Termodinamica - Adiabaticas

TERMODINÁMICA
UNIDAD Nº 4
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TRANSFORMACIONES ADIABÁTICAS
4.1 TRANSFORMACIÓN ADIABÁTICA
Una transformación adiabática es una transformación durante la cual el sistema no intercambia
calor con el medio en ningún momento de la misma. En consecuencia, para que una transformación sea
adiabática, deberá cumplirse que Q = 0. Determinaremos como deben ser las relaciones de los
parámetros P, V y T del sistema durante la transformación.
Definimos como Coeficiente Adiabático k de un gas ideal al siguiente cociente:
k
CP
CV
(4.1)
Para determinar las ecuaciones adiabáticas en función de P, V y T, debemos partir de la
ecuación diferencial de una adiabática:
dT
dV
 k  1
0
T
V
(4.2)
La que luego de resolverla obtenemos:
ln T  k  1lnV  cte
(4.3)
aplicando la propiedad de los logaritmos en función de la potencia, tenemos
ln T  lnV k 1  cte
(4.4)
y finalmente aplicando la propiedad de los logaritmos en función del productos


ln T V k 1  cte
que puede escribirse:
TV k 1  cte
o también
T1 V1
k 1
 T2 V2
k 1
(4.5)
La ecuación (4.5) expresa la relación entre temperatura y volumen a lo largo de una adiabática.
Para obtener la relación entre presión y volumen, despejamos T de la ecuación de estado (1.17):
T
PV
m RP
(4.6)
reemplazándola en la (4.5) nos da:
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P V k 1
V  cte
m RP
(4.7)
La constante RP y la masa m, la englobamos en la constante del segundo miembro y agrupando
nos queda:
PV k  cte
o también
P1 V1  P2 V2
k
k
(4.8)
La ecuación (4.8) es la llamada Ecuación de POISSON y expresa la relación entre presión y
volumen a lo largo de una adiabática
Si en la (4.5) reemplazamos el volumen, en función de la ecuación de estado, se transforma en:
 m RP T 
T

 P 
k 1
 cte
(4.9)
que puede escribirse:
TP
1 k
k
 cte
o también
T1 P1
1 k
k
 T2 P2
1 k
k
(4.10)
La ecuación (4.10) expresa la relación entre temperatura y presión a lo largo de una adiabática
La Ecuación de Poisson (4.8) nos indica que la representación gráfica de la adiabática en el
diagrama P - V nos dará una curva de forma parecida a la
isotérmica.
P
En este caso, el volumen esta elevado a un
T = cte
exponente k que será mayor que la unidad, por lo que al
P1
1
aumentar el volumen en una adiabática disminuirá más
rápido la presión que en el caso de una transformación
isotérmica.
El trabajo intercambiado en la adiabática lo
P2
calcularemos mediante una propiedad de la energía interna
2
vista en (2.14):
Lm
 L  U 2  U1
(4.11)
V1
V2
V
Por tratarse de un sistema integrado por una masa de
un gas ideal:
U 2  U1  m cV T2  T1 
(4.12)
con lo que el trabajo estará dado por:
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L  m cV T1  T2 
(4.13)
Podemos obtener otras expresiones del trabajo para transformaciones adiabáticas. Si
multiplicamos y dividimos por RP la ecuación (4.13)
Lm
cV
RP T1  T2 
RP
(4.14)
y sacamos fuera del paréntesis T1 , tenemos:
Lm
 T 
cV
RP T1 1  2 
RP
 T1 
(4.15)
recordando la relación de Mayer RP  cP  cV vista en (2.25) y dividiendo ambos miembros por la
constante CV, tenemos:
c
RP c P  cV
R
c
R

 P  P  V  P  k 1
cV
cV
cV
cV cV
cV
(4.16)
la relación inversa será:
cV
1

RP k  1
(4.17)
reemplazando la (4.17) en la expresión (4.15), nos permite escribir:
L
m R P T1  T2
1 
k  1  T1



(4.18)
Si queremos que en la expresión del trabajo aparezcan los volúmenes de los estados extremos
de la transformación, aplicamos la expresión (4.5):
T1V1
k 1
 T2V2
k 1
(4.19)
agrupando las temperaturas y los volúmenes:
T2  V1 
 
T1  V2 
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k 1
(4.20)
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reemplazando en la (4.18) nos da:
k 1
m RP T1   V1  
1    
L
k  1   V2  


(4.21)
Para obtener una expresión del trabajo en función de las presiones extremas de la
transformación recurrimos a la expresión (4.8)
P1 V1  P2 V2
k
k
(4.22)
Si agrupamos los volúmenes y las presiones, tenemos:
1
V1  P2  k
 
V2  P1 
(4.23)
que reemplazada en la (4.21) la transforma en:
k 1


m RP T1   P2  k 
L
1  
k  1   P1  


AREA MECÁNICA
(4.24)
ESCUELAS TÉCNICAS RAGGIO