Electricidad y Magnetismo r a z

Electricidad y Magnetismo
Problemas del Tema 2
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1. Sobre un casquete semiesférico ( r = a , z ≥ 0 ) se tiene una distribución superficial de carga ρS
constante. Si a dicha distribución se le hace girar a una velocidad angular ϖ constante alrededor
del eje z, determinar: a) la densidad de corriente generada, b) la corriente total.
!
Solución: J s = ρ s ωa sin θϕ" , I = ρ s ω a 2
2. Determinar si se puede eliminar el término de la corriente de desplazamiento de la ley de Ampère
generalizada en una región donde existe una distribución de corriente de conducción dada por:
!
J=
3 r2
r3 + 2
r"
3. ¿Cuál es la distribución de carga que, en un determinado recinto con permitividad dada por
! k
ε = ε 0 (1+ r 2 ) , genera en dicho recinto un campo dado por E = 2 r" ?
r
2k ε 0
Solución: ρ = r , y una carga puntual en el origen de valor q = 4πk ε 0
! !
k
θ" en el vacío, localice y calcule las cargas que lo crean.
4. Dado el campo eléctrico E(r)=
r sin θ
 2π ε 0 k ; z > 0
Solución: ρ l = 
- 2π ε 0 k ; z < 0
5. Un conductor perfecto esférico de radio R está rodeado de una densidad volumétrica de carga
! ! a(br + 2) -br
ρ( r ) en el vacío. Si para r>R el campo eléctrico viene dado por E(r) =
e r" , calcule:
r3
a) ρ( r ) , b) ρS en la superficie del conductor. c) La carga total.
ε0 a
ε 0 a(bR + 2) -bR
 2 2b

Solución: ρ = - 2 e-br  2 +
+ b2 , ρ s =
e , QT = 0
r

r
r
R3
6.! Se sabe que en una región cilíndrica indefinida de radio R el campo magnético viene dado por
B = 2 B0 (t)ρϕ" . Si en el exterior de dicha región el campo magnético es nulo, determine el vector
densidad de corriente en la superficie cilíndrica.
!
Solución: J S =
- 2 B0 (t)R
z"
µ
7. ¿Cuantos vectores son estrictamente necesarios para describir el campo electromagnético en el
vacío?
Solución : 2, uno eléctrico y uno magnético.
!
8. Calcule la relación entre permitividades de los
E2
dieléctricos de la figura para que se verifique que los
60º
vectores del campo eléctrico tengan las direcciones
representadas en la figura:
n̂
!
E1
45º
ε2
ε1
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9. En una situación electrostática el potencial en todo el espacio expresado en esféricas es:
2
! K r a
Φ(r ) = 
 K a
; 0≤r ≤a
;
a≤r
Suponiendo que el medio es el vacío: !
a) Calcule el campo eléctrico. Nota: E = −∇Φ
b) Caracterice las distribuciones de carga que lo originan: posición, tipo, densidad y carga total.
c) ¿Cuáles de dichas cargas pueden corresponder a conductores?
10. Considere un conductor esférico de radio a recubierto de una corteza dieléctrica de radio 2a. Si
el campo eléctrico en el interior del dieléctrico está dado por:

0
; 0≤r <a


! !   2a 3

 a3

E (r ) =   3 + 1 cos θr" +  3 − 1 sen θθ"
; a < r < 2a

r

  r
 26a 3 17 
 13a 3 17 
"
 3 +  cos θr +  3 −  sen θθ" ; 2a < r < ∞
12 
12 
 3r
 3r
Calcule:
a) La densidad de carga superficial en el conductor y su carga total.
b) Las densidades de carga volumétrica.
c) La permitividad del dieléctrico para que no halla carga superficial en r = 2a .
d) Las distribuciones de carga ligada asociadas al dieléctrico.
b) ρ = 0 c). ε = 2ε 0
Soluciones : a). ρS = 3ε cosθ
d) ρ Lig = 0
ρSLig
r =a
= −3(ε − ε 0 ) cosθ
ρSLig
= 5 (ε − ε 0 ) cosθ
4
r =2a
11. Si en un medio determinado la ecuación de estado para el campo magnético es:
!
B = µ 0 100 H x xˆ + 50 H y yˆ + H z zˆ indique el tipo de medio de que se trata.
(
)
Solución: Homogéneo, lineal y anisótropo.
12. Obtenga la distribución de corriente estacionaria superficial sobre el
cono de la figura.
El módulo de la densidad de corriente dependerá de la distancia al vértice
!
z y su vector irá según r̂ , de modo que: J s = J s (h )r̂
La corriente se distribuye con simetría de revolución por lo que:
Solución: J s =
I
z
I
2πztanθ 0
θ0
13. Calcule la potencia disipada en un hilo cilíndrico metálico (conductividad σ, radio a y longitud L)
sobre el que circula, a su largo, una corriente estacionaria uniformemente distribuida de valor I.
!
!
! !
!
J
I
I ˆ !
I 2L
φ E S = = 2 ẑ Wd = − ∫∫ E × H ⋅ dS = 2 wat
Solución: H S =
S lat
lat
lat
σ πa σ
2πa
πa σ
(
)
Versión: 8 29/10/2001 18:13