Documento 158269

COMBINATORIA
Es la parte de la matemática que estudia diversas formas de realizar agrupaciones
con los elementos de conjunto, formándolas y calculando su número.
Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los
elementos O NO, según se puedan tomar todos los elementos O NO y si influye O
NO el orden de los elementos
Estas formas son:

Variaciones sin repetición

Variaciones con repetición

Permutación sin repetición

Permutación con repetición

Combinación sin repetición

Combinación con repetición
Una vez que se determine de qué tipo son, se pueden realizar los cálculos
combinatorios para calcular el número de agrupaciones que existen.
VARIACIONES SIN REPETICIÓN
Definición de las variaciones sin repetición de elementos tomados de se define
como las distintas agrupaciones con P elementos distintos, eligiéndolos de entre
los n elementos disponible, considerando una variación distinta a otra tanto si
difiere en algún elemento como si estaba situados en distintos orden.
V
p
n

n
n
1
 p !
VARIACIONES CON REPETICION
Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen
como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse,
eligiéndolos de entre n elementos disponibles, considerando una variación distinta
de la otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto
orden.
VR
p
 n
n
p
Ejemplo: calcular el número de variaciones con repetición se pueden formar con 5
elementos de 3 en 3.
S// VR
3
5
 5
3
 125
PERMUTACIONES SIN REPETICION
Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas
formas de ordenar esos elementos distintos por lo que la única diferencia entre
ellas es el orden de colocación de sus elementos.
Pn  n1
Ejemplos: De cuántas maneras se pueden ordenar 5 libros distintos.
5 X 4 X 3 X 2
X 1
P5  5  5  4  3  2  1  120
1
EJEMPLOS
1) ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los números
2,3,5,7,8,9
S//
P
6
3
6!

6  3 !

6  5  4  3!
 120
3!
2) Cinco personas entran en un vagón de ferrocarril en que hay 7 asientos
¿Cuántas maneras distintas se pueden sentar?
S//
P
7

5
7!
 2520
2!
3) ¿Cuántos números de 4 cifras distintas
a) Se pueden formar con los números 1,3,5,6,8,0
b) Cuántos de ellos son pares?
S//
a)
P
6!
6
4

2!

P
(No hay que considerar los que empiezan en
cero).
5
3
5!
2!
6  5  4  3 2 1
2!
360  60  300
b) Pares

5  4  3  2!
2!
5
3 P3 
P
 3 60   60
5
3
 180  60
 120
4) Si tenemos la siguiente placa de auto, con dos letras y 4 números, de las cuales
se pueden repetir ¿Cuántas placas se pueden formar?
S// 27
2
 10
4
 729
10 . 000 
 7 . 290 . 000
5) Si se quiere formar el siguiente comité con un presidente, dos secretarios y
tres tesoreros, para la cual hay 32 postulantes para los cargos, mencionados
anteriormente ¿Cuántos comités se pueden formar?
S// 32  C
31
 C 3  32    465    4060
30
  60412800
6) De cuántas maneras 3 americanos, 4 franceses y dos italianos pueden
sentarse de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?
S// Por se cuatros nacionalidades, existen 4! formas distintas de que se formen, y
en el caso de los americanos existen 3! distintas de que se puedan juntar y así
para los franceses 4!; los daneses 4! y 2! para los italianos, en total hay:
4!3!4!4!2!  165888
7) ¿Cuántos combinaciones distintas se pueden formar tomando cuatros dígitos
3,4,7,5,8,1
S//
C
6
4
 2052000
8) La USCO desea formar una comisión de 5 estudiantes, 3 de primer año y 2 de
segundo año. Si se presentan 7 voluntarios de primer y tres para el segundo.
¿Cuántas maneras se puede formase esta comisión?
S//
7
C
3
3
 C 2  105
9) Encontrar el número de palabras que se pueden formar con todas las letras de
Marcelino.
S//
9!  362 . 880
10) a) ¿Cuántos números diferentes de 5 cifras se pueden escribir con los dígitos
1,2,3,4,5.
!  120
S//
b) ¿Cuántos comienzan por 1
4!  4  3  2 24
11) Se tienen 12 cadetes , 5 de la primera compañía, 4 de la segunda y 3 de la
tercera ¿De cuántas maneras se pueden alineárselos cadetes por compañías
S// 103680
12) ¿Cuántas combinaciones de tres cifras, puede hallarse con los dígitos impares.
S//
C
5
3

5!
3!2!

5 43
3! 2

20
 10
2
13) Cada uno de los cuatro jugadores recibe 13 cartas de 5 L, en un juego
¿Cuántos juegos distintos pueden formarse?
S//
52 !
13 ! 4
14) Encontrar el número de palabras que se pueden formar con las letras de
ALGEBRA, pero que la L siempre este de primero?
S// Como la L siempre está de primero, por lo tanto quedan 6 letras, así,
Si tiene 6!, pero la letra A se repite 2 veces por lo tanto:
6!

6  5  4  3  2!
2!
 360
2!
15) Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 4, 6, 7, 8
sin cifras repetidas.
¡Cuántos son pares y Cuántos son impares?
720, 480 p
240 imp.
16) De cuántas maneras se pueden formar 4 hombres y 4 mujeres en una mesa
redonda de modo que siempre haya sexo alternado.
M
H
H
P4  4!  Maneras de ubicar
las mujeres.
M
H
M
H
H
H
P3  3! 
maneras
ubicar los Hombres
de
P4  P3  4!  144
M
H
17)En
una
caja
hay
5
pide extraer:
a) 3 pelotas con reemplazo.
S// 18   5832
3
pelotas negras, 6 pelotas blancas, 7 verdes, se
b) Cantidad de permutaciones
P18  181  6402373705 728000
18) ¿De cuántas maneras se pueden colocar las letras VISITING.
P8  r  3  
a)
81
 6720
31
b) ¿Cuántas de ellas tienen las tres I juntas?
S// Las 5 restantes letras se pueden formar P5  5!  120
Las letras I pueden formarse de P3  3!  6
Total: 3!5!   6 120   720
19) Una persona sale de vacaciones desea llevarse 4 libros para leer. Dispone de
de 4 novelas de ficción y 6 de cuentos cortos. ¿De cuántas maneras puede
hacer la elección si quiere llevar al menos una novela de ficción?.
NCCC 
NNCC 
NNNC 
4
C
C
6
6
3
46
4
 c 2  90
2
C
 80
4
3
 24
1
NNNN
80  90  24  1  195
20) ¿Cuántas formas es posible distribuir 12 libros diferentes entre 4 niños de
modo:
a) Cada niño reciba 3 libros.
C
12
3
9
3
 C 3  C 3  220  80  20  1
 369 . 600
21) Un comité de 12 personas sería elegido entre 10 hombres y 10 mujeres de
cuántas formas se puede hacer la selección si?
a) No hay restricción
C
20
12
201

 125 . 970
12181
b) Debe haber un par de mujeres
S// si hay 2 M y 10 H
10
C
Si hay 4 M y 8 H
C
Si hay 6 M y 6 H
C
Si hay 8 M y 4 H
2
10
4
10
C
6
C
Si hay 10 M y 2 H
C
C
10
i !
2c
C
10
12  2 i

C
C
10
Si hay 8 M y 4 H
5
10
 C 10
8
10
6
10
10
10
6
10
C6 
10 !
6141

8My4H
7
10
8
6
10
 44100
10
10
C2
6141
C
C
6
C
d) Debe haber más mujeres que hombres
7My5H
10
10
 63090
10 !
8
C4
c) Debe haber 6 hombres y 6 mujeres
C
10
10
C5
10
C4
9My3H
C
10 M y 2 H
C
10
C
i7
10
i
10
10
9
C8
10
10
C2
10
10
C
12  i
d) Debe haber al menos 8 hombres
8Hy4M
C
9Hy3M
C
10 H y 2 M
C
10
C
i 8
10
i
C
10
8
10
9
10
C4
10
C3
10
10
C2
10
10
12  i
22) Con los dígitos: 0,1,2,3,4,5
a) ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar?
S// Se pueden formar
A
comienzan por cero, quedan
A
6

3
A
5
2
6
3
números pero están incluidos ahí los que
A
5
2
 100
b) ¿Cuántos son pares
Los que terminan en cero
A
5
2
 20
Los que terminan en 2 pero que no comienza por cero
A2
5
3

A
4
1
 16
Los que termina en 4 pero no comienzan en cero.
A
5
2

A
4
1
 16
Total = 52
23) a) ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra
TRIANGULO?
P9  91  362880
c) ¿Cuántas comienzan con T y terminan en cero?
T
__ __ __ __ __ __
O
P7  7!  5040
C) ¿Cuántas tienen las 4 vocales juntas?
VC 1 C 2 C 3 C 4 C 5
C1VC 2 C 3 C 4 C 5
C1C 2VC 3 C 4 C 5
C1C 2 C 3VC 4 C 5
C1C 2 C 3C 4VC 5
C 1C 2 C 3 C 4 C 5V
6
P5
P4 = 17280
Vocales
Consonantes
d) ¿En cuántas la A ocupa lugar impar?
A ___ A ___ A ___ A ___ A
Si a A esta en el primer lugar, las restantes 8 letras pueden disponerse de
P8  81 maneras. Lo mismo sucede si la A ocupa la
0
0
0
3 ,5 , 7 y ,9
0
posición por lo
tanto hay 5 P8 
24)¿Cuántos números de 5 cifras se pueden escribir con cuatro dos y cuatro
cincos?
S//
4 dos y un cinco
3 dos y dos cincos
P
2 dos y tres cincos
P
1 dos y cuatro cincos
P
5
3, 2
4 ,1

5!

 5
4!!
5!
 10
3!2!
5

2 ,3
P
5
5!
 10
2!3!
5
1, 4

5!
 5
1!4!
TOTAL: 5+10+10+5 = 30
25) ¿Cuál es el número de colocaciones diferentes de 7 libros en una estantería de
26)modo que 3 libros determinados estén separado entre sí.
S//
●
●
Hay 10 formas de escoger 3 casillas separadas.
Hay 31 maneras de permutar 3 elementos
Hay 41 números de permutar 4 elementos
En total: 10.4131 = 1440
Otra forma
Hay un total 71 de maneras de colocar 7 libros
Hay 3155 41 de colocar 2 libros juntos
TOTAL: 71-3315.41
●
Son variaciones o permutaciones Si
Para formar las agrupaciones
(influye el orden colocación de
los elementos en la agrupación
El orden colocación deNolos
elementos
Vas ha usar todos los
Elementos de que dispones.
Son combinaciones
Si
Son permutación
No
Variaciones
Separan con o sin repetición
si se pueden o no repetir los
elementos respectivamente.
Existen elementos Repetidos
en
los
Conjuntos
que
disponemos.
Si
Son permutación
con repetición
No
Son permutación
sin repetición
REGLA DE LA SUMA Y EL PRODUCTO
1) ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con 5 consonantes y tres
vocales modo que dada palabra comience y termine en consonante?
S//
C
V
C
5
3
4
5  3  4  60
2) Determine el número de enteros de 6 dígitos (que no comiencen con cero)
en los que:
a) Ningún dígito se pueda repetir
9
9
8
7
6
5
9  9  8  7  6  5  136080
b) Se pueden repartir los dígitos
9
10
10
10
10
10
9  10  10  10  10  10  900000
PERMUTACIONES
3) ¿Cuántas permutaciones existen?
a) Para las 8 letras a,b,c,d,e,f,g,h
S// P8  8!  40320
b) Cuántas permutaciones comienzan por a?
S// P7  7!  5040
c) ¿Cuántas palabras comienzan por a y terminan con la letra c.
S// P6  6!  720
4) ¿De cuántas formas es posible ordenar los símbolos a,b,c,d,e,e,e,e,e de
__ __ __ __
modo que ninguna e quede junta a la otra.
e
e
S//
e
e
e
P4  4!  24
COMBINACIONES
5) En una reunión de 6 personas, ¿Cuántos saludos de mano se pueden
intercambiarse, si entre dada 2 personas, se dan la mano una sola vez?
S//
C
6
2

6!

6  5  4!
2!4!
2  4!
 15
6) Con los dígitos 3,5,7,8,0 se forman todos los números, determinar cuántos
de ellos son mayores de 6500.
S// P5  5!  120 (incluidos los que comienzan por cero)
Ahora cuántas comienzan por cero.
P4  4!  24
De esos 24 números, los que empiezan por 7 y 6 son mayores que 6500 y los
que empiezan por 3 y 5 son menores de 6500 que son 12.
Por lo tanto son:
Mayores de 6500 = 120-12 = 108
7) ¿Cuántos números de 5 cifras están formados únicamente de cuatros y
doces?
( 44224 , 24422 , 242 , 4 , 2 ...)
2ó 4
2ó 4
2ó 4
2  2  2  2  2  2  32
5
2ó 4
2ó 4
8) ¿Cuántos números de 5 cifras no tienen ni 5 ni 3?
S//
8
7
8
8
8
En el primer espacio no podemos colocar ni 5 ni 3 ni 0. Entonces tenemos 7
opciones para el primer espacio. En las 4 restantes casillas podemos poner
cualquier número excepto 5 y 3, es decir, 8 posibilidades por el principio de
multiplicación el total de posibilidades.
78
4
 28672
9) ¿Cuántos números de 6 cifras hay que no tienen dígitos repetidos?
Si
8
9
9
7
6
5
En el primer espacio, se tiene 9 posibilidades (cero no puede)
En la segunda posición también tenemos 9 opciones (ya el cero lo podemos
utilizar)
Para la tercera casilla existen 8 posibilidades (ya hemos utilizado dos dígitos)
Para cuarta posición 7, para la quinta y sexta y para la última 5.
En total:
9  9  8  7  6  5  136080
10) En una olimpiada de matemáticas participan 50 personas ¿Cuántas
maneras se pueden quedar repartidos el primer, segundo y tercer puesto?
S//
P
50
3

50 !
50
 3!

50 !
47 !

50  49  48  47 !
 117600
47 !
11) La junta directiva de la Empresa Solar está formada por 8 mujeres y 7
hombres ¿De cuántas maneras se puede conformar una comisión de
integrada por 3 mujeres y 4 hombres ¿ y con la restricción adicional que la
doctora Gloria y el señor Londoño no figuren en la misma comisión?
S//
C
C
C
8
3
7
4
8
3

8!

5!3!

7!
3!4!

8  7  6  5!
3  2  5!
7  6  5  4!
3  2  4!
 56
 35
 c 4  56 35   1960
2
Si en el comité participan simultáneamente la doctora Gloria y el Señor Londoño,
hay que elegir 2 mujeres entre las 7 restantes y 3 hombres de los 6 restantes.
C 2  c 3  21 20   420
7
6
1960  420  1540
EJERCICIOS
1)
Queremos ordenar 72 libros que tenemos: 4 son de matemáticas, 2 de
astronomía y 1 de física (los de una misma materia son iguales) ¿de
cuántas maneras los podemos ordenar en un estante?
2
7!


7  6  5  4!
 7  3  5  105
S//
P
2)
Queremos realizar una encuesta a 150 personas pero vamos a usar una
r  4 , 2 !1 
4! 2
4!2!
muestra a solo 10 personas ¿Cuántas muestras podríamos utilizar?
C
150
10
3)

150 !
150
 10 10 !
150 !

150  149  148  ...  140 !

140 ! 10 !
140 !10 !
 2131 . 920 . 831 . 862 . 965
En la primera ronda de un campeonato de ajedrez cada participante debe
jugar contra todos los demás una sola partida. Participan 23 jugadores
¿Cuántos participantes se disputarán?
S//
C
23
2

23 !
23  2!!2!

23  22  21!
21! 2
 253
1) En una liga de baloncesto juegan 20 equipos, todos contra todos dos veces
(ida y vuelta) ¿Cuántos partidos se habrán jugado al final de la misma.
S//
C
20
2

20 !
 20
 2 !2

20  19  18 !
 190
18 !2
Como es doble vuelta 2  190  380
2) Con los dígitos 1,2,3,4,y 5 ¿Cuántos números de cinco cifras, sin repetición
se pueden formar.
a) ¿Cuántos de esos números empiezan por 1 (24)
b) ¿Cuántos termina en 5 (24)
c) ¿Cuántos empiezan por 1 terminan en 5? (6)
d) ¿cuántos son pares?
e) ¿Cuántos son múltiplos de 5? (24)
f) ¿Cuántos son mayores que 20000? (96)
3) Un club de baloncesto dispone de 10 jugadores de los cuales 5 juegan a la
vez ¿Cuántos equipos distintos de 5 jugadores pueden sacar el entrenador
para cada partido (252)
4) Siete jóvenes e igual número de señoras quieren formar pareja para el baile
¿Cuántas parejas distintas se pueden formar? (49)
S//
C
14
2

14 !
14
 2 !2!

14  13  12 !
12 ! 2
5) Si las placas de los vehículos estuvieron formado por un número de 4
dígitos y por dos letras, sin repetirse ninguna (abecedario de 28 letras)
¿Cuántas placas se podrán elaborar? ( 7560000).
10
10
10
10
28
27
6) Se disponen 7 colores para diseñar una bandera que tiene 3 franjas
horizontales de igual ancho pero de distinto color
a) ¿Cuántas banderas se pueden diseñar que no tiene ningún color repetido?
(210).
b) ¿Si se pueden repetir todas los colores? (343
S// a)
P
7
3

7!
7  3 !

7  6  5  4!
 210
4!
b)
7
7
7
7
7  343
3
7) ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra CALABAZA?
(1680).
S//
P
8
8!

r4
8  7  6  5  4!

4!
 1680
4!
8) a) En una reunión hay 10 personas ¿Cuántos grupos de tres personas se
pueden formar?
b) ¿En cuántos se estiman una persona determinada? (84)
S// a)
C
10
3
9
b)
10 !


10  3  4  7!
7! 3   2
7!3!

9!

98 76
6! 3  2
6!3!
3
 120
 84
9) con las letras CINEMA
a) ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar, tengan o no sentido? (720)
b) ¿Cuántas terminan en A? (120)
c) ¿Cuántas empiezan por M? (120)
d) ¿Cuántas comienzan con C y terminen en I? (24)
e) ¿Cuántas comienzan por vocal? (360)
f) ¿Cuántas tienen vocal y consonante alternas? (71)
g)
C
10)
7
x

C
7
x3
¿De cuántas maneras se pueden sentar 3 chicos y tres chicas en fila,
alternamente? (72)
S//
H
M
H
M
H
M
M
H
M
H
M
H
3! 3!  36
2  36  72
11 a) Hallar el número de permutaciones que se pueden hacer con la letras de
la palabra FABADA (120)
b) ¿cuántas comienzan y terminan en A? (24)
c) ¿Cuántas tienen 3 vocales iguales? (24)
d) ¿Cuántas comienzan por F y terminan en A? (12)
S//
6
a)
P
b)
A
rs

6!

3!
6  5  4  3!
 120
3!
4
3
2
1
A
c)
d)
F
A