UNIDAD_2_Guia_mayo_08.pdf

2. 1
UNIDAD 2
EXPONENTES Y RADICALES
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los
que apliques las leyes de los exponentes y de los radicales.
Objetivos específicos:
1. Recordarás la notación exponencial, el concepto de base y el de exponente.
2. Recordarás la ley para multiplicar factores con la misma base y exponentes
enteros.
3. Recordarás el significado de los exponentes negativos y del exponente nulo.
4. Recordarás la ley para dividir factores con la misma base y exponentes enteros.
5. Recordarás la ley para elevar una potencia a otra potencia.
6. Recordarás las leyes para elevar un producto o un cociente a una potencia.
7. Recordarás la notación de radicales.
8. Recordarás el significado de los exponentes fraccionarios.
9. Recordarás las leyes para multiplicar y dividir factores con exponentes
fraccionarios o con radicales.
10. Racionalizarás expresiones algebraicas con radicales en el denominador.
11. Simplificarás expresiones algebraicas aplicando las leyes de los exponentes y los
radicales.
2. 2
Objetivo 1.
Recordarás la notación exponencial, el concepto de base y el de
exponente.
En la notación exponencial un número cualquiera se descompone en dos factores:
 Un número decimal cuyo valor generalmente está entre 1 y 10, y
 Una potencia de 10, es decir 10 elevado a la n (o sea, 10n).
El número final es el producto de ambos factores.
Ejemplos:
1.)
Para escribir en notación exponencial el número 1,322, se observa que
1, 322  1.322 1, 000 , de modo que
1, 322  1.322  103
2.)
Para escribir en notación exponencial el número 7,500,000,000, se observa que
7,500, 000, 000  7.5 1, 000, 000, 000 , por lo que
7,500, 000, 000  7.5  109
3.)
Para escribir en notación exponencial el número 64,100, se observa que
64,100  6.4110, 000 , así que
64,100  6.4110 4
En general, el número b a la n-ésima potencia, lo que se escribe como bn, y se lee b elevado a la n,
donde n es un número natural, significa:
b n  b  b  b  ...  b
(n factores)
En esta expresión, al número b se le conoce como la base y al número n como el exponente.
Así, en la expresión 32, el 3 es la base y el 2 es el exponente. La expresión 32 se lee tres elevado a
la dos, o tres al cuadrado, y significa:
32  3  3
2 factores 
2. 3
Ejemplos:
1.)
53  5  5  5  125
(3 factores)
2.)
5
2  2 2 2 22  32
(5 factores)
3.)
120  11 1  ... 1  1
(20 factores)
2
4.)
 3   3   3  9
      
 4   4   4  16
(2 factores)
Un signo negativo que precede directamente a una expresión que está elevada a una potencia tiene
el efecto de hacer negativa a toda la expresión. Entonces,  x 2 significa  x  x  y no  x  x  .
Ejemplos:
1.)
Para evaluar  x 2 si x  3 , se calcula:
x2  3  3  9
y luego se tiene  x 2  9
2.)
Para evaluar  x 2 si x  3 , se calcula:
x 2  33  9
y luego se tiene  x 2  9
Conviene observar que, de acuerdo con las Reglas de los Signos que se expusieron en la Unidad 1,
2
cuando x  0 ,  x  siempre será una cantidad positiva mientras que  x 2 siempre será una
cantidad negativa.
2. 4
Ejemplos:
1.)
52   5  5   25
2.)
5  55  25
2
Las operaciones con números elevados a potencias siguen varias leyes (Leyes de los exponentes)
que se exponen más adelante.
Objetivo 2. Recordarás la ley para multiplicar factores con la misma base y
exponentes enteros.
Ley I.- Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, su resultado es la misma base
elevada a una potencia igual a la suma de las potencias de los factores.
a a  a
m
n
mn
En otra palabras, para multiplicar expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base
común y se suman los exponentes.
Ejemplos:
1.)
x 3  x 5  x 3 5  x 8
2.)
32  34  32 4  36
3.)
3a   3a   3a 
2
5
2 5
7
 3a 
Objetivo 3. Recordarás el significado de los exponentes negativos y del exponente nulo.
Para cualquier número real, a, distinto de cero, y cualquier número natural m:
a m 
1
am
2. 5
Si a es cualquier número distinto de cero, entonces:
a0  1
Ejemplos:
1.)
2 3 
1
1
1


3
2
2 22 8
2.)
x 4 
1
1

4
x
x x  x  x
3.)
30  1
1
1

 x3
3
1
x
x3
4.)
Para entender mejor está última expresión, es conveniente recordar que para dividir dos
números basta con multiplicar al dividendo por el inverso del divisor, de modo que
x3
1
1
 1  3  1  x3
1
x
1
3
x
x 2
1

3
1
y
x2 3
y
5.)
Como en el ejemplo anterior, esta expresión se puede simplificar para dejar
1
x2

6.)
1
y3

1 1

x 2 y3
1 y3 y3
 2
x2 1
x
y 3
0
3x 

1
0
3x 
y3
2. 6

1
1
 3
3
1 y y
En la práctica, como se observa en estos ejemplos, en una fracción es posible mover un factor del
numerador al denominador, o viceversa, simplemente cambiando de signo a su exponente.
Objetivo 4.
Recordarás la ley para dividir factores con la misma base y exponentes
enteros.
Ley II.- Cuando se dividen dos potencias de la misma base, su cociente es la misma base elevada a
una potencia igual a la diferencia entre la potencia del dividendo y la del divisor.
am
 a m n
n
a
Es decir, para dividir expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se
resta al exponente del dividendo el exponente del divisor.
Ejemplos:
1.)
x7
 x7 4  x3
4
x
2.)
52  57  52 7  55 
3.)
a 3  a 4  a 3  ( 4)  a 3  4  a1  a
Objetivo 5.
1
55
Recordarás la ley para elevar una potencia entera a otra potencia
entera.
Ley III.- Cuando una potencia de una base se eleva a otra potencia, el resultado es un término de la
misma base con un exponente igual al producto de las dos potencias.
2. 7
m n
a   a
mn
Lo anterior indica que para elevar una potencia de una base a otra potencia, se conserva la base y se
multiplican los dos exponentes.
Ejemplos:
3 2
1.)
2   2
2.)
x   x
3.)
5 
3*2
3 3
2 6
Objetivo 6.
 26  64
33
 x 9 
1
x9
 52 6  512  244,140, 625
Recordarás las leyes para elevar un producto o un cociente a una
potencia entera.
Ley IV.- Cuando un producto de dos o más factores se eleva, todo a la vez, a una potencia, el
resultado es el mismo producto pero con cada factor elevado a la potencia dada.
m
ab 
 a mb m
Ley V.- Cuando un cociente se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo
cociente pero con el dividendo y el divisor elevados a la potencia dada.
m
am
a

 
bm
b
Ejemplos:
1.)
4
Para elevar el producto 3xy a la cuarta potencia, es decir para obtener 3xy  , se
eleva a la cuarta potencia cada uno de los factores y se tiene
4
3xy 
 34  x 4  y 4  81x 4 y 4
2. 8
2
2.)
2
2
Para elevar el cociente
al cuadrado, es decir para obtener   , se elevan al
5
5
cuadrado el dividendo y el divisor y queda
2
22
4
2


 
2
25
5 5
3.)
2a
Para elevar el cociente
al cubo, es decir para obtener
3b
3
 2a 
  , se elevan al cubo el
 3b 
dividendo y el divisor para obtener
3
3
 2a  2a 
  
3
 3b  3b 
y, como tanto en el numerador como en el denominador se tienen productos, se aplica
la ley para elevar un producto a una potencia y queda
3
2a 
3
3b 
Objetivo 7.

8a 3
23 a 3

33 b3 27b3
Recordarás la notación de radicales.
La raíz cuadrada principal o positiva de un número positivo n, que se escribe
n , es el número
positivo que al multiplicarse por sí mismo da como resultado n.
Si en lugar de buscar un número que al multiplicarse por sí mismo dé como resultado n, se busca un
número que elevado a la tercera, cuarta o quinta potencia dé como resultado n, se dice que dicho
número es la raíz tercera (o cúbica), cuarta o quinta de n, y así sucesivamente. En la notación de
radicales lo anterior se escribe como
3
n,
4
n , 5 n , etcétera.
En otras palabras, x  n significa que n  x 2 ; y  3 n significa que n  y 3 ; y, en general,
a  m b significa que b  a m
2. 9
Al símbolo que sirve para indicar una raíz,
, se le llama signo radical. El número o expresión
dentro del signo radical es el radicando y al número que sirve para indicar la raíz se le llama índice.
Signo radical
m
n
índice
radicando
Ejemplos:
1.)
En la expresión
2.)
En la expresión
3
8 , el radicando es 8 y el índice es 3.
4
3
8  2 significa que 8  23 .
81 , el radicando es 81 y el índice es 4. 3  4 81 significa que
34  81 .
3.)
En la expresión
2.
49 , el radicando es 49 y el índice, que en este caso no se escribe, es
49  7 significa que 49  72
Objetivo 8.
Recordarás el significado de los exponentes fraccionarios.
Si n  0 , se define:
n
a a
1
n
De este modo, una base elevada a un exponente fraccionario en el que el numerador es 1, es
equivalente a una expresión en notación radical, en la que la base es el radicando y el denominador
del exponente es el índice.
Ejemplos:
1.)
3
2.)
x
1
2
1
5
 3
5x
2. 10
3.)
4
a a
1
4
Las leyes enunciadas anteriormente para exponentes enteros, son también válidas para exponentes
fraccionarios. Por tanto, de acuerdo con la ley para elevar una potencia a otra potencia, se tiene:
n
1
a m  a m  n  a
m
 
n
1 1
n n
puesto que m      m 
a
m
m
  a
 a
1
n
n
m
,
n
m
n
Así, en general, un exponente fraccionario representa la raíz de una potencia o, lo que es lo mismo,
la potencia de una raíz. Sin embargo, en ocasiones, la división m
n
resulta exacta, de modo que el
exponente del resultado es un entero.
Ejemplos:
1
1.)
3
622  622  3  62
2.)
n
y 3  y 3  n  y
3.)
 
4.)
 
1
3
4
6
8
5
7
Objetivo 9.
6
3
 8
 8
1
3
1
5
4
3
n
6
 7
 7
2
3
5
 82
4
Recordarás las leyes para multiplicar y dividir factores con exponentes
fraccionarios o con radicales.
Como ya se indicó, las leyes expuestas para exponentes enteros son ciertas cualesquiera que sean la
base y los exponentes m y n, tanto si son positivos como negativos o nulos, enteros o fraccionarios.
2. 11
Para el caso de los exponentes fraccionarios, las leyes quedan así:
a a  a
1
Ley I.-
1
m
n
1 1
m n
a
n m
mn
puesto que, al tomar común denominador,
Ley II.-
a
a
Ley III.-
1
m
1
a
1 1
m n
a
n
1
  a
a
n m
mn
1
m
n
1
mn
 1  1  1
  
 m  n  mn
puesto que 
Ley IV.-
1
a  b  m  a
a
Ley V.-  
b
1
m

a
b
1
1
1
m
b
1
m
m
m
Ejemplos:
1.)
2.)
3.)
 27 
 
 4 
1
 6 12 


y
y
2

4
1
4
1
3
1
y
4
27
6
1
1
2
2
1
8
1 1
3 4
4 3
 y 12  y
1
12
1 1 nm
 
m n
mn
2. 12
2
4.)
a 5a
a
3
7
5

a
5
2 7
5 5
a
3
a
2 7  3
5 5 5
a
2 7 3
5
a
6
5
5
Para el caso de los radicales es necesario tener en cuenta que el índice del radical es el denominador
de un exponente fraccionario. Por ello, las leyes de exponentes cuando se enuncian y escriben para
la notación radical son:
Ley I.- Cuando se multiplican dos raíces del mismo radicando, su resultado es una raíz con el índice
igual al producto de los índices de los factores, y el mismo radicando elevado a la suma de los
índices originales.
m
a n a  mn a n  m
Ley II.- Cuando se dividen dos raíces del mismo radicando, su cociente es una raíz con el índice
igual al producto de los índices de los factores, y el mismo radicando elevado a la diferencia del
índice del divisor menos el del dividendo.
m
a mn n m
 a
n
a
Ley III.- Cuando a una raíz de un radicando se le toma otra raíz, su resultado es una raíz del mismo
radicando y un índice igual al producto de los dos índices de los radicales aplicados.
n m
a  nm a
Ley IV.- Cuando se toma una raíz de un producto de uno o más factores, su resultado es el producto
de las raíces de cada factor.
m
ab  m a m b
Ley V.- Cuando se toma una raíz de un cociente, su resultado es el cociente de la raíz del dividendo
entre la raíz del divisor.
m
a ma

b mb
2. 13
Ejemplos:
27

4
1.)
4
2.)
6 8 6
y 12 43 12
 y  y
y
3
3.)
27
4
4
a2 5 a7
5
4.)
a3
5
Objetivo 10.
5

a 2  a7
5
a3
Racionalizarás
a9 5 6
 a
5 3 
a3
a
5
a9
5
expresiones
algebraicas
con
radicales
en
el
denominador.
En la expresión
n
a m , se dice que el radicando contiene una raíz n-ésima perfecta si se puede
encontrar en él algún factor que contenga una potencia igual o múltiplo del índice n del radical.
Ejemplos:
1.)
La expresión
7
7
x 22 contiene una raíz séptima perfecta puesto que se puede escribir
x 22  7 x 21 x
7
 7 x 37 x  7 x3  x
2.)
La expresión
3
a5b 7 contiene una raíz tercera (o cúbica) perfecta puesto que se puede
escribir
3
a 5b 7  3 a 3 a 2 b 6 b
2. 14
 3 a 3b 23a 2b 
3.)
La expresión
4
4
3
2 3
ab  a b
2
16x 2
contiene una raíz cuarta perfecta puesto que se puede escribir
y9
16 x 2
24 x2
4


y9
y8 y
4
24 x 2
y 24 y
4
 24   x 2 
 2   x2 
 4  24     4  2   
y   y
 y  y 
Es claro que cuando el radicando contiene una raíz n-ésima perfecta, la expresión radical puede
simplificarse extrayendo del mismo la raíz exacta correspondiente, puesto que de acuerdo con las
leyes de exponentes y radicales
n

a k n a m  a k n a m
1

n
 ak a
m
n
 a k n a m
Ejemplos:
1.)
Como
7
2.)
3
7
x 22 
3 7
x  x , se extrae la raíz exacta y queda
x 22  x 3 7 x
a 5b 7 
3
7
3
2 3
ab  a b , se extrae la raíz exacta y queda
2
a5b 7  ab 2 3 a 2 b
4
3.)
4
16 x 2 4  2   x 2 
  2    , se extrae la raíz exacta y queda
y9
y   y 
4
16x 2  2  x 2
 2 4
y9
y  y
2. 15
Una expresión que incluya algún radical se encuentra en forma simple si:
a.)
El radicando no tiene factores con una raíz n-ésima perfecta.
b.)
El radicando no incluye fracciones.
c)
No existen radicales en el denominador de una fracción.
Ejemplos:
1.)
La expresión:
3
a5b 7 no está en forma simple, porque el radicando incluye una raíz
3
  a b.
cúbica perfecta: a5b 7  ab 2
2
2 34 3 2
x xy z está en forma simple.
3
2.)
La expresión:
3.)
La expresión: 6 x 2 y 3 5 z está en forma simple.
4.)
La expresión:
4
16x 2
no está en forma simple, porque el radicando contiene una
y9
4
16 x 2  2  x 2
fracción y, además, contiene una raíz cuarta perfecta: 9   2 
y
y  y
5.)
La expresión:
3a
no está en forma simple, porque aparece un radical en el
b
denominador.
Racionalizar una fracción es eliminar los radicales que existan en su denominador. Para racionalizar
una fracción se multiplican el numerador y el denominador por un radical que al multiplicarse con
el del denominador lo convierta en una raíz perfecta, y simplificar ésta por tener raíz exacta.
Ejemplos:
2. 16
1.)
Para racionalizar la expresión
3a
se multiplican el numerador y el denominador por
b
b para obtener
3a  3a   b  3a b



b  b   b 
b b

2.)
3a b
b2

3a b
b
Para racionalizar la expresión
2
conviene observar que 18  2  9  2  32 de
18
modo que ya incluye una raíz cuadrada perfecta (la correspondiente a 32 ), por lo que
basta con multiplicar el numerador y el denominador por
2 para obtener
 2
 2 
2
2
2 2








18
2  32  2  32  2 
2  32 2

2 2
2
2
2 3
3.)

2 2
2

23
3
Para racionalizar la expresión
x2
3 y 3 4 5 xz 2 w3
es importante notar que en el radicando
existen factores elevados a diferentes potencias, por lo que es necesario buscar para
cada uno la potencia que hace falta multiplicar para obtener la raíz cuarta perfecta que
se necesita.
Como 5x está elevado a la primera potencia, debe multiplicarse por 53 x3 ; z 2 se
multiplicará por sí misma; y w3 por w . Por tanto, para racionalizar la expresión dada
se multiplican el numerador y el denominador por

x2

3 y 3 4 5 xz 2 w3  3 y 3 4 5 xz 2 w3
x2

4
53 x 3 z 2 w para obtener
  4 53 x 3 z 2 w 
 4 3 3 2 
 5 x z w 


x 2 4 53 x 3 z 2 w
3 y 3 4 5 xz 2 w3 4 53 x 3 z 2 w

x 2 4 53 x3 z 2 w
3 y 3 4 54 x 4 z 4 w4
2. 17

Objetivo 11.
x 2 4 53 x 3 z 2 w x 2 4 53 x 3 z 2 w x 4 125 x 3 z 2 w


3 y 3 5 xzw 
15 y 3 xzw
15 y 3 zw
Simplificarás expresiones algebraicas aplicando las leyes de los
exponentes y los radicales.
Muchas expresiones algebraicas se pueden simplificar aplicando las leyes de los exponentes y los
radicales.
En general, la simplificación consiste en efectuar las operaciones que estén indicadas y escribir los
resultados con potencias que no incluyan exponentes negativos ni fraccionarios y con los radicales
en la forma simple que se definió anteriormente.
Para ello, los factores que tengan exponentes negativos se trasladan del numerador al denominador
de la expresión y los exponentes fraccionarios se convierten en expresiones escritas en forma de
radicales. En caso de necesidad, se racionalizan las expresiones resultantes como se ha indicado
antes.
Ejemplos:
1.)
Para simplificar la expresión 32 x 2 y 3 basta con tomar en cuenta que 32  9 y
trasladar el factor y 3 al denominador para dejar
32 x 2 y 3 
9 x 2
y3
2
2.)
 y 
Para simplificar la expresión  2  primero se elimina el exponente negativo
 3z 
2
1
 y 
 2 
2
 3z 
 y 
 2
 3z 
después, se toma en cuenta la ley para elevar un cociente a una potencia para que
quede
2. 18
1
 y 
 3z 2 


2

1
y2
32 z 4
finalmente, se toma el recíproco indicado en la última operación
1
9z4
 2
y2
y
2 4
3 z
4
3
3.)
 x   y2 x 
Para simplificar la expresión   
 se eleva cada factor a la potencia
 y  z 
correspondiente
4
3
 x   y 2 x   x 3  y 8 x 4 
   3  4 
  
 y   z   y  z 
y luego se efectúan las operaciones indicadas para obtener
 x 3  y 8 x 4  x 3 x 4 y 8 x 7 y 8
 3  4   3 4  3 4
y z
y z
 y  z 

x7 y 5
z4
3
4.)
Para simplificar la expresión
27 wy 3 8w4 y 7
3
w 2 y 1
en primer lugar se identifica que todas
las raíces que aparecen son cúbicas, de modo que se puede incorporar toda la expresión
en un solo radical
3
27 wy 3 8w4 y 7
3
w 2 y 1

3
27 wy 8w4 y 7 
w 2 y 1
luego se efectúan las operaciones indicadas en el radicando y queda
3
27 wy 8w4 y 7 
w 2 y 1

3

3
27 wy 8w4 y 7 y
w2
23  33 w5 y 9 3 3 3 3 9
 2 3 w y
w2
como el radicando es una raíz cúbica perfecta se obtiene
2. 19
3
23  33 w3 y 9  2  3wy 3
 6wy 3
5.)
Para simplificar la expresión
2
3
4
2
x 3y
x 3y
5
primero se efectúan las operaciones con los
5
exponentes
2
x 3y
3
4
x 3y
2
5

5
x
y
2 4
3 3
2 3
5 5

x
2
y
3
1

2
x 3y
luego, se convierte el exponente fraccionario a la forma de radicales
1
2
x 3y

1 1 


y  3 x2 
y se racionaliza
1 1  1 1

 
y  3 x2  y  3 x2

1 3 x  1 3 x 

 

y  3 x3  y  x 
3

 3 x 
  3 
 x 
x
xy