Documento 2562937

IES Mediterráneo de Málaga
Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
UNIVERSIDAD DEL PAIS VASCO
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA DE JUNIO 2012
Este Examen tiene dos opciones. Debes de contestar a una de ellas
No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen
El examen consta de cinco ejercicios
- Cada ejercicio será valorada entre 0 y 2 puntos
- Se podrán utilizar calculadoras no programable
Opción A
 x + ( A + 1) y + Az = A + 1

Ejercicio A.1- Dado el sistema 
Ay + z = 0

x + y =1

a) Discutirlo según los valores del parámetro A.
b) Resolverlo, si es posible, para el caso A = 4
Ejercicio A.2.- Dados los puntos A(1 , 2 , 3), B(1 , -2 , 4) y C(1 , -3 , a):
a) Calcular el valor del parámetro a, de tal manera que los tres puntos A, B y C estén
alineados.
b) En el caso a = 5 hallar la recta que pasa por el origen y que además sea perpendicular al
plano que contiene a los puntos A, B y C.
Ejercicio A.3.- Dada la función f(x) = Ax3 + Bx, sabemos que pasa por el punto P(1 , 1) y
además que en ese punto tiene tangente paralela a la recta y = 3x .
a) De acuerdo a dichas condiciones calcular los valores de A y B.
b) Determinar los extremos relativos, sus intervalos de crecimiento decrecimiento y por último
realizar un dibujo de la función.
Ejercicio A.4.- Dadas las curvas y = x4 e y = x2
a) Dibujar el recinto finito limitado por las gráficas de las dos curvas.
b) Calcular el área de dicho recinto.
Ejercicio A.5.- En el patio de un Instituto hay 80 escolares, alineados en 8 filas y 10 columnas.
Cada escolar da la mano a todos los escolares que están a su alrededor.
Suponiendo que el saludo entre dos personas se cuenta como un único saludo.
¿Cuántos saludos se dieron en total?
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Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Opción B
Ejercicio B.1- Para cada par de números reales (a , b) , se consideran las matrices:
a b 2 
2 a 1 




A =  1 1 − 1 y B =  1 b − 1
3 5 5 
 2 2 − 1




a) Calcular los determinantes de las matrices A y B.
b) Para a = b = 1, calcular el determinante de la matriz producto A B.
c) Obtener, razonadamente, para qué valores de a y b ninguna de las dos matrices tiene matriz
inversa.
Ejercicio B.2.- Se sabe que el plano x + y + z = 4 es perpendicular al segmento AB y que lo
divide en dos partes iguales. El punto A es (1 , 0 , 0). Halla las coordenadas del punto B y
calcula la intersección del segmento AB con el plano.
Ejercicio B.3.- Una empresa fabrica cajas de cartón sin tapa, de volumen 4000 centímetros
cúbicos. Se sabe que las cajas tienen su base cuadrada. Hallar la altura y el lado de la base de
cada caja para que la cantidad de cartón empleado en fabricarlas sea la mínima posible.
Ejercicio B.4.- Calcular las siguientes integrales:
a)
∫ 2x
b)
∫x
3
ln x dx
x−2
dx
2
−1
Ejercicio B.5.- Comprueba que un polígono convexo de 6 lados tiene 9 diagonales.
a) ¿Cuántas diagonales tendrá un polígono convexo de n lados?
b) ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo que posee 230 diagonales?
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Solución Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Opción A
 x + ( A + 1) y + Az = A + 1

Ejercicio A.1- Dado el sistema 
Ay + z = 0

x + y =1

a) Discutirlo según los valores del parámetro A.
b) Resolverlo, si es posible, para el caso A = 4
a)
1
B =0
1
A +1 A 1
1 =0
A
1
0 0
A +1 A
1
A
1 = 1⋅
= − A 2 + A ⇒ Si b = 0 ⇒ − A 2 + A = 0 ⇒
A
−A −A
−A −A
A=0

− A (1 − A) = 0 ⇒ 
⇒
1 − A = 0 ⇒ A = 1
∀A ∈ ℜ − {0 , 1} ⇒ B ≠ 0 ⇒ rang (B ) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
Si A = 0
1 1 0 1 1 1 0 1

 

 0 0 1 0  ≡  0 0 1 0  ⇒ rang (B ) = rang (B / C ) = 2 < Número de incognitas ⇒
1 1 0 1 0 0 0 0

 

Sistema Compatible In det er min ado
Si A = 1
1 2 1 2 1 2 1 2  1 2 1 2 
 

 

1 0  ≡  0 1 1 0  ⇒ 0 z = 2 ⇒ rang (B ) = 2 ≠ rang (B / C ) = 3 ⇒
0 1 1 0 ≡ 0 1
 1 1 0 1   0 − 1 − 1 − 1  0 0 0 − 1
 

 

1
0 z = −1 ⇒ z = − ⇒ Sin solución ⇒ Sistema Incompatible
0
b)
Cuando A = 4 ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
1 5 4 5 1 5
4 5  1 5 4 5 
 

 

4
4
4
1 0  ≡  0 4 1 0  ⇒ −3 z = −4 ⇒ z = ⇒ 4 y + = 0 ⇒ 4 y = − ⇒
 0 4 1 0 ≡ 0 4
3
3
3
1 1 0 1 0 − 4 − 4 − 4  0 0 − 3 − 4
 

 

1
4
5 16
11 4
 1
= 5⇒ x = 5− = ⇒
y = − ⇒ x + 5⋅−  + 4⋅ = 5 ⇒ x − +
3
3
3 3
3 3
 3
1 4
4
Solución ( x , y , z ) =  , − , 
3 3
3
1
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Solución Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio A.2.- Dados los puntos A(1 , 2 , 3), B(1 , -2 , 4) y C(1 , -3 , a):
a) Calcular el valor del parámetro a, de tal manera que los tres puntos A, B y C estén alineados.
b) En el caso a = 5 hallar la recta que pasa por el origen y que además sea perpendicular al plano que
contiene a los puntos A, B y C.
a)
Si los tres puntos están alineados los vectores AB y AC son iguales o proporcionales
 AB = (1 , − 2 , 4 ) − (1 , 2 , 3) = (0 , − 4 , 1)
0 −4
1
4
1
⇒ =
=
⇒ =
⇒ 4a − 12 = 5 ⇒ 4a = 17 ⇒

5 a−3
 AC = (1 , − 3 , a ) − (1 , 2 , 3) = (0 , − 5 , a − 3) 0 − 5 a − 3
17
a=
4
b)
La recta r pedida queda determinada por el origen de coordenadas O y su vector director, al ser
perpendicular al plano π que contiene a los puntos A, B y C , es el de este plano.
Para determinar el plano π contamos con los vectores AB, AC y AG, siendo G el punto genérico del plano.
Estos tres vectores al ser coplanarios (pertenecer al mismo plano) y el vector AG combinación lineal de los
otros dos, hacen que el determinante de la matriz formada por ellos sea nula y la ecuación pedida del plano

AB = (0 , − 4 , 1)
x −1 y − 2 z − 3

AC = (1 , − 3 , 5) − (1 , 2 , 3) = (0 , − 5 , 2 )
⇒π ≡ 0
−4
1 =0⇒

 AG = (x , y , z ) − (1 , 2 , 3) = (x − 1 , y − 2 , z − 3)
−5
0
2

− 8 (x − 1) + 3 (x − 1) = 0 ⇒ −5 (x − 1) = 0 ⇒ π ≡ x − 1 = 0
x = λ

v r = vπ = (1 , 0 , 0 ) ⇒ r ≡ (x , y , z ) = (0 , 0 , 0 ) + λ (1 , 0 , 0 ) ⇒ r ≡  y = 0
z = 0

2
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio A.3.- Dada la función f(x) = Ax3 + Bx, sabemos que pasa por el punto P(1 , 1) y además que en
ese punto tiene tangente paralela a la recta y = 3x .
a) De acuerdo a dichas condiciones calcular los valores de A y B.
b) Determinar los extremos relativos, sus intervalos de crecimiento decrecimiento y por último realizar un
dibujo de la función.
a)
 f (1) = 1 ⇒ A ⋅ 13 + B ⋅ 1 = 1 ⇒ A + B = 1
− A − B = −1
f ' ( x ) = 3 Ax 2 + B ⇒ 
⇒
⇒ 2 A = −4 ⇒

2
A
B
3
+
=
−
3
(
)
f
A
B
A
B
'
1
=
−
3
⇒
3
⋅
1
+
=
3
⇒
3
+
=
−
3


A = −2 ⇒ −2 + B = 1 ⇒ B = 3 ⇒ f ( x ) = −2 x 3 + 3 x
b)
(
)
f ' ( x ) = −6 x 2 + 3 ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ −6 x 2 + 3 > 0 ⇒ −3 2 x 2 − 1 > 0 ⇒ −3
(
)(
2x −1


− 3 < 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ

− 3 < 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ
1
2
2x −1 > 0 ⇒ 2x > 1 ⇒ x >
⇒x>


2
2



1
2
⇒x>−
 2 x + 1 > 0 ⇒ 2 x > −1 ⇒ x > −
2
2

2
2
−
−∞
2
2
-3 < 0
2
2
2
x>
2
x> −
Solución



Crecimiento ∀x ∈ ℜ /  x < −
Decrecimiento ∀x ∈ ℜ / −
)
2x +1 > 0
∞
(-)
(-)
(-)
(-)
(+)
(+)
(-)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
2 
2
∪x >

2  
2 
2
2
<x<
2
2
Mínimo relativo en
3



2
2
2
2 4 2 3 2
2 3 2
2 2
 = −2 ⋅  −
 + 3⋅−
=
x=−
⇒ f  −
−
=
−
=
−
= − 2 De

 2 
 2 
2
2
8
2
2
2
2






decrecimiento pasa a crecimiento
3
 2
 2
2
2
4 2 3 2 2 2
 = −2 ⋅ 
 + 3⋅
⇒ f 
=−
+
=
= 2 De
Máximo relativo en x =



2
2
2
2
8
2
2




crecimiento pasa a decrecimiento
3
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Ejercicio A.3
Y
X
Ejercicio A.4.- Dadas las curvas y = x4 e y = x2
a) Dibujar el recinto finito limitado por las gráficas de las dos curvas.
b) Calcular el área de dicho recinto.
a)
b)
x=0


Puntos de corte entre funciones ⇒ x = x ⇒ x − x = 0 ⇒ x − 1 x = 0 ⇒  x 2 − 1 = 0 ⇒  x = 1


 x = −1
4
1
2
(
4
)
(
2
[ ]
1
Hay simetria respecto a OX ⇒ A = 2 ∫ x 2 − x 4 dx = 2 ⋅ ⋅ x 3
3
0
A=
1
0
2
)
2
[ ]
1
− 2 ⋅ ⋅ x5
5
1
0
=
(
)
(
2 5
2
⋅ 1 − 0 5 − ⋅ 15 − 0 5
3
5
2 2 10 − 6 4
− =
=
3 5
5
5
4
)
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio A.5.- En el patio de un Instituto hay 80 escolares, alineados en 8 filas y 10 columnas.
Cada escolar da la mano a todos los escolares que están a su alrededor.
Suponiendo que el saludo entre dos personas se cuenta como un único saludo.
¿Cuántos saludos se dieron en total?
Los escolares situados en le parte interior saludan a los 8 que tienen alrededor. Los
que están en las líneas exteriores saludan a 5 salvo los de las esquinas que saludan
únicamente a 3. En el total de las líneas exteriores hay 32, cuatro en las esquinas y
28 en los laterales y en la parte interior están los 48 restantes. Además hay que
tener en cuenta que el saludo entre dos escolares se debe contar una sola vez por
que resultan
1
⋅ (28 ⋅´5 + 4 ⋅ 3 + 48 ⋅ 8) = 268 saludos
2
5
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Solución Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Opción B
a b 2 


Ejercicio B.1- Para cada par de números reales (a , b) , se consideran las matrices: A =  1 1 − 1 y
3 5 5 


2 a 1 


B =  1 b − 1
 2 2 − 1


a) Calcular los determinantes de las matrices A y B.
b) Para a = b = 1, calcular el determinante de la matriz producto A B.
c) Obtener, razonadamente, para qué valores de a y b ninguna de las dos matrices tiene matriz inversa.
a)
a b−a 2+a
2
b−a 2+a
A = 1 1 −1 = 1
0
0 = (− 1) ⋅
= −(8b − 8a − 4 − 2a ) = 10a − 8b + 4
2
8
3 5 5
3
2
8
a b
2 a 1
2
a
1
3 a+b
B = 1 b − 1 = 3 a + b 0 = 1⋅
= 6 + 3a − 4a − 4b = 6 − a − 4b
4 2+a
2 2 −1 4 2 + a 0
b)

1 1

A = 1 1

3 5

2

 B =1

2

2
− 1 = 10 ⋅ 1 − 8 ⋅ 1 + 4 = 6
5
⇒ A ⋅ B = A ⋅ B == 6 ⋅ 1 = 6
1 1
1 − 1 = 6 − 1 − 4 ⋅1 = 1
2 −1
c) Una matriz no tiene inversa cuando su determinante es nulo
 A = 0 ⇒ 10a − 8b + 4 = 0 ⇒ 5a − 4b + 2 = 0 5a − 4b + 2 = 0
4 2
⇒
⇒ 6a − 4 = 0 ⇒ 6a = 4 ⇒ a = = ⇒

B = 0 ⇒ 6 − a − 4b = 0
6 3
 a + 4b − 6 = 0

2
2
16
4
+ 4b − 6 = 0 ⇒ 4b = 6 − ⇒ 4b =
⇒b=
3
3
3
4
6
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio B.2.- Se sabe que el plano x + y + z = 4 es perpendicular al segmento AB y que lo divide en dos
partes iguales. El punto A es (1 , 0 , 0). Halla las coordenadas del punto B y calcula la intersección del
segmento AB con el plano.
La recta r que pasa por A y B tiene como vector director, al ser perpendicular a él, el del plano π dado, y
con ello, y con el punto A la determinaremos
Hallaremos el punto de corte C de la recta r y el plano π que es el punto medio entre A y B, con lo que
quedará determinado este punto.
x = 1 + λ

v r = vπ = (1 , 1 , 1) ⇒ r ≡  y = λ ⇒
 z=λ

x = 1 + 1

Inter sec ción de r con π ⇒ 1 + λ + λ + λ = 4 ⇒ 3λ = 3 ⇒ λ = 1 ⇒ C  y = 1 ⇒ C (2 , 1 , 1)
 z =1

1 + xB

2 = 2 ⇒ 1 + x B = 4 ⇒ x B = 3

0 + yB
1=
⇒ yB = 2
⇒ B (3 , 2 , 2 )

2

0 + zB

1=
⇒ zB = 2

2
Ejercicio B.3.- Una empresa fabrica cajas de cartón sin tapa, de volumen 4000 centímetros
cúbicos. Se sabe que las cajas tienen su base cuadrada. Hallar la altura y el lado de la base de cada caja
para que la cantidad de cartón empleado en fabricarlas sea la mínima posible.
Siendo B la base de la caja y H su altura
4000

4000
16000
16000 + B 3
4000 = B 2 H ⇒ H =
2
2
2 ⇒ S = 4B ⋅
+B =
+B =
⇒

B
B
B
B2

S = 4 BH + B 2
dS ·3B 2 B − 16000 + B 3
·2 B 3 − 16000
·B 3 − 8000
S'=
=
=
=
2
⇒ S ' = 0 ⇒ B 3 − 8000 = 0 ⇒ B 3 = 8000 ⇒
2
2
2
dB
B
B
B
2
2
2
·3B ⋅ B − 2 B B 3 − 8000
·3B 3 − 2 B 3 + 16000
d S
B = 3 8000 = 2 ⋅ 10 = 20 ⇒ S ' ' =
=
2
=
2
dB 2
B4
B3
·B 3 + 16000
·20 3 + 16000
·8000 + 16000 48000
(
)
S''= 2
S
⇒
'
'
20
=
2
=2
=
= 6 > 0 ⇒ Mínimo
3
3
8000
8000
B
20
B = 20 cm


4000
4000
H =
=
= 10 cm.
2

400
20
(
)
(
)
7
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Solución Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio B.4.- Calcular las siguientes integrales:
∫ 2 x ln x dx
x−2
b) ∫
dx
x −1
3
a)
2
a)
x4 
1
1
1
x4
x 4 dx x 4
x4
1
ln x − ∫ ⋅ =
ln x − ∫ x 3 dx =
ln x − ⋅ 2 ⋅ x 4 =
 ln x −  + K
2
4
2 
2
2
2 x
2
2
2
dx

= du
ln x = u ⇒

x
Por partes ⇒ 
4
2 x 3 = dv ⇒ v = 2 x 3 dx = 2 ⋅ 1 x 4 = x
∫
4
2

b)
A ( x + 1) + B (x − 1)
x−2
x−2
A
B
=
=
+
=
⇒ A ( x + 1) + B ( x − 1) = x − 2 ⇒
2
(x − 1) (x + 1)
x − 1 ( x − 1) ( x + 1) x − 1 x + 1
3
∫ 2 x ln x dx =
1
3
3

−
(
)
(
)
=
−
⇒
−
+
+
−
−
=
−
−
⇒
−
=
−
⇒
=
x
A
B
B
B
1
1
1
1
1
1
2
2
3

2 ⇒ x−2 = 2 + 2

1
x2 −1 x −1 x +1
 x = 1 ⇒ A (1 + 1) + B (1 − 1) = 1 − 2 ⇒ 2 A = −1 ⇒ A = −
2

3
x−2
u2
1 dx
3 dx
1 dt 3 du
1
3
∫ x 2 − 1 dx = − 2 ∫ x − 1 + 2 ∫ x + 1 = − 2 ∫ t + 2 ∫ u = − 2 ⋅ ln t + 2 ⋅ ln u = ln 1 = ln
t2
 x − 1 = t ⇒ dx = dt

 x + 1 = u ⇒ dx = du
(x − 1)3
x +1
+K
Ejercicio B.5.- Comprueba que un polígono convexo de 6 lados tiene 9 diagonales.
a) ¿Cuántas diagonales tendrá un polígono convexo de n lados?
b) ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo que posee 230 diagonales?
a) De cada vértice salen diagonales a todos los vértices que no son él mismo y los
dos contiguos, es decir a n - 3 vértices por lo tanto .
Como el número de vértices es n tendremos, en total, n . (n - 3), contándose de cada dos uno ya que
estarían calculadas dos veces por ello número de diagonales =
En el caso de 6 lados número de diagonales =
n ⋅ (n − 3)
2
6 ⋅ (6 − 3) 6 ⋅ 3
=
= 9 diagonales
2
2
b)
n ⋅ (n − 3)
2
= 230 ⇒ n 2 − 3n = 460 ⇒ n 2 − 3n − 460 = 0 ⇒ ∆ = (− 3) − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 460 ) = 9 + 1840 ≥ 0 ⇒
2
3 + 43

n=
= 23 lados

3 ± 1849
2
n=
⇒
3 − 43
2 ⋅1
n =
= −20 ⇒ No es solución
2

8