Campo Eléctrico - Universidad de Santiago

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12.6
Campo Eléctrico producido
cargas puntuales.
por
la
presencia
de
un
cuerpo
cargado
eléctricamente sin necesidad de verlo.
Como hemos visto, la fuerza de interacción
Lo
eléctrica entre cargas es una fuerza de
gravitacional.
acción a distancia, tal como hemos visto en
pequeño (masa de prueba) en una región
el
del espacio y observamos que experimenta
caso
de
la
fuerza
de
atracción
mismo
hacemos
Si
con
la
fuerza
ponemos
un
cuerpo
gravitacional.
una aceleración, entonces decimos que
Durante mucho tiempo la simple idea de la
sobre el existe una fuerza de atracción
existencia de fuerzas entre cuerpos sin
gravitacional producto de la existencia de
que hubiera contacto causó reticencias
un cuerpo ubicado en la dirección de la
entre los científicos, e incluso Newton se
aceleración (de gravedad), aún cuando no
mostró incómodo con esta explicación.
podamos verlo.
La solución a este problema vino de una
idea desarrollada por Michael Faraday,
quien
postuló
la
existencia
de
una
perturbación en la región vecina a un
cuerpo
cargado
Eléctrico
E  .
denominada
Campo
Esta perturbación puede
mostrarse por simple inspección ubicando
un cuerpo puntual con una carga eléctrica
pequeña (de manera tal que no sea la
Fig 12.23
perturbación producida por su presencia la
que
estemos
observando)
denominada
El campo gravitacional es detectado
por las fuerzas que aparecen sobre una
masa de prueba, aunque no podamos
ver la fuente que lo genera.
carga de prueba. Si la carga experimenta
una
fuerza,
entonces
esta
es
q0
una
Fe
manifestación de la existencia del campo
eléctrico.
Esta definición presenta varias ventajas,
entre ellas, la de permitirnos determinar
la existencia de una zona perturbada por
Fig 12.24
Si ponemos una carga de prueba y
observamos una fuerza sobre ella,
entonces se encuentra en una zona
perturbada por la presencia de una
carga (campo eléctrico).
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Se puede determinar cuantitativamente la
una carga puntual positiva y a una carga
intensidad de la perturbación mediante la
puntual negativa.
Q
expresión:
E
F N 
q0  C 
q0
Donde F es la magnitud de la fuerza de
Fe
r
interacción eléctrica entre la carga Q que
Q
genera el campo eléctrico y q0 que se ha
puesto para detectarlo. En esta expresión
E
q0 es una carga pequeña como hemos
indicado y definida como positiva, de tal
manera que nos permita determinar el
r
Fig 12.25
signo de la carga Q que genera el campo.
Naturalmente el campo eléctrico es una
Si la carga que genera el campo ejerce
una fuerza en la dirección desde Q
hacia q0, entonces Q es positiva. En
ese lugar existe un campo eléctrico de
magnitud E 
cantidad vectorial, puesto que la fuerza lo
F
en igual dirección que
q
0
es. Por lo mismo, resulta conveniente
la de F
expresar el campo eléctrico a través de la
Q
expresión Coulombiana de la fuerza de
Fe q0
interacción eléctrica:
E
Donde r̂
k
Qq0
rˆ
Q
r2
 k 2 rˆ
q0
r
r
Q
es un vector unitario en la
dirección de la fuerza eléctrica ejercida
E
sobre q0. Esta expresión muestra que E
tiende a cero en el infinito.
También se puede expresar en función de
la constante 0:
E
1 Q
rˆ
40 r2
La siguiente figura muestra el campo
r
Fig 12.26
Si la carga que genera el campo ejerce
una fuerza en la dirección desde q0
hacia Q, entonces Q es negativa. En
ese lugar existe un campo eléctrico de
magnitud E 
F
q
0
la de F .
eléctrico en una zona del espacio cercana a
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en igual dirección que
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Fig 12.28
Ejemplo 12.7
Determinar el campo eléctrico existente
en el punto (6,6) en el plano geométrico
de la figura, generado por las cargas
q1=q2=32C.
Campo eléctrico resultante.
El campo eléctrico E1 y E2 producido por
las cargas q1 y q2 es, de acuerdo a la
definición:
E1  k
y(m)
12
Cuyas magnitudes son:
q1
10
8
E1  k
6
q1
N
9 32x10

9x10
 9x103
2
r1
32
C
E2  k
q2
32x10 6
N
 9x109
 9x103
2
r2
32
C
6
4
q2
Ya que:
2
0
0
2
4
6
8
10
12
x(m)
y(m)
12
4
q1
10
Fig 12.27
q1
q
rˆ1 ; E2  k 22 rˆ2
r12
r2

Figura para ejemplo 12.7
8
Solución.
El campo eléctrico producido por cada
carga y el campo eléctrico resultante se
pueden ver en la siguiente figura.
=arct4/4=45º
4
r12=42+42
6
r22=42+42
4
q2

2
0
4
=arct4/4=45º
4
0
2
4
6
8
10
12
x(m)
Fig 12.29
Figura para ejemplo 12.7
Del mismo gráfico se tiene:
E1  E1xˆ
i  E 1y ˆ
j
E1  E1 cos ˆ
i  E 1senˆ
j






E1  9x103 cos 45º ˆ
i  9x103 sen45º ˆ
j


E1  9x103 0,71iˆ  9x103 0,71jˆ
E1  6,39x103ˆ
i  6,39x103 ˆ
j
Para E2 se procede de igual forma:
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E1  6,39x103ˆ
i  6,39x103 ˆ
j
E2  E2xˆ
i  E 2y ˆ
j
Calculemos ahora r̂2 :
E2  E2 cos ˆ
i  E 2senˆ
j






E2  9x103 cos 45º ˆ
i  9x103 sen45º ˆ
j


E2  9x103 0,71iˆ  9x103 0,71jˆ
 

Ahora podemos calcular el campo eléctrico
Y, al igual que el caso anterior, se tiene:
en ese punto:
E2  k

E  6,39x103 ˆi  6,39x103 ˆ
j 

 6,39x103 ˆi  6,39x103 ˆ
j



E2  6,39x103ˆ
i  6,39x103 ˆ
j


4iˆ  4jˆ
4iˆ  4jˆ
r2
 1 ˆ 1 ˆ



i 
j
r2
16  16
4 2
2 
 2
 2ˆ
2 ˆ
r̂2  
i 
j   0,71iˆ  0,71jˆ
2 
 2
r̂2 
q2
rˆ2
r22

Entonces: E2  9x103 0,71iˆ  0,71jˆ

E2  6,39x103ˆ
i  6,39x103 ˆ
j
N
E  12,78x10  ˆ
i
C
3
Idénticos resultados que en la forma
Note que el campo eléctrico resultante
anterior.
solo tiene componente perpendicular a la
línea que une ambas cargas. Esto puede
Ejemplo 12.8
traer consecuencias importantes en la
Determinar el campo eléctrico generado
discusión que se tendrá más adelante.
por las cargas q1= 32C y q2=-32C en el
Es importante hacer notar que otra forma
punto (6,6) del plano de la figura.
de resolverlo es a través de los vectores
unitarios r̂1 y r̂2 .
r̂1 
r1

r1

12
q1
10
Del dibujo se tiene:
4iˆ  4jˆ
y(m)

4iˆ  4jˆ
16  16
4 2

   1 ˆi 

 2
 2ˆ
2 ˆ
r̂1  
i 
j   0, 71iˆ  0, 71jˆ
2
2




6
4
q2
0
0
2
4
6
8
10
x(m)
q1
rˆ1
r12
Entonces: E1  9x10 0,71iˆ  0,71jˆ
3
1 ˆ
j
2 
2
De tal manera que como por definición:
E1  k
8

Fig 12.30
Figura para ejemplo 12.8
Solución.
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12
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El campo eléctrico producido por cada
carga y el campo eléctrico resultante se
Ejemplo 12.9
pueden ver en la siguiente figura.
Determinar
la
dirección
del
campo
eléctrico resultante de las cargas de los
ejemplos 12.7 y 12.8 en el punto (2,6).
Solución:
En el caso de las dos cargas positivas, el
campo en ese punto es nulo, puesto que las
distancias
son
iguales
eléctricos
generados
y
por
los
campos
ambas
son
vectores opuestos y de igual magnitud.
Fig 12.31
Campo eléctrico resultante.
Los vectores de posición, así como las
magnitudes
de
los
campos
eléctricos
generados por cada carga son los mismos
del ejemplo anterior, pero las componentes
del campo generado en el punto (6,6) por la
carga q2 son negativas (note que el ángulo
ahora es –). En consecuencia se tiene:

E1  9x103 0,71iˆ  0,71jˆ

E1  6,39x103ˆ
i  6,39x103 ˆ
j

E2  9x103 0,71iˆ  0,71jˆ

E2  6,39x10 ˆ
i  6,39x103 ˆ
j
3
Fig 12.32
Campo eléctrico resultante de dos
cargas de igual signo en un punto
situado a igual distancia de ambas, en
la línea recta que los une.
En el caso de dos cargas de signo opuesto
el campo eléctrico resultante es un vector
dirigido hacia la carga eléctrica negativa.
Y el campo eléctrico resultante es:
N
E  12,78x103   ˆ
j
C
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de las cargas positivas y acercándose a las
cargas
negativas.
Esto
puede
representarse gráficamente a través de
las denominadas líneas de campo eléctrico.
Las figuras 12.34 y 12.35 muestran las
líneas de campo eléctrico producidas por
una carga puntual positiva y una carga
puntual negativa.
En la figura 12.36 se observa en cambio, lo
que sucede con las líneas de campo de un
Fig 12.33
Campo eléctrico resultante de dos
cargas de distinto signo en un punto
situado a igual distancia de ambas, en
la línea recta que los une.
Si observa con detención lo que hemos
par de cargas de distinto signo. Se
muestran allí solo 5 líneas para tener una
idea de lo que sucede.
discutido, se dará cuenta que en cada
punto del espacio que rodea cada cuerpo
puntual con carga eléctrica existe una
perturbación que es independiente de la
presencia de la carga de prueba. Se puede
suponer que la perturbación es la que
interactúa
con
generando
la
la
carga
fuerza
de
prueba,
eléctrica.
La
Fig 12.34
Líneas de campo saliendo de una carga
puntual positiva.
Fig 12.35
Líneas de campo entrando a una carga
puntual negativa.
interacción a distancia se ha sustituido por
una acción de la perturbación sobre la
carga.
Por otro lado, se ha encontrado que esta
perturbación disminuye con el cuadrado de
la distancia, de manera tal que se va
haciendo más y más débil en la medida en
que nos alejamos de la carga que la genera.
La perturbación tiene dirección alejándose
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Fig 12.38
Fig 12.36
Líneas de campo eléctrico de un par de
cargas de igual signo (positivas).
Algunas líneas de campo eléctrico en
un dipolo eléctrico.
Es conveniente que el número de líneas
Cada línea está formada por infinitos
carga, debido a que se pueden representar
puntos en los cuales el campo eléctrico
diagramas muy interesantes cuando la
resultante tiene la dirección tangente,
carga no es igual, como se observa en las
como se observa con una línea de campo
figuras siguientes.
dibujado sea proporcional a la magnitud de
del dipolo, en la figura siguiente.
Fig 12.39
Fig 12.37
Campo eléctrico en varios puntos de
una línea de campo de un dipolo
eléctrico.
Si tuviéramos dos cargas positivas, las
Líneas de Campo eléctrico para una
configuración de cargas positivas con
una conteniendo el triple de la carga
de la otra (observe que el número de
líneas de una es el triple de las líneas
de la otra).
líneas de campo serían representadas
como se observa en la figura siguiente.
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f)
Las
líneas
de
campo
son
perpendiculares a la superficie de
un cuerpo cargado.
Las líneas de campo pueden visualizarse en
términos experimentales. Para ello, suelen
Fig 12.40
Líneas de Campo eléctrico para una
configuración de cargas positiva y
negativa. La magnitud de la carga
negativa es cinco veces la magnitud de
la carga positiva (observe que el
número de líneas que llega a la negativa
es 5 veces mayor que el número de
líneas que sale de la positiva).
usarse
delgados
hilos
conductores
dispuestos en aceite. Al disponerse un
cuerpo
puntual
cargado,
los
hilos
se
orientan de la forma en que hemos
discutido anteriormente.
En general, las líneas de campo deben
12.7
cumplir las siguientes condiciones:
a)
Salen desde un objeto cargado
positivamente
y
se
extienden
hasta el infinito
b)
Llegan desde el infinito hasta un
cuerpo cargado negativamente.
c)
Nunca
se
cruzan,
puesto
que
entonces una carga de prueba
puesta
en
experimentaría
ese
dos
punto
posibles
direcciones de fuerza resultante.
d)
La densidad de líneas de campo es
directamente proporcional a la
magnitud de la carga.
e)
La densidad de líneas de campo es
mayor en las cercanías del cuerpo
cargado.
Campo Eléctrico producido
una distribución continua
cargas.
por
de
Si las cargas están distribuidas de forma
continua en un cuerpo, se puede calcular el
campo eléctrico producido por ellas con
ayuda del cálculo.
Definiremos la densidad de carga en el
material considerando que el cuerpo puede
tener solo una
dimensión apreciable
(densidad lineal, ), solo dos dimensiones
apreciables (densidad superficial, ) o las
tres dimensiones apreciables (densidad
volumétrica: ).
Si tenemos un cuerpo largo y delgado con
carga
distribuida
homogéneamente,
entonces la densidad lineal de carga es
constante. Entonces se cumple que:

dq Q

 constante
dL L
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Por tanto, se cumple que dq 
Q
dL .
L
y
L
Q
+ + + + + + + + + + + +
qi............................................... qn
q1.......................
+ + + + + + + + + + + +
Fig 12.41
Si
carga
no
está
Y se tiene que
dq  dL
+
+
dEy
-y

dE
Figura para ejemplo 12.10
genera un elemento de campo eléctrico dE
++ + + +
qi............................................... qn
++ + + +
++
en el punto (d,0), el que se puede escribir
como:
dE  dExˆ
i  dEy ˆ
j
dL
Fig 12.42
dEx
situado en el punto (0,y), cuya carga
++
q1.......................
-L
largo dy (que contiene una carga dq),
Q
+
dE
Consideremos un elemento de la barra de
Con una función de L.
++
x
d
Fig 12.43
dq

dL


2L
distribuida
homogéneamente, entonces:
d
r
Cuerpo largo y delgado con carga
distribuida homogénea. La carga por
unidad de longitud (densidad lineal de
carga: ) es constante.
la
dy
y
r
y
Cuerpo largo y delgado con carga
distribuida no homogénea. La carga por
unidad de longitud (densidad lineal de
carga) no es constante.
Entonces el campo eléctrico generado por
la barra en el punto escogido es:
E   dExˆ
i   dEy ˆ
j
Ejemplo 12.10
Considere una barra larga y delgada de
Resolvamos las componentes en forma
largo 2L con una carga neta Q distribuida
separada:
Ex   dEx
uniformemente. Calcule el campo eléctrico
a una distancia d de la barra medido a lo
Con:
largo de una línea perpendicular a ella y
Aquí,
que pasa por su centro.
generado por el elemento de carga, que es
Solución:
La figura siguiente muestra la barra y un
dE  K
dEx=dEcos
dE
es
la
magnitud
del
campo
dq
de acuerdo a la definición de
r2
sistema de referencia conveniente.
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
campo eléctrico; y como
r2  d2  y2


KQd 
L

EX 
2L  2 2
2
 d d  L

según el dibujo, entonces:
dE  K
d
dq
y
2
2
Evaluando:



1
2
 
 
L

  d2 d2   L 2
 


1
2
dq puede expresarse en función de dy a

KQd 
2L
EX 

2L  2 2
d d  L2

través de la densidad lineal de carga,
puesto que dq 
Q
dy como vimos en la
2L

página anterior para el caso de que la
EX 
densidad lineal de carga sea constante.
Finalmente, de acuerdo al dibujo, se tiene
que cos  
y
2

Con:



d

 d2  y2

 



1 
2 

dE 
d
2
 y2


KQ
2L d2  y2

dy
La integral tiene una forma conocida, cuya
solución puede encontrarse en una tabla de
integrales:


d
1
2
y

y
KQd  1 
EX 
 2

2L  d  2
d  y2


L



1 
2 
 L

y



dy
3 
2 

La integral también tiene una forma
conocida, cuya solución puede encontrarse
en una tabla de integrales:


1
 2 2
 x a





1
xdx  
3 
2 
x2  a 2



1
2
Entonces:
Entonces:
1
2 2
según lo que hemos

3
2


x
 1 
dx   2 
3 
a
  2
2 
x  a2

y
sen 
dEy=dEsen,

y
KQ L 
Ey 
2L L  2
d  y2

dy
L
KQd
2L L

1
2
encontrado, por lo que:
límites de integración son –L y L, se tiene:


2
Ya que d,Q,K y L son constantes y los


1
 2 2
 x a


d d2  L2
Ey   dEy
Q

 dy 
2L 
EX   K  2
L
d  y2
EX 
KQ
La componente en el eje y se puede
1
2 2
Entonces se tiene que:
L
1
2
calcular de igual forma, puesto que:
d
d







KQ 
1
Ey  

2L  2
d  y2


Evaluando:
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L



1 
2 
 L






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
KQ 
1

Ey  
2L  2
2
 d  L

En
consecuencia,

1
2

1
d
2
el
  L 
2
campo

Solución:


0
1
2 

La figura siguiente muestra la barra y un
sistema de referencia conveniente.
eléctrico
dx
resultante es:
KQ
E

1
2 2
d d L
2

la
expresión
dE
x
d
ˆi
d-x
Note que si d es suficientemente grande
entonces
y
-x
d
2
1
2 2
L

del
denominador tiende al valor d y entonces
KQ
el campo tiende al valor E  2 ˆ
i que es
d
L
Fig 12.44
Figura para ejemplo 12.11
Consideremos un elemento de la barra de
largo dx (que contiene una carga dq),
situado en el punto (-x,0), cuya carga
equivalente al campo generado por una
genera un elemento de campo eléctrico dE
carga puntual, es decir, es una función
en el punto (d,0), el que se puede escribir
inversa del cuadrado de la distancia. En
como:
dE  dExˆ
i
cambio, si la barra fuera infinitamente
larga entonces la expresión

d2  L2

1
2
tiende al valor L y el campo tiende al valor
Entonces el campo eléctrico generado por
la barra en el punto escogido es:
E   dExˆ
i
KQ ˆ
E
i que si lo escribimos en función
dL
de la densidad lineal de carga para el caso
de
E
distribución
K ˆ
i
d
homogénea,
resulta
que muestra que entonces el
campo depende del inverso de la distancia.
dEx=dEcos
Con dE  K
dq
de acuerdo a la definición
r2
de campo eléctrico; y como r2  d  x
2
según el dibujo, y dq 
dE  K
Ejemplo 12.11
Considere una barra larga y delgada de
largo L con una carga neta Q distribuida
uniformemente. Calcule el campo eléctrico
a la distancia d de un extremo de la barra.
Q
dx , entonces:
L
Qdx
L d  x 
2
De adonde:
E
KQ 0 
1
L  L   d  x 2


dx


De una tabla de integrales se tiene que:
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

1

  a  bx 2

y

1
dx  

b(a  bx)

ds
Por tanto,
E
b
0
z
KQ  1 
KQ  1   1  


   


L  d  x  L
L  d   d  L  
E
KQ
d d  L 
y
ds
Ejemplo 12.12
Considere un anillo delgado de radio b con
una carga Q y calcule el campo eléctrico en
un punto situado a d metros medido a lo

largo de una recta perpendicular al plano
en el que se encuentra y que pasa por su
dE
x
d
z
centro.
Solución.
La figura siguiente muestra el anillo y un
sistema de referencia conveniente.
r
b
d
Fig 12.45

Figura para ejemplo 12.12
Como ya sabemos, por simetría el campo
eléctrico
resultante
tendrá
solo
componentes en el eje x en el sistema de
referencia escogido, de manera que, como
ya hemos visto:
dE  dExˆ
i  dEcos ˆ
i
Entonces el campo eléctrico generado por
el anillo en el punto escogido es:
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E
Con dE  K

dE cos ˆ
i
dq
de acuerdo a la definición
r2

de campo eléctrico; r2  d2  b2
dibujo, y cos  
d

d2  b2


Kd
E
 d2  b2




1
2

según el
; entonces:


dqiˆ
3 
2 

Puesto que todas las cantidades son
constantes.
La integral

dq  Q , por lo que se tiene
finalmente que:

 KQd
E
 d2  b2




ˆ
i
3 
2 

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