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UNIDAD 13
LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA
EJERCICIOS RESUELTOS
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad aplicarás las definiciones y los
elementos que caracterizan a la circunferencia y a la
parábola en las soluciones de ejercicios y problemas.
Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
Ejercicios resueltos:
1.) Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB , donde
A(-2, 4) y B(6, -2)
C(h, k) = punto medio de AB :
h
k
x1  x 2
26
4
=
=
= 2
2
2
2
y1  y 2
4   2 
2
=
=
= 1
2
2
2
C(2, 1)
Radio = distancia de C a A
r = d CA 
 2  22  4  12
 16  9 =
25 = 5
r=5
Ecuación de la circunferencia:
x  2 2   y  12  25
x 2  4 x  4  y 2  2 y  1  25  0
x 2  y 2  4 x  2 y  20  0
2.) Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 1), y
cuyo centro está situado en la recta x  3 y  11  0
Por la definición del lugar geométrico de una circunferencia con centro en C(h, k):
d CA  d CB
h  22  k  32

h  12  k  12
h  2 2  k  32  h  12  k  12
h 2  4h  4  k 2  6k  9  h 2  2h  1  k 2  2k  1
 6h  4k  11  0
6h  4k  11  0
----------------------------- (1)
C(h, k) es un punto de la recta x  3 y  11  0 , por lo tanto satisface su ecuación:
h  3k  11  0
Se resuelven las ecuaciones (1) y (2) simultáneas
6h  4k  11  0
h  3k  11  0
h  3k  11
63k  11  4k  11  0
22k  55
--------------------------------(2)
k
5
2
7
 5
h  3    11 
2
 2
7 5
C  , 
2 2
2
r  d CB
2
7   5 
   1     1 =
2   2 
r 
81 49

4
4
1
130
2
La ecuación de la circunferencia es
2
2
7 
5
130

x   y   
2 
2
4

o, en la forma general,
x2  7x 
49
25 130
 y2  5y 

0
4
4
4
x 2  y 2  7 x  5 y  14  0
3.) Encuentra la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las
rectas:
R1 : 2 x  3 y  21  0
R2 : 3 x  2 y  6  0
R3 : 2 x  3 y  9  0
El término “inscrita” indica que la circunferencia está dentro del triángulo y su
centro, el punto C(h, k), es el punto donde se intersectan las bisectrices de los
ángulos interiores del triángulo.
a) Ecuación de la bisectriz (1) del ángulo que forman las rectas R1 y R2:
2 x  3 y  21
2
 2   3
2

3x  2 y  6
2
 3 2   2 
2 x  3 y  21 3 x  2 y  6

 13
 13
 2 x  3 y  21  3 x  2 y  6
 5 x  5 y  15  0
x y30
b) Ecuación de la bisectriz (2) del ángulo que forman las rectas R1 y R3:
2 x  3 y  21 2 x  3 y  9

 13
 13
2 x  3 y  21  2 x  3 y  9
 6 y  12  0
Con estas dos bisectrices se encuentra el punto donde se intersectan las tres, que es
el centro de la circunferencia de coordenadas (h, k):
De la bisectriz (2):
6 y  12  0 ; y 
12
2 = k
6
En la bisectriz (1): x  y  3  0 ; x  2  3  1 = h
El radio es la distancia del centro a cualquiera de las rectas, por ejemplo a R3:
r
2 1  32   9
2
2 3
2
=
13
 13
13
La ecuación de la circunferencia es:
x  12   y  2 2  13
x 2  2 x  1  y 2  4 y  4  13  0
x 2  y 2  2x  4 y  8  0
Objetivo 3. Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de
segundo grado que representa a una circunferencia y la necesidad de
conocer tres constantes independientes para determinar la ecuación de esta
curva. Utilizarás estos conceptos para resolver problemas.
Ejercicios resueltos:
Obtén la forma canónica de la ecuación que se da y determina si representa una
circunferencia real, un punto o ningún lugar geométrico real.
1.) x 2  y 2  8 x  6 y  29  0
x 2  8 x  16  y 2  6 y  9  29  16  9
x  4 2   y  32  4
Como r2 < 0, la ecuación no representa un lugar geométrico real.
2.) 3 x 2  3 y 2  6 x  6 y  6  0
x 2  y 2  2x  2 y  2  0
x 2  2x  1  y 2  2 y  1  2  1  1
x  12   y  12  4
Puesto que r = 2 > 0, la ecuación representa una circunferencia con centro en C(–1, 1) y
radio 2.
3.) Encuentra la forma canónica de la ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos (1, 3), (5, 2) y (3, 4).
1  h 2  2  k 2  r 2
......................(1)
5  h 2  2  k 2
 r 2 ......................(2)
3  h 2  4  k 2
 r 2 ......................(3)
Por igualación: (1) = (2) y (1) = (3):
1  h 2  2  k 2  5  h 2  2  k 2
........(4)
1  h 2  2  k 2  3  h 2  4  k 2
........(5)
De (4):
1  2h  h 2  4  4k  k 2  25  10h  h 2  4  4k  k 2
8h  24
h3
De (5):
1  2h  h 2  4  4k  k 2  9  6h  h 2  16  8k  k 2
4h  4k  20
hk 5
Sustituyendo h:
3 k  5
k2
El centro de la circunferencia es el punto C(3, 2)-
En (1):
1  h 2  2  k 2
 r2
1  32  2  22  r 2
4  0  r2
Entonces el radio es igual a 2, y la forma canónica de la ecuación es:
x  32   y  2 2
4
Objetivo 4. Recordarás y aplicarás la definición de la parábola como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
Ejercicios resueltos:
1.)
Encuentra el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto
de la parábola 3 y 2  8 x
3 y 2  8x ;
→
y2 
8
x →
3
4p 
8
→
3
p
2
> 0
3
El vértice está en el origen, el eje de la parábola es el eje x y abre a la derecha.
Resumiendo, la parábola tiene:
Vértice en
(0, 0)
Foco en
2 
 ,0 
3 
Directriz
x
Eje de la parábola y = 0
2
3
LR 
Lado recto
2.)
8
3
Encuentra la ecuación de la parábola de vértice en la recta 7 x  3 y  4  0 , eje
3 
horizontal y que pasa por los puntos (3, –5) y  ,1
2 
Eje horizontal
→
 y  k 2  4 p  x  h 
El punto (3, –5) pertenece a la parábola
→
3 
El punto  ,1 pertenece a la parábola
2 
→
 5  k 2
1  k 2
 4 p 3  h 
3

 4 p  h 
2

V(h, k) pertenece a la recta → 7 h  3k  4  0
Se tienen 3 ecuaciones y 3 incógnitas: h, k y p. Se debe resolver el sistema de
ecuaciones:
25  10k  k 2  12 p  4 ph
1  2k  k 2  6 p  4 ph
→
25  10k  k 2  12 p  4 ph  0
→
1  2k  k 2  6 p  4 ph  0
7 h  3k  4  0
en el que dos de las ecuaciones son de segundo grado.
Al restar una de otra se pueden eliminar los términos en k2 y en ph, con lo que se
obtiene una ecuación de primer grado:
k 2  10k  12 p  4 ph  25  0
k 2  2k  6 p  4 ph  1  0
12k  6 p
 24  0
En esta ecuación se puede despejar p en función de k, y en la tercera ecuación del
sistema original se puede despejar h en función de k:
12k  6 p  24  0
2k  p  4  0
p  2k  4
7h  3k  4  0
7h  4  3k
h
4  3k
7
Al sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones de segundo grado (en este caso en
la segunda) queda:
 4  3k 
k 2  2k  6  2k  4   4  2k  4  
 1  0
 7 
 4  3k 
k 2  2k  12k  24   8k  16  
 1  0
 7 
7k 2  14k  84k  168   8k  16  4  3k   7  0
7k 2  98k  168  32k  24k 2  64  48k  7  0
17k 2  114k  97  0
17 k 2  114k  97  0
k
114  1142  4 17  97 
k  1
34
y
k   97 17
Se encuentran dos conjuntos de valores para las incógnitas:
a) k = –1, h = 1, 4p = 8;
Ecuación:
b) k  
 y  12
 8 x  1
97
359
504
, h
, 4p  
17
119
17
2
97 
504 
359 

Ecuación:  y    
x 

17 
17 
119 

3.)
Encuentra la altura de un punto situado a una distancia de 8m del centro del arco
parabólico que tiene 18m de altura y 24m de base.
Colocando el arco en el plano de manera que el eje x sea la base del arco y el
origen el punto medio de la base, como la base mide 24m los dos puntos en que el
arco cruza al eje x son (–12, 0) y (12, 0); su vértice está en (0, 18) y el punto
situado a 8m del centro del arco tiene coordenadas (8, 0)
La ecuación es de la forma:
 x  h 2
 4 p y  k 
x  0 2
 4 p y  18
x 2  4 p y  18
La curva pasa por (12, 0), de modo que
122
 4 p0  18
144  72 p
p  2
Ecuación de la parábola:
x 2  8( y  18)
Altura del arco a 8m del centro:
82
 8 y  18
8 y  144  64
80
y
 10
8
Altura: 10m
Objetivo 5. Recordarás y aplicarás las características de los coeficientes de una
ecuación de segundo grado que representa a una parábola, y la necesidad
de tres condiciones para determinar su ecuación.
Ejercicio resuelto:
1.) Determina el lugar geométrico que representa la ecuación y 2  4 x  7
En este caso A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, por lo tanto representa a una parábola. Como el
término al cuadrado es el de y, su eje es paralelo, o coincidente, con el eje x. Su forma
canónica es:
y 2  4x  7
y 2  4 x  7
 y  02
7

 4 x  
4

7 
de modo que el vértice es: V  ,0  . Entonces el eje de la parábola coincide con el eje y.
4 