Proyecto 3

UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
PROYECTO 3. CALCULO III
Profesora:. DORIS HINESTROZA
POLINOMIOS DE INTERPOLACION Y AJUSTE DE CURVAS POR
MINIMOS CUADRADOS
En muchas ramas de la ingenieria, de las ciencias naturales y las matemáticas se obtienen un conjunto de datos
experimentales
(x0 ; y0 ); (x1 ; y1 ); (x2 ; y2 ); :::; (xk ; yk ); :::; (xn ; yn )
tal que x 6= xj (i 6= j) i; j = 0; 2; :::; n: Uno de los problemas interesantes que se presenta es tratar de encontrar
otros valores que por la medicion no se pueden determinar o inferir otros datos hacia el futuro. Como hacerlo? Hay
dos ideas respecto a que hacer cuando se tiene este conjunto de datos medidos.
1. Encontrar una función y = f (x) cuya grá…ca coincida con los puntos dados. Esto es encontrar una función f tal
que f (x ) = y : Ver la grá…ca.
yn
yk
y = f ( x)
y1
y0
x0
x1
xk
xn
Generalmente las funciones escogidas como modelo matemático son las siguientes:
I. POLINOMIO DE INTERPOLACION Hallar un polinomio de la forma f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + an xn
tal que f (x{ ) = y{ :
En este caso el problema consiste en encontrar los coe…cientes a0 ; a1 ; :::; an tal que f (x ) = y : Observemos desde
el punto de vista del algebra lineal esto es equivalente a seleccionar una funcion en el espaciovectorial de funciones
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generada por la base f1; x; x2 ; :::; xn g que genera el conjunto de polinomios de grado n: Observemos que esto nos
lleva a resolver un sistema lineal de ecuaciones de la forma
ao + a1 xo + a2 x2o + ::: + an xno
ao + a1 x1 + a2 x21 + ::: + an xn1
ao + a1 x2 + a2 x22 + ::: + an xn2
ao + a1 xn + a2 x2n + ::: + an xnn
= yo
= y1
= y2
..
.
= yn
el cual podemos escribir de la forma M !
a =!
y donde M es una matriz n n de la forma
2
3
2
3
3
2
yo
ao
1 xo x2o
xno
6 y1 7
6 a1 7
6 1 x1 x21
xn1 7
!
6
7
6
7
7 !
6
a = 6 . 7 y b = 6 . 7:
M =6 .
7
.
.
.
.
..
..
..
.. 5
4 .. 5
4 .. 5
4 ..
yn
an
1 xn x2n
xnn
La matriz M se llama matriz de Vandermonde.
El polinomio que surge al resolver el sistema se llama polinomio de interpolacion. En el caso de n = 2; el polinomio
de interpolacion se llama spline cuadrático y el caso de n = 3; se llama spline cúbico que son de bastante utilidad
en la práctica.
Actividad 1. Consulte con los profesores la im portancia de los polinomios de interpolacion.
Actividad 2. Muestre que el determinante de M es diferente de cero y por lo tanto la matriz es invertible. Esto
implica que existe un unico vector a que satisface las condiciones del sistema y por lo tanto un unico polinomio que
coincide con las condiciones pedidas. Este polinomio es llamado polinomio de interpolacion (tambien llamado
polinomio de lagrange y es unico.).
Actividad 3. Considere los siguientes polinomios, llamados polinomios de Lagrange
l{ (x) =
(x
(x{
xo )(x x1 ) (x xi 1 )(x
xo )(x{ x1 ) (x{ xi 1 )(x{
n
Y
x{ ) (x xn )
(x
=
x{+1 ) (x{ xn ) j=0 (x{
xj )
xj )
i6=j
a. Muestre que el grado del polinomio l{ es de grado n: y escriba los polinomios lo (x); l1 (x); l2 (x) para el caso de
n = 2; dando valores especí…cos para xx ; x1 ; x2 :
b. Muestre que l{ (x{ ) = 1 y l{ (xj ) = 0;
Actividad 4. De…na el polinomio
p(x) = yo lo (x) + y1 l1 (x) +
yn ln (x)
Muestre que p(x{ ) = yi: Como el polinomio de interpolacion es unico, esto implica que p(x) seria en polinomio de
interpolacion y se puede construir naturalmente de esta manera.
a. Utilizando los siguientes datos (1; 1); (3; 2); (4; 2); (5; 3), calcule los polinomios de Lagrange l{ correspondientes y el polinomio de interpolación.
b. Consultar datos experimentales de sus laboratorios o datos que tengan los profesores en sus investigaciones y
determine que grado de polinomio de interpolación que podría utilizar..
CURVAS DE AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS.
Otra técnica utilizada para analizar datos experimentales es el llamado el método de los mínimos cuadrados
de gran importancia en las distintas ramas de la ingeniería, las ciencias y las matemáticas. Este mátodo consiste en
encontrar una función cuya grá…ca sea la más aproximada a los datos obtenidos. Precisando, claro esta, que signi…ca
“estar aproximada”. Este método nos
nos permite predecir la existencia de otros valores o inferir valores futuros.
Ver grá…ca
2
yn
yk
yk − f ( xk )
y = f ( x)
y1
y0
x0
x1
xk
xn
Elste metodo coniste en sumar el cudrado de todas las distancias de los valores yi al modelo ideal f (x) y encontrar
la función que minimiza el error cuadratico de…nido por
S=
n
X
f (x ))2 :
(y
i=1
Dependiendo del modelo f que uno quiera analizar da lugar a varios casos del método de mínimos cuadrados. Tenemos
asi los siguientes casos:
Caso I. f (x) = ax + b. Observemos que en este caso vamos a buscar funciones en el subespacio generado por las
funciones f1; xg : La idea es encontrar la pareja (a; b) tales que minimize la funcion
S(a; b) =
n
X
(ax + b))2 :
(y
i=1
Encontrar el mínimo implica hallar el gradiente de S y hallar sus puntos criticos.
@S @S
Actividad 5. Hallar las derivadas parciales de S;
;
y los punros criticos de S:
@a @b
Actividad 6. Demuestre que el minimo se alcanza en los valores
a =
n
X
(x{
x)(y{
i=0
n
X
i=0
y)
n
=
(x{
x)2
n
X
x{ y{
i=0
n
n
X
i=0
n
X
x{
i=0
x2{
n
X
i=0
n
X
y{
i=0
!2
n
y
x{
b = y:
mx; donde x =
n
1X
1X
x{ ; y =
y{ :
n i=0
n i=0
Asi la recta que mejor ajusta a los datos esta dada por f (x) = a x + b :
Actividad 7. Investigue y encuentra algunos datos experimentales de alguos trabajos de sus profesores y halle la
recta de regresion para esos datos y gra…quelos.
Actividad 8. Se preguntó a un grupo de mujeres su estatura y su peso dando los siguientes datos (1:65; 52),
(1:58; 62:5) ; (1:70; 60) ; (1:75; 70); (1:54; 65):
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a. Haga un gra…co con los datos datos.
b.
Encuentre la recta de mejor ajuste.
c. Usando este modelo calcule el peso aproximado de una mujer que tiene una estatura de 1:80:
CASO II. f (t) = Cekt Ajuste de tipo exponencial.
Actividad 9. De…niendo g(t) = ln(f (t); muestre que los datos que se quieren ajustar al tipo exponencial se reducen
a hacer un ajuste de tipo lineal. Considere unos datos experimentales de tipo exponencial y halle la curva exponencial
de ajuste a traves del calculo lineal. Gra…que sus datos.
CASO III. f (x) = axr Ajuste de tipo polinomial
Actividad 10. Muestre que este tipo de ajuste se puede llevar tambien a un caso lineal. De un ejemplo.
Actividad 11. En1601 el astrónomo alemán Johannes Kepler formuló su tercera ley del movimiento planeatrio
T = Cx3=2; donde x es la distancia al sol en millones de kilometros. =, T es el periodo orbital en días y C es una
constante. Las parejas de datos (x; T ) observados para los primeros cuatro planetas, Mercurio, Venus, la Tierra y
Marte fueron (58; 88); (108; 225); (150; 365) y (228; 687). Usando el metodo de minimos cuadrados halle el coe…ciente
C, Grá…que la curva obtenida conjunto con los puntos dados. Escribas sus conclusiones sobre la tercera Ley de
Kepler.
CASO IV. f (x) = ax2 + bx + c Ajuste de tipo cuadratico. Observemos que en este caso vamos a buscar funciones
en el subespacio generado por las funciones 1; x; x2 : Oberve también que este caso tenemos que minimizar unaa
funcion que depende de 3 variables. Claramente
S(a; b; c) =
n
X
(ax2 + bx + c))2 :
(y
i=1
Actividad 12. Hallar las derivadas parciales de S; y los punros criticos de S:
Actividad 13. utilice esta curva de ajuste a unos datos experimentales que usted consiga.
CASO V. f (x) = ao + a1 x + ::: + an xn : Ajuste de tipo polinomial. Este tipo de funciones pertenecen al subespacio
de polinomios de grado n generado por los vectores 1; x; x2 ; :::; xn :
Actividad 14. Cuál sería la función de…niendo las variables que usted consideraria para minimizar. Escribala.
Actividad 15. Dados los siguientes datos, hallar un modelo cúbico para la poblacion mundial en el siglo 21. Utilice
su modelo para estimar la poblacion en el año 2010. Cual es la aproximacion de la poblacion en el año 1995?
Investigue la población real en 1995 y estime el error absoluto con el valor aproximado.
Año
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
Población
(millones)
1650
1750
1860
2070
2300
2560
3040
3710
4450
5280
6070
Actividad 16 ¿Qué pasaría si los datos dados en la actividad 15 se ajustan de acuerdo a una regresión lineal? ¿Cúal
es la aproximacion de la poblacion en el año 1995? Estime el error absoluto con el valor aproximado.
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