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NOMBRE DE LA ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL
NOMBRE DEL ALUMNO:_________________________________________ GPO. ____
INSTRUCCIONES: CONTESTA
CONOCIMIENTOS PREVIOS
LOS
SIGUIENTES
PUNTOS
SEGÚN
TUS
1.- Describe qué son las constantes en matemáticas
2.- ¿Cuáles son las variables? Ejemplifica.
3.- ¿Qué entiendes por un maximizar? Ejemplifica.
4.- ¿Qué entiendes por minimizar? Ejemplifica.
5.- Si un rectángulo mide 5 metros por un lado y 20 metros por otro lado ¿Cuánto
vale su área?
6.- Si un rectángulo mide ‘b’ por un lado y ‘h’ por otro lado ¿Cuánto vale su área?
INSTRUCCIONES: CONTESTA CORRECTAMENTE LOS SIGUIENTES PUNTOS, Y
REALIZA GRÁFICAS CUANDO SE INDIQUE O CONSIDERES NECESARIO.
ESTRATEGIA DIDÁCTICA No. 2 CALCULAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN ÁREAS
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PROBLEMA 1. El gallinero. Una persona decide construir un gallinero en un
terreno que compró; sus ahorros sólo le alcanzan para comprar 50 metros
lineales de material para cercarlo. Si el terreno donde desea construir el gallinero
es de 20 metros por 40 metros ¿qué dimensiones deberá tener un gallinero de
forma de cuadrilátero (utilizando todo el material que compró) para que éste
abarque la mayor área posible y así encerrar la mayor cantidad de gallinas?
1.1 Realiza un dibujo en el que representes el terreno considerando en el
eje horizontal 20 metros y en el eje vertical 40 metros.
1.2 Indica con la letra b, el lado paralelo al lado del terreno de 20 metros.
El otro lado indícalo con la letra h.
1.3 Si el lado b vale 5 mts. realiza un dibujo y contesta las preguntas:
a) ¿Cuánto debe valer h si se dispone de solo 50 mts de cerco? _______
b) ¿Qué cantidad de área puede cercarse? _____________
1.4 Si el lado b vale 8 mts. realiza un dibujo y contesta las preguntas:
a) ¿Cuánto debe valer h si se dispone de solo 50 mts de cerco? _______
b) ¿Qué cantidad de área puede cercarse? _____________
1.5 En base a las respuestas que proporcionaste en los puntos 1.3 y 1.4 llena los
valores correspondientes en la siguiente tabla y calcula los restantes.
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Lado ‘b’
6 metros
8 metros
Lado ‘h’
Largo del cerco
Área cercada
b
1.5 De los valores que se listan en la tabla, ¿Cuál gallinero te parece que
representa la mejor opción?
RESPUESTA: El que mide b= ______ y h = ______ porque abarca un área de
____________
1.6 ¿Piensas que habrá unas medidas más exactas para lograr la mayor
cantidad de área cercada utilizando valores de 0.5 entre los valores
que se acercan a la máxima área cercada? ________
1.7 Si piensas que existe una mejor opción, ¿entre qué valores del lado ‘b’
se encuentra?
1.8 Llena la siguiente tabla considerando nuevos valores de ‘b’
Lado ‘b’
Lado ‘h’
Largo del cerco
Área cercada
1.9 De los valores listados en la segunda tabla, ¿cuál gallinero te parece
que representa la mejor opción?
RESPUESTA: El que mide b= ______ y h = ______ porque abarca un área de
____________
1.10 Ahora vamos a realizar una gráfica que muestre la relación del ÁREA
(A) en función del lado b.
a) ¿Cuál variable depende de cuál? _______ depende de ________
b) La variable dependiente es _______
c) La variable independiente es _______
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d) En la grafica ubica verticalmente los valores del Área y horizontalmente los
valores del lado ‘b’.
e) El DOMINIO de la función se refiere a todos los valores que puede tomar la
variable independiente, ¿Cuáles puede tomar en el eje horizontal?
(CONTESTAR SOLO EN BASE A LA GRÁFICA) ____________________
f) El RANGO o IMAGEN de la función se refiere a todos los valores que puede
tomar la variable dependiente, ¿Cuáles puede tomar en el eje vertical?
(CONTESTAR SOLO EN BASE A LA GRÁFICA) _____________________
1.11 Considerando los puntos anteriores a continuación obtendremos una
expresión matemática que represente a la gráfica anterior, este
expresión se conoce la función del problema.
Sabemos que 60 = 2b + 2h de esta expresión despeja la ‘h’
Ahora, el valor que obtuviste de ‘h’ sustitúyelo en la expresión A = b * h y obtén la
función del problema
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1.12 Ahora utilizando una de las reglas del cálculo diferencial, obtendremos el
máximo de la función.
REGLAS
d (C )
0
dx
d ( x)
1
dx
d (CV )
d (V )
C
dx
dx
d (Cx n )
 C nx n 1
dx
a) Adáptala a la expresión A en función de b.
b) Escríbela de una manera alternativa
c) Aplica la regla a la función del problema obtenida en el punto 1.11 para
obtener la derivada de la función.
d) Para obtener el máximo, el método consiste en igualar a cero la derivada de
la función y luego despejamos ‘b’.
e) ¿Encontraste el valor máximo de ‘b’ que obtuviste en la tabla del punto 1.8?
f) ¿Cuál método es más corto y directo, el de elaborar la tabla o el de derivar
la función?
g) ¿Cuál método te parece más fácil: el de elaborar la tabla o el de derivar la
función?
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1.13 Agrupándote en equipo, ya puedes resolver el problema similar 1 del cierre.
2.- PROBLEMA 2: La jaula del zoológico. Se desea construir una jaula rectangular
para encerrar a un león y sólo se cercarán tres lados, ya que se utilizará la barda
poniente del zoológico como cuarto lado. Si el material disponible para el cerco
son 30 metros lineales, halla las dimensiones de la jaula rectangular que tenga la
mayor área posible. En el siguiente dibujo se ilustra la situación:
2.1 Si el lado b vale 1 metro. realiza un dibujo y contesta las preguntas:
a) ¿Cuánto debe valer h si se dispone de solo 30 metros lineales de cerco?
_______
b) ¿Qué cantidad de área puede cercarse? _____________
2.2 Si el lado b vale 3metros. realiza un dibujo y contesta las preguntas:
a) ¿Cuánto debe valer h si se dispone de solo 30 metros lineales de
cerco? _______
b) ¿Qué cantidad de área puede cercarse? _____________
2.3 En base a las respuestas que proporcionaste en los puntos 2.1 y 2.2 llena los
valores correspondientes en la siguiente tabla y calcula los restantes.
Lado ‘b’
1 metro
3 metros
Lado ‘h’
Largo del cerco
Área cercada
b
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2.4 De los valores que se listan en la tabla, ¿Cuál jaula te parece que
representa la mejor opción?
RESPUESTA: El que mide b= ______ y h = ______ porque abarca un área de
____________
2.5 ¿Piensas que habrá unas medidas más exactas para lograr la mayor
cantidad de área cercada utilizando valores de 0.5 entre los valores que
se acercan a la máxima área cercada? ________
2.6 Si piensas que existe una mejor opción, ¿entre qué valores del lado ‘b’
se encuentra?
2.7 Llena la siguiente tabla considerando nuevos valores de ‘b’
Lado ‘b’
Lado ‘h’
Largo del cerco
Área cercada
2.8 De los valores listados en la segunda tabla, ¿cuál jaula te parece que
representa la mejor opción?
RESPUESTA: El que mide b= ______ y h = ______ porque abarca un área de
____________
2.9 Ahora vamos a realizar una gráfica que muestre la relación del ÁREA
(A) en función del lado b.
a)
b)
c)
d)
¿Cuál variable depende de cuál? _______ depende de ________
La variable dependiente es _______
La variable independiente es _______
En la grafica ubica verticalmente los valores del Área y horizontalmente
los valores del lado ‘b’.
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e) El DOMINIO de la función se refiere a todos los valores que puede tomar
la variable independiente, ¿Cuáles puede tomar en el eje horizontal?
(CONTESTAR SOLO EN BASE A LA GRÁFICA) ____________________
f) El RANGO o IMAGEN de la función se refiere a todos los valores que
puede tomar la variable dependiente, ¿Cuáles puede tomar en el eje
vertical?
(CONTESTAR SOLO EN BASE A LA GRÁFICA) _____________________
2.10 Considerando los puntos anteriores a continuación obtendremos una
expresión matemática que represente a la gráfica anterior, este
expresión se conoce la función del problema.
2.11 Ahora utilizando una de las reglas del cálculo diferencial, obtendremos el
máximo de la función.
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REGLA 1. Si f ( x)  C x n entonces f ' ( x)  C nxn1
c) Adáptala a la expresión A en función de b.
d) Escríbela de una manera alternativa
e) Aplica la regla a la función del problema obtenida en el punto 2.10
para obtener la derivada de la función.
f) Para obtener el máximo, el método consiste en igualar a cero la
derivada de la función y luego despejamos ‘b’.
g) ¿Encontraste el valor máximo de ‘b’ que obtuviste en la tabla del
punto 2.7?
h) ¿Cuál método es más corto y directo, el de elaborar la tabla o el de
derivar la función?
i) ¿Cuál método te parece más fácil: el de elaborar la tabla o el de
derivar la función?
2.12 Agrupándote en equipo, ya puedes resolver el problema similar 2 del
cierre.
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3.- PROBLEMA 3. La llantera. En un lote baldío de 50 metros por 100 metros
una compañía llantera requiere colocar la barda a un terreno rectangular de
550 metros cuadrados de superficie, dejando sin barda el lado que da al norte
porque será utilizado como entrada. ¿Qué dimensiones deberá tener el
terreno cercado para que la longitud de la barda sea la mínima? (Y se
mantenga un área bardeada de 550 metros cuadrados).
3.1 Realiza un dibujo en el que representes el terreno considerando en el eje
horizontal 100 metros y en el eje vertical 100 metros. (Aunque puede ser de
manera inversa)
3.2 Dibuja adentro del terreno, la cerca e indica con la letra b, el lado paralelo
al lado del terreno de 100 metros. El otro lado indícalo con la letra h.
¿Cómo se calcula el área?
3.3 Si el lado b vale 10 metros, y sabes que el área es 550 metros cuadrados,
despeja h, realiza un dibujo y contesta las preguntas:
a) ¿Cuánto debe valer h? _______
b) ¿Qué longitud tendrá la barda? _____________
3.4 Si el lado b vale 12 metros y sabes que el área es 550 metros cuadrados,
realiza un dibujo y contesta las preguntas:
a) ¿Cuánto debe valer h? _______
b) ¿Qué longitud tendrá la barda? _____________
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3.5 En base a las respuestas que proporcionaste en los puntos 3.3 y 3.4 llena los
valores correspondientes en la siguiente tabla y calcula los restantes.
Lado ‘b’
10 metros
12 metros
Lado ‘h’
Largo de la barda
Área cercada
b
3.6 De los valores que se listan en la tabla, ¿Cuál cerca te parece que
representa la mejor opción?
RESPUESTA: El que mide b= ______ y h = ______ porque abarca un largo
barda ____________
3.7 ¿Piensas que habrá unas medidas más exactas para lograr la menor
cantidad de cerco utilizando valores de 0.5 entre los valores que se
acercan a la mínima cerca obtenida antes? ________
3.8 Si piensas que existe una mejor opción, ¿entre qué valores del lado ‘b’ se
encuentra?
3.9 Llena la siguiente tabla considerando nuevos valores de ‘b’
Lado ‘b’
Lado ‘h’
Largo de la barda
Área cercada
3.10
De los valores listados en la segunda tabla, ¿cuál cerca te parece
que representa la mejor opción?
RESPUESTA: El que mide b= ______ y h = ______ porque abarca una longitud
de barda de ____________
3.11
Ahora vamos a realizar una gráfica que muestre la relación del
LARGO DE LA BARDA (L) en función del lado b.
a) ¿Cuál variable depende de cuál? _______ depende de ________
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b) La variable dependiente es _______
c) La variable independiente es _______
d) En la grafica ubica verticalmente los valores de la longitud de la barda y
horizontalmente los valores del lado ‘b’.
e) El DOMINIO de la función se refiere a todos los valores que puede tomar la
variable independiente, ¿Cuáles puede tomar en el eje horizontal?
(CONTESTAR SOLO EN BASE A LA GRÁFICA) ____________________
f) El RANGO o IMAGEN de la función se refiere a todos los valores que puede
tomar la variable dependiente, ¿Cuáles puede tomar en el eje vertical?
(CONTESTAR SOLO EN BASE A LA GRÁFICA) _____________________
3.12
Considerando los puntos anteriores a continuación obtendremos una
expresión matemática que represente a la gráfica anterior, este expresión
se conoce la función del problema.
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3.13 Ahora utilizando una de las reglas del cálculo diferencial, obtendremos el
mínimo de la función.
REGLA 1. Si f ( x)  C x n entonces f ' ( x)  C nxn1
a) Adáptala a la expresión L en función de b.
b) Escríbela de una manera alternativa
c) Aplica la regla a la función del problema obtenida en el punto 3.12 para
obtener la derivada de la función.
d) Para obtener el mínimo, el método consiste en igualar a cero la derivada de
la función y luego despejamos ‘b’.
e) ¿Resultó igual el valor mínimo de ‘b’ que obtuviste en la tabla del punto
3.9?
f) ¿Cuál método es más corto y directo, el de elaborar la tabla o el de derivar
la función?
g) ¿Cuál método te parece más fácil: el de elaborar la tabla o el de derivar la
función?
3.14 Agrupándote en equipo, ya puedes resolver el problema similar 3 del
cierre.
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INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes
conocimientos adquiridos previamente.
ejercicios
para
reforzar
los
1.- Un ranchero necesita hacer un corral para encerrar su ganado. Para ello
dispone de suficiente material para construir 171 metros lineales de cerco.
¿Cuánto deberán medir los lados de un corral rectangular que contenga la mayor
superficie posible (que utilice en su construcción los 171 metros lineales de
cerco), con objeto de encerrar la mayor cantidad de ganado? RECOMENDACIÓN:
Para el llenado de la primera tabla utiliza los siguientes valores para la base: 5, 12,
15, 20, 30, 35, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 150, b.
Realiza las mismas actividades que se te plantearon en el problema 1 del
desarrollo.
2.- El corral del granjero. Un granjero quiere construir un corral en forma de
cuadrilátero para encerrar cabras, sin embargo aprovechará el cerco de otro
corral a la izquierda, de tal manera que solo se cercarán 3 lados. Si el material
disponible para el cerco es de 40 metros lineales, encuentra las dimensiones del
corral en forma de cuadrilátero para que tenga la mayor cantidad de área cercada.
3.- La oficina. Una empresa desea construir con 3 paredes de concreto su oficina
rectangular de 300 metros cuadrados de área en un lote baldío de 30 por 60
metros. Hallar las dimensiones de la oficina cuya suma del largo de las paredes
sea la mínima. Al norte no tendrá pared de concreto, debido a que será de cristal.
NOTA IMPORTANTE: ESTA ESTRATEGIA DIDÁCTICA ESTÁ ELABORADA BASÁNDOSE
PRINCIPALMENTE EN LOS PROBLEMAS QUE CONTIENE EL LIBRO DEL FONDO DE
CULTURA ECONÓMICA Y DGETI – SEP, CUYO TÍTULO ES CÁLCULO DIFERENCIAL
ELABORADO PARA DGETI POR EL DOCENTE HIPÓLITO ORDUÑO VEGA.
FECHA LÍMITE PARA PRESENTAR Y SELLAR ESTA SECUENCIA: _____________
SELLO DEL MAESTRO:
NOMBRE DEL ALUMNO(A):___________________________________________
FECHA: ESTRATEGIA
________________________________
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