Universidad del Valle Departamento de Matem´ aticas Ecuaciones diferenciales

Universidad del Valle
Departamento de Matemáticas
Ecuaciones diferenciales
Examen final T
enero 13 de 2006
Duración 2 horas. No se permite el uso de calculadoras. No se permiten preguntas. La opción NA indica
ninguna de las anteriores.
Nombre:
Código:
5. La solución general de la ecuación diferencial
(3x2 + 4x y) dx + (2x2 + 2y) dy = 0 está dada
implicitamente por
1. La función
t
Z
x(t) =
2
e−s ds
0
a) 2x2 + y 3 + x = c,
es solución de la ecuación diferencial
b) x3 + 2x2 y + y 3 = c,
c) x3 + 2x2 y + y 3 = 0,
a) x00 + 2t x0 + x = 0 b) x00 − 2t x0 = 0
c)
x00
+
2t x0
=0
d)
x00
d ) x3 + 2x2 y + y 2 = c,
+ 2t x = 0
e) x3 + 3x2 y + y 2 = c
e) x00 + 2t x0 − x = 0 f ) N.A.
f ) N. A.
2. Una de las siguientes afirmaciones sobre la solución y del problema de valor inicial y 0 − y 2 = 0,
y(0) = 1, no es cierta
a) c1 cos 4t+c2 sen 4t+c3 t cos 4t+c4 t sen 4t,
a) y(−1) = 2
b) y 00 (0) = 2
c) y es decreciente
d ) lı́mx→−∞ y(x) = 0
b) c1 cos 4t + c2 sen 4t + c3 t e4t + c4 t e−4t ,
e) c1 e2t + c2 e−2t + c3 t e4t + c4 t e−4t ,
f ) c1 e2t + c2 e−2t + c3 cos 2t + c4 sen 2t.
3. Si x = x(t) es la solución de
1 0
x = 1,
t
x(1) = 1, x0 (1) =
Las preguntas 7 y 8 se refieren a la ecuación
1
2
t2 x00 − tx0 + x = 0.
entonces x (2) es igual a
a) 0
d)
3−2 ln 2
4
b) 1
c)
e)
c) c1 e4t + c2 e−4t + c3 t e4t + c4 t e−4t ,
d ) c1 e2t + c2 e−2t + c3 sen 4t + c4 cos 4t,
e) y no está derfinida en (1, ∞)
x00 +
6. Si c1 , c2 , c3 y c4 indican constantes arbitrarias,
4
entonces la solución general x(t) de ddt4x −16 x =
0 es
Tenga en cuenta que x(t) = t es una solución
de esta ecuación.
3
4
3+2 ln 2
4
4. Sobre un cuerpo en caı́da vertical actúan el peso
y una fuerza de fricción viscosa con magnitud
directamente proporcional a la rapidez. Suponga que la velocidad v(t) con que cae satisface
lı́mt→∞ v(t) = −5 m/s. Si el cuerpo se deja caer
del reposo, y g es valor numérico de la gravedad
en unidades apropiadas, entonces su velocidad
al cabo de 15 segundos es de
2g
7. La función x = t u(t) es una solución de la ecuación dada siempre que la función u = u(t) satisfaga
a) u00 + u0 = 0
b) tu00 + u0 = 0
c) u00 − 2tu0 = 0
d ) u00 + tu0 = 0
e) tu00 − 2u = 0
8. Si x = x(t) es la solución que satisface x(1) = 0,
x0 (1) = 1, entonces x(2) es igual a
g
a) −5 + 5e−3 gb) −5 + 5e− 5 c) −5 + 5e− 5
a) e − 2
b) ln 2
d ) −5 + 5e−2 ge) −5 + 5e−g f ) N.A.
d) 2
e) 2 e
c) 2 ln 2
e) c1 et + c2 e−t + t2 et + et
9. Si x(t) = e−t cos 2t es solución de la ecuación
f ) N. A.
x00 + ax0 + bx = 0
2
12. Si x(t) satisface dd tx2 − 4x(t) = t e−t , x(0) = 0,
x0 (0) = 1, entonces la transformada de Laplace
x̂(s) de x(t) está dada por
entonces a y b son respectivamente iguales a
a) 2 y 5
b) 4 y 4
d) 0 y 4
e) 2 y −3
a)
1+s+2s2 +s3
(1−s)(s2 −4)
b)
1+s+2s2 +s3
(1−s)(s2 +4)
10. Un resorte atado a un techo tiene una longitud
de 15 cm. Cuando se le cuelga una masa de 20 gr
se alarga, quedando en reposo con una longitud
de 17 cm. Si se desplaza la misma masa 2 cm
debajo de su posición de equilibrio y se suelta;
despreciando la fricción, la constante del resorπ
te y la posición de la masa a los t∗ = 14 √
s
10
están dadas respectivamente por:
c)
1+s+2s2 −s3
(1−s)(s2 +4)
d)
1+s+2s2 −s3
(1−s)(s2 −4)
e)
1−s+2s2 +s3
(1−s)(s2 −4)
f ) N. A.
a) 2450 y
1
2
d ) 9,8 y −1
c) 2 y 1
13. La serie de potencias
ecuación diferencial
b) 9800 y −2 c) 4900 y −2
e) 980 y
− 12
c) x00 (t) + x(t) = 0
b) x00 (t) − x(t) = 0
d ) x0 (t) − x(t) = 0
14. Al aplicar el método de Frobenius a
d2 x 1 dx t − 3
−
+ 2 x(t) = 0
dt2
t dt
t
11. Si c1 y c2 indican constantes arbitrarias, enton2
ces la solución general de dd tx2 − x = 4 t et es:
produce
una
solución
de
la
forma
P
n con un valor positivo de m dado
a
t
tm ∞
n=0 n
por :
a) c1 et + c2 e−t + t2 et − t et ,
et
2,
√
c) c1 et + c2 e−t − t2 et − t et ,
a) m = 3
c) m =
d ) c1 et + c2 e−t + t2 et + t et − et ,
b) m = 9
d) m = 1
1
a
b
c
d
e
f
2
3
4
5
6
7
satisface la
a) x0 (t) + x(t) = 0
f ) N.A.
b) c1 et + c2 e−t + t2 et − t et +
t2n
n=0 (2n)!
P∞
8
9
10
11
12
13
14
15
3
e) m = 2
f ) N. A.