UCLM - Pruebas de Acceso a Enseñanzas

lasmatemáticas.eu – Pedro Castro Ortega
materiales de matemáticas
PAEG – Junio 2012 – Propuesta B
Matemáticas II – 2º Bachillerato
UCLM - Pruebas de Acceso a Enseñanzas
Universitarias Oficiales de Grado (PAEG)
Matemáticas II – Junio 2012 – Propuesta B
PROPUESTA B. EJERCICIO 1
Enunciado:
La concentración (en %) de nitrógeno de un compuesto viene dada, en función del tiempo, t  0,    medido en
segundos, por la función
N t  
60
1  2et
a) Comprueba que la concentración de nitrógeno crece con el tiempo. ¿Para qué t  0,    la concentración de
nitrógeno es mínima y cuál es esta concentración?
b) ¿A qué valor tiende la concentración de nitrógeno cuando el tiempo tiende a infinito?
Solución:
120
120
t
t
60
120e
120et
t
e
e
 2e 



a) N '  t  
.
2
2
2
2
2
1  2et 
1  2et  1  2t   et  2   et  2 
 e 
e 2t
Como la función exponencial es positiva ( e x  0, x  ) está claro que N '  t   0,  t  0,    y, por
t
tanto, la concentración de nitrógeno crece con el tiempo. Como N '  t  no se anula nunca N no tiene extremos
relativos. Su valor mínimo, absoluto además, ha de estar pues en cero (instante inicial) y en este momento la
concentración es N  0  
60
60

 20% .
0
1  2e 1  2
Para el razonamiento anterior no es necesario simplificar tanto la derivada. Basta con quedarse en
N ' t  
60
1  2e 
t
 2et 
2
b) Al ser lim et  lim
t 
t 
120et
1  2e 
t 2
.
1
60
 0 , se tiene que lim N  t   lim
 60% .
t
t

t

e
1  2et
PROPUESTA B. EJERCICIO 2
Enunciado:
Calcula las siguientes integrales:
 4  9x
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1
2
dx ,

1 
  tan x  tan x  dx .
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Solución:



1
3
1
1
1
1
2
1
3 
4 dx 
2
dx 
dx 
dx  arctan  x   C .
2
2
2
9
4  9x
4
43
6
2 
3 
3 
1  x2
1

x
1

x




4
2 
2 

 sen x cos x 
1 
sen x


C .
 dx   ln  cos x   ln  sen x   C  ln
 tan x 
 dx  
tan x 
cos x

 cos x sen x 




PROPUESTA B. EJERCICIO 3
Enunciado:
a) Sean A y B matrices cuadradas de orden n  , n  2 , tales que B es la inversa de A :

Si A  3 , razona cuánto vale B .
 ¿Cuál es el rango de B ?
b) Calcula el determinante de la matriz cuadrada X de orden 3 que verifica
 1 2 3 
1 0 0




 0 10 3   X   0 3 0 
0 7 0 
0 0 7




Solución:
a) El determinante del producto es el producto de los determinantes: AB  A B . Entonces, en el caso particular
de que B sea la inversa de A se tiene AB  I  AB  I  1  A B  1  B 
1
. Es fácil por tanto
A
1
.
3
Por ser A cuadrada de orden n  , n  2 y con determinante distinto de cero, su rango es n . El rango de su
inversa B es el mismo, n , por la misma razón argumentada anteriormente.
 1 2 8 
1 0 0




b) Llamemos C   0 10 3  y D   0 3 0  . Por un lado C  21 , luego C tiene inversa:
0 0 7
0 7 0 




deducir que si A  3 , entonces B 
 21 0 0 
 21 56 74   1 8 / 3 74 / 21
1
1

 

  56 0 7    0 0
3   0
0
1/ 7  .
21 
 21  0 7 10   0 1/ 3 10 / 21 
 74 3 10 

 

t
C 1 
t
1
Cd 

21
 1 8 / 3 74 / 21  1 0 0   1 8 74 / 3 

 
 

0
1/ 7    0 3 0    0 0
1 .
Así pues X  C  D   0
 0 1/ 3 10 / 21   0 0 7   0 1 10 / 3 

 
 

1
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1
Entonces X  0
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74 / 3
1  (0  0  0)  (0  0  1)  1 .
8
0
0 1
10 / 3
Sin embargo, es mucho más sencillo y se tarda mucho menos si se aplica la propiedad del apartado a), pues así
1 2 8
1 0 0
nos evitamos el cálculo de inversas: C  0 10 3  21 ; D  0 3 0  21 .
0 7 0
0 0 7
Ahora, como C  X  D , entonces C  X  D  C  X  D  21 X  21  X  1 .
PROPUESTA B. EJERCICIO 4
Enunciado:
y  z  0
 x  y  az  4
Dados el plano   2 x  z  6 y la recta r  
a) Encuentra el valor del parámetro a  para que  y r sean paralelos.
b) Para el valor de a del apartado anterior, da la ecuación general del plano  ' que contiene a r y es
perpendicular a  .
Solución:
2 x  z  6

a) Sin  y r han de ser paralelos el sistema  y  z  0
no puede tener soluciones, es decir, el rango de la
 x  y  az  4

matriz A de los coeficientes no puede ser tres (en ese caso habría solución única y el plano y la recta se
cortarían). Por tanto su determinante ha de ser igual a cero:
1
3
1  0  2a   1  2   0  2a  3  0  a  
2
1 1 a
2
A0
0
1
El rango de la matriz ampliada B es tres pues
2
0
0
1
6
0  86  2
1 1 4
De este modo si a  
3
, rango  A  2  3  rango  B  (sistema incompatible) y en este caso la recta y el
2
plano son paralelos.
1

x  4 

2
y  z  0

y  z  0
3

r
b) Para a   la recta es r  
, que en paramétricas es  y  
3
2
x y z 4
2 x  2 y  3 z  8

z  

2


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De las ecuaciones anteriores se deduce que un punto de r es P  4, 0, 0  y un vector director suyo es
u  1,  2, 2  . El plano  ' que se pide pasa por P y una de sus direcciones es la de u ya que contiene a r .
Además, por ser perpendicular a  , otra de sus direcciones será la de un vector normal a  , o sea,
v   2, 0,  1 . Por tanto, la ecuación general del plano  ' es:
x4 y
'  1
2
2
0
z
2  0   '   2 x  8  2 y    4 z  y   0   '  2 x  3 y  4 z  8  0 .
1
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