 1. ESTIMACION POR INTERVALOS

1.
ESTIMACION POR INTERVALOS
Abra el archivo de presentaciones Intervalos.ppt y ejecute la presentación.
Después de haber observado y tomado nota las definiciones dadas en la presentación, si

el estadístico  es el estimador de  el Intervalo de Confianza para
como
...............................................................................

se define
Gráficamente podemos visualizarlo en la siguiente figura:
1-
/2
/2
La probabilidad 1-  se expresa por .....................................
Si el Coeficiente de Confianza es del 95% entonces  = ............. Podría darle una
interpretación a  ? ......................................
Cuál es el Error de Estimación en este caso? ........................................
Cómo será el Intervalo de Confianza para μ?; para σ². Y cómo para los otros
estadísticos?
1.1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACION
a)
Cuando la varianza poblacional es conocida

Sea  = X y

=μ.

Según la presentación, se tiene P(     )  1  
Aplicado a la media poblacional, tenemos: ................................

Luego P(     )  P( X     )  P(  X     )  1  
1-
/2
/2
μ
X
ε
Pasando a ZN(0, 1), tenemos:
P(  X     )  P(



X 

n
2(
De donde

n



)  P(
Z
)  1



n

) 1  1

n
esto im plica que (
n
De acuerdo a la N(0, 1),
Z

1


 Z 1 y despejando, tenemos   Z 1

2
2
n
2
n



)  1
2

n
n
Luego el Intervalo de Confianza para μ será:
X 
n

X

Z

1
2
n
El siguiente esquema muestra el Intervalo de Confianza de la Media
X
X  Z 1

2
n
Observación importante
Error
μ
X  Z 1

2
n
Si el muestreo se hace sin reposición y el tamaño poblacional es finito, entonces el
intervalo de confianza para μ viene dado por
1-
/2
X 
Z

1
2
n
N n

N 1
/2

X

Z

1
2
N n
N 1
n
Y se define como longitud del Intervalo a L / L  2 Z 1

2
n
Ejemplo 1
Una máquina llena un determinado producto en bolsas cuyo peso medio es μ
gramos. Suponga que la población de los pesos es normal con σ = 20 gramos.
i) Estime μ de manera que el 99.38% de las bolsas tengan pesos no superiores a
55 gramos.
ii) Estime μ mediante un intervalo de confianza del 95%, si una muestra aleatoria
de 16 bolsas ha dado una media de 495 gramos.
Solución
i) Debemos encontrar un valor K tal que P(X < 550 ) = 0.9938.
Pasando a N(0, 1): P(Z < ................) = 0.9938
(1)
Usando Minitab: Use la secuencia <Calc> - <Probability Distributions> <Normal>. Activar <Inverse ....>; <Mean = 0>; <Desv. Estand. = 1>; en
<Input constant> 0.9938.
El valor obtenido es .................
550  
Igualando
con el valor obtenido nos permite encontrar μ = .............
20
Usando Excel:
La fórmula =Distr.Norm.Estand.Inv(0.9938) nos permite encontrar 2.50055.
ii) Siendo conocida la varianza poblacional y no conociendo el tamaño
poblacional, asumimos que es población infinita; por lo que el intervalo de
confianza es


X  Z 1

  X  Z 1
2
2
n
n
Según los datos: X = 495; n = 16; 1-α = 0.95 y σ = 20
Reemplazando estos valores obtenemos: ..........................................
Ejercicio 1
Se decide estimar la media μ del nivel de ansiedad de todos los estudiantes pre universitarios. Se supone que la población de los puntajes de la prueba para medir
la ansiedad se distribuye normalmente con desviación estándar igual a 10 puntos.
i)
Determinar el intervalo para μ con una confianza del 95%, si una muestra aleatoria
de tamaño 100 ha dado una media de 70 puntos
ii) Si μ se estima en 70 puntos con el nivel de confianza del 98%, ¿es el error de la
estimación puntual superior a 5 puntos?
iii) Si Usted considera que el intervalo encontrado en i) no es muy preciso, ¿qué
acción debería tomar para que el intervalo de estimación al 95% sea más preciso?
Solución
Según los datos, σ = 10
i)
n = 100; 1 – α = 0.95; X =70. Si 1 – α = 0.95, entonces Z1 – α/2 = 1.96. Con estos
datos obtenemos el intervalo pedido:
.................................................................
ii) Hemos definido al Error de Estimación como ε =| X -μ| . Obtendremos P(|ε| > K)
P(|ε| > K) = P(| X - μ|> K) = 1 – P(| X - μ| ≤ K) = 1- P(Z ≤ 10K/10) = 0.01
De esto P(Z ≤ K) = 0.99; con lo cual, K = ..........................
Es superior a 5? ....................
iii)
b)
Se debería aumentar el tamaño de muestra? .......................... Porqué? Qué implica
aumentar el tamaño de muestra? Qué ocurre con el Error de la Estimación si se
aumenta el tamaño de muestra?
Cuando la varianza poblacional es desconocida
En este caso debemos analizar dos situaciones:
b. 1) Cuando el tamaño de muestra es menor que 30; (n < 30).
Según hemos visto en distribuciones muestrales de la media muestral, cuando se
X 
 t (n  1) .
desconoce la varianza poblacional, la variable
s
n
Al ser simétrica la distribución, de P(| X   |  )  1   , usando el mismo criterio
que en el caso a), podemos encontrar que el Intervalo de Confianza viene dado por
X 
t
1
(n  1)
2
s
n



X 
t
1
(n  1)
2
s
n
b. 2) Cuando el tamaño de muestra es mayor o igual a 30 (n ≥ 30)
Se sabe que cuando el tamaño de muestra es mayor que 30, la distribución t de Student
se aproxima a una distribución Normal N(0, 1). En este caso, el Intervalo de Confianza
para la media poblacional viene dado por
s
s
X  Z 1
   X  Z 1
2
2
n
n
Ejemplo 2
Un fabricante produce focos cuya duración tiene una distribución normal. Si una
muestra aleatoria de 9 focos da las siguientes vidas útiles en horas: 775, 780, 800, 795,
790, 785, 795, 780, 810.
i) Estimar la duración media de todos los focos del fabricante mediante un intervalo de
confianza del 95%
ii) Si la media poblacional se estima en 790 horas con una confianza del 98%, ¿cuánto
es el error máximo de la estimación si se quiere una confianza del 98%?
Solución
Se conoce σ²? .............
Tamaño de n? ...........
Qué distribución usamos? .............................. Por qué? ........................................
Use Excel o Minitab para hallar: X y s²: X = ................ s = ............
Usaremos t de Student con ............ grados de libertad.
El valor de t (9-1) y con un nivel de confianza del 95% es ................
s
s

 
X  t 1 (n  1)
Usando X  t 1 (n  1)
2
2
n
n
Obtenemos:
..............................................................................................................
Ejercicio 2
Extraída una muestra de 30 cajas de un determinado producto de exportación, se
midieron sus pesos y se obtuvieron los siguientes resultados:
250
265
267
269
271
275
277
281
283
284
287
289
291
293
293
298
301
303
306
307
307
309
311
315
319
322
324
328
335
339
Usando Intervalo de confianza, responder si ésta muestra satisface la afirmación
de que el peso medio de cada caja del lote debe ser de 300 Kg. Use  = 0.05
Sugerencia:
Abra el archivo IC para la Media.xls. En la hoja Ejercicio 2 se tiene la suficiente
información para responder a esta pregunta.
Ahora diga Usted: Satisface o no satisface? ..............................
Ejercicio 3
En una fábrica, al seleccionar una muestra de cierta pieza, se obtuvo las siguientes
medidas para los diámetros de dichas piezas.
10
13
14
a)
b)
11
13
14
11
13
14
11
13
14
12
13
14
12
13
15
12
13
15
12
13
15
13
13
16
13
13
16
Estimar la media y varianza
Construir el intervalo de confianza para la media
Sugerencia
Resuelva el ejercicio y compare su solución y algunos otros criterios con la hoja
Ejercicio 3 del libro contenido en el archivo IC para la Media.xls.
Use la hoja IC para la media e intente resolver otros problemas, luego grafique.
RESUMEN:
Analice la figura 8.11 de la página 318 del libro Estadística para Administración y
Economía de Anderson-Sweeney-Williams ( 330.015195 / A57 / 2004 )
1.2. TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR LA MEDIA POBLACIONAL
En la primera línea de la página 7 se tiene  
Z

1
2
n
Si despejamos n, obtenemos:
n = ............................................
En poblaciones finitas o en muestreo sin reposición, se puede demostrar que el
tamaño de muestra viene dado por
N ² Z 1
2
n

2
2
( N  1)   ² Z 1
2
2
Observaciones:
Como se puede deducir, el tamaño de muestra se puede calcular tomando en
cuenta dos supuestos:
- El nivel o coeficiente de confianza de 100(1-)%

- El Error de Estimación, ε = | X   .| ; es decir,   Z 1
2
n
Ejemplo 3
Un fabricante afirma que el peso promedio de las latas de fruta en conserva que saca al
mercado es 19 onzas. Para verificar esta afirmación se escogen al azar 20 latas de fruta
y se encuentra que el peso promedio es de 18.5 onzas. Suponga que la población de los
pesos es normal con una desviación estándar de 2 onzas.
i) Utilizando un intervalo de confianza del 98% para μ, ¿se puede aceptar la
afirmación de fabricante?
ii) ¿Qué tamaño de muestra se debe escoger para estimar μ si se quiere un error no
superior a 0.98 onzas con confianza del 95%?
Solución
¿Cuál es la afirmación del fabricante? ..................................................
Según los datos: n = ..........; ............... = 18.5;
.............. = 19.
i) Estaremos resolviendo el problema si encontramos el intervalo y luego verificamos
si el promedio poblacional, 19, se encuentra en dicho intervalo?. ..........................
Reemplace los valores correspondientes en X  Z 1 s    X  Z 1 s
2
n
2
n
Al final debe obtener el intervalo ( 17.46 , 19.54 ).
Aceptaría Usted la afirmación del fabricante? ......................
ii) Según la fórmula del tamaño de muestra para la media n  Z 1
²
2
a los datos: ε = ...........;
1-α/2 = .......... ;
Z

2
, y de acuerdo
 ............
2
1
2
2
Luego n = ..............
Nota:
Se puede usar la distribución t de Student para estimar el tamaño de muestra para la
media poblacional?. Por qué?
1.3.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA POBLACIONAL
Se acuerda qué distribución tiene la varianza muestral? ........................................
(n  1) s ²
Qué distribución muestral tiene el estadístico T 
? ............................
²
Puesto que debemos determinar el Intervalo de Confianza para una variable como
T que tiene distribución Chi-Cuadrado, debemos encontrar un intervalo tal como
se muestra en la siguiente figura:
1-α
α /2
K1
α /2
K2
El intervalo buscado será (K1, K2) tal que K1 < T < K2 .
Se trata de encontrar los valore de K1 y K2 de tal forma que al reemplazar T por
su definición, mostrada líneas arriba, podamos despejar σ² y tener el intervalo para
este parámetro.
Ahora la pregunta es: Porqué no usar el mismo criterio empleado para μ; es decir,

P(     )  P( X     )  P(  X     )  1  
Qué dirías al respecto? ..............................................................
La distribución Normal es simétrica? ..............
La distribución Chi – Cuadrado es simétrica? ..................
Esto significa que la distribución no está centrada alrededor del parámetro, por
ello debemos encontrar los valore de K1 y K2 .
Luego, según el criterio de un intervalo de confianza, P(K1 < T < K2 ) = 1 – α
Por otro lado, Si T  χ² (n-1) entonces K1 y K2 son valores χ²(n-1), tales que
K1  χ² α/2 (n-1)
K2  χ² 1-α/2 (n-1)
y
Luego P(K1 < T < K2 ) = P(χ² α/2 (n-1) < T < χ² 1-α/2 (n-1) ) = 1 – α
Ahora reemplace la definición de T y despeje σ² en el centro del intervalo.
Finalmente, el Intervalo de Confianza del 100(1- α ) % para la varianza
poblacional será:
(n  1) s

2
1
2
(n  1)
2


2

(n  1) s

2

2
(n  1)
2
Ejemplo 4
Se escoge una muestra aleatoria de 13 tiendas y se encuentra que las ventas de la
semana de un determinado producto de consumo popular tiene una desviación
estándar de s = $ 6. Se supone que las ventas del producto tienen una distribución
normal. Estimar a) la varianza y b) la desviación estándar poblacional mediante un
intervalo de confianza del 95%
Solución
Según los datos: ........ = 13;
........... = 6;
......... = 0.95
Qué distribución usamos para el IC de la varianza? ...................................
Escriba aquí el intervalo de confianza correspondiente:
........................................................................
Si 1 -  = 0.95, entonces

2
1 
(13  1)  ............. y
2

2

(13  1)  ...............
2
a) Reemplace todos los valores en (x) y obtenga el intervalo para σ².
b)
el IC para σ.
Luego extraiga la raíz cuadrada a todo el intervalo para obtener
Ejercicio 4
Una máquina produce piezas metálicas en forma cilíndrica. Para estimar la
variabilidad de los diámetros, se toma una muestra aleatoria de 10 piezas
producidas por la máquina, encontrando los siguientes diámetros en cms.
10.1
9.7 10.3 10.4 9.9
9.8
9.9
10.1 10.3 9.9
Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la varianza de los diámetros de
todas las piezas producidas por la máquina. Suponga que los diámetros de las
piezas se distribuyen normalmente.