¿Cómo construir una superficie de revolución y ad 330?

¿Cómo construir una superficie de revolución y
trazar su gráfica con la ClassPad 330?
Prof. Robinson Arcos
INTRODUCCIÓN:
Trataremos en este ¿Cómo…? aspectos sobre:
• La construcción de una superficie de revolución.
• El procedimiento que
ecuación cartesiana.
permite
encontrar
su
• El procedimiento que permite encontrar sus
ecuaciones paramétricas.
• El trazado de una porción de su gráfica.
Comencemos estableciendo la siguiente definición:
Se llama superficie de revolución a la generada por
la rotación de una curva plana dada alrededor de una
recta fija también dada y contenida en el plano de la
curva.
Figura 1
La curva plana se llama generatriz, y la recta fija se llama eje de revolución o eje de la superficie. Cualquier
posición de la generatriz obtenida durante la rotación se llama sección meridiana o meridiano, y cada
circunferencia generada por un punto durante la rotación de la generatriz se llama paralelo de la superficie.
Estudio de la superficie de revolución cuando su generatriz es una curva plana contenida en uno de los
planos coordenados y el eje de revolución es uno de los ejes coordenados contenido en ese plano.
En virtud de la definición anterior se deducen los siguientes resultados:
•
Toda sección meridiana es congruente con la generatriz C y es la intersección de la superficie de
revolución con un plano que pasa por el eje de revolución L.
•
Todo paralelo tiene su centro R sobre el eje de revolución L y está contenido en un plano perpendicular
a dicho eje.
•
Por cualquier punto P que se encuentre sobre la superficie de revolución S, pasará un paralelo y un
meridiano (Figura 1).
Son ejemplos de superficies de revolución: la esfera, el cilindro circular recto y el cono circular recto.
Sin perder generalidad determinaremos la ecuación cartesiana de una superficie de revolución S cuando la
generatriz C es una curva plana contenida en uno de los planos coordenados y el eje de revolución L es uno de los
ejes coordenados ubicado en el plano de la generatriz.
Para fijar ideas, supongamos que la generatriz C de la superficie de revolución está contenida en el plano OXY
y esta definida por el par de ecuaciones:
f ( x , y) = 0
z=0
(1)
(2)
Supongamos que el eje de revolución L es el eje OX, como en la Figura 1. Determinemos la ecuación
cartesiana de la superficie de revolución que se genera en este caso:
Tomemos un punto cualquiera P(x, y, z) sobre la superficie S, entonces el paralelo que pasa por P corta a la
generatriz C en el punto Q(u, v, w ) del plano OXY y su centro R está sobre el eje OX (Figura 1).
1
Observando la Figura 1 encontramos lo siguiente:
•
Los segmentos PR y QR son radios del mismo paralelo, en consecuencia tienen la misma longitud
( PR = QR ). La longitud del segmento PR es igual a la distancia de P al eje OX, esto es, PR =
y 2 + z 2 y la
longitud del segmento QR será el valor absoluto de la segunda coordenada de Q, es decir, QR = v , se tiene
entonces la ecuación:
v = ± y2 + z 2
(3)
El signo del radical en la ecuación (3) se toma igual al signo que tiene la segunda coordenada de Q.
•
Los puntos P y Q están en el mismo plano del paralelo, el cual es perpendicular al eje de revolución. Se
deduce entonces la siguiente ecuación:
u = x (4)
•
El punto Q se encuentra sobre la generatriz C, de modo que satisface sus ecuaciones, esto es:
f (u, v) = 0
(5)
w=0
(6)
Eliminando los parámetros u, v y w entre las ecuaciones (3), (4), (5) y (6) se obtiene una ecuación en las tres
variables x, y, z:
F(x, y, z ) = 0
(7)
Esta última ecuación constituirá la ecuación cartesiana de la superficie de revolución S.
De manera general, el procedimiento descrito se lleva a cabo de la siguiente manera:
Sustituyendo (3) y (4) en (5) se obtiene la ecuación:
⎛
f ⎜ x, ± y 2 + z 2
⎝
⎞
⎟=0
⎠
(8)
que es la ecuación cartesiana de la superficie S de revolución.
De manera análoga, podemos obtener la ecuación de la superficie revolución S haciendo girar la generatriz C,
dada por las ecuaciones (1) y (2), en torno al eje OY. Se obtiene en este caso la ecuación artesiana de S:
⎛
⎞
f ⎜ ± x 2 + z 2 , y ⎟ = 0 (9)
⎝
⎠
Se obtienen ecuaciones cartesianas de las superficies de revolución cuando la generatriz está en cada uno los
planos coordenados y se le hace girar alrededor de un eje coordenado contenido en dicho plano. El siguiente
resultado resume todos los casos:
Sea S la superficie de revolución que tiene por generatriz la curva C contenida en el plano coordenado π
y al eje coordenado L contenido en π por eje de revolución. Entonces la ecuación cartesiana de S se obtiene
reemplazando en la ecuación plana de C, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las dos variables
no medidas a lo largo de L en lugar de aquella de estas dos variables que aparece en la ecuación plana de C
y que no es la variable del eje L de revolución. El signo de la raíz cuadrada dependerá del signo que tome la
variable sustituida a lo largo del eje L.
2
La siguiente tabla presenta un resumen los seis casos posibles que se obtienen a partir del resultado
anterior:
Cuando la generatriz se encuentra en el plano OXY y
el eje de revolución es el eje OX
Cuando la generatriz se encuentra en el plano OXY y
el eje de revolución es el eje OY
•
•
•
Ecuaciones de la generatriz:
f ( x , y) = 0
(1)
f ( x , y) = 0
(1)
z=0
(2)
z=0
(2)
•
Ecuación cartesiana de la superficie S:
⎛
⎞
f ⎜ x, ± y 2 + z 2 ⎟ = 0 (3)
⎝
⎠
Cuando la generatriz se encuentra en el plano OXZ
y el eje de revolución es el eje OX
•
•
Ecuaciones de la generatriz:
Ecuación cartesiana de la superficie S:
⎛
⎞
f ⎜ ± x 2 + z 2 , y ⎟ = 0 (3)
⎝
⎠
Cuando la generatriz se encuentra en el plano OXZ
y el eje de revolución es el eje OZ
•
Ecuaciones de la generatriz:
Ecuaciones de la generatriz:
f (x, z ) = 0
(1)
f (x, z ) = 0
(1)
y=0
(2)
y=0
(2)
•
Ecuación cartesiana de la superficie S:
Ecuación cartesiana de la superficie S:
⎛
⎞
f ⎜ x, ± y 2 + z 2 ⎟ = 0 (3)
⎝
⎠
⎛
⎞
f ⎜ ± x 2 + y 2 , z ⎟ = 0 (3)
⎝
⎠
Cuando la generatriz se encuentra en el plano OYZ
y el eje de revolución es el eje OY
Cuando la generatriz se encuentra en el plano OYZ
y el eje de revolución es el eje OZ
•
•
•
Ecuaciones de la generatriz:
Ecuaciones de la generatriz:
f ( y, z ) = 0
(1)
f ( y, z) = 0
(1)
x=0
(2)
x=0
(2)
•
Ecuación cartesiana de la superficie S:
Ecuación cartesiana de la superficie S:
⎛
⎞
f ⎜ y, ± x 2 + z 2 ⎟ = 0 (3)
⎝
⎠
⎛
⎞
f ⎜ ± x 2 + y 2 , z ⎟ = 0 (3)
⎝
⎠
Tabla 1
Desarrollemos el procedimiento descrito anteriormente resolviendo el siguiente problema:
1.
Encuentre la ecuación cartesiana de la superficie de revolución generada por la rotación curva de
ecuaciones x 2 − z 2 = 4 ; y = 0 alrededor del eje OX.
Solución a la situación problemática planteada:
Las variables no medidas a lo largo del eje OX son y, z. En este caso reemplazamos primeramente el radical
negativo − y 2 + z 2 en la ecuación plana de la generatriz x 2 − z 2 = 4 en lugar de la variable z (que no es la
variable del eje de revolución OX). Se obtiene entonces, la ecuación cartesiana de la superficie cilíndrica:
x 2 − y2 − z 2 = 4 .
De manera análoga sustituimos el radical positivo en la ecuación plana de la generatriz en lugar de la variable z
y se obtiene nuevamente:
x 2 − y2 − z 2 = 4
La ecuación cartesiana de la superficie de revolución es x 2 − y 2 − z 2 = 4 .
3
Este proceso se puede desarrollar en la Aplicación Principal de la ClassPad.
De acuerdo al resumen presentado en la Tabla 1, los pasos para hallar la ecuación cartesiana de la superficie
de revolución se ejecutan en la ClassPad como sigue:
2.
Operación con la ClassPad.
(1)
Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione
encenderla o toque la pantalla con el lápiz táctil.
(2)
(3)
(4)
Toque
en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal.
En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
Toque [Edit] [Eliminar toda variable] [Acep.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de
trabajo de la aplicación Principal.
(5)
Toque
Principal.
(6)
Oprima [Keyboard] y toque la solapa
plantillas.
para
[Formato básico] [Defecto] [Def.] para configurar el formato de trabajo en la aplicación
• Reemplazaremos el radical − y 2 + z 2
para activar el teclado de
en la ecuación plana de la
generatriz x 2 − z 2 = 4 , en lugar de la variable z. Para ello asignaremos
primeramente el radical negativo a la variable auxiliar t.
(7)
En la línea de entrada registre el radical − y 2 + z 2 (recuerde usar la tecla
al registrar el radical.
(8)
(9)
Seguidamente toque
.
Toque [Acción] [Asistente ►] [replace].
(10)
Seguidamente escriba la ecuación x 2 − t 2 = 4 y toque
.
• Se obtiene de manera simplificada la ecuación de la superficie de
revolución:
Figura 2
x 2 − y2 − z 2 = 4
(11)
• Utilizaremos el historial de cálculo para efectuar las operaciones con el radical positivo.
Ubique el cursor en la primera línea de entrada y borre el signo menos del radical y toque [Ejec].
• Se obtiene nuevamente la ecuación x 2 − y 2 − z 2 = 4 . La cual es la ecuación cartesiana de la superficie
de revolución.
3.
Utilice la Aplicación Principal para encontrar la ecuación cartesiana de la superficie de revolución
y
generada por la rotación de la curva de ecuaciones − z = 4 ; x = 0 alrededor del eje OZ.
2
(12)
Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep].
• Reemplazaremos el radical − x 2 + y 2 en la ecuación
y
− z = 4 en lugar de la variable y. Asignemos el
2
radical negativo a la variable auxiliar t.
(13)
Con el teclado de plantillas activado registre en la línea de entrada el radical − x 2 + y 2 .
(14)
Seguidamente toque
.
4
(15)
Toque [Acción] [Asistente ►] [replace].
(16)
Seguidamente escriba la ecuación
t
− z = 4 y toque
2
.
• Se obtiene de manera simplificada la ecuación de la superficie de
revolución:
−z−
x 2 + y2
2
=4
• Realizaremos algunas transformaciones en esta ecuación a fin de tener
una ecuación equivalente sin radicales.
(17)
Toque
.
• Hemos transpuesto la variable z al segundo miembro.
(18)
Toque
.
• Hemos elevado al cuadrado cada miembro de la ecuación.
(19)
Toque
Figura 3
.
• Hemos multiplicado por 4 cada miembro de la ecuación y se obtiene la ecuación x 2 + y 2 = 4(z + 4) 2 .
(20)
• Ahora utilizaremos el historial de cálculo para realizar los cálculos análogos con el radical positivo.
Ubique el cursor en la primera línea de entrada y borre el signo menos del radical y toque [Ejec].
• Se obtiene nuevamente la ecuación x 2 + y 2 = 4(z + 4) 2 . La cual es la ecuación cartesiana de la
superficie de revolución.
¿Cómo encontrar, a partir de la ecuación cartesiana de una superficie de revolución, la ecuación de la
generatriz y el eje de revolución?
Aquí trataremos el problema recíproco en el sentido siguiente: dada la ecuación cartesiana de una superficie,
determinar si ella es una superficie de revolución y si uno de los ejes coordenados es el eje de revolución. Si este
es el caso, quedará por determinar las ecuaciones de la generatriz.
Observación: Tenga presente que, por definición de superficie de revolución, se deduce que las secciones
obtenidas por planos perpendiculares al eje de revolución son siempre circunferencias cuyos centros están sobre
dicho eje. En este caso se dice entonces que la superficie se extiende a lo largo del eje.
. Veamos el siguiente ejemplo:
4.
Muestre que la ecuación
2x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6
representa una superficie de revolución y encuentre las ecuaciones de la generatriz en uno de los planos
coordenados e indique el eje de revolución.
Solución a la situación problemática planteada:
Una manera de obtener ecuaciones de circunferencias a partir de la ecuación de la superficie dada, es
cortándola por la familia de planos de ecuación z = k , donde k es una constante real. De acuerdo con lo
establecido en la observación anterior, las ecuaciones de la familia de las secciones que se obtienen vienen dadas
por:
2x 2 + 2 y 2 + 3k 2 = 6 ; z = k (1)
O bien,
x 2 + y2 =
3(2 − k 2 )
; z = k (2)
2
5
Las ecuaciones (2) representan, para − 2 < k < 2 , las ecuaciones cartesianas de circunferencias cuyos
centros se encuentran en el eje OZ.
Si tomamos el plano OXZ, al anular la variable y en la ecuación 2x 2 + 2 y 2 + 3z 2 = 6 de la superficie,
obtenemos la ecuación plana 2x 2 + 3z 2 = 6 que representa una elipse en el plano OXZ.
En consecuencia, las ecuaciones de la generatriz serán:
2x 2 + 3z 2 = 6 ; y = 0 (3) (Figura 4)
Si tomamos el plano OYZ, al anular la variable x
en la ecuación 2x 2 + 2 y 2 + 3z 2 = 6 de la superficie,
obtenemos la ecuación plana 2 y 2 + 3z 2 = 6 que representa la misma elipse anterior, pero en el plano OYZ.
Así, para este caso, las ecuaciones de la generatriz son:
2 y 2 + 3z 2 = 6 ; x = 0 (4) (Figura 5)
La superficie de revolución S está representada en la Figura 6.
Figura 4
Figura 5
Figura 6
¿Cómo se realizan estos cálculos en la ClassPad?
5.
(21)
Operación con la ClassPad.
En la Aplicación Principal toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar la
pantalla.
• Para obtener ecuaciones de circunferencias a partir de la ecuación
2x 2 + 2 y 2 + 3z 2 = 6 de la superficie, debemos cortar la misma por la
familia de planos de ecuación z = k.
(22)
Active el teclado de plantillas y toque
(23)
Registre en la línea de entrada la ecuación 2x 2 + 2 y 2 + 3k 2 = 6 y toque
[Ejec.].
.
• Realizaremos algunas transformaciones en esta ecuación:
(24)
Toque
(25)
(26)
Toque
.
Toque [Acción] [Transformación ►] [simplify] [ans] [Ejec.].
.
3(2 − k 2 )
de la circunferencia en el
2
plano de ecuación z = k con centro en el eje OZ.
• Se obtiene la ecuación x 2 + y 2 =
• Encontremos ahora el dominio de variación del parámetro k:
6
Figura 7
(27)
Seleccione el segundo miembro de la ecuación en la línea de salida.
(28)
Toque
(29)
Ubique el cursor en la línea de salida y toque
(30)
(31)
Toque
.
Toque ahora la secuencia de comandos y botones:
para copiar la expresión en el portapapeles.
.
[Acción] [Ecuación/Desigualdad ►] [solve]
.
• Se obtiene que − 2 < k < 2 es el dominio de variación del parámetro k.
• Para obtener la ecuación de una generatriz, como vimos, basta anular la
variable
y
en
la
ecuación
2x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6
y
se
obtiene
Figura 8
2x 2 + 3z 2 = 6 en el plano de ecuación y = 0 .
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS:
6.
7.
En cada uno de los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la superficie de revolución
generada por la rotación de la curva (dada por sus dos ecuaciones) en torno al eje indicado:
a)
y = 3x , z = 0 ; Eje OY.
b)
x 2 + z 2 = 4 , y = 0 ; Eje OX.
c)
z 2 = 2 y , x = 0 ; Eje OY.
d)
yz = 1 , x = 0 ; Eje OZ.
e)
x 2 − 2z 2 + 4 z = 6 , x = 0 ; Eje OZ.
f)
z = x 3 , z = 0 ; Eje OX.
g)
y z
+ = 1 , x = 0 ; Eje OZ.
2 3
h)
z = e x , y = 0 ; Eje OZ.
En cada uno de los siguientes ejercicios muestre que la ecuación dada representa una superficie de
revolución y encuentre su eje de revolución, las ecuaciones de la generatriz en uno de los planos
coordenados que contenga al eje de revolución:
a)
x 2 + y2 + z 2 = 9 .
b)
y6 − x 2 − y2 = 0 .
c)
x2 + z2 = 4 .
d)
x 2 y2 + x 2 z 2 = 1 .
8.
Encuentre la ecuación del lugar geométrico de un punto P(x, y, z) que se mueve de tal manera que
la suma de sus distancias a los puntos A(2, 0, 0) y B(−2, 0, 0) es siempre igual a 6 unidades.
9.
Encuentre la ecuación cartesiana de la superficie de revolución generada por la rotación de la
circunferencia de ecuaciones x 2 + y 2 − 2by + b 2 − a 2 = 0 , z = 0 con b > a , en torno al eje OX.
7
¿Qué son las coordenadas esféricas?
Es propicio tratar aquí la relación entre las coordenadas
cartesianas de un punto P en el espacio con sus coordenadas
esféricas.
Sea P(x, y, z) un punto cualquiera de sobre la esfera con
centro en el origen O(0, 0, 0) y radio ρ > 0 . La ecuación de la
superficie es, evidentemente,
x 2 + y2 + z 2 = ρ2
(1)
La porción de la esfera comprendida en el primer octante
aparece descrita en la Figura 9.
Si cortamos la esfera por el plano que pasa por P y
contiene al eje OZ, éste a su vez corta al plano OXY en la
recta l. Denotemos por θ la magnitud del ángulo formado por
la recta l y la parte positiva del eje OX, y por φ la magnitud
del ángulo formado por el segmento OP y la parte positiva
del eje OZ. Sean P ′ , A, B y C, respectivamente, las
proyecciones ortogonales del punto P sobre el plano OXY y
sobre los ejes OX, OY y OZ. Sea además, OP′ = CP = s .
Figura 9
Entonces en el triángulo rectángulo OPC tenemos:
s = ρ sen φ
De manera análoga, en los triángulos rectángulos OAP′ , OBP′ y OP′P se obtiene, respectivamente:
x = s cos θ = ρ sen φ cos θ
y = s senθ = ρ sen φ sen θ
z = P′P = ρ sen(π / 2 − φ) = ρ cos φ
De esta manera, con las relaciones:
x = ρ sen φ cos θ ; y = ρ sen φ sen θ ; z = ρ cos φ
(2)
es posible localizar cualquier punto P en el espacio.
Dado que P se encuentra sobre la esfera de ecuación (1), al determinar la terna de números (ρ, θ, φ) su posición
queda determinada en el espacio. Estos números ρ , θ , y φ se llaman coordenadas esféricas del punto P y se
denotan por P(ρ, θ, φ) .
Para que la terna represente la posición del punto P de manera unívoca, los valores de ρ , θ , y φ deben
restringirse, por convención, a los intervalos:
ρ ≥ 0 ; 0 ≤ θ < 2π ; 0 ≤ φ ≤ π .
Tenga presente que por razones técnicas en cálculo, la variable θ se mide, en el plano OXY, desde el eje OX
positivo hasta el segmento OP′ y la variable φ se mide desde el eje OZ positivo hasta el segmento OP .
Cuando P se encuentra sobre una esfera de ecuación (1), como un punto sobre la superficie terrestre, entonces
las coordenadas φ y θ se llaman, respectivamente, colatitud y longitud del punto P. La coordenada fija ρ
representa en este caso el radio de la tierra. El ángulo complementario ϕ = π / 2 − φ se llama latitud del punto P. De
manera que − π / 2 ≤ ϕ ≤ π / 2 , la variable ϕ se mide desde el segmento OP′ hasta el segmento OP .
Para posicionar un punto sobre la tierra se utilizan la latitud ϕ con − π / 2 ≤ ϕ ≤ π / 2 y la longitud θ con
− π ≤ θ ≤ π , o bien, en el leguaje cartográfico −180º ≤ θ ≤ 180º y −90º ≤ ϕ ≤ 90º .
Como el radio de una esfera de ecuación (1) es una constante fija, las ecuaciones (2), para θ y φ variables en
los intervalos convenidos, representan las ecuaciones paramétricas de una esfera con centro en el origen O(0, 0, 0)
y radio ρ > 0 como veremos luego.
8
Realizando algunos cálculos podemos establecer lo siguiente:
Las coordenadas rectangulares (x, y, z ) y las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio
están ligadas por las relaciones:
x = ρ sen φ cos θ ; y = ρ sen φ sen θ ; z = ρ cos φ
Se pueden efectuar transformaciones entre los dos sistemas coordenados por medio de estas
ecuaciones para obtener las siguientes relaciones inversas:
⎛
ρ=
⎞
⎟
2
2
2
⎟ para x + y + z ≠ 0
⎜ x 2 + y2 + z 2 ⎟
⎝
⎠
⎜
x 2 + y 2 + z 2 ; φ = arccos⎜
z
Para el origen O(0, 0, 0) tenemos ρ = 0 para cualesquiera valores de θ y φ .
π
3π
⎛ y⎞
si x = 0 , y > 0 ; θ =
si x = 0 , y < 0
θ = arctan⎜ ⎟ si x ≠ 0 , θ =
x
2
2
⎝ ⎠
cos θ =
x
x 2 + y2
; senθ =
y
2
x + y2
para x , y no nulas simultáneamente.
Las variaciones para ρ , θ , φ están dadas por los intervalos:
ρ ≥ 0 ; 0 ≤ θ < 2π ; 0 ≤ φ ≤ π .
¿Cómo establecer las ecuaciones paramétricas de una superficie de revolución?
Determinaremos las ecuaciones paramétricas de una superficie de revolución S cuando la generatriz C es
una curva plana contenida en uno de los planos coordenados y el eje de revolución L es uno de los ejes
coordenados ubicado en el plano de la generatriz. Se deja para el lector la deducción del caso más general.
Para fijar ideas, supongamos que la generatriz C de la superficie de revolución está contenida en el plano OYZ
y el eje de revolución es el eje OZ:
r
Supongamos que C está definida por una función vectorial σ : I → R 3 , donde I es un intervalo y dada por
r
σ(s) = (0, y(s), z(s)) para s ∈ I . Entonces C tiene las siguientes ecuaciones paramétricas:
⎧ x=0
⎪
C : ⎨ y = y(s) ;
⎪ z = z( s)
⎩
s∈I
(1)
Sea P(x, y, z) un punto sobre la superficie de revolución S, entonces P se encuentra sobre una sección
meridiana C’ congruente con C y sobre un paralelo K cuyo radio r > 0 es la distancia de P al eje OZ. Por otra parte,
si Q es un punto en el plano OYZ que se encuentra también en el paralelo K entonces r es la distancia de Q al eje
OZ, de manera que:
r = d((0, y, z ), (0,0, z)) = y = y(s)
(2)
Las ecuaciones paramétricas del paralelo K donde se encuentra P vienen dadas por:
⎧ x = r cos( t )
⎪
K : ⎨ y = r sen(t )
⎪ z = z( s)
⎩
para 0 ≤ t < 2π
(3).
Sustituyendo (2) en (3) se obtiene la función vectorial
r
r (s, t ) = ( y(s) cos t ), y(s) sen(t ), z(s)) (4) para s ∈ I y 0 ≤ t < 2π .
Lo cual nos da una parametrización para la superficie de revolución S.
9
En virtud de esto, las ecuaciones paramétricas de S vienen dadas por:
⎧ x = y(s) cos( t )
⎪
S : ⎨ y = y(s) sen( t )
⎪
z = z ( s)
⎩
; s ∈ I , 0 ≤ t < 2π
(5)
Observaciones:
•
En las ecuaciones paramétricas de S podemos prescindir del valor absoluto y(s) y tomar solamente la
cantidad y(s) . Si y(s) < 0 para algún valor de s, al variar 0 ≤ t < 2π para s fijo, la parametrización describe
el mismo paralelo. En consecuencia, las ecuaciones paramétricas de S vienen dadas por:
⎧ x = y(s) cos( t )
⎪
S : ⎨ y = y(s) sen( t )
⎪
z = z ( s)
⎩
•
; s ∈ I , 0 ≤ t < 2π
(6)
Para cada valor fijo que asuma la variable t ( t = t 0 ) y todos los valores de s variando en I, los puntos
r
r (s, t 0 ) representan una copia C´ de la directriz C de la superficie de revolución S. Al variar continuamente
0 ≤ t < 2π se obtiene copias sucesivas de C que constituirán la superficie S; es decir, S es el lugar
geométrico de todos estos meridianos.
Por otra parte, para cada valor fijo que asuma la variable s ( s = s 0 ) y todos los valores de t variando en
r
0 ≤ t < 2π , los puntos r (s 0 , t ) representan un paralelo de la superficie de revolución S. Al variar
continuamente s ∈ I se obtiene una familia de circunferencias, es decir, S es el lugar geométrico de la
r
r
∂r ∂r r
familia de todas estas circunferencias. En particular, en este caso es fácil probar que
×
≠ O para
∂s ∂ t
cada (s, t ) ∈ I × [0, 2π[ . Estos meridianos y paralelos conforman un sistema de posicionamiento para
cualquier punto P sobre S. P se encuentra siempre en la intersección de un meridiano y un paralelo.
•
En realidad sólo podemos trazar una porción de la superficie de revolución. De modo que el parámetro s
tomará valores en un intervalo cerrado y acotado a ≤ s ≤ b .
Veamos un ejemplo:
10.
Utilice las ecuaciones paramétricas (6) para establecer las ecuaciones paramétricas de una esfera
con centro en el origen y radio 5 unidades.
Solución a la situación problemática planteada:
Consideremos en el plano OYZ la semicircunferencia de ecuación y 2 + z 2 = 25 ; y ≥ 0 ; x = 0 . Esta
semicircunferencia C al ser rotada alrededor del eje OZ genera la esfera con centro en el origen y radio 5 unidades.
De manera que las ecuaciones paramétricas de C vienen dadas por:
x=0
⎧
⎪
C : ⎨ y = 5 sen(s)
⎪ z = 5 cos( s)
⎩
;
0≤s≤π
En consecuencia por (6) las ecuaciones paramétricas de S vienen dadas por:
⎧ x = 5 sen(s) cos( t )
⎪
S : ⎨ y = 5 sen(s)sen(t )
⎪ z = 5 cos( s)
⎩
10
; 0 ≤ s ≤ π ; 0 ≤ t < 2π
Observación:
•
Observe que las ecuaciones paramétricas que se acaban de deducir son las mismas que
encontramos para una esfera con centro en el origen y radio r (fijo) en coordenadas esféricas.
•
La siguiente tabla presenta un resumen de los seis casos posibles en que podemos establecer las
ecuaciones paramétricas de una superficie de revolución:
Cuando la generatriz se encuentra en el plano OXY y
el eje de revolución es el eje OX
•
•
Ecuaciones paramétricas de la generatriz:
⎧ x = x ( s)
⎪
C : ⎨ y = y(s)
⎪ z=0
⎩
•
Cuando la generatriz se encuentra en el plano OXY y
el eje de revolución es el eje OY
;
⎧ x = x ( s)
⎪
C : ⎨ y = y(s)
⎪ z=0
⎩
s∈I
•
Ecuaciones paramétricas de la superficie S:
x = x ( s)
⎧
⎪
S : ⎨ y = y(s) cos( t )
⎪ z = y(s) sen(t )
⎩
•
;
•
s∈I
•
; s ∈ I , 0 ≤ t < 2π
•
•
; s ∈ I , 0 ≤ t < 2π
Ecuaciones paramétricas de la generatriz:
⎧ x=0
⎪
C : ⎨ y = y(s) ;
⎪ z = z( s)
⎩
s∈I
•
Ecuaciones paramétricas de la superficie S:
⎧ x = z(s) cos( t )
⎪
S : ⎨ y = y(s)
⎪ z = z(s) sen(t )
⎩
s∈I
Cuando la generatriz se encuentra en el plano OYZ y
el eje de revolución es el eje OZ
Ecuaciones paramétricas de la generatriz:
⎧ x=0
⎪
C : ⎨ y = y(s) ;
⎪ z = z( s)
⎩
;
Ecuaciones paramétricas de la superficie S:
⎧ x = x(s) cos( t )
⎪
S : ⎨ y = x(s) sen(t )
⎪
z = z ( s)
⎩
Cuando la generatriz se encuentra en el plano OYZ y
el eje de revolución es el eje OY
•
; s ∈ I , 0 ≤ t < 2π
Ecuaciones paramétricas de la generatriz:
⎧ x = x ( s)
⎪
C:⎨ y = 0
⎪ z = z ( s)
⎩
Ecuaciones paramétricas de la superficie S:
x = x ( s)
⎧
⎪
S : ⎨ y = z(s) cos( t )
⎪ z = z(s) sen(t )
⎩
s∈I
Cuando la generatriz se encuentra en el plano OXZ y
el eje de revolución es el eje OZ
Ecuaciones paramétricas de la generatriz:
⎧ x = x ( s)
⎪
C:⎨ y = 0
⎪ z = z ( s)
⎩
;
Ecuaciones paramétricas de la superficie S:
⎧ x = x(s) cos( t )
⎪
S:⎨
y = y(s)
⎪ z = x(s) sen(t )
⎩
; s ∈ I , 0 ≤ t < 2π
Cuando la generatriz se encuentra en el plano OXZ y
el eje de revolución es el eje OX
•
Ecuaciones paramétricas de la generatriz:
Ecuaciones paramétricas de la superficie S:
⎧ x = y(s) cos( t )
⎪
S : ⎨ y = y(s) sen( t )
⎪
z = z ( s)
⎩
; s ∈ I , 0 ≤ t < 2π
Tabla 2
11
s∈I
; s ∈ I , 0 ≤ t < 2π
¿Cómo se traza, en la ClassPad, la gráfica de una superficie de revolución definida por sus ecuaciones
paramétricas?
La Aplicación Gráfico 3D del menú de Aplicaciones Incorporadas de la ClassPad 330 permite trazar la
gráfica de una superficie definida por sus ecuaciones paramétricas:
⎧ x = x(s, t )
⎪
⎨ y = y(s, t ) para (s, t ) en un rectángulo [a, b] × [c, d] .
⎪ z = z(s, t )
⎩
Utilicemos esta aplicación para trazar la gráfica de la superficie de revolución del ejemplo precedente:
11.
Operación con la ClassPad.
(32)
Con el lápiz táctil toque en el panel de iconos
y luego toque
para activar la Aplicación Gráfico 3D.
En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar las
ventanas de la aplicación.
(33)
• Aparecerá una pantalla dividida presentando la ventana del editor de
gráficos 3D (ventana superior) y la ventana de gráficos 3D (ventana
inferior).
(34)
Toque
[Formato 3D]. En el cuadro de diálogo toque [Defecto] [Def.].
• Esta es la configuración por defecto del formato 3D.
(35)
En la barra de herramientas toque el botón
modalidad paramétrica.
para activar en el editor la
• El botón
cambia a
anunciando que se ha pasado de la
representación rectangular z = f (x, y) a la representación en ecuaciones
Figura 10
⎧ x = x(s, t )
⎪
paramétricas ⎨ y = y(s, t ) (Figura 11).
⎪ z = z(s, t )
⎩
(36)
Oprima
para activar el teclado virtual y toque
(37)
• Observe que en la barra de herramientas aparecen los botones
y
.
Estos botones se usan para editar las ecuaciones paramétricas de la
superficie.
Registre en el recuadro
de la línea de edición Xst1: la expresión
5 sin( s) cos( t ) y toque
(38)
(39)
Registre en el recuadro
y toque
Figura 11
.
Registre en el recuadro
5 sin( s) sin( t ) y toque
.
de la línea de edición Yst1: la expresión
.
de la línea de edición Zst1: la expresión 5 cos( s)
.
• De esta manera han quedado almacenadas las ecuaciones paramétricas
de la esfera (Figura 12).
12
Figura 12
• Antes de trazar la gráfica de la superficie, es necesario configurar los
parámetros de la Ventana de Visualización. Para configurar estos
parámetros es necesario tener una idea de la extensión que ocupa en el
espacio la superficie que queremos trazar.
(40)
(41)
En la barra de herramientas toque el botón
para acceder directamente
a la ventana de visualización.
En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:
Mínx : −6 ; Máxx : 6 ; Re jilla x : 25
Figura 13
Míny : −6 ; Máxy : 6 ; Re jilla y : 25
. Mínz : −6 ; Máxz : 6
• Con estos parámetros estamos indicando
visualización [− 6, 6] × [− 6, 6] × [− 6, 6] .
(42)
el
paralelepípedo
de
A la derecha de la ventana de visualización deslice la barra de
desplazamiento hasta el final y configure los siguientes parámetros:
ángulo θ : 40 ; ángulo φ : 70
(43)
• Con estos parámetros se está indicando que la superficie se visualiza
mirando en dirección al origen. Esta dirección está determinada por la
posición del observador que se encuentra a 40º de longitud y 70º de
colatitud. Esta es la posición como generalmente se presentan las
gráficas de las superficies en los textos de cálculo.
Finalmente configure los siguientes parámetros:
Figura 14
mím. s : 0 ; máx. s : π ; mín. t : 0 ; máx. t : 2π
(44)
(45)
• Con estos parámetros estamos indicando los intervalos de variación de
las variables s y t, respectivamente.
Toque [Acep.].
En la barra de herramientas toque
superficie. Toque
para trazar la gráfica de la
para maximizar la ventana.
• Aparece la gráfica de la esfera (Figura 15).
• Realicemos modificaciones en los parámetros del Formato 3D para
visualizar las direcciones de los ejes coordenados, las etiquetas de
los ejes y las flechas del controlador de gráfico.
(46)
Toque
[Formato 3D]. Aparece el cuadro de diálogo. A la derecha en el
recuadro [Ejes], toque el botón
y seleccione la opción [on] para activar
las direcciones de los ejes de coordenadas.
(47)
De manera análoga, en el recuadro [Etiquetas], toque el botón
y
seleccione la opción [on] para activar las etiquetas de los ejes.
En la parte inferior del cuadro de diálogo toque el recuadro de verificación
para activar el [controlador G].
Toque [Def.] para confirmar los cambios introducidos y regresar a la
ventana de gráfico 3D.
(48)
(49)
Figura 15
• Aparecen en pantalla los ejes coordenados, las etiquetas de los ejes y la
flechas del controlador de gráfico (▲, ►, ▼, ◄) (Figura 16).
(50)
Toque varias veces el botón
para realizar alejamientos.
(51)
Toque varias veces el botón
para realizar acercamientos.
• Estas funciones de alejamiento y acercamiento de la gráfica de la
superficie pueden realizarse oprimiendo, respectivamente, las teclas
13
Figura 16
(52)
(53)
(54)
y
del teclado físico de la calculadora.
En la barra de menús toque [Zoom].
• En el menú desplegable aparecen los comandos [Aumentar] y [Reducir]
que realizan las mismas funciones de acercamiento y alejamiento.
Toque [Visualización inicial] para regresar la gráfica de la superficie a los
parámetros iniciales.
En la barra de menús toque ‹ [Rotar ►] [Izquierda→Derecha].
• Observe la gráfica de la superficie rotando de izquierda a derecha.
(55)
(56)
(57)
(58)
En el panel de iconos toque
para detener la rotación.
De igual manera active las demás rotaciones del submenú [Rotar ►].
Toque [Zoom] [Visualización inicial].
• Las flechas del controlador de gráfico (▲, ►, ▼, ◄) que se encuentran a
cada lado de la ventana de gráfico 3D, permiten rotar manualmente la
gráfica de la superficie cada vez que reciben un toque.
Toque varias veces cada una de las flechas del controlador y observe cada
uno de los movimientos que realiza la gráfica de la superficie.
(59)
(60)
• También puede visualizarse la gráfica de la superficie desde un punto
situado en el semieje positivo OX.
Toque [Zoom] [Visualización x].
Toque [Zoom] [Visualización y].
(61)
• Se visualiza la gráfica de la superficie desde un punto situado en el
semieje positivo OY.
Toque [Zoom] [Visualización z].
(62)
• Se visualiza la gráfica de la superficie desde un punto situado en el
semieje positivo OZ.
Toque [Zoom] [Visualización inicial].
(63)
Para situar la superficie dentro de la caja rectangular, toque
[Formato 3D]. Aparece el cuadro de diálogo. A la derecha en el recuadro
[Ejes], toque el botón
y seleccione la opción [cuadro] y luego toque
[Def.].
Figura 17
Figura 18
(64)
(65)
Oprima varias veces la tecla
(Figura 17).
Toque [Zoom] [Visualización z].
(66)
• Se visualiza la gráfica de la superficie desde un punto situado en el semieje positivo OZ, observe aquí los
paralelos y los meridianos encontrándose en el Polo Norte.
Toque [Zoom] [Visualización inicial].
12.
Trace la gráfica de la superficie de revolución que se obtiene al girar la curva C definida por
y=
x2
2
+ 1 ; z = 0 ; − 2 ≤ x ≤ 2 alrededor del eje OX.
Solución a la situación problemática planteada:
Las ecuaciones paramétricas de esta curva son:
⎧ x=s
⎪⎪
s2
+1
c : ⎨y =
2
⎪
⎪⎩ z = 0
;
−2≤ s≤ 2
En consecuencia la superficie S de revolución tendrá las siguientes ecuaciones paramétricas:
14
x=s
⎧
⎪
2
S : ⎨ y = (s / 2 + 1) cos( t )
⎪ z = (s 2 / 2 + 1) sen(t )
⎩
;
−2≤ s≤ 2
;
0 ≤ t ≤ 2π
Trazado de la gráfica de la superficie:
13.
Operación con la ClassPad.
(67)
(68)
Toque
para activar la ventana del editor de gráficos 3D.
Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(69)
(70)
(71)
(72)
Toque
[Formato 3D]. Aparece el cuadro de diálogo. A la derecha en el
recuadro [Ejes], toque el botón
y seleccione la opción [on] para activar
las direcciones de los ejes de coordenadas.
Toque [Def.].
Active el teclado virtual.
Registre en el recuadro
de la línea de edición Xst1: la expresión s y
(73)
toque
.
Registre en el recuadro
de la línea de edición Yst1: la expresión
(s 2 / 2 + 1) cos( t ) y toque
(74)
.
Registre en el recuadro
de la línea de edición Zst1: la expresión
(s 2 / 2 + 1) sin(t )
.
y toque
Figura 19
• Configuremos ahora los parámetros de la ventana de visualización:
(75)
(76)
En la barra de herramientas toque el botón
para acceder directamente
a la ventana de visualización.
En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:
Mínx : −4 ; Máxx : 4 ; Re jilla x : 25
Míny : −4 ; Máxy : 4 ; Re jilla y : 25
Mínz : −4 ; Máxz : 4
Figura 20
ángulo θ : 40 ; ángulo φ : 70
mím. s : −2 ; máx. s : 2 ; mín. t : 0 ; máx. t : 2π
(77)
Toque [Acep.].
(78)
En la barra de herramientas toque
superficie.
(79)
Toque
para trazar la gráfica de la
para maximizar la ventana de gráficos 3D.
• Aparece la gráfica de la superficie de revolución.
Figura 21
15
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS:
14.
En cada uno de los siguientes ejercicios trace la gráfica de la superficie de revolución S generada
por la rotación de la curva C (dada por sus ecuaciones en el dominio dado) en torno al eje indicado:
a) x 2 − y 2 = 1 ; z = 0 ; Eje OX.
⎧ x = sec( s)
⎪
Sugerencia: las ecuaciones paramétricas de C vienen dadas por ⎨ y = tan(s)
⎪ z=0
⎩
;
−π≤s≤π
Mínx : −3 ; Máxx : 3 ; Re jilla x : 25 ; Míny : −3 ; Máxy : 3 ; Re jilla y : 25 ; Mínz : −3 ; Máxz : 3
ángulo θ : 40 ; ángulo φ : 70 ; míns : − π ; máxs : π ; mínt : 0 ; máxt : 2π .
b) z = 2x ; y = 0 ; para −2 ≤ x ≤ 3 ; Eje OZ.
Mínx : −3 ; Máxx : 3 ; Re jilla x : 25 ; Míny : −3 ; Máxy : 3 ; Re jilla y : 25 ; Mínz : −4 ; Máxz : 6
ángulo θ : 40 ; ángulo φ : 70 ; míns : −2 ; máxs : 3 ; mínt : 0 ; máxt : 2π .
c) y 2 = 4 x ; z = 0 para −4 ≤ y ≤ 4 ; Eje OY.
Mínx : −4 ; Máxx : 4 ; Re jilla x : 25 ; Míny : −4 ; Máxy : 4 ; Re jilla y : 25 ; Mínz : −6 ; Máxz : 6
ángulo θ : 40 ; ángulo φ : 70 ; míns : −4 ; máxs : 4 ; mínt : 0 ; máxt : 2π .
⎧ x = 2(1 − cos( s)) cos( s)
⎪
d) C : ⎨ y = 2(1 − cos( s))sen(s) para 0 ≤ s ≤ π ; Eje OX.
⎪z = 0
⎩
Mínx : −4.5 ; Máxx : 1.5 ; Re jilla x : 25 ; Míny : −3 ; Máxy : 3 ; Re jilla y : 25 ; Mínz : −3 ; Máxz : 3
ángulo θ : 40 ; ángulo φ : 70 ; míns : 0 ; máxs : π ; mínt : 0 ; máxt : 2π .
⎧x=0
⎪
e) C : ⎨ y = 3(s − sen(s)) para 0 ≤ s ≤ 2π ; Eje OY
⎪ z = 3(1 − cos( s))
⎩
Mínx : −6 ; Máxx : 6 ; Re jilla x : 25 ; Míny : 0 ; Máxy : 20 ; Re jilla y : 25 ; Mínz : −6 ; Máxz : 6
ángulo θ : 40 ; ángulo φ : 70 ; míns : 0 ; máxs : 2π ; mínt : 0 ; máxt : 2π .
⎧ x = 3 cos 3 (s)
⎪⎪
f) C : ⎨ y = 0
para 0 ≤ s ≤ 2π ; Eje OZ.
⎪ z = 3sen 3 (s)
⎪⎩
Mínx : −3 ; Máxx : 3 ; Re jilla x : 25 ; Míny : −3 ; Máxy : 3 ; Re jilla y : 25 ; Mínz : −3 ; Máxz : 3
ángulo θ : 40 ; ángulo φ : 70 ; míns : 0 ; máxs : 2π ; mínt : 0 ; máxt : 2π .
16