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UNIDAD 14
LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA
EJERCICIOS RESUELTOS
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad aplicarás las definiciones y los
elementos que caracterizan a la elipse y a la hipérbola en
las soluciones de ejercicios y problemas.
Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un lugar geométrico
y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
Ejercicios resueltos:
1.) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de sus
lados rectos igual a 9.
Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro se
encuentra en el punto medio entre ellos: C(0, 0).
La distancia c es:
c  03  3
b2  a2  c 2 ,
b2  a2  9
El lado recto es:
LR 
2b 2
9
a


2 a2  9
9
a
Sustituyendo:
2a 2  9a  18  0
a
  9 
a
 9 2  42 18
22
9  81  144 9  15

4
4
a1 
24
6
4
a2  
6
3

4
2
El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6.
b2  a2  9
b 2  36  9  27
La ecuación de la elipse es
x2 y2

1
27 36
2.) Los focos de una elipse son los puntos F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje
menor es 8. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su
excentricidad.
El eje focal es paralelo al eje y.
El centro tiene la misma abscisa que los focos: h = 3.
La distancia entre los focos es:
c
82
3
2
→ C(3, 5)
k=2+c= 2+3 =5
2b = 8
b=4
a2  b2  c2
a 2  16  9  25
Ecuación de la elipse:
x  32   y  52
16
25
Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10);
Excentricidad: e 
1
V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)
c
3
=
a
5
3.) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto
(4, 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta el
resultado.
Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0): d1 
 x  4 2   y  0 2
Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0: d 2 
d1 
 x  4
x 2  8 x  16  y 2 
 12
1
d2
2
2
 y2 =
2
 y2 
 x  4
x  16
1
 x  16 
2
1
2
 x  16 
4
1 2
1
x  32 x  256  x 2  8 x  64
4
4


3 2
x  y 2  48
4
3x 2
y2

1
4  48  48
x2 y2

1
64 48
El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje
mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a 2 48 .
4.) Un arco con forma de semielipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de
150m. Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera que
dividan en claro en tres espacios iguales.
Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la elipse) y el origen es su punto medio,
la ecuación es del tipo
x2 y2

 1 , con el semieje mayor, a = 75 y el semieje
a2 b2
menor, b = 45. Para que el claro se divida en tres partes iguales, la distancia de los
soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.
La ecuación es:
x2
y2

1
5625 2025
Para determinar la altura de los soportes, se hace x =  25 en la ecuación y se
despeja el valor de y:
 25
2
y2

1
5625 2025
625
y2

1
5625 2025
1
y2

1
9 2025
y2
8

2025 9
y2 
16200
 1800
9
y  30 2
Puesto que y es una longitud (la altura de los postes), se toma sólo la raíz positiva.
Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica.
Ejercicios resueltos:
1.) Encuentra los elementos de la hipérbola
y2 x2

1
9 16
a 2  9 ; b 2  16 → a = 3; b = 4
c2  a2  b2
c 2  9  16  25
c  5 (la raíz negativa se descarta)
Centro
C(0, 0)
Eje focal
El eje y
Vértices
V(0, 3),
V’(0, –3)
Focos
F(0, 5),
F’(0, –5)
Distancia focal
10
Longitud del eje transverso
6
Longitud del eje conjugado
8
Longitud de cada lado recto
2b 2
32
=
a
3
Excentricidad
Asíntotas
e
c
5
=
a
3
y
3
x ;
4
3
y x
4
2.) Encuentra la ecuación de la hipérbola horizontal que tiene su centro en (0, 0), su
lado recto mide 6 unidades y su excentricidad es
LR 
c
e 
a
7
2
2b 2
 6 → b 2  3a
a
a2  b2
7

a
2

a2  b2 7
→

4
a2

4 a 2  3a  7 a 2
 7 a 2  4a 2  12a  0
3a  12  0
a
12
 4 ; a 2  16
3
b 2  3(4)  12
Hipérbola horizontal:
x2 y2

1
a2 b2
La ecuación que se pide es:
x2 y2

1
16 12
3.) Determina la ecuación de la hipérbola con C(0, 0), eje focal sobre el eje y, y que
pasa por los puntos (4, 6) y (1, –3)
Hipérbola vertical:
y2 x2

1
a2 b2
Se sustituyen las coordenadas de los puntos por los que pasa:
(6) 2 (4) 2
36 16
 2 1 →

1
2
a
b
a2 b2
36b 2  16a 2  a 2 b 2
y:
(3) 2 (1) 2
 2 1 →
a2
b
9
1
 2 1
2
a
b
9b 2  a 2  a 2 b 2
Se despeja a2 en la segunda ecuación:
a 2 b 2  a 2  9b 2


a 2 b 2  1  9b 2
a2 
9b 2
b2 1
y se sustituye en la primera:
 9b 2   9b 2  2
   2
b
36b  16 2
b

1
b

1

 

2


39b 2 b 2  1  144b 2
9b 4

b2  1
b2  1
36b 4  36b 2  144b 2  9b 4
27b 4  108b 2  0
Se resuelve para b y se sustituye para calcular a:
27b 2  108
b2 
a2 
108
4
27
9(4) 36

4 1 5
La ecuación de la hipérbola es:
y2
x2

1
36
4
5
4.) Los vértices de una hipérbola son los puntos (–3, 2) y (–3, –2) y la longitud de su
eje conjugado es 6. Encuentra la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus
focos y su excentricidad.
V(–3, 2) y V’(–3, –2)
Centro de la hipérbola:
→ la hipérbola es vertical:
h = –3, k 
2   2
2

 y  k 2  x  h 2
a2
4
2
2
b2
1
→ C(–3, 0)
a = 02  2
Semieje transverso:
Eje conjugado 2b = 6
→ semieje conjugado: b = 3
 y  02  x  32
Ecuación de la hipérbola:
4
9
c  a2  b2 =
 3,
Focos:
4  9  13
 
13 ,  3,  13
e
Excentricidad:
1

13
2
Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una elipse o de
una hipérbola y las características de los coeficientes de una ecuación de
segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola.
Ejercicios resueltos:
1.) Comprueba que el lugar geométrico de la ecuación 2 x 2  4 y 2  3 x  12 y  6  0 es
una elipse y encuentra las coordenadas del centro, de los vértices y focos.
A = 2, C = 4, 2 ≠ 4, ambos son positivos.
D = 3, E = –12, F = 6;
2
2
CD 2  AE 2  4 ACF = 43  2 12   4246 
= 36 + 288 – 192 = 132 > 0
la ecuación sí representa una elipse. Por los valores de A y de C, tiene su eje focal
paralelo al eje x.
A  b 2 ; C  a 2 ; D  2b 2 h ; E  2a 2 k ; F  b 2 h 2  a 2 k 2  a 2 b 2
Por lo tanto:
a2 = 4; a = 2;
b2 = 2; b =
2;
c2  a2  b2 → c2  4  2  2
h
k 
D
3
=
2
4
2b
E
 12 3
=

2
8
2
2a
 3 3
C  ,  ;
 4 2
3
 3
5 3
 11 3 
V    2,  =  ,  , V’   ,  ;
2
 4
4 2
 4 2
3
3
 3
 3
F    2 ,  , F’    2 , 
2
2
 4
 2
2.) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el producto de las
pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos (–2, 1) y (4, 5) es igual a 3
Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (–2, 1):
m1 =
y 1
x   2 
Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (4, 5):
m2 =
y 5
x4
 y  1  y  5 
m1m2 = 

3
 x  2  x  4 
y2  5y  y  5
3
x 2  2x  4x  8

y 2  6 y  5  3 x2  2x  8

3 x 2  y 2  6 x  6 y  29  0
El lugar geométrico es una hipérbola.
3.) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tal que el producto de las
pendientes de las rectas que unen el punto P con los puntos fijos (3, –2) y (–2, 1) es
igual a 6 .
Pendiente de la recta que une a P con (3, –2): m1 
y2
x3
Pendiente de la recta que une a P con (–2, 1): m2 
y 1
x2
 y  2  y  1 
m1m2  

  6
 x  3  x  2 
y2  y  2
 6
x2  x  6

y 2  y  2  6 x 2  x  6

6 x 2  y 2  6 x  y  38  0
Es una elipse.
4.) Encuentra todos los elemento de la elipse 2 x 2  9 y 2  18  0
A = 2, C = 9, D = 0, E = 0, F = -18; 2 ≠ 9, ambos son positivos y C > A. La
ecuación no tiene términos en x ni en y por lo que el centro está en el origen.
2 x 2  9 y 2  18  0
2 x 2  9 y 2  18
x2 y2

1
9
2
c2  9  2  7
C(0, 0),
LR 
V(3, 0), V’(-3, 0);
4
;
3
e
7
;
3
F( 7 , 0), F’(- 7 , 0);
2a = 6; 2b = 2 2