Documento 2564979

IES Mediterráneo de Málaga
Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
UNIVERSIDAD DE GALICIA
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA DE JUNIO 2012
El/La alumno/a deberá responder solo a los ejercicios de una de las opciones.
Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1= 3 puntos, ejercicio 2 =
3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
OPCIÓN A
m m

2
1.- Dada la matriz A =  1 m
1 1

m2 

m2 
1 
a) Estudia, según los valores de m , el rango de la matriz .
 x  1
   
b) Resolver, si es posible, el sistema A ⋅  y  = 1 para el valor m = 1.
 z  1
   
2.- Dados los puntos A(3 , 0 , 2), B (1 , -2 , 0), C(1 , -1, 3) y D (λ , λ − 2 , − λ )
a) Determina el valor de λ para qué A, B, C y D, sean coplanarios. ¿Para algún valor de
λ son, vértices consecutivos de un paralelogramo?
b) Calcula las ecuaciones paramétricas del plano π que pasa por el punto C y es perpendicular
a la recta que pasa por los puntos A y B.
3.- a) Enuncia el teorema de Bolzano. Probar que a función f(x) = x3 + 2x - 4 corta el eje OX en
algún punto del intervalo [1 , 2]. ¿Puede cortarlo en más de un punto?
1
 x + 2  x2
b) Calcula lim  2

x →0
 x + x + 2
4.- Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola f(x) = 3x - x2 y su recta normal
en el punto (3 , 0). (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes,
el vértice de la parábola y la concavidad o convexidad).
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN B
 x − 2 y + 3z = 5
x − 3 y + 2z = − 4
1.- Dado el sistema 
a) Calcula el valor de α para que al añadirle la ecuación αx + y + z = 9 resulte un sistema
compatible indeterminado. Resuélvelo, si es posible, para α = 0.
b) ¿Existe algún valor de α para el cual el sistema con estas 3 ecuaciones no tenga solución?
2.- a) Sea v = 6, w = 10 y v + w = 14 , calcula el ángulo que forman los vectores v y w
b) Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación general del plano que pasa por los puntos
3 x + 2 y − 3 = 0
 2 y − 3z − 1 = 0
A(-1 , 5 , 0) y B(0 , 1 , 1 ) y es paralelo a la recta r : 
3.- a) Determina los valores de a para que la función
a − x 2 si x ≤ 1

sea continua. ¿Es derivable en x = 1 para algún
f (x ) =  2
si
x
>
1
 ax
f :ℜ → ℜ
valor de a?
b) Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo diferencial.
5 x 3 − 3x + 1
∫2 x 3 − x dx
3
4.- Calcula
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OPCIÓN A
m m

2
1.- Dada la matriz A =  1 m
1 1

m2 

m2 
1 
a) Estudia, según los valores de m , el rango de la matriz .
 x  1
   
b) Resolver, si es posible, el sistema A ⋅  y  = 1 para el valor m = 1.
 z  1
   
a)
m m
A = 1 m2
1 1
m2 0
0
m2 − m
0
m2 − m
m 2 = 0 m 2 − 1 m 2 − 1 = 1⋅ 2
= m 2 − m m 2 − 1 ⇒ Si A = 0 ⇒
2
m −1 m −1
1
1
1
1
(
)(
)
m=0


m − m m − 1 = 0 ⇒ m (m − 1) (m − 1) (m + 1) = 0 ⇒ m (m − 1) (m + 1) = 0 ⇒  m − 1 = 0 ⇒ m = 1
m + 1 = 0 ⇒ m = −1

∀m ∈ ℜ − {− 1 , 0 , 1} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3
(
2
)(
2
)
2
Si m = −1
 − 1 − 1 1  − 1 − 1 1   − 1 − 1 1 

 
 

A= 1
1 1 ≡  0
0 2 ≡  0
0 2  ⇒ rang ( A) = 2
1
1 1  0
0 2   0
0 0 

Si m = 0
 0 0 0


A =  1 0 0  ⇒ rang ( A) = 2
1 1 1


Si m = 1
1 1 1  1 1 1 

 

A = 1 1 1 ≡  0 0 0  ⇒ rang ( A) = 1
1 1 1  0 0 0 

 

b)
1 1 1  x  1  x + y + z  1  x + y + z = 1

     
   
Si m = 1 ⇒ A = 1 1 1 ⋅  y  = 1 ⇒  x + y + z  = 1 ⇒  x + y + z = 1
1 1 1  z  1  x + y + z  1  x + y + z = 1

     
   
Sistema Compatible In det er min ado
x + y + z = 1 ⇒ x = 1 − y − z ⇒ Solución ⇒ (x , y , z ) = (1 − λ − µ , λ , µ )
1
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2.- Dados los puntos A(3 , 0 , 2), B (1 , -2 , 0), C(1 , -1, 3) y D (λ , λ − 2 , − λ )
a) Determina el valor de λ para qué A, B, C y D, sean coplanarios. ¿Para algún valor de λ son, vértices
consecutivos de un paralelogramo?
b) Calcula las ecuaciones paramétricas del plano π que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta
que pasa por los puntos A y B.
.
a) Los vectores AB, AC y AD para que sean coplanarios (pertenecen al mismo plano) debe ser uno
combinación lineal de los otros dos y, por ello, determinante de la matriz formada por ellos es nulo
 AB = (1 , − 2 , 0 ) − (3 , 0 , 2 ) = (− 2 , − 2 , − 2 ) ≡ (1 , 1 , 1)
λ − 3 λ − 2 − (λ + 2 )

AC = (1 , − 1, 3) − (1 , 0 , 2 ) = (0 , − 1 , 1)
⇒ 1
1
1
=0⇒

 AD = (λ , λ − 2 , − λ ) − (3 , 0 , 2 ) = (λ − 3 , λ − 2 , − λ − 2 )
0
−1
1

λ − 3 + λ + 2 + λ − 3 − λ + 2 = 0 ⇒ 2λ − 2 = 0 ⇒ 2λ = 2 ⇒ λ = 1 ⇒ D (1 , − 1 , − 1)
El punto medio P del vector AC es el mismo que el del vector BD (al tratarse de longitudes no podremos
usar los representantes canónicos)
x A + xc 3 + 1
x + xD
1+ λ


=
=2
⇒2=
⇒ 1+ λ = 4 ⇒ λ = 3
2= B
 xP =

2
4
2
2

y + y c 0 + (− 1)
1 −2+λ −2
1
1 5  

⇒ λ − 4 = −1 ⇒ λ = 3 ⇒
P y P = A
=
= − ⇒ P 2 , − ,  ⇒  − =
2
2
2
2
2
2 2 


5 0 + (− λ )
 z = z A + zc = 2 + 3 = 5

=
⇒ −λ = 5 ⇒ λ = −5
P


2
2
2
2
2
No existe ningún valor de
λ que haga que sean vértices consecutivos de un paralelogramo
b) El plano π , queda determinado por su vector director que coincide con el vector AB y por el vector CG,
siendo G el punto generador, estos dos vectores son perpendiculares y su producto escalar es nulo y la
ecuación general del plano pedido, a partir de ella hallaremos las ecuaciones paramétricas

vπ = AB = (1 , 1 , 1)
⇒ vπ ⊥ CG ⇒ vπ ⋅ CG = 0 ⇒

CG = (x , y , z ) − (1 , − 1 , 3) = (x − 1 , y + 1 , z − 3)
(1 , 1 , 1) ⋅ (x − 1 , y + 1 , z − 3) = 0 ⇒ x − 1 + y + 1 + z − 3 = 0 ⇒ π ≡ x + y + z − 3 = 0 ⇒
x = 3 − λ − µ

x = 3− y − z ⇒ π ≡ 
y=λ

z=µ

2
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3.- a) Enuncia el teorema de Bolzano. Probar que a función f(x) = x3 + 2x - 4 corta el eje OX en algún punto
del intervalo [1 , 2]. ¿Puede cortarlo en más de un punto?
1
 x + 2  x2
b) Calcula lim  2

x →0
 x + x + 2
a) Teorema de Bolzano
Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo
[sign f(a) ≠ sign f(b)], entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a , b ) tal que f(c) = 0
La función f(x) = x3 + 2x – 4 es continua en el intervalo [1 , 2], y sus valores en los extremos del intervalo
son:
 f (1) = 13 + 2 ⋅ 1 − 4 = 3 − 4 = −1 < 0
de distinto signo [sign f(1) ≠ sign f(2)], entonces existe, al menos,

3
(
)
f
2
=
2
+
2
⋅
2
−
4
=
12
−
4
=
8
>
0

un punto c ∈ (1 , 2 ) tal que f(c) = 0 que es el punto de corte con OX
Veamos si es una solución única, supongamos que existe otro punto d ∈ (1 , 2 ) en donde f(d) = 0, según el
Teorema de Rolle: “Sea f(x) una función continua en [c , d], derivable en (c , d) y que verifica que
f(c) = f(d) =0; entonces existe, al menos, un punto p ∈ (c , d ) tal que f’(p) = 0
Derivemos la función
f ' (x ) = 3x 2 + 2 ⇒ f ' ( p ) = 0 ⇒ 3x 2 + 2 = 0 ⇒ 3x 2 = −2 ⇒ x 2 = −
2
2
⇒x= −
3
3
que no tiene solución, por lo tanto no hay otro punto, en el intervalo [c , d] que pertenece al intervalo [1 , 2],
que corte al eje OX
b)
1
1
 x2 + x + 2 − x2
 x + 2  x 2  0 + 2  02
lim  2
= lim 
= 2


2
x →0
x →0
0 + 0+ 2
 x + x + 2
 x +x+2
1
 x2



1


= lim 1 + 2
x →0 
x +x+2


− x2 

=e
lim
( −1)
x →0 x 2 + x + 2
( −1)
=e
02 +0+ 2
=e



= lim 
x →0



−
1
2
=
1
e
1
2




1

1 +
2

x +x+2


− x2 

=
1
e
=
−
x2 + x+2
x2
⋅
( −1)
1
1
 x2
 x2 + x + 2
− x 2  x2
 = lim  2
 =
+ 2
x →0

 x + x + 2 x + x + 2


x2 + x+2





 = lim
x →0










1

1 +
2

x +x+2


− x2 

−
x2 + x+2
x2







⋅
( −1)
x2 + x+2
=
e
e
3
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4.- Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola f(x) = 3x - x2 y su recta normal en el punto
(3 , 0). (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola
y la concavidad o convexidad).
Ecuación de la recta normal ⇒ f ' (x ) = 3 − 2 x ⇒ m = −
1
1
1
1
1
=−
=−
= ⇒ y = (x − 3 ) ⇒
f ' (3 )
−3 3
3 − 2 ⋅3
3
x
−1 ⇒ 3y = x − 3 ⇒ x − 3y − 3 = 0
3
x
x

− 1 = 0 ⇒ = 1 ⇒ x = 3 ⇒ (3 , 0 )

3
3
Puntos de corte con OX ⇒ y = 0 ⇒ 
x=0

0 = 3 x − x 2 ⇒ x (3 − x ) = 0 ⇒ 

3 − x = 0 ⇒ x = 3
0

 y = − 1 = −1 ⇒ (0 , − 1)
Puntos de corte con OY ⇒ x = 0 ⇒ 
3
 f (0 ) = 3 ⋅ 0 − 0 2 = 0 ⇒ (0 , 0 )
y=
f ' (x ) = 3 − 2 x ⇒ Crecimiento ⇒ f ' (x ) > 0 ⇒ 3 − 2 x > 0 ⇒ −2 x > −3 ⇒ 2 x < 3 ⇒ x <
3

 Crece ⇒ ∀x ∈ ℜ / x < 2
3
⇒ Vértice o máximo relativo en x = ⇒

3
2
Decrece ⇒ ∀x ∈ ℜ / x >
2

 3  9 9 18 − 9 9
= De crecimiento pasa a decrecimiento
f −  = − =
4
4
 2 2 4
3
2
3 3
3
f   = 3⋅ − 
2 2
2
2
f ' ' (x ) = 3 ⇒ Concavidad ⇒ f ' ' (x ) > 0 ⇒ 3 > 0 ⇒ Concavidad ⇒ ∀x ∈ ℜ
Y
X
4
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Continuación del Problema 4 de la Opción A
x
− 1 ⇒ 9 x − 3x 2 = x − 3 ⇒ 3x 2 − 8 x − 3 = 0 ⇒
3
8 + 10

x=
=3

8 ± 100
2
6
∆ = (− 8) − 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 64 + 36 = 100 ≥ 0 ⇒ x =
⇒
8 − 10
2
1
2⋅3
x =
=− =−
6
6
3

Puntos de corte entre funciones ⇒ 3 x − x 2 =
x 
A = ∫  − 1 dx −

1 3
−
0
3
x 
∫ (3x − x ) dx + ∫ (3x − x ) dx + ∫  3 − 1 dx =
0
3
2
−
3
2
1
3
0
(
0
)
(
)
(
)
x 
x 
x 
A = − ∫  − 1 dx − ∫  − 1 dx + ∫ 3 x − x 2 dx + ∫ 3 x − x 2 dx = ∫ 3 x − x 2 dx − ∫  − 1 dx
3 


1 3
1
1
1 3
0
0
−
−
−
−
0
3
0
3
3
3
3
3
0
3
[ ]
x 
8x 
1


A = ∫  3 x − x 2 − + 1 dx = ∫  − x 2 +
+ 1 dx = − ⋅ x 3
3
3 
3

1
1
−
−
3
3
3
1
−
3
3
[ ]
8 1
+ ⋅ ⋅ x2
3 2
3
1
−
3
+ [x ]
3
−
1
3
3
 4  2  1  2    1 
1 
1 
1
 1  4 
 + ⋅ 3 −  −   + 3 −  −  = − ⋅ 27 −  −  + ⋅  9 −  +  3 + 
3 
9 
3
 27  3 
 3     3 
 3 
1 
1  4 80 10
1 
1  4 80 10
1 780 320 10
=− ⋅
+
+
A = − ⋅  27 +  + ⋅ +
= − ⋅  27 +  + ⋅ +
3 
27  3 9
3
3 
27  3 9
3
3 27
27
3
− 260 + 320 + 90 150 50 2
=
=
A=
u
27
27
9
1 
 1
A = − ⋅ 33 −  − 
3 
 3
3
5
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OPCIÓN B
 x − 2 y + 3z = 5
x − 3 y + 2z = − 4
1.- Dado el sistema 
a) Calcula el valor de α para que al añadirle la ecuación αx + y + z = 9 resulte un sistema compatible
indeterminado. Resuélvelo, si es posible, para α = 0.
b) ¿Existe algún valor de α para el cual el sistema con estas 3 ecuaciones no tenga solución?
a)
1
A= 1
α
−2 3 1
−3 2 = 0
1
1
−2
−1
3
−1
−1
− 1 = 1⋅
= − (1 − 3α ) + (1 + 2α ) = −1 + 3α + 1 + 2α ⇒
1 + 2α 1 − 3α
0 1 + 2α 1 − 3α
A = 5α ⇒ Si A = 0 ⇒ 5α = 0 ⇒ α = 0
Si α = 0
1 − 2 3 5  1 − 2 3 5  1 − 2 3 5 

 

 
 1 − 3 2 − 4 ≡  0 − 1 − 1 − 9 ≡  0 − 1 − 1 − 9 ⇒
0 1 1 9  0 1
1 9   0 0
0 0 

 
rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 < Número de inconitas ⇒ Sistema Compatible In det er min ado
1 − 2 3 5 


 0 − 1 − 1 − 9  ⇒ − y − z = −9 ⇒ y = 9 − z ⇒ x − 2 (9 − z ) + 3z = 5 ⇒ x − 18 + 2 z + 3z = 5 ⇒
0 0
0 0 

x = 23 − 5 z ⇒ Cuando α = 0 ⇒ Solución ⇒ (x , y , z ) = (23 − 5λ , 9 − λ , λ )
b)
Hemos visto en el apartado a ) que :
∀α ∈ ℜ − {0} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de inconitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
No hay ningun valor de α que haga que el Sistema sea Incompatible
6
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2.- a) Sea v = 6, w = 10 y v + w = 14 , calcula el ángulo que forman los vectores v y w
b) Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(-1 , 5 , 0)
3 x + 2 y − 3 = 0
 2 y − 3z − 1 = 0
y B(0 , 1 , 1 ) y es paralelo a la recta r : 
a) Sabiendo que:
(v + w)
2
2
2
2
2
( )
2
= v + 2 ⋅ v ⋅ w + w ⇒ v + w = v + 2 ⋅ v ⋅ w + w y sabiendo que v ⋅ w = v w ⋅ cos v , w
( )
2
2
2
Siendo α = ángulo v , w ⇒ v + w = v + 2 ⋅ v ⋅ w ⋅ cos α + w ⇒
2
2
2
2
2 ⋅ v ⋅ w ⋅ cos α = v + w − v − w ⇒ cos α =
cos α =
2
v+w − v − w
2⋅ v ⋅ w
2
=
14 2 − 6 2 − 10 2 196 − 36 − 100
=
2 ⋅ 6 ⋅ 10
120
60 1
π
1
= ⇒ α = arc cos   = 60 0 = rad
120 2
3
2
b) Con los datos dados tenemos los elementos necesarios para determinar la ecuación paramétrica del
plano π , estos son los vectores AB, el vector director de la recta r y uno cualquiera de los puntos dados
(tomaremos el punto A)

AB = (0 , 1 , 1) − (− 1 , 5 , 0 ) = (1 , − 4 , 1)

2
1 2

 2
3x = 3 − 2 y ⇒ x = 1 − y ⇒ 3z = −1 + 2 y ⇒ z = − + y ⇒ v r =  − , 1 ,
3
3 3
 3

A(− 1 , 5 , 0 )

 x = −1 + λ − 2 µ

π ≡  y = 5 − 4λ + 3µ
 z = λ + 2µ

2
 ≡ (− 2 , 3 , 2 ) ⇒
3
Los vectores AB y el vector director de la recta r son coplanarios con el vector AG, siendo G el punto
genérico de la recta, Estos tres vectores al ser coplanarios (pertenecen al mismo plano) y el vector AG es
combinación lineal de los otros dos, por eso el determinante de la matriz formada por ellos es nulo y la
ecuación pedida del plano

AB = (1 , − 4 , 1)
x +1 y − 5 z

v r = (− 2 , 3 , 2 )
⇒π ≡ 1
−4 1 =0⇒

 AG = (x , y , z ) − (− 1 , 5 , 0 ) = (x + 1 , y − 5 , z )
−2
3
2

− 8 (x + 1) − 2 ( y − 5) + 3z − 8 z − 3 (x + 1) − 2 ( y − 5) = 0 ⇒ 11 (x + 1) + 4 ( y − 5) + 5 z = 0 ⇒
π ≡ 11x + 4 y + 5 z − 9 = 0
7
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Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
3.- a) Determina los valores de a para que la función f : ℜ → ℜ
a − x 2 si x ≤ 1

sea
f (x ) =  2
si
x
>
1
 ax
continua. ¿Es derivable en x = 1 para algún valor de a?
b) Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo diferencial.
a)
 f (1) = lim− f ( x ) = a − 12 = a − 1
x →1
2

⇒ f (1) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇒ a − 1 = ⇒ a 2 − a = 2 ⇒

2
2
x →1
x →1
a
=
lim f ( x ) =

x →1+
a ⋅1 a

1+ 3

a
=
=2

1± 9
2
2
a 2 − a − 2 = 0 ⇒ ∆ = (− 1) − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 2) = 1 + 8 = 9 ≥ 0 ⇒ a =
⇒
1− 3
2 ⋅1
a =
= −1
2

 lim− f ' ( x ) = −2 ⋅ 1 = −2
 − 2 x si x < 1
2

 x →1
⇒
⇒ lim− f ' ( x ) = lim+ f ' ( x ) ⇒ −2 = − ⇒
f ' (x ) =  2
2
2
−
si x > 1
x →1
x →1
a
=−
f ' (x ) = −
 ax 2
 xlim
a
a ⋅ 12
 →1+
− 2a = −2 ⇒ a = 1
Cuando a = 1 la función no es continua y tiene derivada o sea no es derivable
Cuando a = -1 la función es continua y no tiene derivada o sea no es derivable, es continua
Cuando a = 2 la función es continua y no tiene derivada o sea no es derivable, es continua
b)
c) Establece que:
Si f es continua en [a, b] existe al menos un número c en [a, b] tal que
b
∫ f (x ) dx = f (c ) ⋅ (b − a )
a
Al número f(c) se le llama valor medio de f en el intervalo [a, b]
Interpretación geométrica
b
Si f es no negativa, f(x) ≥ 0 , en [a, b]
∫ f (x ) dx mide el área encerrada entre la curva y =
a
f(x) y las rectas x = a y x = b.
El teorema del valor medio del cálculo integral viene a decir que dicha área es igual al área de
cierto rectángulo de base b – a y altura f(c).
En otras palabras, existe una recta horizontal tal que el área encerrada por la curva por
encima de dicha recta coincide con el área encerrada por la curva por debajo de la recta en
[a, b].
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I.E.S. Mediterráneo de Málaga
Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
5 x 3 − 3x + 1
∫2 x 3 − x dx
3
4.- Calcula
5 x 3 − 3x + 1
x3 − x
− 5x3 + 5x
2x + 1
5
A
B
C
5 x 2 + 3x + 1
2x + 1
2x + 1
2x + 1
2x + 1
=5+ 3
⇒ 3
=
=
= +
+
3
2
x −x
x −x
x − x x x − 1 x ( x − 1) ( x + 1) x x − 1 x + 1
A ( x − 1) ( x + 1) + B x ( x + 1) + C x ( x − 1)
2x + 1
==
⇒ A ( x − 1) ( x + 1) + B x ( x + 1) + C x ( x − 1) = 2 x + 1 ⇒
3
x ( x − 1) ( x + 1)
x −x
(
)
1

 x = −1 ⇒ A (− 1 − 1) (− 1 + 1) + B (− 1) (− 1 + 1) + C (− 1) (− 1 − 1) = 2 ⋅ (− 1) + 1 ⇒ 2C = −1 ⇒ C = − 2

Si 
x = 0 ⇒ A (0 − 1) (0 + 1) + B ⋅ 0 ⋅ (0 + 1) + C ⋅ 0 ⋅ (0 − 1) = 2 ⋅ 0 + 1 ⇒ − A = 1 ⇒ A = −1

3
x = 1 ⇒ A (1 − 1) (1 + 1) + B ⋅ 1 ⋅ (1 + 1) + C ⋅ 1 ⋅ (1 − 1) = 2 ⋅ 1 + 1 ⇒ 2 B = 3 ⇒ B =

2

3
1
3
1
−
−1
2x + 1
2x + 1
2x + 1
1
=
+ 2 + 2 ⇒ 3
=5+
=5− + 2 − 2
x ( x − 1) ( x + 1)
x x −1 x +1
x ( x − 1) ( x + 1)
x x −1 x +1
x −x
dx 3 dx
5 x 3 − 3x + 1
1 dx
3 dt 1 du
3
3
∫2 x 3 − x = ∫2 5 dx − ∫2 x + 2 ∫2 x − 1 − 2 ∫2 x + 1 = 5 ⋅ [x]2 − [ln x]2 + 2 ∫1 t − 2 ∫3 u =
3
3
3
3
3
2
4

x = 3 ⇒ t = 2
 x − 1 = t ⇒ dx = dt ⇒ 

x = 2 ⇒ t = 1

 x + 1 = u ⇒ dx = du ⇒  x = 3 ⇒ u = 4

x = 2 ⇒ u = 3
1
5 x 3 − 3x + 1
3
2
4
∫2 x 3 − x = 5 ⋅ (3 − 2) − (ln 3 − ln 2) + 2 ⋅ [ln t ]1 − 2 ⋅ [ln u ]3 =
3
5 x 2 + 3x + 1
3
1
2
∫2 x 2 − x dx = 5 − ln 3 + ln 2 + 2 ⋅ (ln 2 − 0) − 2 ⋅ ln 2 − ln 3 =
(
3
)
5 x 2 + 3x + 1
3
2
1
1

 3 
∫2 x 2 − x dx = 5 − ln 3 + ln 2 + 2 ⋅ ln 2 − 2 ⋅ ln 2 + 2 ⋅ ln 3 = 5 + 1 + 2 − 1 ⋅ ln 2 +  − 1 + 2  ⋅ ln 3
3
5 x 2 + 3x + 1
3
1
∫2 x 2 − x dx = 5 + 2 ⋅ ln 2 − 2 ⋅ ln 3 = 5 + ln 2 2 − ln 3 2 = 5 + ln
3
3
1
23
3
= 5 + ln
2 2
3
= 5 + ln
2 6
3
9