unidad iii hidrocinemtica

HIDRÁULICA GENERAL
UNIDAD III HIDROCINEMATICA
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA
FACULTAD DE AGRONOMÍA
HIDRÁULICA
UNIDAD III. HIDROCINEMÁTICA
Introducción.
La hidrocinemática o cinemática de los líquidos se ocupa del estudio de las
partículas que integran el campo de flujo de un fluido, sin considerar la masa ni las
fuerzas que actúan sobre el fluido. Para el estudio del movimiento de las partículas
se requiere del conocimiento de algunas magnitudes cinemáticas de las mismas
como la velocidad y aceleración.
En este curso nos ocuparemos del estudio de la velocidad y aceleración
únicamente, para ello es necesario definir algunos conceptos como: campo o
región de flujo, trayectoria, línea de corriente, superficie de flujo y vena fluida.
Campo o región de flujo: es cualquier región en el espacio donde hay un fluido
en movimiento, con la única condición de que la región o subregión de flujo debe
quedar íntegramente ocupada por el fluido.
En cada punto del campo de flujo es posible determinar o especificar una serie de
magnitudes físicas, ya sea escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su
vez campos independientes, o dependientes dentro del flujo. Como ejemplo de
campos escalares se puede mencionar la presión, densidad y temperatura; como
campos vectoriales se clasifican la velocidad, la aceleración y la rotación; mientras
que como campos tensoriales podemos mencionar el esfuerzo, deformación
unitaria y momento de inercia.
Las magnitudes físicas de los campos escalares y vectoriales de un campo de
flujo son funciones de punto y de tiempo, ya que su magnitud puede variar no sólo
de un punto a otro, sino también (en un punto fijo) de un instante a otro.
3.1. Velocidad y aceleración
Campo de velocidades
El análisis del movimiento de una partícula de fluido que recorre una curva se
puede hacer de dos maneras diferentes;
a) por el conocimiento del vector posición r, de la partícula, como una función
vectorial del tiempo t.
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b) por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función caminorecorrido. En este caso la posición de la partícula se determina por la
longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto
origen), como una función escalar del tiempo.
El vector velocidad de una partícula fluida se define como la rapidez temporal del
cambio en su posición. Si se considera el seguimiento del vector de posición sobre
una curva determinada, entonces la velocidad queda definida por:
v=
dr
dt
(3.1)
donde dr representa el vector diferencial de arco sobre la curva, que recorre la
partícula en el tiempo dt.
La velocidad es entonces un campo vectorial dentro de un campo de flujo, y al
desplazarse la partícula según la curva C, es un vector tangente en cada punto de
la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y del tiempo:
v = v(r , t )
La velocidad, en términos de sus componentes según los tres ejes coordenados
elegidos, se puede escribir;
v = vxi + v y j + vz k
(3.2)
Entonces dichas componentes de la velocidad son también funciones de la
posición de la partícula y del tiempo:
v x = v x ( x, t ) =
dx
dt
(3.3)
v y = v y ( y, t ) =
dy
dt
(3.4)
v z = v z ( z, t ) =
dz
dt
(3.5)
Puesto que la magnitud del vector dr es
dr =
dr
dt = ds
dt
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dr =
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dr ds
=
dt
dt
donde ds es el elementos diferencial de arco sobre la trayectoria, resulta que la
magnitud de la velocidad es
2
2
ds
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞
v=
= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
dt
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
2
(3.6)
Campo de aceleraciones
El campo vectorial de aceleraciones es derivado del de velocidades, ya que el
vector aceleración de una partícula en un punto se define como la variación
temporal de la velocidad en ese punto, esto es;
dv
(3.7)
a=
dt
de acuerdo con las derivadas parciales y considerando cada una de las
componentes del vector velocidad, tenemos;
ax =
ay =
az =
dv x ⎛ ∂v x
∂v
∂v ⎞ ⎛ ∂v ⎞
= ⎜⎜ v x
+ v y x + v z x ⎟⎟ + ⎜ x ⎟
∂y
∂z ⎠ ⎝ ∂t ⎠
dt ⎝ ∂x
(3.8)
∂v y
∂v y ⎞ ⎛ ∂v y
⎛ ∂v y
⎟+⎜
= ⎜⎜ v x
+ vy
+ vz
dt ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎟⎠ ⎜⎝ ∂t
(3.9)
dv y
dv z ⎛ ∂v z
∂v
∂v
= ⎜⎜ v x
+ v y z + vz z
dt ⎝ ∂x
∂y
∂z
⎞
⎟⎟
⎠
⎞ ⎛ ∂v z ⎞
⎟⎟ + ⎜
⎟
⎠ ⎝ ∂t ⎠
(3.10)
como puede observar son función de punto y tiempo.
La aceleración de las partículas de fluido pueden considerarse como la
superposición de dos efectos:
a) En el instante t, se supone que el campo es independiente del tiempo; en
estas circunstancias la partícula cambiará de posición en ese campo y su
velocidad sufrirá variaciones en los diferentes puntos del mismo. Esta
aceleración debida a cambio de posición, se llama convectiva, y está dada
por las expresiones contenidas en los primeros paréntesis de las
ecuaciones anteriores.
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b) b) En el término del segundo paréntesis de las ecuaciones anteriores, la
aceleración no proviene del cambio de posición de la partícula, sino de la
variación de la velocidad en la posición ocupada por la partícula al
transcurrir el tiempo. A esta aceleración se le llama aceleración local.
3.2. Clasificación de los flujos
Existen diferentes criterios para clasificar los flujos:
Los flujos pueden ser permanentes o no permanentes; uniformes o no uniformes,
tridimensional, bidimensional o unidimensional; laminar o turbulento;
incomprensible o compresible; rotacional o irrotacional; etc.
a) Si existen variaciones en el tiempo
Flujo permanente: en este tipo de flujo las propiedades físicas de un fluido como
la densidad y la viscosidad, y las características del movimiento como presión,
velocidad y esfuerzo tangencial, permanecen constantes en el transcurso del
tiempo o bien si las variaciones son muy pequeñas con respecto a sus valores
medios y éstos no varían con el tiempo.
∂v
= 0;
∂t
∂ρ
= 0;
∂t
∂τ
= 0;
∂t
∂μ
= 0; etc
∂t
Flujo no permanente: es todo lo contrario al flujo permanente.
b) Si existen variaciones en el espacio
Flujo uniforme: Si en un instante particular el vector velocidad es idéntico en
cualquier punto del flujo, se dice que el flujo es uniforme. En general, puede
expresarse como que las propiedades físicas del fluido y las características de
movimiento del mismo, permanecen constantes a lo largo de la trayectoria de
movimiento de una partícula de fluido.
∂v
= 0;
∂x
∂ρ
= 0;
∂x
∂τ
= 0;
∂x
∂μ
= 0; etc
∂x
Flujo no uniforme: si las características del movimiento de las partículas del
fluido y las propiedades físicas del mismo varían de una posición a otra.
c) De acuerdo con las componentes del vector velocidad
Flujo tridimensional: es aquel que varía en el espacio, o sea que los gradientes de
flujo existen en las tres direcciones de un plano cartesiano.
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dv ⎛ ∂v ∂v ∂v ⎞
=⎜ +
+ ⎟ si ds representa el cambio en el espacio en sus tres ejes
ds ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎟⎠
coordenados.
Flujo bidimensional: en este las componentes del vector velocidad se presentan
en dos ejes en una familia de planos, no habiendo componente en la dirección
perpendicular a dicho plano.
dv ⎛ ∂v ∂v ⎞
=⎜ + ⎟
ds ⎜⎝ ∂x ∂y ⎟⎠
∂v
=0
∂z
Flujo unidimensional: es el flujo que se presenta en una sola dirección, siendo
las trayectorias de las partículas paralelas entre sí, por lo que, el vector velocidad
se puede representar con una sola componente, siendo esta el mismo vector
velocidad.
r
v=v
d) De acuerdo a la existencia de variación en la densidad del fluido.
Flujo incompresible: En este tipo de flujo la densidad de las partículas que
constituyen el fluido mantienen constante su densidad a través del tiempo y el
espacio. Esto es:
∂ρ
= 0;
∂t
∂ρ
= 0 ; ∂s es la variación en el espacio.
∂s
Flujo compresible: es el flujo con características contrarias a las del flujo
incompresible.
∂ρ
≠ 0;
∂t
∂ρ
≠0
∂s
e) Considerando la viscosidad del fluido
Flujo real: en este caso, se considera que la viscosidad del fluido en movimiento
es mayor que cero, generando esfuerzos cortantes entres sus partículas y
respecto a las fronteras del mismo.
μ > 0; τ > 0;
Flujo ideal: para que un flujo sea ideal se debe considerar que la viscosidad del
fluido en movimiento es igual a cero o prácticamente despreciable. En el caso de
un fluido teórico se considera que la viscosidad es nula μ = 0 y τ = 0 ; del mismo
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modo se puede presentar el caso de un fluido real pero fuera del alcance del
efecto friccionante provocado por el contacto entre el fluido y las fronteras que
limitan el campo de flujo.
zonas sin fricción
zonas de fricción (velocidad variable)
se generan vórtices por las irregularidades de la
pared
Figura 3.1.- Efecto de la viscosidad del fluido sobre un líquido.
f) Considerando la turbulencia del flujo
La turbulencia de un flujo se define como el estado de agitación de las partículas
del fluido en movimiento. La turbulencia es un resultado propiamente de la
viscosidad del fluido y se mide de acuerdo con una clasificación establecida por
Reynolds (conocida como número de Reynold). De acuerdo con el número de
Reynolds los flujos se clasifican en:
Flujo laminar: este flujo se caracteriza porque el movimiento de las partículas se
produce siguiendo trayectorias separadas perfectamente definidas, no
necesariamente paralelas, sin existir mezcla macroscópica o intercambio
transversal entre ellas. En tuberías trabajando completamente llenas
0 < Re < 2320 .
Figura 3.2.- Esquema de flujo laminar
Flujo transitorio: en este tipo de flujo la trayectoria de las partículas se ondulan,
sin llegar a presentarse el efecto de mezclado total. En este caso
2320 < Re < 3000 .
Flujo turbulento: En este flujo, las partículas se mueven sobre trayectorias
completamente erráticas, sin seguir un orden establecido; se presenta en flujos
con grandes velocidades y se puede reconocer fácilmente por la gran irregularidad
del movimiento. De acuerdo con el número de Reynolds Re>3000.
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Figura 3.3.- Esquema de flujo turbulento
Métodos para describir un flujo
Con el fin de obtener la representación completa de un flujo, es necesario
determinar la posición de cada partícula en cada instante y después encontrar la
velocidad en cada posición, a medida que el tiempo transcurre.
Para estudiar el movimiento de las partículas se utilizan dos métodos: el método
euleriano o local y el método lagrangiano o molecular.
Método euleriano: consiste en determinar las características cinemáticas en cada
punto de un flujo y en cada instante, sin considerar el destino que tenga cada
partícula individual. Una vez elegida la posición de una partícula en el espacio, sus
características cinemáticas son funciones del tiempo, a saber:
v=v(r,t)
Método lagrangiano: Consiste en determinar las características cinemáticas del
movimiento de cada partícula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Una vez
identificada una partícula por su posición inicial r0(x0,y0,z0), en el instante t = t0, en
otro instante cualquiera t, la misma partícula se encuentra en la posición r (x,y,z).
Entonces la posición de la partícula se tiene conocida en cualquier instante si el
vector de posición r se determina como función del tiempo t y la posición inicial r0;
o sea:
r=r(r0,t)
3.3. Líneas de corriente
Trayectoria: es la línea definida por las posiciones sucesivas de una partícula en
el seno de un fluido en movimiento a través del espacio y el tiempo.
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t1 = t0 + Δt
z
t0
Trayectoria de una partícula
y
x
Figura 3.4.- Trayectoria de una partícula.
Línea de corriente: es toda línea trazada en el interior de un campo de flujo, de
manera que la tangente en cada uno de sus puntos, proporciona la dirección del
vector velocidad correspondiente al mismo punto. En un flujo permanente, las
líneas de corriente coinciden con la trayectoria de una partícula.
Línea de corriente
Figura 3.5.- Representación gráfica de una línea de
corriente
Estas condiciones corresponden a un flujo no permanente en un instante
particular; al cambiar de un tiempo a otro, la configuración de las líneas de
corriente será distinta. Desde el punto de vista euleriano se obtiene una serie de
líneas de corriente dentro de un flujo para diferentes instantes.
De la definición de línea de corriente, el vector diferencial de arco (ds) y el vector
velocidad son paralelos, de manera que de la ecuación (3.6), puede escribirse:
ds = vdt
(3.11)
esta ecuación representa la “ecuación de la línea de corriente”. En términos de
sus componentes es:
dx = v x dt
dy = v y dt
dz = v z dt
o bien para el instante t0 considerado, se pueden escribir de la manera siguiente:
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dx
dy
dz
=
=
v x ( x, y , z , t 0 ) v y ( x, y , z , t 0 ) v z ( x, y , z , t 0 )
(3.12)
que forman un sistema de tres ecuaciones diferenciales.
Superficie de flujo: es el espacio geométrico definido por las fronteras de un
escurrimiento, y satisface la condición de que ninguna partícula pueda pasar a
través de ella. El vector velocidad de las partículas que integran esta superficie,
forman una tangente con dicha superficie. Si la superficie de flujo es cerrada
adquiere el nombre de tubo de flujo.
Superficie de flujo o corriente
Figura 3.6.- Representación gráfica de una superficie de flujo
o corriente.
Vena fluida: es el volumen encerrado por una superficie de corriente o flujo.
3.4. Concepto de gasto o caudal
En un intervalo dt, el volumen de fluido que atraviesa el elemento de superficie dA
queda determinado por el producto escalar de los vectores: el diferencial de arco
ds sobre la línea de corriente que pasa por un punto determinado, y el vector
diferencial de superficie dA.
Considerando entonces que ds = vdt, el volumen de fluido que pasa a través del
elemento dA vale:
dV = ds . dA = v . dA dt
El flujo de volumen a través de toda la superficie S queda definido por la ecuación:
Q=
dV
= v.dA
dt ∫∫A
(3.13)
cuyas dimensiones son [L3T-1]. Este flujo de volumen se conoce como gasto o
caudal.
Si en un flujo la superficie S se escoge de modo que las líneas de corriente sean
normales a ella en cada punto, de la ecuación (3.11) el gasto se puede calcular de
la siguiente manera:
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Q = ∫∫ v.dA
(3.14)
A
Al promedio de la velocidad que pasa a través de la superficie S de área A, se
conoce como velocidad media, y se calcula de la siguiente manera:
V=
∫∫ v.dA = Q
A
A
(3.15)
A
y equivale a suponer que la velocidad se distribuye uniformemente sobre toda la
superficie, con un valor constante V y en dirección perpendicular a la misma.
dA
v
ds
Figura 3.6.- Deducción del gasto o
caudal
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