14 - 14 = 68 - 14.
2X = 54.
2X / 2 = 54 / 2.
X = 27.
EJEMPLO No. 3.
Hallar 4 números consecutivos cuya suma sea igual a 74.
SOLUCIÓN:
Sea:
X :
X + 1:
X+ 2:
X + 3:
Primer número.
Segundo número.
Tercer número.
Cuarto número.
X + X + 1 + X + 2 + X + 3 = 74.
4X + 6 = 74.
4X + 6 - 6 = 74 - 6.
4X = 68
4X / 4 = 68 / 4
X = 17.
TALLER No. 2
PROBLEMAS.
1- La suma de tres números consecutivos es 156. Hallar los números.
2- La suma de dos números es 540, su diferencia 32. Hallar los números.
Orden de Hermanos Menores Capuchinos
Colegio San Francisco de Asís
3- La edad del padre es tres veces la del hijo, si ambas suman 64 años, ¿ Cuál es la
edad de cada uno?.
4- ¿ Cuál es el número cuyo triple es igual a 5 / 7?.
5- El doble de un número sumado con su triple y con su tercio es igual a 5 / 3.
Hallar el número.
6- Si de 786 restamos el doble, de cierto número obtenemos 270. Hallar el número.
7- Hallar tres números enteros impares consecutivos tales que su suma sea 909.
8- Una barra de 60 centimetros de longitud se recorta en dos pedazos; uno de ellos
es de 5 centimetros más corto que el otro. Hallar la longitud de cada pedazo.
9- La suma de tres números es - 3, el segundo es la mitad del primero; y el tercero
es 28 menos que el primero. ¿ Cuáles son estos números?.
11.Encuentre un número tal que 6 más la mitad de dicho número sea igual a dos
tercios del propio número.
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS CON ECUACIONES.
EJEMPLO No. 1
El ancho de un rectángulo es los dos tercios de su largo.; si ambas dimensiones se
aumentan en 2 centímetros, el área se aumenta en 64 centímetros. ¿ Cuáles son las
dimensiones del rectángulo?.
X = Medida de largo.
2X / 3 = Medida de ancho
Área inicial:
X . 2X / 3 = 2X 2 / 3.
Área final:
( X + 2 ) ( 2X / 3 + 2 )
Área inicial más aumento.
2X / 3 + 64
Solución de la ecuación.
Orden de Hermanos Menores Capuchinos
Colegio San Francisco de Asís
( X + 2 ) ( 2X / 3 + 2 ) =
( 2X / 3 X2 + 64 ).
2X2 / 3 + 2X + 4X / 3 + 4 = 2X2 / 3 + 64
2X + 4X / 3 = 60
10X / 3 = 60
10X / 3 . 3 = 60 . 3
30X / 3 = 180
10X = 180
10X / 10 = 180 / 10
x = 18. Medida del largo.
2X / 3 = 2 / 3 . 18 = 36 / 3 = 12. Medida del ancho.
EJEMPLO No. 2
Si un lado de un triángulo es la cuarta parte del perímetro, el segundo mide 7
metros, y el tercero es dos quintos del perímetro. ¿ Cuál es el perímetro?.
Solución:
P:
el perímetro del triángulo.
a
Trazamos el triángulo y marcamos los lados.
b
P= a + b + c
c
P = P / 4 + 7 + 2P / 5.
20 P = 20 P / 4 + 20 x 7
20 P = 5P + 140
+ 8P
20 P = 13 P + 140
20 P - 13 P = 140
7P
= 140
7P / 7
= 140 / 7.
P
= 20 metros.
+ 20 x
2P / 5
Orden de Hermanos Menores Capuchinos
Colegio San Francisco de Asís
TALLER No. 3
1- Si un lado de un triángulo mide un tercio del perímetro, el Segundo 7
centímetros y el tercero es un quinto del perímetro. ¿ Cuál es el perímetro del
triángulo?.
2- Encuentre las dimensiones de un rectángulo que tiene 84 centímetros de
perímetro, si su anchura mide 2 / 5 de su longitud.
3- Un rectángulo y un cuadrado tienen las mismas áreas, el largo del rectángulo
tiene 24 centímetros más que el largo del cuadrado y el ancho 12 centímetros
menos que el lado del cuadrado. Hallar las dimensiones del cuadrado.