Combinaci n de operadores. Laplaciana. Teorema de Helmholtz. Fuentes de campo. Expresiones

Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/11
Tema 1: Introducción
Concepto de campo
Repaso de álgebra vectorial
Sistemas de coordenadas
Cartesiano
Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Derivada temporal
Combinación de operadores: Laplaciana
Expresiones con operadores
Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1a-1
Combinación de operadores.
• Es frecuente que se apliquen de forma sucesiva dos operadores.
– Los operadores vistos hasta ahora sólo tienen derivadas de primer
orden.
– La combinación de dos operadores de primer orden da lugar a
operadores con derivadas de segundo orden.
grad
div
rot
rot
div
grad
PV => Incluye un producto vectorial en su definción …
J.L. Fernández Jambrina
Laplaciana - Expresiones Vectoriales
EyM 1b-2
Laplaciana - Expresiones
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/11
Combinaciones que se anulan
grad
rot
div
div
rot
grad
Rotacional del gradiente : ∇ × ∇U = 0
r
r
∫∫ ∇ × ∇U ⋅ dS = ∫ ∇U ⋅ dl
S
(
=0
C
)
r
Divergencia del rotacional : ∇ ⋅ ∇ × A = 0
∫∫∫∇ ⋅ (∇ × A)dV = ∫∫ ∇ × A ⋅ dS = ∫ A·dl
r
V
r
r r
r
S
=0
0
EyM 1b-3
J.L. Fernández Jambrina
Rotacional del gradiente de un escalar:
• Rotacional del gradiente:
∇ × ∇U = 0
– Es nulo siempre:
– Demostración:
Para cualquier contorno
r C y una de rsus superficies S:
(
∇
×
∇
U
)
⋅
d
S
=
∇U ⋅ dl = 0
∫∫S
C
Stokes ∫C
Luego el rotacional de un gradiente siempre debe ser nulo.
– Consecuencia:
Si el rotacional de un vector es nulo, entonces ese vector es el
gradiente de un escalar.
r
r r
r
∇ × A = 0 ⇒ ∀C : ∫ A ⋅ dl = 0 ⇒ ∃U / A = ∇U
S
n$
C
» Demostración:
• Si el rotacional del vector es nulo, la circulación del vector entre dos
puntos es independiente del camino seguido.
• Se puede construir el escalar a partir su valor en un punto:
r
r
r r
r r
r
r
U (r ) = U (r0 ) + ∫r A ⋅ dl ⇔ U = ∫ A ⋅ dl + cte
r0
• El escalar queda determinado a falta de una constante aditiva.
J.L. Fernández Jambrina
Laplaciana - Expresiones Vectoriales
EyM 1b-4
Laplaciana - Expresiones
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/11
Divergencia del rotacional de un vector.
• Divergencia del rotacional:
(
)
r
∇⋅ ∇× A = 0
– Basta con tomar volumen arbitrario:
r
r r
∫∫∫V ∇ ⋅ ∇ × A dV = ∫∫S∇ × A ⋅ dS =
r r
r r
r r
r r
= ∫∫ ∇ × A ⋅ dS + ∫∫ ∇ × A ⋅ dS = ∫ A ⋅ dl + ∫ A ⋅ dl = 0
(
S1
)
S2
C1
C2
» Como C1 y C2 son el mismo contorno recorrido en sentidos
contrarios, el resultado es nulo:
S1
S
n$
V
C2
+
C1
n$
S2
EyM 1b-5
J.L. Fernández Jambrina
Divergencia del rotacional de un vector:
Consecuencia
• Consecuencia 1:
S1
S2
– El flujo de un vector de divergencia nula a través de
una superficie abierta sólo depende de su contorno.
» Basta con considerar varias superficies con el
mismo contorno, S1 , S2... y cerrarlas con otra S0:
S0
r r
r r
r r
0 =

∫∫ B ⋅ dS = ∫∫S B ⋅ dS + ∫∫S B ⋅ dS 
r
r r
r r

S 0 + S1
r r 0 r r 1 r r  ⇒ ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ dS
∇⋅B = 0⇒ 
S1
S2
0 = ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ dS + ∫∫ B ⋅ dS 
S0 + S 2
S0
S2


• Consecuencia 2:
– Si la divergencia de un vector es nula, entonces el vector es el rotacional
de otro.
r
r
» Si B = ∇ ×rA , siempre
r se
r cumplirá
r r la consecuencia 1.
r
B
⋅
d
S
=
∇
×
A
⋅
d
S
=
A
∫∫S
∫∫S
∫ ⋅ dl = funcion del contorno
C
r
r
» Si B ≠ ∇ × A , no se cumple la consecuencia 1, porque …
r
r
• Nota: El conocimiento de ∇ × A no basta para determinar A
EyM 1b-6
J.L. Fernández Jambrina
Laplaciana - Expresiones Vectoriales
Laplaciana - Expresiones
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/11
Combinación de operadores:
Laplaciana de un escalar:
grad
rot
div
rot
div
grad
Es la divergencia de su gradiente:
∇ ⋅ (∇U ) = ∇ 2U = ∆U
EyM 1b-7
J.L. Fernández Jambrina
Laplaciana de un escalar:
Definición y expresiones
2
• Es la divergencia de su gradiente: ∇ ⋅ (∇U ) = ∇ U = ∆U
• Curvilíneas:
1 ∂U
1 ∂U
1 ∂U

uˆ1 +
uˆ2 +
uˆ3

h1 ∂u1
h2 ∂u2
h3 ∂u3
1  ∂ h2h3 ∂U
∂ h3h1 ∂U
∂ h1h2 ∂U 



⇒ ∆U =
+
+
r
1  ∂A1h2h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 
h
h
h
∂
u
h
∂
u
∂
u
h
∂
u
∂
u3 h3 ∂u3 
1
2
3

1
1
1
2
2
2


∇⋅ A =
+
+
∂u2
∂u3 
h1h2h3  ∂u1
∇U =
• Cartesianas: ∆U = ∂ U2 + ∂ U2 + ∂ U2
2
2
2
∂x
∂y
∂z
• Cilíndricas:
1  ∂  ∂U  1 ∂ 2U
∂ 2U
∆U =   ρ
 +
+
ρ
ρ  ∂ρ  ∂ρ  ρ ∂ϕ2
∂z 2
• Esféricas:
∆U =
=
J.L. Fernández Jambrina
Laplaciana - Expresiones Vectoriales
 1 ∂  ∂U
=
 ρ ∂ρ  ρ ∂ρ


 1 ∂ 2U ∂ 2U
 + 2
+ 2
2
∂z
 ρ ∂ϕ
1 ∂ 2
∂U  ∂
∂U
1 ∂ 2U
  r sen θ
+
 + sen θ
r sen θ  ∂r 
∂r  ∂θ
∂θ sen θ ∂ϕ2
2

 =

1 ∂  2 ∂U 
1
∂
∂U
1
∂ 2U
sen θ
+ 2
r
+ 2
2
2
r ∂r  ∂r  r sen θ ∂θ
∂θ r sen θ ∂ϕ2 EyM 1b-8
Laplaciana - Expresiones
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/11
Laplaciana de un escalar:
Interpretación
• Al tratarse de la divergencia del gradiente:
– Será positiva en los puntos en que se generen líneas de campo del
gradiente: por ejemplo, en los puntos en que el escalar sea mínimo.
– Será negativa en los puntos en que terminen líneas de campo del
gradiente: por ejemplo, en los máximos del escalar.
• De alguna forma mide la concavidad del escalar.
grad(U)
U(x,y)=sin(pi*x/2).*cos(pi*y/2)
1
0.8
1
0.6
0.4
0.5
0.2
Y
0
0
-0.2
-0.5
-0.4
-1
1
-0.6
0.5
1
0.5
0
-0.5
-1 -1
Y
-0.8
0
-0.5
-1
-1
X
-0.5
0
X
0.5
1
EyM 1b-9
J.L. Fernández Jambrina
Combinación de operadores:
Laplaciana de un Vector
grad
rot
div
rot
div
grad
• Es, es, … es
(
)
r
r
r
∆A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇ × ∇ × A
J.L. Fernández Jambrina
Laplaciana - Expresiones Vectoriales
EyM 1b-10
Laplaciana - Expresiones
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Curso 2010/11
Laplaciana de un vector.
(
)
r
r
r
∆A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇ × ∇ × A
• Definición:
• Su expresión es complicada, salvo en cartesianas:
– Limitando el cálculo a su componente x:
[∇(∇ ⋅ Ar )]x = ∇ ∂∂Ax + ∂∂Ay
2
∂Az 
∂ 2 Ax ∂ Ay ∂ 2 Az
 =
+
+
2
∂z 
∂x
∂x∂y ∂x∂z
 
x
r
r
r
∂
∂
∂  ∂A ∂A  ∂  ∂A ∂A 
∇×∇× A x =
∇× A z −
∇ × A y =  y − x  −  x − z  =
∂y
∂z
∂y  ∂x
∂y  ∂z  ∂z
∂x 
y
x
[
]
[
∂ 2 Ay
]
+
[
]
∂ 2 Az ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax
−
− 2
∂x∂y ∂x∂z ∂y 2
∂z
r
r
r
∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax
∆A x = ∇ ∇ ⋅ A x − ∇ × ∇ × A x =
+
+
= ∆Ax
∂x 2
∂y 2
∂z 2
=
[ ] [(
+
)] [
]
EyM 1b-11
J.L. Fernández Jambrina
Laplaciana de un vector. (2)
• Repitiendo el cálculo para las componentes y y z:
r
∆A = ∆Ax xˆ + ∆Ay yˆ + ∆Az zˆ
– La laplaciana de un campo vectorial es otro campo vectorial cuyas
componentes en coordenadas cartesianas (y sólo en cartesianas) son
las laplacianas (escalares) de las componentes del campo original.
• Interpretación: complicada.
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Laplaciana - Expresiones Vectoriales
EyM 1b-12
Laplaciana - Expresiones
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Curso 2010/11
Teorema de Helmholtz
• Enunciado:
Para definir un campo vectorial es necesario
especificar tanto su rotacional como su divergencia.
• Demostración:
– La divergencia no basta:
r r
r
r
r
r
r
A′ = A + ∇ × B ⇒ ∇ ⋅ A′ = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ ∇ × B = ∇ ⋅ A
1424
3
0
– El rotacional no basta:
r r
r
r
r
A′ = A + ∇U ⇒ ∇ × A′ = ∇ × A + ∇ × (∇U ) = ∇ × A
1424
3
0
(
)
EyM 1b-13
J.L. Fernández Jambrina
Fuentes de los campos
• Puesto que un campo vectorial se determina a partir de su rotacional
y de su divergencia, se definen ambas expresiones como sus
fuentes.
• Las fuentes escalares son las que definen la divergencia del campo.
– Ejemplo: la densidad de carga volumétrica es la fuente escalar de la
densidad de flujo eléctrico:
r
∇⋅D =ρ
• Las fuentes vectoriales son las que definen el rotacional del campo.
– Ejemplo: la densidad de corriente volumétrica es la fuente vectorial de la
intensidad de campo magnético en variación lenta:
r r
∇× H = J
J.L. Fernández Jambrina
Laplaciana - Expresiones Vectoriales
EyM 1b-14
Laplaciana - Expresiones
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/11
Expresiones varias
r r
r r
A × B = −B × A
r r r
r r r r r r
A × (B × C ) = B( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B )
r v r
r r v
v r r
A ⋅ (B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B )
r r r r
r r r r
r r r r
( A × B ) ⋅ (C × D ) = (A ⋅ C )(B ⋅ D ) − (A ⋅ D )(B ⋅ C )
∇ ⋅ ∇ U = ∆U
∇ × ∇U = 0
r
r
r
r
∇ ⋅∇× A = 0
∇ × ∇ × A = ∇∇ ⋅ A − ∆A
∇(U + V ) = ∇U + ∇V
∇UV = V∇U + U∇V
r r
r
r r
r
r
r
∇ ⋅ (A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B
∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B
r
r
r
r
r
r
∇ ⋅ (UA) = ∇U ⋅ A + U∇ ⋅ A
∇ × (UA) = ∇U × A + U∇ × A
r r
r
r r
r
r r
r
r
∇( A ⋅ B ) = ( A ⋅ ∇ )B + A × (∇ × B ) + (B ⋅ ∇ )A + B × (∇ × A)
r r
r r
r
r
∇ ⋅ (A × B ) = B ⋅ ∇ × A − A ⋅ ∇ × B
r r
r
r
r r
r r
r
r
∇ × ( A × B ) = A(∇ ⋅ B ) − B(∇ ⋅ A) + (B ⋅ ∇ )A − ( A ⋅ ∇ )B
r
r
r
r
r
( A ⋅ ∇ )B = Ax ∂B + Ay ∂B + Az ∂B
∂x
∂y
∂z
J.L. Fernández Jambrina
Laplaciana - Expresiones Vectoriales
EyM 1b-15
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