Documento 2569258

IES Mediterráneo de Málaga
Solución Julio 2014
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Opción A
Problema A.1. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado que:
 2 − 2 1


a) El valor del determinante de la matriz S =  1
1 1  (2 puntos) y la matriz S -1, que es la matriz
 − 1 3 5


inversa de la matriz S. (2 puntos). Indicar la relación entre que el valor del determinante de una matriz S sea
-1
o no nulo y la propiedad de que esta matriz admita matriz inversa S . (1 punto).
[ ( )]
2
−1
b) El determinante de la matriz 4 T
, sabiendo que T es una matriz cuadrada de 3 filas y que 20 es el
valor del determinante de dicha matriz T. (3 puntos).
 a
a 2 −1 − 3   a
a + 1 − 3

  2

2
c) La solución a de la ecuación  a + 1
2
a + 4 =  a −1
2
4a  (2 puntos).

4a
1   − 3 a 2 + 4 1 
 −3
A)
2 − 2 1 0 − 4 −1
− 4 −1
1 1=1 1
1 = (− 1) ⋅
S = 1
= (− 1) ⋅ (− 24 + 4 ) = 20 ≠ 0 ⇒ Existe S −1 ⇒
4
6
6
−1 3 5 0 4
 2 1 − 1
 2 13 − 3 
 2 13 − 3 





1
1 
t
t
t
−1
S = ⋅ adj S ⇒ S =  − 2 1 3  ⇒ adj S =  − 6 11 − 1  ⇒ S =
⋅  − 6 11 − 1  ⇒
20 
S
 1 1 5
 4 −4 4 





 4 −4 4 
13
3 
 1
− 

20
20 
 10
3
11
1
S −1 =  −
− 
 10 20
20 
 1
1
1 
−


5
5 
 5
−1
Si el determinante de la matriz es nulo no podría calcularse la matriz inversa ya que no podemos dividir
entre cero. (tomar nota de la expresión para hallar la inversa)
b)
[4(T )]
2
−1
=
1
4T2
[ ( )]
=
1
1
= 3
2
4 T
4 T
3
2
=
1
1
1
=
=
2
64 ⋅ 20
64 ⋅ 400 25600
1
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Julio 2014
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema A.1 de la Opción A
c)
 a
a 2 −1 − 3   a
a + 1 − 3
  2


2
2
2
4a  ⇒
a + 4  =  a −1
 a +1
 −3
4a
1   − 3 a 2 + 4 1 



a=a
 2
a +1
⇒ a − 1 = 1 ⇒ a = −2 ⇒ a = −2
 a − 1 = a + 1 ⇒ (a + 1)(a − 1) = a + 1 ⇒ a − 1 =
a +1

a 2 + 4 = 4a ⇒ a 2 − 4a + 4 = 0 ⇒ ∆ = (− 4 )2 − 4 ⋅1 ⋅ 4 = 0 ⇒ a = − 4 ± 0 = −2
2 ⋅1

Problema A.2. Se dan los puntos A = (1, 5 , 7) y B = (3, -1 , -1).
Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Las ecuaciones de los planos π 1 y π 2 que son perpendiculares a la recta r que pasa por los puntos A y B,
sabiendo que el plano π 1 pasa por el punto A y el plano π 2 pasa por el punto medio del segmento cuyos
extremos son los puntos A y B. (4 puntos distribuidos en 2 puntos por cada plano).
b) La distancia entre los planos π 1 y π 2 . (2 puntos).
c) Las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos A y B, (2 puntos), y los puntos de la recta r que
están a distancia 3 del punto C = (1, 0 , 1) . (2 puntos).
a) Los dos planos tienen como vector director al vector AB, dicho vector es perpendicular, en el plano π 1 , al
vector AG, donde G es el punto genérico del plano y, por ello, el producto escalar de ambos es nulo y la
ecuación pedida del plano. De manera similar hallaremos π 2 , pero tomando como punto el punto P que es
el punto medio entre A y B
vπ = AB = (3 , − 1 , − 1) − (1 , 5 , 7 ) = (2 , − 6 , − 8) ≡ (1 , − 3 , − 4 )
⇒ vπ1 ⊥ AG ⇒ vπ1 ⋅ AG = 0 ⇒
 1

AG = ( x , y , z ) − (1 , 5 , 7 ) = ( x − 1 , y − 5 , z − 7 )
(1 , − 3 , − 4) ⋅ (x − 1 , y − 5 , z − 7 ) = 0 ⇒ x − 1 − 3 y + 15 − 4 z + 28 = 0 ⇒ π 1 ≡ x − 3 y − 4 z + 42 = 0
3 +1

 x= 2 =2

vπ 2 = (1 , − 3 , − 4 )
−1+ 5

⇒ vπ 2 ⊥ PG ⇒ vπ 2 ⋅ PG = 0 ⇒
=2⇒
P y =
2

(
)
(
)
(
)
2
,
3
,
,
2
,
2
,
3
2
,
=
−
=
−
−
−
PG
x
y
z
x
y
z


 z = −1+ 7 = 3

2
(1 , − 3 , − 4)(x − 2 , y − 2 , z − 3) = 0 ⇒ x − 2 − 3 y + 6 − 4 z + 12 = 0 ⇒ π 2 ≡ x − 3 y − 4 z + 16 = 0
b) La distancia entre los planos es el módulo del vector AP
AP = (2 , 2 , 3) − (1 , 5 , 7 ) = (1 , − 3 , − 4 ) ⇒ d (π 1 , π 2 ) = AP = 12 + (− 3) + (− 4 ) = 26 u
2
2
2
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Solución Julio 2014
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema A.2 de la opción A
c) La recta r está determinada por el vector AB, que es su director, y uno cualquiera de los puntos
(tomamos el punto A).
Para hallar la distancia entre la recta r y el punto C hallaremos el modulo del vector CR, siendo R el punto
genérico de la recta r
 x =1+ λ

vr = AB = (1 , − 3 , − 4 ) ⇒ r ≡  y = 5 − 3λ ⇒
 z = 7 − 4λ

CR = (1 + λ , 5 − 3λ , 7 − 4λ ) − (1 , 0 , 1) = (λ , 5 − 3λ , 6 − 4λ ) ⇒ CR = λ2 + (5 − 3λ ) + (6 − 4λ )
2
2
CR = 3 ⇒ λ2 + (5 − 3λ ) + (6 − 4λ ) = ±3 ⇒ λ2 + 25 − 30λ + 9λ2 + 36 − 48λ + 16λ2 = 9
2
2
26λ2 − 78λ + 61 = 9 ⇒ 26λ2 − 78λ + 52 = 0 ⇒ 13λ2 − 39λ + 26 = 0 ⇒ λ2 − 13λ + 2 = 0 ⇒

13 + 161
λ
=

13
161
±

2
2
∆ = (− 13) − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 169 − 8 = 161 ⇒ λ =
⇒
⇒
2 ⋅1
13
161
−
λ =

2

13 + 161 15 + 161
x =1+
=

2
2

13
161
10
39
3
161
+
−
−
− 29 − 3 161

P1  y = 5 − 3 ⋅
=
=
2
2
2

13
161
+
 z =7−4
= 7 − 26 − 2 161 = −19 − 2 161

2


13 − 161 15 − 161
x =1+
=

2
2

13 − 161 10 − 39 + 3 161 − 29 + 3 161

P1  y = 5 − 3 ⋅
=
=
2
2
2

13
161
−
 z =7−4
= 7 − 26 + 2 161 = −19 + 2 161

2

3
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Solución Julio 2014
Juan Carlos Alonso Gianonatti
x
Problema A.3. Sea f la función real definida por f (x) = xe - 3x. Se pide la obtención razonada,
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, de:
a) Los puntos de corte de la curva y = f (x) con el eje X. (2 puntos).
b) El punto de inflexión de la curva y = f (x), (2 puntos), así como la justificación razonada de que la
función f es creciente cuando x > 2 . (2 puntos).
c) El área limitada por el eje X y la curva y = f (x) , cuando 0 < x < ln 3 , donde ln significa logaritmo
neperiano. (4 puntos).
a)
x=0

Corte con OX ⇒ y = 0 ⇒ xe x − 3 x = 0 ⇒ x e x − 3 = 0 ⇒  x
x
x
e − 3 = 0 ⇒ e = 3 ⇒ ln e = ln 3 ⇒
(
)
x=0


 x ln e = ln 3 ⇒ x ⋅ 1 = ln 3 ⇒ x = ln 3
b)
f ' ( x ) = e x + xe x − 3 ⇒ f ' ' ( x ) = e x + e x + xe x = e x (2 + x ) ⇒ Concavidad f ' ' ( x ) > 0 ⇒ e x (2 + x ) > 0

ex > 0

2 + x > 0 ⇒ x > −2
x
−∞
e >0
x > -2
Solución
Concavidad
∀x ∈ ℜ / x > −2
Punto de inflexión
∞
-2
(+)
(-)
(-)
(+)
(+)
(+)
Convexidad
x = −2 ⇒ f (− 2 ) = (− 2 ) e −2 = −
∀x ∈ ℜ / x < −2
2
e2
Según el Teorema de Rolle si una función f(x) es continua en [a , b], derivable en (a , b) y verifica que f(a) =
f(b); entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a , b ) tal que f’(c) = 0
En nuestro caso la función es continua y derivable en toda la recta real y se cumple que
f(0) = f(ln 3) = 0, entonces existe al menos un punto c ∈ (0 , ln 3) tal que f’(c) = 0 o sea es un máximo o un
mínimo
Tomando valores en x = 1 sabiendo que
es el mínimo relativo
0 < x < ln 3 ⇒ f (1) = 1 ⋅ e1 − 3 ⋅ 1 = e − 3 < 0 , significando que
Buscando si hay otros mínimos relativos nos encontramos con:
lim f ( x ) = lim x ⋅ e x = ∞
x →∞
x →∞
−1 −1
−x ∞
Aplicando L 'Hopital
= 0 ⇒ A sin t horiz.
  → lim x =
= = 
x
x →∞ e
x →∞
x →∞ e
x→−∞
x→−∞
∞
∞
Por lo tan to en el int ervalo [0 , ln e] tenemos un mínimo absoluto y todos los valores que no pertenecen
lim f ( x ) = lim x ⋅ e x = lim(− x ) ⋅ e − x = lim
al int ervalo son positivos
Por lo tanto se puede afirmar que la función es creciente cuando x > 2
Continuación del Problema A.3
c)
Sabiendo que en el intervalo que nos piden el área la función es negativa
4
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Solución Julio 2014
∫ xe dx = xe − ∫ e dx = xe
x
x
x
x
Juan Carlos Alonso Gianonatti
− e x = ( x − 1) e x + K
x = u ⇒ dx = du

e x dx = dv ⇒ v = e x dx = e x

∫
∫ (xe
ln 3
A=
x
0
0
A=
∫ xe
ln 3
x
)
(
)
ln 3
ln 3
ln 3
− 3 x dx = − ∫ xe − 3 x dx = − ∫ xe dx + 3 ∫ x dx =
x
x
0
[ ]
1
dx + 3 ⋅ ⋅ x 2
2
ln 3
0
A = [(− 1) 1 − 3 ⋅ (ln 3 − 1) ] +
0
[
= ( x − 1) e x
]
0
ln 3
+
0
(
0
∫ xe
ln 3
x
[ ]
1
dx + 3 ⋅ ⋅ x 2
2
) [
ln 3
0
]
3
3
⋅ ln 2 3 − 0 2 = (0 − 1) e 0 − (ln 3 − 1) e ln 3 + ⋅ ln 2 3
2
2
3 2
3
3

⋅ ln 3 = −1 − 3 ⋅ ln 3 + 3 + ⋅ ln 2 3 =  ⋅ ln 2 3 − 3 ⋅ ln 3 + 2  u 2
2
2
2

Sabiendo que
z = e ln 3 ⇒ ln z = ln e ln 3 ⇒ ln z = ln 3 ⋅ ln e ⇒ ln z = ln 3 ⋅ 1 ⇒ ln z = ln 3 ⇒ z = 3
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Solución Julio 2014
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Opción B
 (1 − α )x + 2 y + z = 4

Problema B.1- Se tiene el sistema de ecuaciones 
, donde α es un parámetro
x + y − 2 z = −4
 x + 4 y − (α + 1)z = −2α

real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Los valores del parámetro α para los que el sistema es incompatible. (3 puntos).
b) Los valores del parámetro α para los que el sistema es compatible y determinado.(3 puntos).
c) Todas las soluciones del sistema cuando a = 2. (4 puntos).
a)
1−α
A= 1
1
(
2
1
−1− α
1
−2 = 1
4 − α −1
−3
)
0
5
− (1 + α )
5
1
− 2 = 1⋅
= −(1 + α ) (− α + 7 ) + 15
−3
−α + 7
0 −α + 7
A = − − α + 7 − α 2 + 7α + 15 = α 2 − 6α − 7 + 15 = α 2 − 6α + 8 ⇒ Si A = 0 ⇒ α 2 − 6α + 8 = 0 ⇒
6+2

α = 2 = 4
6± 4
∆ = (− 6 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 8 = 36 − 32 = 4 ≥ 0 ⇒ α =
⇒
6−2
2 ⋅1
α =
=2
2

Si α = 4
2
 − 3 2 1 4   0 14 − 14 − 20   0 7 − 7 − 10   0 21 − 21 − 30  0 0
0 − 2

 
 
 


 1 1 − 2 − 4  ≡  0 − 3 3 4  ≡  0 − 3 3 4  ≡  0 − 3 3 4  0 − 3 3 4 
 1 4 − 5 − 8 1 4 − 5 − 8  1 4 − 5 − 8  1 4
− 5 − 8  1 4 − 5 − 8 

 
 
 
rang ( A) = 2 ≠ rang ( A / B ) = 3 ⇒ Sistema Incompatible
Si α = 2
 −1 2 1 4   −1 2 1 4  −1 2 1 4

 
 

 1 1 − 2 − 4  ≡  0 3 − 1 0  ≡  0 3 − 1 0  ⇒ rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 < Núm. incognitas ⇒
 1 4 − 3 − 4  0 6 − 2 0  0 0 0 0

 
 

Sistema Compatible In det er min ado
b)
∀α ∈ ℜ − {2 , 4} ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
c) Si α = 2 ⇒ Sistema Compatible In det er min ado
 −1 2 1 4


 0 3 − 1 0  ⇒ 3 y − z = 0 ⇒ z = 3 y ⇒ − x + 2 y + 3 y = 4 ⇒ x = −4 + 5 y ⇒
 0 0 0 0


Solución ⇒ ( x , y , z ) = (− 4 + 5λ , λ , 3λ )
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Problema B.2. Se dan las rectas
Solución Julio 2014
x − y = 0
r≡
 z = 10
Juan Carlos Alonso Gianonatti
 x+ y =8
s≡
 x + y + z = 13
y
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Un vector director de cada recta (2 puntos) y la posición relativa de las rectas r y s.
b) La ecuación del plano que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r. (3 puntos).
c) La distancia entre las rectas r y s. (3 puntos).
(2 puntos).

x = λ


x = y ⇒ r ≡  y = λ ⇒ vr = (1 , 1 , 0 )

 z = 10



x = 8 − µ

 x = 8 − y ⇒ 8 − y + y + z = 13 ⇒ z = 5 ⇒ r ≡  y = µ ⇒ vs = (− 1 , 1 , 0 )

 z =5


Igualando las coordenadas determinadas en las dos ecuaciones paramétricas analizaremos si el sistema de
ecuaciones lineales que se forma es compatible determinado o indeterminado en el primer caso se cortan
en un punto, si son indeterminadas son rectas coincidentes.
Si el sistema es incompatible las rectas son paralelas si sus vectores directores son iguales o
proporcionales, si no, son rectas que se cruzan en el espacio.
λ = 8 − µ
1 1

≠
 λ = µ ⇒ 10 ≠ 5 ⇒ Sistema Incompatible ⇒
−
1
1
 10 = 5

Son rectas que se cruzan en el espacio
b) Es un plano π determinado por los vectores directores de las rectas y por el vector SG, siendo S un
punto cualquiera de la recta s (tomaremos el indicado en su ecuación) y G el punto genérico del plano que
se busca. Los tres son coplanarios y, por ello, su producto mixto, que es el volumen del paralelepípedo que
forman, es nulo y la ecuación del plano que se busca

vr = (1 , 1 , 0 )
x −8 y

Siendo S (8 , 0 , 5) ⇒ 
vs = (− 1 , 1 , 0 )
⇒π ≡ 1
1
SG = ( x , y , z ) − (8 , 0 , 5) = ( x − 8 , y , z − 5)
−1 1

z − 5 + z − 5 = 0 ⇒ 2 z − 10 = 0 ⇒ π ≡ z − 5 = 0
z −5
0 =0⇒
0
c) Es la distancia de uno cualquiera de los puntos de r al plano hallado en el apartado b). Tomaremos el
punto R indicado en su ecuación
Siendo R(0 , 0 , 10 ) ⇒ d (r , s ) = d (R , π ) =
10 − 5
0 + 0 +1
2
2
2
=
5
=5u
1
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Solución Julio 2014
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Problema B.3. Un club deportivo alquila un avión de 80 plazas para realizar un viaje a la empresa VR. Hay
60 miembros del club que han reservado su billete. En el contrato de alquiler se indica que el precio de un
billete será 800 euros si sólo viajan 60 personas, pero que el precio por billete disminuye en 10 euros por
cada viajero adicional a partir de esos 60 viajeros que ya han reservado el billete.
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El total que cobra la empresa VR si viajan 61, 70 y 80 pasajeros. (1 punto).
b) El total que cobra la empresa VR si viajan 60 + x pasajeros, siendo 0 ≤ x ≤ 20 .(4 puntos).
c) El número de pasajeros entre 60 y 80 que maximiza lo que cobra en total la empresa VR. (5 puntos).
a)
[800 − (61 − 60) ⋅ 10]⋅ 61 = (800 − 1 ⋅ 10) ⋅ 61 = 790 ⋅ 61 = 48190 €
[800 − (70 − 60) ⋅ 10]⋅ 70 = (800 − 10 ⋅ 10) ⋅ 61 = 700 ⋅ 70 = 49000 €
[800 − (80 − 60) ⋅ 10]⋅ 80 = (800 − 20 ⋅ 10) ⋅ 80 = 600 ⋅ 80 = 48000 €
b)
P = [800 − (60 + x − 60 ) ⋅ 10] ⋅ (60 + x ) = (800 − 10 x ) ⋅ (60 + x ) = 48000 + 800 x − 600 x − 10 x 2 ⇒
P = 48000 + 200 x − 10 x 2
c)
dP
P' =
= 200 − 20 x = 20 ⋅ (10 − x ) ⇒ Si P' = 0 ⇒ 20 ⋅ (10 − x ) = 0 ⇒ 10 − x = 0 ⇒ x = 10 ⇒
dx
P' ' = −20 ⇒ Máximo ⇒ El número de pasajeros que max imiza el cobro de VR es 60 + 10 = 70 pasajeros
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