MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES

MATEMÁTICAS
1º BACHILLERATO SOCIALES
EXAMEN DERIVADAS
2
1.- Definición de función derivada de una función.
Utilizando la definición, calcula las derivadas de las siguientes funciones y halla la
pendiente de las tangentes a estas curvas en el punto x=1, indica también el crecimiento
en dicho punto.
(4 puntos)
a) f ( x ) =
1
2x
b) g( x ) = x 2 − 5
2.- Halla las derivadas de las siguientes funciones:
(5 puntos)
2x 2 − 3x + 2
a) y =
5x
b) y = cos x
⎡x − 2⎤
c) y = ln ⎢
⎥
⎣x + 2⎦
d) y = ( x 2 + 3x ) ⋅ e x
2
e) y = 2 x ⋅ sen ( x 2 − 3)
3.- Pon ejemplos de funciones cuya derivada sea f ' ( x ) = 3x 2 ¿Cuántas existen?¿Por
qué?
(1 punto)
MATEMÁTICAS
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SOLUCIONES
f (x + h) − f (x)
1
La función derivada es f ' ( x ) = lim
, de donde:
h →0
2x
h
x − (x + h)
1
1
−
2( x + h ) 2x
2x ( x + h )
−h
−1
1
= lim
f ' ( x ) = lim
= lim
= lim
=− 2
h →0
h →0
h → 0 2 xh ( x + h )
h →0 2x ( x + h )
h
h
2x
1
1
La pendiente de la tangente en x=1 será f ' (1) = −
= − y, como es negativa, esto
2
2
2 ⋅1
significa que en el punto 1 la función f es decreciente.
1.- a) f ( x ) =
f (x + h) − f (x)
, de donde:
h →0
h
( x + h ) 2 − 5 − ( x 2 − 5)
x 2 + h 2 + 2xh − 5 − x 2 + 5
h 2 + 2 xh
= lim
=
f ' ( x ) = lim
= lim
h →0
h →0
h →0
h
h
h
h (h + 2x )
= lim
= lim(h + 2 x ) = 2 x
h →0
h →0
h
La pendiente de la tangente en x=1 será f ' (1) = 2 ⋅ 1 = 2 y, como es positiva, esto
significa que en el punto 1 la función f es creciente.
2x 2 − 3x + 2
2.- a) y =
5x
(2x − 3) ⋅ 5x − (2x 2 − 3x + 2) ⋅ 5 10x 2 − 15x − 10x 2 + 15x − 10 − 10
2
y' =
=
=
=− 2
2
2
2
(5x )
25x
25x
5x
sen x
1
y' =
⋅ (−sen x ) = −
b) y = cos x
2 cos x
2 cos x
1 ⋅ ( x + 2) − ( x − 2) ⋅ 1
1
x+2−x+2
⎡x − 2⎤
c) y = ln ⎢
y' =
⋅
=
2
⎥
x−2
x−2
( x + 2)
⎣x + 2⎦
⋅ ( x + 2) 2
x+2
x+2
4
4
y' =
=
( x − 2)( x + 2) x 2 − 4
b) g( x ) = x 2 − 5
d) y = ( x 2 + 3x ) ⋅ e x
La función derivada es f ' ( x ) = lim
2
y' = (2 x + 3) ⋅ e x + ( x 2 + 3x ) ⋅ e x ⋅ 2 x
2
2
y' = (2 x + 3) ⋅ e x + (2 x 3 + 6 x 2 ) ⋅ e x = e x (2 x 3 + 6 x 2 + 2 x + 3)
2
2
2
y' = 2 x ⋅ ln 2 ⋅ sen ( x 2 − 3) + 2 x ⋅ cos( x 2 − 3) ⋅ 2x
e) y = 2 x ⋅ sen ( x 2 − 3)
y' = 2 x ln 2 ⋅ sen ( x 2 − 3) + 2x cos( x 2 − 3)
[
]
3.- f ' ( x ) = 3x 2 , para que la derivada sea ésta, tendremos que tener f ( x ) = x 3 , pero no
es la única, ya que la derivada de cualquier número es cero, luego también me
1
valdrían: f ( x ) = x 3 − 7; f ( x ) = x 3 + 2; f ( x ) = x 3 + , etc
3
Es decir, hay infinitas funciones cuya derivada es f ' ( x ) = 3x 2