Solucions_autoavaluacio_tema_7.pdf

UNITAT 7 Problemes mètrics
Resolucions de l’autoavaluació
1
° x = 11 + 4l
§
r1: ¢ y = 5 + 2l
§
£ z = 7 + 3l
Pàg. 1 de 5
° x = 11 – 9l
§
r2: ¢ y = 5 – 5l
§
£ z = 7 – 7l
a) Troba les distàncies entre els punts de tall de r1 i r2 amb π: 2x – 5y + 3z – 4 = 0.
b) Troba l’angle de r1 amb r2.
c) Troba l’angle de r1 amb π.
Resolució
a) En primer lloc veiem que r1 i r2 es tallen amb π, és a dir, que no són perpendiculars al vector normal π.
(4, 2, 3) · (2, –5, 3) = 7 ? 0 ò r1 talla π
(–9, –5, –7) · (2, –5, 3) = –14 ? 0 ò r2 talla π
Ara trobem els punts de tall de r1 i r2 amb π. Per fer-ho, substituïm en cada punt les coordenades del punt
genèric de la recta en l’equació del pla:
• r1 amb π:
2(11 + 4l) – 5(5 + 2l) + 3(7 + 3l) – 4 = 0
Si fem l’operació obtenim l = –2. Per tant, el punt de tall és P (3, 1, 1).
• r2 amb π:
2(11 – 9l) – 5(5 – 5l) + 3(7 – 7l) – 4 = 0
Si fem l’operació obtenim l = 1. Per tant, el punt de tall és Q (2, 0, 0).
La distància entre tots dos punts és:
dist (P, Q ) = √(3 – 2)2 + (1 – 0)2 + (1 – 0)2 = √3
b) Les rectes r1 i r2 es tallen, òbviament, en el punt (11, 5, 7). Vegem-ne l’angle:
ì
cos ( r1, r2 ) =
|4 · (–9) + 2 · (–5) + 3 · (–7)|
67
= —
— = 0,99933237
——
√42 + 22 + 32 · √ 92 + 52 + 72 √ 29 · √ 155
ì
r1, r2 = 2° 5' 38''
ì
c) cos (90° – ( π, r1 )) =
|4 · 2 + 2 · (–5) + 3 · 3|
7
= —
— = 0,2108663
——
√ 29 · √ 38
√29 · √ 22 + 52 + 32
ì
90° – ( π, r1 ) = 77° 49' 37''
ì
( π, r1 ) = 12° 10' 23''
UNITAT 7 Problemes mètrics
Resolucions de l’autoavaluació
2
Pàg. 2 de 5
a: 2x + 5y – 7z + 4 = 0
b: 5x – y + z – 4 = 0
g: 2x + 5y – 7z + 49 = 0
Calcula la distància entre a i b i entre a i g.
Resolució
Els plans a i b es tallen, perquè els seus coeficients no són proporcionals. Per tant, la distància entre a i b és
zero.
Els plans a i g són paral·lels, ja que els seus coeficients són proporcionals. Per tant, la distància entre ells és la
distància d’un punt qualsevol d’un dels plans a l’altre.
P (–2, 0, 0) és un punt de a. Per tant:
|2 · (–2) + 5 · 0 – 7 · 0 + 49|
dist (a, g) = dist (P, g) =
3
45
=
√22
+
52
+
72
=
√78
15√78
26
Calcula m per tal que dist (P, Q ) = 5, essent P (3, –1, 11) i Q (7, –1, m ).
Resolució
dist (P, Q ) = √(7 – 3)2 + (–1 + 1)2 + (m – 11)2 = 5 8 42 + (m – 11)2 = 25
Hi ha dues solucions: m = 14 i m = 8
4
Troba la distància de P (1, – 4, 3) a la recta: r :
x – 2 4 – 2y z + 1
=
=
5
2
3
(Compte amb el numerador de la segona fracció).
Resolució
La recta r pot expressar-se com:
x–2
y–2
z+1
=
=
5
–1
3
En la segona fracció hem dividit numerador i denominador entre 2 perquè el coeficient de y sigui 1.
8
El vector director de r és d = (5, –1, 3).
8
8
Trobem el vector PQ , essent Q (2, 2, –1) un punt de la recta r. PQ = (1, 6, –4)
8
8
|PQ Ò d |
dist (P, r) =
8
|d|
|1 · 5 + 6 · (–1) – 4 · 3|
=
13
=
√52
+
12
+
32
=
√35
13√35
35
UNITAT 7 Problemes mètrics
Resolucions de l’autoavaluació
5
Pàg. 3 de 5
Calcula la distància entre les rectes:
° x = 3 + 2l
§
r: ¢ y = 5 – l
§
£z = 4 + l
° 2x – y + z + 4 = 0
s: ¢
+ 3z
=0
£ x
Resolució
Expressem
la recta s en equacions paramètriques per a què sigui fàcil prendre’n un punt, P, i un vector director,
8
d s. Fem z = l i aïllem:
°x =
–3l
§
s: ¢ y = 4 – 5l
§
l
£z=
8
P (0, 4, 0) é s
d s (–3, –5, 1)
8
Q i d r són un punt i un vector director de la recta r , respectivament:
8
d r (2, –1, 1)
Q (3, 5, 4) é r
8
Trobem el vector PQ = (3, 1, 4)
8
dist (r, s) =
8
8
|[d , d , PQ]|
r
s
8
8
|dr Ò ds|
|
2 –1
8
8 8
[dr , ds , PQ] = –3 –5
3 1
8
|
1
1 = –45
4
8
|dr Ò ds| = |–4, 5, 13| = √42 + 52 + 132 = √210
|–45|
dist (r, s) =
45
=
√210
6
=
√210
3√210
14
Troba les equacions de la recta que talla perpendicularment r i s.
° x = –3 + l
§
r : ¢ y = –2 + 5l
§
£z = 0
°x = 3
§
s : ¢ y = –6 + 4l
§
£z = 2 + l
Resolució
Les rectes r i s es creuen.
Com que la recta que busquem, t, és perpendicular a r i a s, el vector director n’és:
8
8
8
dt = dr Ò ds = (1, 5, 0) Ò (0, 4, 1) = (5, –1, 4)
Ara definirem la recta t com a intersecció de dos plans:
Pla a: conté r i t.
El vector normal al pla serà:
8
8
dt Ò dr = (5, –1, 4) Ò (1, 5, 0) = (–20, 4, 26) // (–10, 2, 13)
Com que conté r, passa pel punt (–3, –2, 0). Per tant:
a: –10(x + 3) + 2(y + 2) + 13z = 0
a: –10x + 2y + 13z – 26 = 0
UNITAT 7 Problemes mètrics
Resolucions de l’autoavaluació
Pàg. 4 de 5
Pla b: conté la recta s i la t.
El vector normal al pla serà:
8
8
dt Ò ds = (5, –1, 4) Ò (0, 4, 1) = (–17, –5, 20)
Com que conté la recta s, passa pel punt (3, –6, 2). Per tant:
b: –17(x – 3) – 5(y + 6) + 20(z – 2) = 0
b: –17x – 5y + 20z – 19 = 0
Per tant, la recta t és:
° –10x + 2y + 13z – 26 = 0
¢
£ –17x – 5y + 20z – 19 = 0
En paramètriques:
° x = –2 + 5l
§
t: ¢ y = 3 – l
§
4l
£z =
7
a) Troba l’àrea del triangle determinat pels punts de tall del pla 3x + y + 2z – 6 = 0 amb els tres eixos coordenats.
b) Troba el volum de la piràmide determinada per aquests tres mateixos punts i l’origen de coordenades.
Resolució
a) Trobem els punts de tall del pla amb els eixos coordenats:
°y = 0
• Eix X: ¢
£z = 0
3x – 6 = 0 8 x = 2; P (2, 0, 0)
°x = 0
• Eix Y: ¢
£z = 0
y – 6 = 0 8 y = 6; Q (0, 6, 0)
°x = 0
• Eix Z : ¢
£y = 0
2z – 6 = 0 8 z = 3; R (0, 0, 3)
L’àrea del triangle els vèrtexs del qual són P, Q i R és la meitat de l’àrea del paral·lelogram format pels vec8
8
tors PQ i PR .
8
ATRIANGLE
8
|PQ Ò PR | |(–2, 6, 0) Ò (–2, 0, 3)| |(18, 6, –12)| √182 + 62 + 122
=
=
=
=
= 3 √14 u2
2
2
2
2
UNITAT 7 Problemes mètrics
Resolucions de l’autoavaluació
Pàg. 5 de 5
Àrea triangle · altura
3
b) VTETRÀEDRE =
L’altura és la distància de l’origen de coordenades al pla.
|–6|
6
altura =
=
√32 + 12 + 22
VTETRÀEDRE
u
√14
—
6
3√ 14 · —
—
√ 14
=
= 6u3
3
Una altra forma de resoldre-ho:
8
v
La piràmide és la sisena part de l’ortoedre les arestes del qual
són 2, 3 i 6.
V=
8
u
1
· 2 · 3 · 6 = 6 u3
6
8
w
8
a) Troba el centre i el radi de l’esfera:
S: x 2 + y 2 + z 2 – 4x + 2z – 20 = 0
b) Calcula el radi de la circumferència que determina el pla 3x – 4z + 5 = 0 quan talla S.
Resolució
a) Completem quadrats en l’equació de l’esfera:
(x – 2)2 + y 2 + (z + 1)2 = 52
Per tant, el radi és 5 i el centre, C (2, 0, –1).
b) Trobem la distància del centre de l’esfera al pla π: 3x – 4z + 5 = 0:
|3 · 2 – 4(–1) + 5|
dist (C, π) =
=
√32
5
C
+
42
5
3
3
15
=3u
5
r
Segons Pitàgores:
r = √52 – 32 = 4 u