Enseñanza de la matemática II

Didáctica
Profesora Deriard
Autor de la compilacion: Gabriel Berlanda
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Enseñanza de la matemática II
El proceso de enseñanza
“Prefiero ver al docente más como un director de escena (.....), no puede calcular todo de antemano (.....),
en la enseñanza no es posible calcular todo. Se puede calcular algo pero no todo, eso es imposible.”
Vergnaud, G
Si bien es cierto lo que nos plantea este matemático e investigador francés, no menos cierto es que como
profesionales debemos planificar de año en año; para enfrentar nuestra intervención en el aula, siendo
conscientes de lo que nos ofrece la didáctica de la matemática, para desarrollar criterios.
"....es el profesor el que determina con su actuación, con su enseñanza, que las actividades en las que
participa el alumno posibiliten un mayor o menor grado de amplitud y profundidad de los significados
construidos y, sobre todo, el que asume la responsabilidad de orientar esta construcción en una
determinada dirección.
....la enseñanza es un conjunto de actividades sistemáticas mediante las cuales profesor y alumno llegan
a compartir parcelas progresivamente más amplias de significados respecto a los contenidos del
currículum escolar.
....el profesor guía el proceso de construcción de conocimientos del alumno haciéndole participar en tares
y actividades que le permitan construir significados cada vez más próximos a los que poseen los
contenidos del currículum escolar. El profesor es, pues, al mismo tiempo un guía y un mediador".
Cesar, Coll
“La ejercitación metódica del juicio, el desarrollo del pensamiento para analizar las situaciones
prototípicas de la enseñanza tiene un efecto liberador. La utilización de diversas fuentes de información,
la confrontación de comportamientos y concepciones, la organización de los datos y la elaboración de
proyectos propios representan procesos con valor no sólo de capacitación sino, de formación de actitudes
personales de efectos prolongados.”
María, C Davini
SISTEMA DIDÁCTICO
Alumno
Saber
Docente
Compuesto por tres subsistemas de acuerdo a Chevallard: el subsistema docente, el subsistema alumno
y el subsistema conocimiento enseñado.
Continuando con este análisis del proceso de enseñanza de la matemática inserta en el sistema
didáctico, podemos pensarla desde un marco teórico sustentada en cuatro teorías:
Chevallard: La transposición didáctica
El trabajo que transforma de un objeto de saber enseñar en un objeto de enseñanza, es denominado la
transposición didáctica.
Chevallard se preguntó ¿qué relación existe entre el conocimiento que se enseña en la escuela y el
conocimiento producido por el científico?
Ahora bien, podemos ir más lejos y pensar en tres etapas del proceso de transposición didáctica:



del saber sabio (conocimiento producido por el científico) o de referencia al saber a enseñar.
del saber a enseñar al saber enseñado.
del saber enseñado al saber aprendido (por el alumno).
La distancia entre el saber sabio y el saber aprendido con frecuencia es inmensa y requiere de una
vigilancia epistemológica.
Frente a cada nuevo concepto, deberemos tener presente que el saber erudito o de referencia,
conllevará un trabajo de transformación hasta convertirse en un saber aprendido, y habremos de
preocuparnos asimismo por su correspondencia, reduciendo al mínimo posible esa distancia debida a la
transposición didáctica.
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"Las necesarias y sucesivas adaptaciones, conllevan numerosos riesgos. En primer lugar provocan un
olvido de la lógica y del contenido del conocimiento adaptado. En segundo lugar, la sustitución del objeto
de conocimiento puede conducir a que se considere como conocimiento erudito aquello que es sólo su
traducción.”
En tercer lugar, puede ocurrir que la adaptación provoque una deformación, por lo que da lugar a la
creación de un falso objeto de conocimiento" Frigerio, G.; Poggi, M.
Pensemos solamente cuántas veces presentamos al alumno porciones de conocimientos. O sea, para
facilitar la enseñanza aislamos ciertas propiedades o nociones del conocimiento, olvidando su sentido,
origen, motivación y empleo, y los trasponemos al contexto escolar.
Pensemos cuántas veces la institución escolar tiene la ilusión en ver en los objetos de enseñanza copias
fieles del conocimiento científico. Es por eso que debemos ser cuidadosos al llevar a cabo la
transposición didáctica, para que la distancia que separa el saber aprendido del saber erudito sea
mínima.
Douady: La dialéctica instrumento-objeto
Douady nos dice que: para un concepto matemático, conviene distinguir su carácter instrumento y su
carácter objeto. Por instrumento entendemos su funcionamiento científico en los diversos problemas que
permite resolver (....). Por objeto entendemos el concepto matemático, considerado como objeto cultural
que tiene lugar en una construcción más amplia que en la del conocimiento inteligente en una momento
dado, reconocido socialmente.
La dialéctica instrumento-objeto es contraria a una enseñanza tradicional donde aprendo-aplico, donde
primero deben enseñarse los algoritmos y definiciones para luego buscar que situaciones permiten
aplicar los conceptos trabajados.
Por el contrario, Douady, nos propone que resulta imposible aprender cuando un concepto carece de
sentido para el alumno. Lo que Brousseau aporta es que un conocimiento matemático adquiere sentido
"....no sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como teoría matemática;
no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución, sino
también por el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economías que procura,
de formulaciones que retoma, etcétera".
Pensemos además que la construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en
dos niveles:


un nivel externo ¿cuál es el campo de utilización de ese conocimiento y cuáles son los límites de
este campo?
un nivel interno ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona un
algoritmo y por qué conduce al resultado esperado?)
La cuestión esencial de la enseñanza de la matemática es entonces: ¿cómo hacer para que los
conocimientos enseñados tengan sentido para el alumno?
El alumno debe ser capaz no sólo de repetir o rehacer, sino de también de resignificar en situaciones
nuevas, de aceptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas.
Y es en principio, haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramienta para resolver
problemas como se permitirá a los alumnos construir el sentido. Sólo después estas herramientas podrán
ser estudiadas por sí mismas.
Brousseau: La teoría de las situaciones didácticas
El docente debe proponer y organizar una serie de situaciones con distintos propósitos y desafíos. Para
ello Brousseau nos propone diferentes fases. Estas situaciones deben dar sentido a los conocimientos
que se quieren enseñar, es decir, contextualizar y personalizar el saber para pasar a otra de
descontextualización en la que se logra despegar el saber de aquellas que le dieron origen. De esta
manera, al conocimiento como instrumento se le otorga un carácter de conocimiento científico
convencional.
Para Brousseau todo conocimiento debería estar determinado por una solución. Al respecto nos dice
Douady: “....las concepciones de los alumnos son el resultado de un intercambio permanente con las
situaciones de problemas en los que son puestos y en el curso de las cuales los conocimientos anteriores
son movilizados para ser modificados, completados o rechazados”.
Para que los alumnos produzcan una actividad científica deben poder: actuar, formular, probar y
reconocer el conocimiento. Estas acciones se las denomina funciones del saber. Ellas son las situaciones
de: acción, formulación, validación, institucionalización y consolidación.
Vergnaud: La teoría de los campos conceptuales
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Definimos el campo conceptual, como un conjunto de situaciones cuyo tratamiento implica esquemas,
conceptos y teoremas en estrecha relación. Siendo los conceptos y teoremas los que permiten analizar
las diferentes tareas cognitivas que intervienen en las situaciones didácticas así como las operaciones de
pensamiento.
La teoría de los campos conceptuales se basa en:

un concepto adquiere sentido en función de la multiplicidad de problemas en que interviene.

un concepto no es una isla, cuyo funcionamiento se manifiesta de manera independiente, sino
que se vincula con otros en una entramada red.

las propiedades y relaciones que se derivan de los conceptos se producen a través de filiaciones
y ruptura a lo largo de su génesis.
Por otro lado debemos pensar que la apropiación de un conocimiento matemático, aparece por lo general
como parte de una red de conceptos vinculados unos con otros, y que la adquisición de ellos se da
simultáneamente.
Por ejemplo: los conceptos de número, magnitudes, número racional y medidas son, por ejemplo,
instrumentos para la resolución de problemas de proporcionalidad directa, pero al mismo tiempo, parte
relevante del significado de los mismos es obtenido por los chicos a través de la resolución de situaciones
de proporcionalidad.
La TCC se interesa en el análisis de las operaciones de pensamiento (herramientas de la mente), porque
es el corazón mismo de las conceptualizaciones. Pero es necesario que esas operaciones de
pensamiento, variadas y diversas, estén presentes siempre en las situaciones problemáticas que se le
presenten al alumno.
El proceso de aprendizaje
"....ha existido una divergencia entre aquellos que piensan que los conceptos se aprenden asimilando
sus atributos (rasgos que los caracterizan) de manera independiente, principalmente por asociación y
acumulación, y aquellos otros que consideran que los conceptos forman parte de una estructura superior
de significado, no atomizada, que se caracteriza sobre todo, por las relaciones que se establecen entre
ellos y, por tanto, su asimilación supone una modificación de la misma, es decir una reestructuración.
En el primer caso, el cambio producido en la persona como consecuencia del aprendizaje es más
cuantitativo, y se consigue agregando cada vez un mayor número de atributos. Mientras que en el
segundo, tiene lugar un cambio de la propia estructura de conocimiento a través la reordenación de
esquemas, de manera que adquiera así más importancia la comprensión, que la acumulación, es decir,
se produce una variación principalmente cualitativa."
Tomás Sánchez Iniesta
Aprender conlleva transformar los conocimientos y conductas anteriores, teniendo presente que si bien
todo aprendizaje implica cambio, no todos los cambios son de la misma naturaleza ni de la misma
intensidad y duración. Un aprendizaje asociativo producirá la sustitución de una conducta o conocimiento
por otro, es un cambio de carácter reversible y de duración limitada. Un aprendizaje constructivo, tiene
rasgos diferentes, su efecto no es sustituir sino integrar esa conducta o idea en una nueva estructura de
conocimiento. Estos son cambios más generales que locales, de naturaleza evolutiva o irreversible y por
tanto más duradero.
J. I. Pozo
El trabajo del docente consiste, pues en proponer al alumno una situación de aprendizaje para que
produzcan sus conocimientos como respuesta personal a una pregunta, y los haga funcionar o los
modifique como respuestas a las exigencias del medio y no a un deseo del maestro.
Brousseau
Presentaremos ahora para su lectura y análisis, teorías de aprendizaje que nos ofrecerán un abanico muy
rico de herramientas para pensar sobre nuestro trabajo diario.
Piaget: constructivismo
¿Qué nos aporta este investigador al proceso de aprendizaje? Porque, si bien sus estudios poseen una
profunda visión epistemológica y son el resultado de una amplia producción psicológica, muestran una
escasa preocupación por los temas pedagógicos
Piaget concibe al aprendizaje como un proceso adptativo que se desarrolla en el tiempo en función de
respuestas dadas por el sujeto a un conjunto de estímulos anteriores y actuales.
El medio opone al sujeto situaciones perturbadoras, desequilibradoras de un estado momentáneo de
equilibrio del sujeto, a las cuales debe dar respuestas, compensando estas perturbaciones mediante
acciones reales o virtuales, (reequilibración en un nuevo estado superior y modificado respecto del
anterior).
Dentro del proceso de aprendizaje, el alumno lleva una búsqueda activa que compense los
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desequilibrios, acomodando sus esquemas a las situaciones planteadas. Es decir, que frente a un
desequilibrio y un equilibrio posterior, él obtiene esquemas de conocimientos enriquecidos en complejidad
y reestructurados en un estado superior.
Una lectura inteligente de Piaget nos permite considerar la concepción constructivista. Entendiendo a
esta no como una teoría en sentido estricto, pero si como un marco explicativo que partiendo de la
consideración social y socializadora de la educación escolar, integra aportes diversos cuyo denominador
común lo constituye un acuerdo en torno a los principios constructivistas.
Para la concepción constructivista aprendemos cuando: somos capaces de elaborar una representación
personal sobre un objeto de la realidad o contenido que pretendemos aprender.
Vygotsky: la zona de desarrollo próximo
(La zona de desarrollo próximo es) ....la distancia entre el nivel real de desarrollo, determinado por la
capacidad de resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial, determinado a
través de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con otro compañero
más capaz.
O sea, el concepto de zona de desarrollo próximo, acuñado por Vygotsky, nos permite explicar el
desfasaje que existe entre la resolución individual de tareas de orden cognitivo y los logros que
alcanzamos en esas mismas tareas con la ayuda de nuestros semejantes. El aprendizaje se sitúa
precisamente en esa zona.
La condición básica para que la ayuda que se aporte sea eficaz y pueda actuar como tal, es que esa
ayuda se ajuste al contexto y a las características distintivas en cada momento de acuerdo a la actividad
mental constructiva del alumno. De ahí que podemos hablar que para un alumno dado no de una ZDP,
sino de múltiples ZDP en función de la tarea y el contexto de que se trate, los esquemas de
conocimientos puestos en juego y las formas de ayuda empleadas a lo largo de la interacción. Por lo
tanto, la ZDP debemos verla como un lugar o un espacio no definida en términos fijos y estáticos, sino
como un lugar dinámico, en constante proceso de cambio con la propia interacción.
Podríamos decir entonces que ofrecer una ayuda ajustada al aprendizaje escolar, supone crear ZDP y
ofrecer asistencia y apoyos en ellas, para que, a través de esa participación y gracias a esos apoyos, los
alumnos puedan ir modificando en la propia actividad conjunta sus esquemas de conocimiento y sus
significados y sentidos, y puedan ir adquiriendo más posibilidades de actuación autónoma y uso
independiente de tales esquemas ante situaciones nuevas, cada vez más complejas.
Bruner: el andamiaje
Básicamente Bruner al proponerrnos el concepto de andamiaje, nos plantea que nuestra intervención
debería ir variando de acuerdo a las necesidades del alumno. "Andamiar y sostener", los progresos del
alumno, dice Bruner.
Cuanto mayor sean las dificultades del alumno en cuanto a la construcción de un conocimiento, mayor
serán nuestras intervenciones; de esta manera, gradualmente el alumno, podrá ir adquiriendo el control
de la situación.
Bruner, cuando nos habla del concepto de andamiaje lo hace a partir de la zona de desarrollo próximo de
Vygotsky, ya que el supuesto fundamental del andamiaje es que el docente soporte y andamie los
esfuerzos y logros del alumno. El docente cumple un rol de mediador entre el saber y el alumno.
Por otro lado, nos propone pensar que el saber deberá ir adquiriendo cada vez maneras más complejas
de presentación al alumno. O sea, el currículum no debe ser lineal, sino que retomará constantemente y a
niveles cada vez más complejos, los núcleos fundamentales del área (un currículum en espiral).
Por último, es necesario comentar que este investigador al hablar sobre el desarrollo cognitivo del
alumno, hace referencia también a la influencia de los problemas transculturales y de origen social.
Rogoff: participación guiada y traspaso paulatino del control
Esta autora, de manera inteligente toma aportes de Piaget sobre la construcción del conocimiento, y de
Vygotsky sobre de qué manera incide el medio sociocultural en esa construcción.
Rogoff se pregunta, cómo se da la interacción entre el alumno y el docente, y nos propone pensar el
concepto de participación guiada; o sea, reflexionar que en cada uno de los distintos contextos
culturales en el que desarrollemos nuestra tarea docente deberemos ajustar nuestra intervención de
acuerdo a ese contexto, y el traspaso paulatino del control en la construcción del conocimiento por
parte de nuestros alumnos, lo iremos ajustando considerando los conocimientos previos que cada uno
ellos poseen.

El conocimiento, adquirido por medio del aprendizaje, es inseparable del contexto, desde el que
surge y en el que se utiliza, y de la actividad en la que el aprendiz participa.
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Profesora Deriard
Autor de la compilacion: Gabriel Berlanda
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
Las metas del aprendiz, relacionadas sin lugar a dudas con aquello que ha de aprenderse, están
definidas desde la comunidad, ya que el proceso no siempre intencional, es inseparable de
actividades útiles y significativas en esa comunidad. Las diferencias culturales adquieren enorme
significación cuando se analizan las diferencias entre las metas propuestas, implícita o
explícitamente.

El aprendiz entra en contacto con los instrumentos socioculturalmente definidos, cuya utilización
exige destrezas específicas que habrá de adquirir el aprendiz. El concepto de participación
guiada, desde este punto de vista, es inseparable del aprendizaje.
P. Lacassa
O sea, de acuerdo a Rogoff deberíamos plantearnos lo siguiente: que el modo de nuestra intervención
en la zona de desarrollo próximo, dependerá del contexto cultural real del alumno (por ejemplo: si
pertenece a una zona rural o urbana, si es un adulto al que hay que alfabetizar o un adulto que posee una
instrucción previa, pero que por distintas razones, había abandonado la escolaridad formal y ahora vuelve
a reintegrase a ella; o un niño o joven, considerando su desarrollo personal, edad, intereses y comunidad
a la que pertenece).
Ausubel: el aprendizaje significativo
Este teórico nos presenta dos tipos de aprendizajes posibles; uno que va desde el aprendizaje por
descubrimiento al aprendizaje por recepción, y el otro desde el aprendizaje memorístico al aprendizaje
significativo.
El verdadero aprendizaje es el significativo, ya que, el alumno puede establecer relaciones sustantivas y
no arbitrarias entre lo que aprende y lo que conoce. El aprendizaje significativo permite crear un puente
cognitivo entre los conocimientos previos que el alumno posee y los nuevos que deseamos que
construya. Nos dice Ausubel: el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno
sabe. Averígüese esto y enséñele en consecuencia.
Ausubel consideraba además indispensable para la realización de aprendizajes significativos la
manifestación, por parte del alumno, de una disposición hacia el aprendizaje significativo; esto es, de una
disposición para ir a fondo en el tratamiento de la información que se pretende aprender, para establecer
relaciones entre ella y lo que ya se sabe, para aclarar y detallar los conceptos.
Sintetizando, para que el aprendizaje sea significativo deben cumplirse dos condiciones. En primer lugar,
el contenido debe ser potencialmente significativo (significatividad lógica: no debe ser arbitrario ni
confuso), como desde el punto de vista de su posible asimilación (significatividad psicológica: tiene que
haber, en la estructura cognoscitiva del alumno, elementos pertinentes y relacionables). En segundo
lugar: el alumno debe tener una actitud favorable para aprender significativamente; es decir, estar
motivado para relacionar lo que sabe con lo que aprende. Por lo tanto, el proceso mediante el cual se
produce el aprendizaje significativo requiere de una intensa actividad por parte del alumno.