Fuerzas entre corrrientes.

Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Variación Temporal Lenta
•
•
•
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•
Definición
El campo magnético en variación temporal lenta
El campo eléctrico en variación temporal lenta
Expresión Integral de la Ley de Faraday
T. Circuitos versus T. Electromagnética
– Primer Lema de Kirchoff
– Segundo Lema de Kirchoff.
• Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de corriente
– Fuerza de Lorentz
– Desplazamientos virtuales.
» Sin generadores
» Con generadores
– Fuerzas en campos casi constantes
J.L. Fernández Jambrina
EyM 6b-1
Relación Fuerza-Energía Magnética
• Aunque el campo magnético no sea conservativo, sigue siendo
aplicable el principio de conservación de la energía.
• El estudio de esta relación entre Fuerza y Energía magnética se ha
pospuesto hasta este capítulo ya que, por muy lento que se
considere cualquier desplazamiento, no se puede despreciar el
efecto de las fuerzas electromotrices inducidas.
• Se van a presentar casos de circuitos conductores perfectos tanto
con generadores como sin ellos.
• Los resultados obtenidos coinciden entre sí y con los del capítulo
anterior:
Es posible utilizar el método que resulte
más cómodo en cada caso.
• Se analiza el mismo ejemplo que en el capítulo anterior.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6b: Variación Temporal Lenta
Fuerzas
EyM 6b-2
Eym 6b-1
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Fuerzas entre circuitos sin generadores
• Si se supone que no existen generadores, la fuente de energía
externa se limita a la que da lugar a la fuerza que contrarresta la
fuerza de origen magnético:
Wext + Wm = cte⇒dWext + dWm = 0
– Un desplazamiento en la dirección y sentido de una fuerza supone la
realización de un trabajo a costa de la correspondiente disminución de la
energía de la fuente asociada:
r r r
dW = − F ⋅ dl ⇒F = −∇W
– En nuestro caso la fuerza de origen magnético se opondrá a la fuerza de
origen externo y valdrá:
r
r
Fi = − Fext = ∇ iWext = −∇ iWm
J.L. Fernández Jambrina
EyM 6b-3
Fuerzas entre circuitos sin generadores
(2)
• La ley de Faraday implica que cuando no existen generadores, el
flujo a través de los circuitos debe permanecer constante:
dΦ B ,1 = dΦ B , 2 = 0
– Lógicamente esto implica que en el caso de un desplazamiento las
corrientes deben variar.
• Suponiendo dos circuitos
Φ B ,1 = L1,1I1 + L2,1I 2 ; Φ B , 2 = L2,1I1 + L2, 2 I 2
– En la situación inicial:
– Y en la situación final:
Φ B ,1
Φ B,1 + dΦ B ,1 = L1,1 (I1 + dI1 ) + (L2,1 + dL2,1 )(I 2 + dI 2 ) = (L1,1I1 + L2,1I 2 ) + L1,1dI1 + L2,1dI 2 + dL2,1I 2
Φ B,2
Φ B , 2 + dΦ B, 2 = (L2,1 + dL2,1 )(I1 + dI1 ) + L2, 2 (I 2 + dI 2 ) = (L2,1I1 + L2, 2 I 2 ) + L2, 2 dI 2 + L2,1dI1 + dL2,1I1
– Eliminando los flujos y resolviendo:
dL2,1

(L2,1I1 − L2,2 I 2 )
dI1 =
2
0 = L1,1dI1 + I 2 dL2,1 + L2,1dI 2  
L1,1 L2, 2 − L2,1
⇒ 
0 = L2, 2 dI 2 + I1dL2,1 + L2,1dI1  
dL2,1
(L I − L I )
dI =
 2 L1,1 L2, 2 − L2,12 2,1 2 1,1 1

EyM 6b-4
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6b: Variación Temporal Lenta
Fuerzas
Eym 6b-2
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Fuerzas entre circuitos sin generadores
(3)
• Conocido lo que ocurre con las corrientes ataquemos la energía,
inicialmente:
1
Wm =
2
(Φ
I + Φ B,2 I 2 )
B ,1 1
• Después del desplazamiento:
Wm + dWm =
1
(Φ B,1 (I1 + dI1 ) + Φ B,2 (I 2 + dI 2 )) ⇒ dWm = 1 (Φ B,1dI1 + Φ B,2 dI 2 )
2
2
• Desarrollando:
dWm =
Φ B ,1
Φ B,2
dL2,1 (L1,1I1 + L2,1I 2 )(L2,1I1 − L2, 2 I 2 ) + (L2,1I1 + L2, 2 I 2 )(L2,1I 2 − L1,1I1 )
2
2
L1,1L2, 2 − L2,1
• Simplificando:
dWm = − I1I 2 dL2,1
r
• Y la fuerza sobre uno de los circuitos: F2,1 = −∇ 2Wm = I1I 2∇ 2 L2,1
EyM 6b-5
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo: Fuerza entre una corriente rectilínea
indefinida y una espira rectangular a flujo constante.
• El campo debido a la línea de
corriente en el plano x=0 es:
I2
r r
µI
µI
B1 (r ) = 1 ϕˆ = − 1 xˆ
2πρ
2πy
I1
b
• El coeficiente de inducción mutua es:
L2,1 =
Φ B , 2,1
I1
=
µ I1
2πI1
z0 + b D + a
∫ ∫
z = z0 y = D
(− xˆ )× (− xˆ ) dydz = µI1b ln D + a
y
2π
D
D
• Como sólo varía con el desplazamiento según y,
sólo existirá fuerza en ese sentido:
r
dL
d µb D + a
1
µI I b  1
F2,1 = I1 I 2 2,1 yˆ = yˆI1I 2
ln
= yˆ 1 2 
− =
dD
dD 2π
D
2π  D + a D 
1 
µI I b  1
= − yˆ 1 2  −

2π  D D + a 
a
• Resultado idéntico al obtenido a partir de la fuerza de Lorentz.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6b: Variación Temporal Lenta
Fuerzas
EyM 6b-6
Eym 6b-3
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Fuerzas entre circuitos a corriente constante
• Cuando existen generadores que mantienen constantes las
distribuciones de corriente son tres las fuentes de energía: el campo
magnético, los generadores y la fuente externa que provoca el
desplazamiento.
• En estas condiciones la ley de conservación de la energía queda
como sigue:
Wext + Wg + Wm = cte⇒dWext + dWg + dWm = 0
– La fuerza de origen magnético tiene que ser igual y de sentido contrario
a la fuerza mecánica que provoca el desplazamiento:
r
r
Fi = − Fext = ∇ iWext = −∇ i (Wm + Wg )
– El objetivo es ahora calcular las variaciones de energía del campo y de
los generadores.
– La variación de energía del campo es sencilla de obtener en el caso de
dos corrientes filiformes:
Wm =
1
1
2
2
L1,1 I1 + L2, 2 I 2 + L2,1 I1 I 2 ⇒ dWm = I1I 2 dL2,1
2
2
J.L. Fernández Jambrina
EyM 6b-7
Fuerzas entre circuitos a corriente
constante
(2)
– Para poder calcular la variación de energía de los generadores es
necesario conocer las f.e.m.i.:
dL
dΦ B1
= − I 2 2,1
dt
dt
dL2,1
dΦ B 2
Φ B 2 = L2,1I1 + L1,1 I 2 f .e.m.i.2 = −
= − I1
dt
dt
– Teniendo en cuenta que los generadores entregan energía a costa de la
que almacenan:
T
T
dL
dWg = ∫ ( f .e.m.i.1 I1 + f .e.m.i.2 I 2 )dt = −2 I1I 2 ∫ 2,1 dt = −2 I1 I 2 dL2,1
dt
0
0
» El doble y de signo contrario que la variación de la energía
magnética.
– Combinado resultados:
dWext = −dWg − dWm = dWm I1 I 2 dL2,1
r
r
– Y la fuerza sobre la distribución 1: F2,1 = − Fext = ∇ 2Wext = ∇ 2Wm = I1I 2∇ 2 L2,1
Φ B1 = L1,1 I1 + L2,1 I 2
f .e.m.i.1 = −
• Igual a del caso sin generadores.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6b: Variación Temporal Lenta
Fuerzas
EyM 6b-8
Eym 6b-4
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Distribuciones inmersas en un campo casi
constante
• Dada la similitud de los campos creados por un dipolo eléctrico y un
momento magnético la energía de interacción de un momento
magnético inmerso en un campo casi constante está dada por la
siguiente expresión:
WI ,e =
r r
r r
r r
r r
1
1
Emr ⋅ Dcte dV = − p ⋅ Ecte ⇔ WI ,m = ∫∫∫ Bmr ⋅ H cte dV = −m ⋅ Bcte
∫∫∫
2 V
2 V
• Con las fuerzas hay que tener precaución:
– Para que coincidieran, el momento magnético debería permanecer
constante.
– Se ha visto que esto no es así en ausencia de generadores, luego
r
r
r r
r r
Fe = ∇ p ⋅ Ecte ⇔ Fm = −∇ m ⋅ Bcte r
(
)
(
• Otro tanto ocurre con los pares:
r
r
r
r
r
)
m = cte
r
τ e = p × Ecte ⇔ τ m = −m × Bcte
• Nota: Algunos materiales, como el hierro, consiguen mantener el
momento asociado a sus corrientes ligadas.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6b: Variación Temporal Lenta
Fuerzas
EyM 6b-9
Eym 6b-5