APLICACIONES DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES. Ejemplo 1.

APLICACIONES DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES.
Ejemplo 1.
El cambio de la presión respecto a la profundidad en un fluido (gas o líquido) está dada
por
dP
  g
dz
donde P es la presión, z es la profundidad,  es la densidad y g la gravedad.
1. Si se considera que en los líquidos la densidad es constante, encontrar una función
que describa la presión como función de la profundidad.
kg
2. Si la densidad del agua de mar es 1024 3 y la presión en la superficie del
m
océano es de 101 300 Pascales,
1. encontrar la ecuación que describe la presión respecto a la profundidad,
2. encontrar la presión promedio entre superficie y 30 metros de
profundidad, y
3. encontrar la razón de cambio de la presión respecto a la profundidad a los
30 m de profundidad.
3. En los gases, se sabe que la presión P=RT donde R es la constante universal de
los gases y T es la temperatura. Encontrar la función que describe la presión como
función de la profundidad (altura de la atmósfera) si la densidad del aire es de
kg
1.24 3 y la presión a nivel del mar es de 101 300 Pascales.
m
1. Calcular la presión promedio entre los 10000 y 20000 m de altura.
2. Obtener la presión en a una altitud de 1000 m sobre el nivel del mar.
3. Encontrar la razón de cambio de la presión respecto a la altura a los 1000
m sobre el nivel del mar.
m
4. Si la densidad es  
donde m es la masa y V el volumen, calcular la masa en
V
1 m 3 de aire a nivel del mar y la masa en 1 m 3 de aire a 1000 m de altura.
5. Comparar ambas funciones y describir sus diferencias.
Ejemplo 2.
La ley de enfriamiento de Newton establece que
dT
 k T  Ta 
dt
donde T es la temperatura, t el tiempo, k es una constante que depende del material y Ta
es la temperatura ambiental.
Al bajar la marea, agua de 17 grados centígrados se queda en una poza de mareas.
Después de una hora de exposición, el agua dentro de la poza de marea presenta una
temperatura de 16.5 grados centígrados.
1. Si la temperatura del ambiente es de 10 grados centígrados, encontrar una función
que describa la temperatura respecto al tiempo. Determinar la temperatura y la
tasa de enfriamiento a las 6 horas.
2. Encontrar la temperatura promedio en las primeras 6 horas.
Si la temperatura ambiental es de 24 grados centígrados y a la hora de estar expuesta el
agua pasa de 17 a 17.8 grados centígrados,
1. Encontrar la función que describa la temperatura respecto al tiempo. Determinar
la temperatura y tasa de enfriamiento a las 6 horas.
2. Encontrar la temperatura promedio en las primeras 6 horas.
Ejemplo 3.
La concentración de organismos fitoplanctónicos crece exponencialmente durante una
marea roja. Si al iniciar la marea roja hay 10 organismos por litro y al día hay 184,
1. Encontrar la ecuación que describe el número de organismos como función del
tiempo.
2. Encontrar la ecuación que describe el crecimiento de los organismos como
función del tiempo.
3. Calcular el número de organismos promedio durante el segundo día.
4. Calcular el número de organismos y su crecimiento en el quinto día.
5. Cuando llega a haber 154543 organismos por litro deja de pasar suficiente luz
para que se de la fotosíntesis. Determinar en que tiempo sucede esto.
Ejemplo 4.
La población de un invertebrado varía respecto al tiempo de la siguiente manera

f t   100  1  e  kt

2
donde k es una constante, t es el tiempo en meses y f(t) es el número de organismos en
cientos.
1.
2.
3.
4.
Describir si la población va aumentando o disminuyendo.
Encontrar el valor de k si se sabe que al año hay 98 organismos.
Calcular el número de organismos y su razón de cambio a los 2 y 5 años.
Encontrar el número de organismos promedio durante el tercer año.
Ejemplo 5.
Una población de erizos varía respecto al tiempo de acuerdo a Pt   18  lnt  1 donde
P es el número de erizos y t el tiempo en meses.
1. Encontrar el número de erizos a los 10 meses y a los 10 días.
2. Calcular la razón de cambio del número de erizos respecto al tiempo.
3. Encontrar si la población está creciendo o decreciendo y a que razón a los 3 meses
o 30 meses. Discutir que se espera de la población al paso del tiempo.