CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR

Energía Almacenada y Carga de un Condensador
Prof. Sergio Guerra
Un condensador como el de placas paralelas, cuando se conecta a una batería,
como hemos hecho en experiencias pasadas, acumula energía entre sus placas en
forma de campo eléctrico. Veremos que dicha energía depende del cuadrado de la
intensidad del campo eléctrico entre sus placas.
A
d
La Capacitancia de un condensador de placas paralelas es:
C=A/d
(1)
Que nos permite ver que la capacitancia de un condensador de placas paralelas,
depende del área “A” de las placas, de la distancia “d” entre ellas y del material
dieléctrico de permitividad eléctrica  entre sus placas. Es decir depende de la
geometría y de las características eléctricas del material entre las placas.
Para medir la capacitancia en el laboratorio podemos usar la propiedad lineal del
condensador:
Q= CV
(2)
Siendo Q la carga en una de sus placas (valor absoluto) y V la diferencia de
potencial entre sus placas.
De allí :
d 

C  Q /   E  dr
0
(3)
y asumiendo homogéneo y constante el campo eléctrico entre las placas
C= Q/Ed
(4)
Siendo para el condensador de placas paralelas
V=Ed
(4a)
Pero la carga Q en una placa, asumiendo la distribución superficial de carga 
constante, es:
Q=A
(5)
Y el campo E entre las placas paralelas es
E= /o
(6)
Que nos lleva a :
C= oA/d
(7)
Para el vacío o aire entre las placas y
C=A/d
(8)
En general para cualquier dieléctrico entre las placas.
Ahora bien dado que Q y V son lineales (en la región pertinente)
Q
Q
V
V
El área bajo el gráfico (con rayas) es :
(1/2)Q*V
pero vemos que es un área con unidades de: C*Joules/C es decir JOULES o
energía. Es el valor de la energía
acumulada por el condensador al mantener un campo eléctrico entre sus placas.
Esto es análogo al resorte que se le aplica una fuerza y la misma le produce un
estiramiento (desplazamiento) y el resorte guarda energía en forma de energía
potencial elástica. Para el condensador podemos escribir entonces :
Energía del condensador que llamaremos U:
U = (1/2)QV
(9)
Que con ayuda de (2) podemos escribir:
U=(1/2) CV2 = (1/2)Q2/C
(10)
O con ayuda de (1) y (4 a) podemos escribir:
U = (1/2) (A/d)(E2d2)=(1/2)(E2)(Ad) = (1/2) E2v
(11)
En donde reconocemos el volumen del condensador “v= Ad”
O sea que la densidad de energía por unidad de volumen en el condensador es
decir los Joules/m3 que almacena, está dada por:
(energía)= (1/2) E2
(12)
Es decir que al conectar un condensador a una batería y cargarlo se modifican las
propiedades entre sus placas y almacena una energía dada por (11) al crearse el
campo eléctrico entre sus placas. Interesante, pues uno puede transportar dicha
energía para utilizarla cuando sea menester. Hay todo un estudio de dichos
sistemas para ver si logramos densidades de energía cada vez mayores, es decir
más cantidad de energía en la unidad de volumen. En el caso del carro uno
almacena energía en la batería, que no es más que una serie de placas paralelas
conectadas a una diferencia de potencial de 12 voltios y que necesitamos
cargar(apara almacenar algo de energía) para poder hacer funcionar: luces,
abanicos, sistema de arranque, radio, tv, bocina, cd etc. En ese caso, una vez
cargada la batería y mientras la usamos, el alternador vuelve a suministra parte de
la energía de la gasolina, convertida por el motor, para que se guarde
constantemente en la batería del carro. Claro está que se tiene un regulador de
voltaje para no pasar los límites de linealidad del juego de condensadores que son
las placas, y así se asegura que el voltaje no pase de ciertos límites críticos.
¿Cómo Cargar adecuadamente un Condensador?:
En general uno usará una resistencia R en serie con el condensador y eso le
permitirá a uno controlar el tiempo “t” de carga del condensador. El circuito
usado será el siguiente:
figura 1. circuito RC para carga de un condensador
En la figura1. arriba tenemos una batería de 12 voltios, un interruptor abierto,
una resistencia de 1 k Ohm, un condensador de 1Faradio (de tipo electrolítico)
todo en serie, formando cuando se cierre el interruptor una MALLA elemental
Las condiciones iniciales serán:
Q=0 Coulombs para t = 0s
La ecuación diferencial genérica de este tipo de circuito (usando la Ley de las
Mallas de Kirchhoff) es de la forma:
 - (dQ/dt) R – Q/C =0
(13)
siendo “ ” el voltaje de la fuente, “R” la resistencia en serie en el circuito y “C” la
capacitancia del condensador, “Q” es la carga en un instante dado y “t” el tiempo
transcurrido.
La derivada “dQ/dt” es la corriente I(t) en el circuito en un instante dado. Es
decir:
I(t) = dQ/dt
(14)
La solución de (13) es:
Q(t) = C(1- e-t/RC )
(15)
El voltaje en el condensador lo podemos obtener a partir de la ecuación (2) y nos
da :
V(t) =(1- e-t/RC )
(16)
Y la simulación usando para el voltaje en el condensador del circuito con los
valores arriba indicados es la de la figura 2.
figura 2. Carga del condensador de 1F en serie con la resistencia de 1kohm y la
batería de 12 voltios.
La ecuación (16) da el voltaje en el condensador a medida que transcurre el tiempo
y nos indica que el voltaje máximo que llega a tener el condensador es igual a  y
es el valor del voltaje de la fuente , que limitará el voltaje máximo del
condensador. Por otro lado en la exponencial aparece el factor “RC” en el
exponente, que es el que va a limitar el tiempo de carga del condensador. De
hecho a este factor “RC” se le llama “constante de tiempo” y una cosa que uno
puede aprender para fines prácticos es que en un tiempo t=3RC el condesador ya
está cargado en un 95% y en un tiempo igual a 5RC tendrá 99% de su carga
máxima. La carga máxima del condensador está limitada por los parámetros C y
 como puede verse en (15). Por otro lado, dado que C, R y  son constantes la
carga y el voltaje del condensador se comportan de la misma manera (como lo
indica la relación Q=CV)
En el caso del circuito usado RC = 1 milisegundo=1ms. Por ende en 5 milisegundos
ya aparece (llegando a su máximo valor de voltaje) cargado como indica la figura
2.
Veamos lo que sucede al variar la resistencia de carga a 5kOhms...
Figura 3. Circuito modificado con una resistencia de carga de 5kOhms.
Y su simulación es:
Figura 4. Simulación con el circuito de la figura 3.
que uno puede ver que en los 5ms no ha llegado a cargarse.
Pero, si uno ahora aumenta el tiempo de la simulación a 25 ms, tenemos:
Figura 5. Simulación para 25ms usando el circuito de la figura 3.
En esta figura observamos que el condensador ha tenido tiempo suficiente para
cargarse.
Si variamos ahora el valor de la Capacitancia digamos a 5F en el circuito
Nos queda:
figura 6. Circuito original aumentando el valor de la capacitancia a 5
microfaradios.
Cuya simulación nos da:
Y observe que es la misma que la figura 4.
Concluimos que con el producto RC controlamos el tiempo de carga en el circuito.
Por otro lado es bueno remarcar que para tiempos mayores que 5RC el régimen
del voltaje (y de la carga) es independiente del tiempo. De hecho éste punto habrá
que tenerlo en cuenta cuando queremos hacer un análisis de tipo D.C. pues si hay
condensadores debemos esperar el tiempo adecuado para que desaparezca el
régimen transitorio o dependiente del tiempo.
La corriente la podemos encontrar a partir de la ecuación: (14) y derivando (15)
que nos da:
I(t) = (/R)* e-t/RC = Imaxe-t/RC
(17)
Con
Imax = /R
(18)
Aquí vemos que la corriente pasará de un valor máximo al cerrar el circuito (t=0s)
al valor nulo cuando haya transcurrido 5RC (prácticamente). Entonces en
régimen DC el condensador tiene voltaje pero no corriente (remarca importante
para el laboratorio). La corriente tiene forma de un exponencial que decae con el
tiempo.
Un condensador que esté ya cargado se puede descargar a través de una resistencia
Rd y en ese caso la ecuación diferencial que nos da
la malla simple es (en ausencia de fuente de voltaje E) :
Rd dQ/dt = -Q/C
(19)
Que tiene solución de la forma:
Q(t) = Qmax * e-t/RdC (20)
Que nos da una exponencial pura y la carga decae exponencialmente y su valor
cae prácticamente a cero en un tiempo del orden de 5RdC.
El voltaje claro está será de la forma :
V(t) = Vmax *e-t/RdC (21)
Y la corriente
I(t) = -Imax e-t/RdC (22)
Y todas las funciones anteriores en el caso de la descarga son de tipo exponencial
puras.