Capítulo 6 y 7 - Módulo de Probabilística

Estadística Probabilística
6. Tablas de contingencia y diagramas de árbol.
En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y
práctico organizar la información en una tabla de contingencia (Posibilidad de que algo suceda o no suceda)o
en un diagrama de árbol.
Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos
podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a
partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la solución del problema.
6.1. Conversión de una tabla en diagrama de árbol
Las tablas de contingencia están referidas a dos eventos que presenta cada uno dos o más posibilidades. En el
caso de los sucesos A, Ac, B yBc, expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades, la tabla
adopta la forma adjunta.
A
Ac
TOTAL
B
P( A
B)
P(Ac
B)
P( B )
Bc
P( A
Bc)
P( Ac
Bc)
P(Bc)
TOTAL
P( A )
P( Ac)
1
Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y Ac se les
ha asociado los sucesos B y Bc.
B
P(B|A)
A
P(A)
Bc
P(Bc|A)
P(B|Ac)
B
P(Ac)
Ac
P(Bc|A)
Bc
Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes,
deducidas de las relaciones análogas a:
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6.2. Conversión de un diagrama en tabla de contingencia
De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente si más
que utilizar la expresión
P(A
B ) = P( A ) P( B/A )·
para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.
Ejemplo 1
Un taller sabe que por término medio acuden por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con
problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas
mecánicos y 1 con problemas de chapa.
a. Calcule el porcentaje de los que acuden por la tarde.
b. Calcule el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
c. Calcule la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos, acuda por la mañana.
Solución
En las tablas de contingencia, con las frecuencias absolutas y los porcentajes, respectivamente, pueden verse
recogidos los datos del enunciado.
ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA TOTAL
MAÑANA
3
8
3
14
TARDE
2
3
1
6
TOTAL
5
11
4
20
ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA TOTAL
MAÑANA
0.15
0.40
0.15
0.70
TARDE
0.10
0.15
0.05
0.30
TOTAL
0.25
0.55
0.20
1.00
Las respuestas a las cuestiones planteadas basta leerlas en las tabla. Así, se obtiene:
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a. El 30% de los automóviles acude al taller por la tarde.
b. El porcentaje de vehículos ingresados con problemas mecánicos es el 55%.
c. La probabilidad buscada es:
P(acuda por la mañana/tiene problemas eléctricos) = (3/20)/(5/20) = 3/5 = 0.6
La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos, acuda por la mañana es del 60%.
6.3. Teorema de la Probabilidad Total
La probabilidad de un evento que se puede dar de varias formas es igual a la suma de los productos de las
probabilidades de que se den estas formas P(An), por las probabilidades de éste en cada una de esas formas
P(B/An).
n
P( B)   P( An )  P( B / An )
I 1
Ejemplo 1
Una población está formada por tres grupos étnicos: A con un 30%, B con un 10% y C con un 6O%. Además se
sabe que el porcentaje de personas con ojos claros en cada una de estas poblaciones es, respectivamente, del
20%, 40% y 5%. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo al azar de esta población tenga ojos claros?
Solución
Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que un individuo elegido al azar de esta población
tenga ojos claros es:
P(ojos claros) = P(A) x P(ojos claros/A) + P(B) x P(ojos claros/B) + P(C) x P(0jos claros/C )
= 0.3 x 0.2 + 0.1 x 0.4 + 0.6 x 0.05 = 0.13
La probabilidad de que un individuo escogido al azar de esta población sea de ojos claros es del 13%.
Ejemplo 2
Se realizó un censo en la ciudad de Medellín para saber la cantidad de personas que habita la ciudad. Sus
resultados fueron que el 0.6 son mujeres y el resto hombres. De las mujeres el 0.65 son menores de edad y el
0.35 son mayores de edad, mientras que en los hombres sucede lo contrario de las mujeres. Si se escoge una
persona al azar de este estudio, encuentre la probabilidad de que sea menor de edad.
Solución
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M = {Sea mujer}
A = {Sea menor de edad}
H = {Sea hombre}
B = {Sea mayor de edad}
P(A|M)=0.65
P(M)=0.6
P(B|M)=0.35
P(A|H)=0.35
P(H)=0.4
P(B|H)=0.65
P(A) = P(M  A)+ P(H  A)
P(A) = P(M).P(A|M)+P(H).P(A|H)
P(A) = 0.6 * 0.65 + 0.4 * 0.35
P(A) = 0.39 + 0.14
P(A) = 0.53 = 53% Es la probabilidad de que sean menores de edad.
Ejemplo 3
La aerolínea Avianca hizo una encuesta a igual número de usuarios en las ciudades de Bogotá y Medellín, con
el fin de tener una visión acerca de cuál es la opinión que tienen los usuarios del servicio que se presta. Los
resultados se presentan en la siguiente tabla:
Bueno
Regular
Malo
Medellín
24%
47%
29%
Bogotá
22%
36%
42%
Si un usuario encuestado es seleccionado al azar, encuentre la probabilidad de que considere que el servicio
de Avianca es bueno.
Solución
P(B) = P(Med  B)+ P(Btá  B)
P(B) = P(Med)*P(B|Med)+P(Btá)*P(B|Btá)
P(B) = 0.5 * 0.24 + 0.5 * 0.22 = 0.12 + 0.11 = 0.23
La probabilidad de que esta persona haya dicho que el servicio es bueno es del 23 %.
Para una mayor claridad puedes observar el diagrama adjunto.
Bueno
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P(B/Med) = 0.24
Medellín
Inicio
P(Med) = 0.5
P(Btá) = 0.5
Regular
Malo
P(R/Med) = 0.47
P(M/Med) = 0.29
Bueno
P(B/Btá) = 0.22
Bogotá
Regular P(R/Btá) = 0.36
Malo
P(M/Btá) = 0.42
Ejemplo 4
Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los
autobuses cubre el servicio de la primera línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera
línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%,
respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.
Solución
El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la
probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
P(Av) = P(L1)*P(Av/L1) + P(L2)*P(Av/L2) + P(L3)*P(Av/L3)
= 0.6*0.02 + 0.3*0.04 + 0.1*0.01
= 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025
La probabilidad de que un autobús sufra una avería es del 2.5%
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7. Teorema de Bayes
La técnica más antigua y mejor definida para manejar la incertidumbre es la Regla de Bayes, la misma que está
basada en la teoría clásica de la probabilidad. Las hipótesis son más o menos probables dependiendo de las
posibilidades de los hechos o evidencias que las sostienen. La probabilidades se calculan con base a la fórmula
general de la probabilidad condicional de Bayes o alguna transformación de la misma.
En su esencia, esta regla nos indica qué información es necesaria y el método para invertir la condición cuando
calculamos una probabilidad condicional. Si A y B son eventos y conocemos P(A/B), P(A/Bc), entonces
podemos calcular P(B/A). La necesidad de calcular éste ultimo valor a partir de la información disponible es
imprescindible para entender las consecuencias de algunas de nuestras decisiones.
Suponga que en el ejemplo 3 de la página 36, el cual habla sobre la opinión que tienen los usuarios de Bogotá
y Medellín acerca de la aerolínea Avianca, se quiere hallar la probabilidad de que al escoger una persona al
azar del estudio, ésta sea de Medellín, dado que dijo que el servicio era bueno.
Bueno
Medellín
Inicio
P(Med) = 0.5
P(Btá) = 0.5
Bogotá
P(B/Med) = 0.24
Regular
P(R/Med) = 0.47
P(M/Med) = 0.29
Malo
Bueno
P(B/Btá) = 0.22
Regular P(R/Btá) = 0.36
Malo
P(M/Btá) = 0.42
Solución
Según lo preguntado, deberíamos encontrar la probabilidad siguiente:
P(Med/B)
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De la formula de probabilidad condicional tenemos que:
P( Med  B)
P( B)
P( Med ) P( B / Med )
P( Med / B) 
P( Med  B)  P( Btá  B)
P( Med ) P( B / Med )
P( Med / B) 
P( Med ) P( B / Med )  P( Btá ) P( B / Btá )
P( Med / B) 
Lo que hicimos fue simplemente: aplicar en el segundo paso la regla multiplicativa de la probabilidad para el
numerador y la regla de la probabilidad total para el denominador. Ahora podemos reemplazar los valores en la
última fórmula pues todos son conocidos.
P( Med / B) 
0.5 * 0.24
0.12

 0.522
0.5 * 0.24  0.5 * 0.22 0.23
Lo cual quiere decir que la probabilidad de que la persona sea de Medellín, dado que dijo que el servicio es
bueno, es del 52.2%.
7.1. Deducción de la Fórmula de Bayes
Para realizar la deducción de esta última fórmula supongamos un espacio muestral que está dividido en n
fuentes de las cuales puede provenir un suceso A, así A1, A2, A3, ..., An y sea B un suceso cualquiera del que se
conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), luego, la probabilidad de que suceda algún evento A i, dado
que B sucedió, P(Ai/B) viene dada por:
P( Ai / B) 
P( Ai  B)
P( B)
P( Ai / B) 
P( Ai ) P( B / Ai )
P( A1 ) P( B / A1 )  P( A2 ) P( B / A2 )  ...  P( An ) P( B / An )
P( Ai / B) 
P( Ai ) P( B / Ai )
n
 P( A ) P( B / A )
j 1
j
Teorema de Bayes
j
Expresando en palabras este numerador y denominador, tendríamos que:
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P( Ai / B) 
Pr obabilidad ... para...el ...ca min o...de... Ai... y...B
Suma...de...todas...las... probabilid ades... para...las...rutas..a...B
Para i = 1,……n
P(Ai) : Son llamadas probabilidades a priori, ya que están dadas antes de que tengamos cualquier conocimiento
acerca del resultado de un evento que proviene de la fuente i.
P(Ai/B) : Es la probabilidad condicional “típica” o normal que trata con la probabilidad de un resultado en la
segunda etapa después que un resultado en la primera etapa ha ocurrido.
P(B/Ai) : Es la probabilidad inversa o sea, que trata con la probabilidad de un resultado en la primera etapa
dado que un resultado en la segunda etapa ha ocurrido. También se llama probabilidad a posteriori, (o
posterior) ya que es encontrada después que el resultado de la prueba es conocido.
En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como
con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problemas,
construyas una tabla de contingencia o un diagrama de árbol.
Ejemplo
El gerente de marketing de una firma fabricante de juguetes planea la introducción de un nuevo juguete al
mercado. En el pasado, 40% de los juguetes introducidos por esta firma han tenido éxito y 60% no lo han
tenido. Antes de lanzar el juguete al mercado, se lleva a cabo una investigación de mercados y se elabora un
informe, favorable o desfavorable. En el pasado, 80% de los juguetes con éxito recibieron informes favorables y
30% de los juguetes sin éxito también recibieron informes favorables. El gerente de marketing quería conocer la
probabilidad de que el nuevo juguete tendrá éxito si recibe un informe favorable.
El teorema de bayes se puede desarrollar a partir de las definiciones de probabilidad condicional y marginal en
la siguiente forma:
P(B  A) = P(B) P(A/B)
(1)
P(A  B) = P(A)P(B/A)
(2)
Con la ecuaciones (1) y (2) se tiene
P(B)(P(A/B) = P(A) P(B/A)
De modo que
P (B/A) =P (A/B) P(B)
P(A)
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P (A)= P(A/B1) P(B1) + P(A/B2) P(B2)+..........+ P(A/BK) P(BK)
El teorema de bayes es:
P(Bi/A)=
P(A/Bi) P(Bi)
.
P(A/B1) P(B1) + P(A/B2) P(B2)+..........+ P(A/BK) P(BK)
En donde Bi es el i-esimo evento de k eventos mutuamente exclusivos.
Ahora se puede usar el teorema de bayes para resolver el problema del fabricante de juguetes.
Sean
Evento E = juguete con éxito 
Ec =juguete sin éxito
Evento F =  informe favorable
Fc = informe desfavorable
Y
P(E)= 0.40
P(Ec )= 0.60
Entonces
P(E/F)=
P(F/E)= 0.80
P(F/ Ec )= 0.30
P(F/E) P(E)
.
c
c
P(F/E) P(E) + P(F/ E ) P(E )
=
(0.80) (0.40)
.
(0.80) (0.40) + (0.30) (0.60)
=
0.32 .
0.32 + 0.18
= 0.64
La probabilidad de que un juguete tenga éxito, dado que se recibió un informe favorable, es de 0.64. por tanto,
la probabilidad de que un juguete no tenga éxito puesto que recibió un informe favorable es de 0.36, porque
solo hay dos eventos posibles:
P(Ec’/F)= 1- P (E/F)
El denominador del teorema de Bayes representa la probabilidad total del evento F, en este caso un informe
favorable de la investigación de mercados. Por tanto, la proporción de juguetes que reciben informes favorables
de la investigación de mercados es de 0.50.
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