Documento 2556250

I.E.S. Mediterráneo de Málaga
Julio 2014
Juan Carlos Alonso Gianonatti
PROPUESTA A
a) Son ortogonales cuando so perpendiculares y, por ello, su producto escalar es nulo
u = (1 , a , a )
⇒ u ⊥ v ⇒ u ⋅ v = 0 ⇒ (1 , a , a ) ⋅ (0 , 0 , 1) = 0 ⇒ 0 + 0 + a = 0 ⇒ a = 0

 v = (0 , 0 , 1)
b) Calcularemos el vector director del plano que contiene O, que es el producto vectorial de los vectores
uy
v , y que es perpendicular al vector w , siendo su producto escalar nulo, polo tanto es aquel que hace nulo
al vector del producto mixto de los tres vectores
u = (1 , a , a )
1 a a

 v = (0 , 0 , 1) ⇒ u ∧ v ⋅ w = 0 ⇒ u ∧ v ⋅ w = 0 0 1 = 0 ⇒ a − 1 = 0 ⇒ a = 1
 w = (1 , 1 , a )
1 1 a

( )
( )
1)
( )
( )
h' ( x ) = 2 ⋅ g (x ) ⋅ g ' (x ) = 2 ⋅ g (x ) ⋅ cos x 2 ⇒ h' (0) = 2 ⋅ g (0) ⋅ cos 0 2 = 2 ⋅ 1 ⋅ cos (0 ) = 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2
2)
( )
( )
g (x ) = ∫ x cos x 2 dx = ∫ cos x 2 x dx = ∫ cos t
x 2 = t ⇒ 2 x dx = dt ⇒ x dx =
( )
sen x 2
dt 1
1
= ∫ cos t dt = sen t =
+K
2 2
2
2
dt
2
1
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
i)
x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ f (1) =
(1 − 2)2
1−1
=
(− 1)2
0
=
1
⇒ Sin solución ⇒ Dom ( f ) = ∀x ∈ ℜ − {1}
0
ii )
Asíntotas verticales
x =1
Asíntotas horizontales
2 (x − 2)
∞
Aplicando L ' Hopital
= 
  → = lim
= lim 2 ( x − 2 ) = ∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x −1
1
∞
No existe asíntota horizontal cuando x → ∞
y = lim f (x ) = lim
( x − 2 )2
y = lim f ( x ) = lim
=
( x − 2 )2
= lim
[(− x ) − 2]2
x −1
− x −1
No existe asíntota horizontal cuando x → −∞
x → −∞
x → −∞
x →∞
= lim
x →∞
( x − 2 )2
− x −1
=
2 (x − 2)
∞
Aplicando L ' Hopital
= 
  → = lim
= −∞
x
→
∞
∞
−1
Asíntotas oblicuas
( x − 2 )2
2 (x − 2)
Aplicando L ' Hopital
x − 1 = lim ( x − 2 ) = lim ( x − 2 ) = ∞ = 
  → = lim
=
2
x → ∞ x ( x − 1)
x →∞ x − x
x →∞ 2 x − 1
x
∞
2x − 4
2
∞
Aplicando L ' Hopital
= lim
== = 
  → = lim = 1
x →∞ 2 x − 1
x
→
∞
2
∞
2
 (x − 2)

x 2 − 4x + 4 − x 2 + x
− 3x + 4 ∞
n = lim[ f ( x ) − mx ] = lim 
= lim
= =
− 1 ⋅ x  = lim
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
1
1
1
x
x
x
−
−
∞
−


−3
Aplicando L ' Hopital
= 
  → = lim
= −3 ⇒ Existe asíntota oblicua, y = x − 3, cuando x → ∞
x →∞ 1
f (x )
m = lim
= lim
x →∞
x →∞
x
2
2
Continuación del Problema 3 de la Opción A
2
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ii )Continuación
Asíntotas oblicuas (Continuación )
( x − 2 )2
x − 1 = lim (x − 2) = lim ( x − 2) = lim [(− x ) − 2] = lim ( x − 2) =
x → −∞ x ( x − 1)
x → −∞ x 2 − x
x →∞ x 2 − (− x )
x →∞ x 2 + x
x
2 (x − 2)
2x − 4
2
∞
∞
Aplicando L ' Hopital
Aplicando L ' Hopital
= 
  → = lim
== lim
== = 
  → = lim = 1
x →∞ 2 x + 1
x →∞ 2 x + 1
x →∞ 2
∞
∞
 ( x − 2 )2

3x + 4
x 2 − 4x + 4 − x 2 + x
− 3x + 4
n = lim [ f ( x ) − mx ] = lim 
= lim
= lim
=
− 1 ⋅ x  = lim
x → −∞
x → −∞
x → −∞
x → −∞
x →∞ − x − 1
x −1
x −1
 x −1

3
∞
Aplicando L ' Hopital
= 
  → = lim
= −3 ⇒ Existe asíntota oblicua, y = x − 3, cuando x → −∞
x
→
∞
∞
−1
f (x )
= lim
m = lim
x → −∞
x → −∞
x
2
iii )
f ' (x ) =
2 (x − 2 ) (x − 1) − (x − 2 )
(x − 1)2
2
=
(
2
) (
2 x 2 − 3x + 2 − x 2 − 4 x + 4
(x − 1)2

2
)= 2 x
2
2
− 6x + 4 − x 2 + 4x − 4
(x − 1)2
x>0
(x − 2) x ⇒ Crecimiento ⇒  x − 2 > 0 ⇒ x > 2
f ' (x ) =
=

2
(x − 1) (x − 1)2
(x − 1)2 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ
x 2 − 2x

−∞
x>0
x>2
2
(x - 1) > 0
Solución
Crecimiento
0
(-)
(-)
(+)
(+)
∀x ∈ ℜ / ( x < 0 ) ∪ ( x > 2 )
x = 0 ⇒ f (0 ) =
(0 − 2)
∞
2
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(+)
(+)
(+)
Decrecimiento ∀x ∈ ℜ / 0 < x < 2
2
4
= −4 de crecimiento pasa a decrecimiento
0 −1
−1
2
(
2 − 2)
0
Mínimo relativo en x = 2 ⇒ f (2 ) =
= = 0 de decrecimiento pasa a crecimiento
2 −1
1
Máximo relativo en
=
3
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iv)
Y
X
i) La recta y el plano pueden tomar tres posiciones, dos de ellas son que la recta pertenezca al plano o que
sea paralela a él, en este caso los vectores directores de plano y recta son perpendiculares y su producto
escalar nulo y si, además uno cualquiera de los puntos de la recta (tomamos el indicado en su ecuación)
pertenece al plano, la recta esta contenida en el, en caso de no pertenecer es recta paralela al plano.
El tercer caso ocurre cuando el producto escalar no es nulo, en ese caso la recta y el plano se cortan en un
punto
vα = (1 , − 1 , α )
⇒ vα ⋅ v r = (1 , − 1 , α ) ⋅ (2 , − 1 , 3) = 2 + 1 + 3α = 3 + 3α ⇒ Si vα ⋅ v r = 0 ⇒ 3 + 3α = 0 ⇒

 v r = (2 , − 1 , 3)
v = (1 , − 1 , − 1) 1 − 1
⇒ Re cta r es paralela al plano
⇒ ≠
3α = −3 ⇒ α = −1 ⇒  α
2 −1
 v r = (2 , − 1 , 3)
∀α ∈ ℜ − {− 1} ⇒ vα ⋅ v r ≠ 0 ⇒ La recta r corta al plano
Continuación del Problema 4 de la Opción A
4
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ii) Sea el punto P
Siempre que α ≠ −1
(3 + 2t ) − (1 − t ) + α (1 + 3t ) = 0 ⇒ 3 + 2t − 1 + t + α + 3αt = 0 ⇒ (4 + α ) + (3 + 3α )t = 0 ⇒

− (4 + α ) 9 + 9α − 8 − 2α
1 + 7α
=
=
x = 3 + 2 ⋅ (
3 (1 + α )
3 (1 + α )
3 1+α )

(
)
+ 4α
+
+
+
−
+
α
α
α
3
3
4
3
4
4 +α

⇒
=
=
⇒ P y = 1 −
3 (1 + α )t = −(4 + α ) ⇒ t = −
(
)
(
)
(
)
+
+
+
α
α
α
3
1
1
3
1
3
3 (1 + α )

 z = 1 + 3 ⋅ − (4 + α ) = 1 + α − 4 − α = − 3

1+α
1+α
3 (1 + α )

 1 + 7α
3 
3 + 4α

,−
,
P
(
)
(
)
+
+
+
α
α
α
1
1
3
1
3


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PROPUESTA B
Resuelto como Problema 1 de la Propuesta A
Resuelto como Problema 2 de la Propuesta A
i)
 A > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ

Creciente ⇒ p ' (x ) > 0 ⇒ A x (x − 1) > 0 ⇒ 
x>0
x − 1 > 0 ⇒ x > 1

Continuación del Problema 3 de la Propuesta A
i) Continuación
6
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−∞
0
x>0
x>1
A >0
Solución
Crecimiento
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(-)
(-)
(+)
(+)
∀x ∈ ℜ / ( x < 0 ) ∪ ( x > 1)
∞
1
(+)
(-)
(+)
(-)
Decrecimiento
(+)
(+)
(+)
(+)
∀x ∈ ℜ / 0 < x < 1
Máximo relativo en x = 0 de crecimiento pasa a decrecimiento
Mínimo relativo en x = 1 de decrecimiento pasa a crecimiento
ii)
Teorema de Rolle
Sea f(x) una función continua en [a , b], derivable en (a , b) y que verifica que f(a) = f(b); entonces existe, al
menos, un punto c ∈ (a , b ) tal que f’(c) = 0
iii)
(
)
p( x ) = A∫ ( x − 1) x dx = A∫ x 2 − x dx =
La función
p(x ) =
A 3 A 2
 x 1 A
x − x = Ax 2  −  = x 2 (2 x − 3) + K
3
2
3 2 3
A 2
x (2 x − 3) + K continua en ℜ , derivable en ℜ y que verifica que
3
p’(0) = 0
entonces existe un entorno [a , d] en donde p(a) = p(b) = 0
La función
p(x ) =
A 2
x (2 x − 3) + K continua en ℜ , derivable en ℜ y que verifica que
3
p’(1) = 0
entonces existe un entorno [0 , b] en donde p(0) = p(b), siendo b >1
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α 1 0
α
1 0
α
1
A = α + 1 1 1 = α + 1 0 0 = 1⋅
= −(α + 1) ⇒ Si A = 0 ⇒ −(α + 1) = 0 ⇒ α + 1 = 0 ⇒
α +1 0
0
1 1
0
1 1
α = −1
∀α ∈ ℜ − {− 1} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
Si α = −1
 − 1 1 0 − 1  − 1 1 0 − 1

 

 0 1 1 2  ≡  0 1 1 2  ⇒ rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 < Número de incognitas ⇒
0 1 1 2 0 0 0 0

 

Sistema Compatible In det er min ado
Cuando son Sistema Compatible Deter min ado ⇒ ∀α ∈ ℜ − {− 1}
 α
1 0 α   α
1 0 α 
 


α +1
=1⇒ α + y = α ⇒ y = 0
 α + 1 1 1 α + 3  ≡  α + 1 0 0 α + 1 ⇒ (α + 1) x = α + 1 ⇒ x =
α +1
 0



1 1 2   0
1 1 2 

0 + z = 2 ⇒ z = 2 ⇒ Solución ⇒ (x , y , z ) = (1 , 0 , 2 )
8