Fractales: la nueva geometría de la Naturaleza

Sinopsis:
Con más de cuarenta años ya, la geometría fractal nos ha convencido no solo de su interés matemático en
sí, sino de la conveniencia de su uso para describir adecuadamente la naturaleza en muchas de sus facetas
inexploradas. Se ha convertido en una lingua franca para científicos de disciplinas muy diferentes
preocupados por la relación dinámica entre la forma y la función.
Fractales: la nueva geometría de la Naturaleza.
En los años sesenta B. Mandelbrot recopiló un bestiario de monstruos geométricos y
procesos naturales bajo un marco global que denominó fractales. Un ejemplo de fractal
es la curva creada en 1904 por el matemático sueco N. F. H. von Koch (figura 1). Como
observará el lector, partiendo de un sencillo motivo inicial, la curva se alcanza tras un
proceso de iteraciones sucesivas. En realidad tras infinitas iteraciones. La curva de Kock
exhibe claramente un concepto clave en los fractales: es autosimilar. Toda la
información geométrica de la figura está contenida en cualquier trozo por minúsculo
que sea. Es fácil comprobar que en el límite infinito de esta construcción, su longitud
diverge. ¡De hecho la distancia entre cualquiera de sus puntos es infinita! Para acabar de
retar nuestra intuición geométrica, esta curva es continua en todos sus puntos y no
derivable en ninguno de ellos. Es decir, somos incapaces de determinar la tangente en
ninguno de sus puntos. B. Mandelbrot estuvo acertado al escoger el nombre de fractal
para estas criaturas geométricas: la palabra latina fractus significa quebrado.
Otras corrientes de conocimiento ampliaron el caudal fractal. El estudio de sencillas
ecuaciones iteradas no lineales en el plano complejo, en combinación con los
ordenadores, nos ha mostrado las figuras geométricas más complejas creadas por la
mente humana. El conjunto de Mandelbrot (figura 2) es la bandera de estos
representantes de la autosimilaridad no lineal. Desde la informática teórica A.
Lindenmayer desarrolló los L-Sytems. Propuso utilizar gramáticas para desarrollar una
axiomática del proceso de desarrollo en organismos pluricelulares. En 1984 A. R. Smith
utilizó los L-system como herramienta para la síntesis realista de plantas y estudió su
relación con los fractales. Un L-system es básicamente un conjunto de reglas que se
aplican secuencialmente sobre una sentencia inicial. Partiendo de una cadena de
símbolos se generan sucesivamente cadenas más y más largas. Si estos símbolos se
interpretan gráficamente obtenemos, con una economía descriptiva sorprendente,
fractales como el arbusto de la figura 3. Su potencia reside en la recurrencia, prima
hermana de la iteración. En los años setenta la física descubrió el caos determinista.
Sistemas deterministas pueden generar dinámicas impredictibles. Cuando los físicos y
matemáticos representaron la dinámica de semejantes sistemas en forma geométrica se
toparon con exóticas figuras. La figura 4 con forma de mariposa es el conocido atractor
de Lorenz. Tan raras les resultaron estas estructuras a sus descubridores que las
denominaron atractores extraños. Eran, ni más ni menos, que fractales. El estudio
topológico de los mismos ha generado un avance teórico enorme en sistemas dinámicos.
En los ochenta Barnsley popularizo una ingeniosa manera de generar fractales a partir
de la aplicación iterada de contracciones afines: los denominados sistemas de funciones
iteradas (iterated function systems, IFS). La sencilla aplicación de rotaciones,
contracciones, inversiones y traslaciones permite generar una enorme gama de fractales,
como el famoso helecho de la figura 5. Los IFS se han aplicado en compresión de
imágenes y son utilizados, como los L-systems, por ciberartistas como herramienta de
generación de imágenes virtuales.
Las construcciones presentadas por Mandelbrot habían sido propuestas por muchos
matemáticos de principios de siglo XX como ejemplos paradójicos en la discusión de
conceptos como curva o dimensión. Tanto los L-systems como los IFS son métodos
para generar fractales. Y a pesar de que los atractores extraños surgen de dinámicas que
modelan sistemas reales, aparecen en el abstracto espacio de fases. Raramente
conceptos tan abstractos se hacen tan populares como los fractales, ¿qué ha ocurrido
entonces? Que la Naturaleza estaba plagada de ellos y habíamos permanecido ciegos a
su existencia. El ejemplo discutido por Mandelbrot en su trabajo seminal es inevitable
para ilustrar este hecho. Preguntémonos cuál es la longitud de una costa. La medida
dependerá de su resolución. Si utilizamos una barra de 1 Km. nuestro valor será inferior
al obtenido con una vara de 1 m. De hecho, cada vez que disminuimos nuestra vara de
medida obtenemos una distancia mayor porque accedemos a más y más detalles
previamente obviados. Pero entonces, ¿cuánto mide la costa? La pregunta así formulada
es incorrecta pues depende de nuestra resolución de medida. Sin embargo, podemos
caracterizar la costa por su dimensión fractal. Basta con que representemos en una
gráfica log-log los valores de nuestras medidas de longitud de costa para distintas
resoluciones. En un determinado rango obtenemos una línea recta como función. La
pendiente de esa recta caracteriza a la costa y la distingue de otras. Esto es así porque
las costas terrestres presentan autosimilaridad. Desde luego no en la forma estricta de la
curva de Kock, sino estadísticamente y limitada por una escala superior e inferior. La
naturaleza presenta multitud de sistemas para los que no podemos definir una escala
característica, es decir, asociarles una vara de medir; como en el caso de las nubes o los
cráteres de la Luna. O estructuras donde el mismo proceso dinámico opera a muchas
escalas como la ramificación en los árboles o nuestro sistema circulatorio. O
distribuciones potenciales de tamaños como en el caso de las intensidades de los
terremotos o la ley de Zipf en el lenguaje. O series temporales autosimilares, donde un
intervalo de un día se asemeja al de un año, como en la bolsa o la transmisión de datos
en Internet. Todos estos fenómenos se analizan ahora bajo la óptica fractal, un lenguaje
común para científicos de disciplinas tradicionalmente alejadas, una lingua franca para
la búsqueda de principios organizadores.