Es para mi un placer darle la bienvenida, en nombre de

Introducción.
Proposición: es una oración que puede ser calificada de verdadera o
falsa.
En las siguientes líneas se resume, en forma exageradamente sucinta, la
introducción y el primer capítulo del libro “Curso de Geometría Métrica”
escrito por el Profesor Pedro Puig Adam. Quién escribe no pretende
sustituir lo escrito por el Profesor Puig Adam, mensaje que ha
trascendido en el mundo de habla hispana de las matemáticas por más
de medio siglo y recomienda al estudiante ir a la fuente primaria: leer
siempre el nunca pasado de moda libro referido arriba.
Todas las ciencias comienzan como prácticas de actividades muy
necesarias y van legando generación tras generación un saco de
conocimientos, en la mayoría de los casos en forma desordenada,
incluyendo hechos, o proposiciones verdaderas, que se cumplen bajo
ciertas circunstancias, pero que se han deducido como consecuencia de
otras proposiciones verdaderas anteriormente establecidas, las que a su
vez fueron deducidas a partir de otras proposiciones verdaderas
anteriores. Al intentar perseguir las proposiciones verdaderas anteriores
a cada proposición verdadera, deberemos inevitablemente detenernos
en alguna proposición verdadera que no se deduce de ninguna anterior,
una muy evidente. Estas proposiciones verdaderas que originan un
determinado conocimiento científico se llaman axiomas y las que se
deducen lógicamente de los axiomas se llaman teoremas. Así mismo
existen conceptos muy básicos que no se pueden definir, porque se
necesitarían otros más básicos aún para escribir el concepto. Se
comienza pues con conceptos básicos que no se definen y axiomas
(proposiciones verdaderas básicas) que no se demuestran, a partir de
los cuales se arma un sistema lógico con el cual demostrar nuevas
proposiciones verdaderas (teoremas) y hacer nuevas definiciones que sí
tienen antecedentes.
Se exige de un sistema lógico:
1.- Que sus axiomas no se contradigan (Compatibilidad de los axiomas)
2.- Que ningún axioma sea consecuencia del resto (Independencia de
los axiomas).
Mientras que la primera condición es absolutamente necesaria, la
segunda, aunque no lo es, sí elimina las redundancias que pueda tener
el sistema. Los estudiantes del curso de Geometría de la Licenciatura ya
han visto al menos un curso básico de Álgebra Lineal y pueden ilustrar
con un ejemplo la cuestión de la independencia de los axiomas: Mientras
que una base genera un espacio vectorial, añadir uno o más vectores a
esta base da lugar a un conjunto que también genera el mismo espacio,
pero que tiene vectores que podrían ser eliminados.
El matemático David Hilbert, nacido el 23 de enero de 1862 y fallecido el
14 de febrero de 1943 y por muchos considerado el más brillante de los
matemáticos del siglo XX, clasificó los axiomas para un sistema de la
Geometría en cinco grupos de axiomas: de enlace o incidencia, de
orden, de congruencia o movimiento, de paralelismo y de continuidad.
Se invita a los estudiantes a investigar en el libro de Puig Adam sobre
estos cinco grupos y hacer las consultas pertinentes. Nos podemos
enunciar todos los axiomas y conceptos básicos que se usarán en este
curso, pero a medida que el trimestre avance iremos aclarando los
axiomas y conceptos primarios que no sean tan obvios y deduciendo los
teoremas que sean consecuencia de los mismos.
Sin embargo, podemos enunciar algunos axiomas presentados en el
libro e invitar a los estudiantes a leer el resto.
1.- Axiomas de existencia y enlace.
Axioma 1.1.
Existen infinitos elementos llamados puntos, que componen un conjunto
llamado espacio.
El espacio tiene subconjuntos propios, es decir subconjuntos del
espacio, que no poseen a todos los puntos del espacio. Entre éstos:
Axioma 1.2.
Los puntos del espacio se agrupan en subconjuntos propios infinitos del
espacio llamados planos
y los puntos de los planos en subconjuntos propios infinitos de cada
plano llamados rectas.
Notación para los puntos: Letras mayúsculas A, B, C ... , etc.
Notación para las rectas: Letras minúsculas a, b, c, ..., etc.
Notación para los planos: Letras minúsculas griegas , , , ... , etc.
Axioma 1.3.
Por dos puntos pasa una única recta (los puntos A y B determinan
una única recta denotada por AB)
Axioma 1.4.
Por tres puntos no alineados (no contenidos en una recta) pasa un único
plano (los puntos no alineados A, B y C determinan un único plano)
Axioma 1.5.
Si dos puntos de una recta están en un plano, el resto de sus puntos
también pertenecen al plano.
Una recta no se comporta como la del siguiente dibujo:
Estos cinco axiomas son proposiciones que se aceptan como ciertas sin
demostración. A continuación presentamos un par de teoremas,
proposiciones también ciertas, pero que se deducen de los axiomas
anteriores.
Teorema 1.
Una recta y un punto exterior a ésta determinan un único plano.
D.:
Sean r una recta y A un punto exterior a r.
Se toman dos puntos distintos en r: B y C, lo cual es posible pues por
el axioma 2 las rectas tienen infinitos puntos, con lo cual se tienen tres
puntos no alineados.
Estos puntos determinan, por el axioma 3, un único plano.
A este plano pertenecen todos los puntos de la recta, pues, por el
axioma 5, si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, entonces
todos los puntos de la recta también, luego no importa la elección de los
dos puntos de la recta para determinar el plano.
Teorema 2.
Dos rectas distintas que tienen un punto en común determinan un único
plano.
D.:
Sean r y s dos rectas distintas y A un punto común a ambas.
Tomando sendos puntos B y C en r y s diferentes de A, se tienen
tres puntos no alineados, los cuales determinan por el axioma 4 un
único plano.
En virtud del axioma 5 todos los puntos de r y de s pertenecen a este
plano, así que no importa la elección que se haga de los puntos B y C,
el plano determinado por las rectas r y s es único.
La terminología en este curso incluye acciones como “trazar”: trazar la
recta que une dos puntos A y B, “unir”: unir los puntos A y B, los
cuales son sinónimos en estos ejemplos. El término “cortar”: las rectas
r y s se cortan en el punto O, es otro que usaremos como sinónimo
de intersectar.
Rectas o puntos coplanares significa que pertenecen a un plano, puntos
colineales o alineados, significa que pertenecen a una recta.
2.- Relaciones de orden lineal.
Se dice que un conjunto está linealmente ordenado cuando existe una
relación “<” entre sus elementos que satisface:
i) Dados dos elementos A y B del conjunto o bien A< B o bien
B < A.
ii) Si A, B y C se relacionan: A < B y B < C, entonces A < C.
(A < B se puede leer “A es menor que B” o “A precede a B” o “B
sigue a A” o “A es mayor que B” y en realidad se puede definir dos
órdenes en una recta. Bastan dos puntos A y B en una recta para
determinar cuál de los órdenes es el que se usa, o bien A < B, por A
precede a B:
o bien B < A, por B precede a A
Axiomas de orden:
Axioma 2.1.
Toda recta puede ordenarse mediante un orden que no tiene un primer
ni un último elemento y en el que no hay puntos consecutivos.
Esto quiere decir que para toda recta r hay un orden “<” (por
ejemplo; la recta r puede ordenarse mediante la relación “<” en r,
que significa para A y B en r, A < B : A está a la izquierda – o
debajo- de B) para el que vale:
No hay primer elemento: Para todo punto A en r hay un punto O en
r tal que O < A
No hay último elemento: Para todo punto B en r hay un punto X en
r que satisface B < X.
No hay puntos consecutivos: Dados puntos A y B (A < B) en r,
siempre existe otro punto C en r tal que A < C y C < B.
Las dos primeras propiedades se dice que hacen de la recta un conjunto
abierto, mientras que la última hace de la recta un conjunto denso.
Un punto O de una recta, que se denomina origen, da lugar a dos
semirrectas, que son los dos conjuntos de puntos de la recta situados a
ambos lados del punto O. Ordenada la recta mediante <, Si A < O y
O < B las semirrectas a las que da lugar O se denotan por AO y OB
Por otro lado, si los puntos A y B de una recta están ordenados por
A < B el segmento [A, B] es la intersección de las semirrectas AB de
origen A y la semirrecta AB de origen B.
Así mismo, una recta r de un plano da lugar a dos subconjuntos de
éste, compuestos por los puntos del plano ubicados a un mismo lado de
la recta. Estos subconjuntos se denominan semiplanos determinados por
la recta y r es el borde de ambos semiplanos.
Axioma 2.2.
Toda recta r perteneciente a un plano separa los puntos de éste no
contenidos en la recta en dos subconjuntos determinados así:
Dos puntos A y B pertenecientes al plano pero no a la recta están en
el mismo semiplano, si el segmento [A, B] no corta a la recta y están
en diferentes semiplanos, si el segemento [A, B] sí la corta.
La recta r se denomina borde de cada semiplano.
Se denota por Ar al semiplano determinado por la recta r al que
pertenece el punto A.
Ángulo.
Dos rectas r y s que se cruzan en el punto O dan lugar a cuatro
regiones en el plano, las cuatro intersecciones de los semiplanos que
éstas generan.
Cada una de esas regiones se denomina ángulo de vértice O, las
semirrectas que hacen de borde de un ángulo se denominan lados del
ángulo. Dos rectas secantes determinan cuatro ángulos, aquellos que
estén en un mismo semiplano determinado por una de las rectas se
dicen adyacentes y los dos situados en semiplanos diferentes se dicen
opuestos por el vértice.
En el dibujo el ángulo AOC es la intersección de los semiplanos de
borde AB, que posee el punto C con el de borde OC que posee el
punto A. El vértice de este ángulo es el punto O.
Una recta r y un punto O de la misma dan lugar a dos ángulos que se
denominan ángulos llanos de vértice O y que no son más que los dos
semiplanos originados por la recta, cuyos lados son las semirrectas
determinadas por el punto O.
Triángulos.
Dados tres puntos no alineados; A, B y C, éstos dan lugar a tres
rectas: rAB, que pasa por A y B, rAC, que pasa por A y C y rBC, que
pasa por B y C. El triángulo ABC es la intersección de los
semiplanos rABC con rACB y rBCA. Los segmentos AB, BC y AC son
los lados del triángulo, los puntos A, B y C sus vértices y ABC,
BCA y CAB sus ángulos.
En este punto se introduce la definición de vector como sigue: dados
dos puntos A y B el segmento dirigido [A, B] se denomina vector

A B , el punto A es su cola y B su cabeza. Esta definición no es la que
se usa en los cursos de matemáticas de la Universidad, pero para definir
vector de una manera compatible a como se le conoce en otros cursos,
se necesita el concepto de paralelismo, noción que se introduce en el
libro más adelante. Así que apelamos a la intuición del estudiante que
de seguro está familiarizado con la idea de rectas paralelas: “las rectas
r y s son paralelas si no se cortan” (seguramente se precisa de algún
axioma de existencia y enlace para hacer esta definición).
Teniendo en cuenta la noción de paralelismo se puede definir el vector

A B no como un segemento dirigido, sino como el conjunto de todos los

segmentos dirigidos XY que satisfacen AB es paralela a XY y AX es
paralela a BY.
Con esta definición resultan en el siguiente dibujo iguales los vectores


A B y XY
La orientación en el plano
Ya sabemos que dos rectas que se cortan determinan un plano (y
recíprocamente, todo plano queda determinado por cualquiera de sus
rectas que se corten). Así que dados un plano  y dos rectas r y s
del plano  que se cortan en el punto O, tomando puntos A y B en
r en cada semiplano determinado por s y un punto C en s diferente


de O, los vectores OA y OC determinan una orientación en el plano y


los vectores OB y OC determinan otra.