TRABAJO DE INTEGRACIÓN: 3.1 Demostración de la fórmula para

TRABAJO DE INTEGRACIÓN:
3.1 Demostración de la fórmula para el cálculo de longitudes de curvas conocida la función
que las define.
En este apartado trataremos el antiguo problema de como medir la longitud de una curva.
Antiguamente, los métodos empleados se basaban en el uso de segmentos que aproximaran la
curva para que la suma de longitudes de dichos segmentos se correspondiera con una
aproximación de la longitud de la curva. Trivialmente, al aumentar el número de segmentos
(disminuyendo la longitud de cada uno) la apoximación llevada a cabo era cada vez mejor. Con la
aparición de las herramientas del cálculo infinitesimal (en ambos sentidos, derivación e
integración) se pudo dar solución a muchos de estos problemas. Precisamente, en este apartado
probaremos la validez de la fórmula de la integral definida de 1 + f '(x)² entre “a” y “b” para
calcular la longitud del grafo de f(x) entre “a” y “b”.
Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función , y
suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva que va desde un punto a uno
. Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas
concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este
método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean
iguales a , de manera que para cada uno existirá un cateto asociado, dependiendo del tipo de
curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa, , al aplicarse el teorema de
Pitágoras. Así, una aproximación de estaría dada por la sumatoria de todas aquellas hipotenusas
desplegadas. Por eso se tiene que:
Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se calcula cada hipotenusa
para llegar a una nueva expresión;
Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:
Ahora bien, mientras más pequeños sean estos segmentos, mejor será la
aproximación buscada; serán tan pequeños como se desee, de modo que tienda
a cero. Así, se convierte en , y cada cociente incremental se transforma en un
general, que es por definición . Dados estos cambios, la aproximación anterior se
convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos
segmentos infinitesimales;
3.2 Estimación de la ecuación de la cadena y la longitud de esta.
Es globalmente conocido que al sostener una cadena o cuerda por sus dos extremos, estando
esta sometida a la acción de un campo gravitatorio constante, se obtiene una forma curva.
Aunque antiguamente se asociaba esta forma a la de una parábola, posteriormente se probó que
la ecuación que sigue esa figura formada es la de una catenaria. La pretérita asociación
probablemente venga debida a la terrible semejanza que presentan el grafo de una catenaria y el
de una parábola; haciéndolos a pequeña escala de medición casi indistinguibles. De hecho, nos
apoyaremos en esta realidad para trabajar con una ecuación polinómica posteriormente (y no la
propia de la catenaria).
La ecuación de la parábola en el plano XY es la habitual y archiconocida y = ax² + bx + c
mientras que la ecuación de la catenaria viene dada por la siguiente expresión: y = a*cosh(x/a)
denotando “cosh” al coseno hiperbólico. Aunque en un principio parece bastante más cómodo,
sencillo y realista usar la ecuación de la catenaria, esto no es así por diversos problemas:
1) A pesar de que la ecuación de la catenaria tenga un solo parámetro por determinar,
trabajar con funciones no polinómicas complica la parte de aproximar la catenaria (ya que
al depender de solo un parámetro, si las mediciones no son realistas el error será mucho
mayor que el dado por un ajuste parabólico (3 parámetros)
2) La aproximación por parábola es realmente buena en longitudes inferiores a 60 metros si
no queremos una precisión milimétrica.
3) Para calcular la longitud de la cadena resulta mucho más sencillo integrar una función
polinómica.
Podríamos recurrir a técnicas de regresión para el cálculo de la parábola, pero veremos que con
un ajuste con el “método de la vieja” salen unos resultados casi perfectos. Antes de nada, los
datos obtenidos son los siguientes:
La proyección de la cadena en el eje OX (proyección contra el suelo) mide 3.10 metros. Como la
altura en el vértice son 50 centímetros, hemos tomado como vértice el punto (0, 0.50). Hemos
de añadir que este punto es el mínimo.
La altura en los extremos son, respectivamente, 1.36 y 1.38 con lo que hemos tomado como
altura de referencia en los postes 1.37 metros. Con lo que estos puntos serán (-1.55, 1.37) y
(1.55, 1.37).
Tenemos ya tres condiciones (dos puntos (uno de los simétricos no lo contamos) y que uno de
esos puntos es, además, mínimo). Como comprobación de que la parábola resulta en una buena
aproximación, contrastaremos la ecuación que obtengamos con los puntos (0.93, 0.80), (-0.93,
0.80) (medidos empíricamente).
Usando las tres primeras condiciones para averiguar los parámetros a,b,c tenemos que f (0)=0.5,
f (1.55)=1.37, f '(0)=0; por lo que:
I) a*0² + b*0 + c = 0.5; lo que implica claramente c=0.5
II) 2*a*0 + b = 0; lo que implica claramente b=0
III) a*1.55² + b*1.55 + c = 1.37; que sustituyendo con lo ya obtenido queda aproximadamente
esto: a = (0.87/1.55²) = 0.36
En resumen, la ecuación obtenida es y = 0.36x² + 0.5
Contrastando con el punto que no hemos utilizado para el cálculo de esta parábola (0.93, 0.80)
tenemos que:
0.36*x² + 0.5 = 0.81 aproximadamente; que se ajusta muy bien a 0.80.
Por tanto, sin haber seguido una metodología compleja tenemos unos resultados aproximativos
que podemos valorar como buenos o muy buenos.
Según lo visto anteriormente la función a integrar entre -1.55, 1.55 sería: (1 + (0.5 + 0,36x²)²).
Nuestras medidas empíricas auguraban una longitud de cadena aproximada de 4.05 metros
(usamos el metro curvándolo para medir la longitud de cadena), mientras que el cálculo de esta
integral definida; resuelta por métodos computacionales nos da 3.99 metros, aproximable a 4
metros para redondear.
En resumen, podemos considerar que la medida de 4 metros para la longitud de cadena es buena
y este apartado del trabajo ha sido desarrollado satisfactoriamente.