DETERMINACIÓN DE g USANDO UN PÉNDULO SIMPLE

DETERMINACIÓN DE g USANDO UN PÉNDULO SIMPLE
1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
Un péndulo simple consiste en una pequeña masa suspendida de un hilo
inextensible de longitud l y de masa despreciable.
La condición necesaria y suficiente para que un movimiento sea armónico simple
es que proceda de una fuerza del tipo: F=-k.x
Para pequeñas amplitudes de oscilación, el movimiento del péndulo se puede
considerar armónico simple.
Aplicando las consideraciones teóricas oportunas 1se llega a calcular el período de
oscilación del péndulo como:
(1)
2. DESARROLLO EXPERIMENTAL
En el borde de una mesa se coloca una varilla soporte como indica la figura. Se
suspende del soporte la bola mediante el hilo de nylon, que debe tener la mayor
longitud posible.
Una vez colgada la bola se separa de su posición de equilibrio un pequeño ángulo
para que empiece a oscilar y, cuando las oscilaciones se vayan haciendo pequeñas,
se mide con el cronómetro el tiempo en realizar 25 oscilaciones.
Se repite la experiencia para al menos 2 longitudes de péndulo más.
1 Aquí deberíamos describir el desarrollo matemático que nos conduce a la expresión (1).
Como de momento no hemos estudiado este tipo de movimientos, no lo incluiremos.
3. RESULTADOS
Siguiendo lo comentado en el apartado anterior, los resultados obtenidos para tres
longitudes de péndulo diferente han sido los siguientes:
Péndulo de L=*** ±***(m) Péndulo de L=*** ±***(m) Péndulo de L=*** ±***(m)
t ±***(s) (25
t ±***(s) (25
t ±***(s) (25
oscilaciones)
oscilaciones)
oscilaciones)
Calculando el tiempo promedio de cada serie, y dividiendo por el número total de
oscilaciones, determinamos el período del péndulo de longitud L en cada caso:
L ±***(m)
T ±***(s)
El error absoluto de las medidas de longitud es de ***** m y el de los períodos ****
s ya que son las divisiones más pequeñas de nuestros dispositivos de medida.
4. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN
Con los datos experimentales obtenidos en la tabla anterior vamos a calcular el
valor de la aceleración de la gravedad.
Reordenando la expresión (1), podemos ajustar los datos experimentales a una
recta:
Representando T2 frente a l, debemos obtener una recta cuya ordenada en el
origen debe ser cero y cuya pendiente:
nos proporciona el valor de , de donde podemos despejar fácilmente g.
Para ajustar los puntos experimentales a una recta se aplica un ajuste lineal por
mínimos cuadrados.2,3 . La gráfica de los datos experimentales y su ajuste se
muestran en la siguiente figura:
Figura 1: Ajuste de los datos experimentales por mínimos cuadrados.
La pendiente (p) de la recta obtenida es:
P= ***±***,
Despejando g obtenemos:
Aunque aún no conocéis el fundamento matemático de este sistema de ajuste, podéis hacer uso del
mismo a través de algunas calculadoras, sitios web de manera sin descarga de software como el que
os dejo enlazado, con excel, o programas específicos como Origin, muy cómodo e intuitivo y del que
podéis descargar una versión de prueba gratuita que funciona 21 días, o programas similares con
licencia de software libre como SciDAVis. Cualquier duda sobre cómo ajustar los datos a una recta
me consultáis
2
3
Esta es la parte de la práctica que os puede dar más juego: si revisáis los datos
detenidamente, veréis que la serie que se obtuvo con longitud de péndulo 0,73 m se desvía
bastante de las otras dos series. Probad a hacer el ajuste con las tres series y luego probad a
eliminar del ajuste la serie L=0,73 m. Como realizar un ajuste a una recta de sólo dos puntos no
tiene mucho sentido, añadid un punto más, el (0,0), ya que por la expresión de la recta vemos
que la ordenada en el origen es 0. No es el ajuste ideal, pero nos faltan más series de datos.
También os da juego a la hora de discutir si estimáis que el error cometido en esa serie es del
tipo sistemático o del tipo accidental, cómo se podría minimizar, la necesidad de realizar series
a más longitudes de péndulo para mejorar la recta de ajuste….
(2)
por lo tanto el valor que obtenemos para la aceleración de la gravedad es:
g=
m/s2
Ahora sólo falta determinar el error de g: 45derivando la ecuación (2) respecto a la
pendiente, obtenemos:
g 
4 2
p
p2
Obteniendo así el valor de aceleración de la gravedad de:
g= ±
m/s2
5. CONCLUSIÓN
El valor de g obtenido en nuestro experimento:
g= ±
m/s2
es muy próximo al valor estándar de g= 9.80665 m/s2, correspondiente a un punto
ubicado justo sobre el nivel del mar y con una latitud de 45°.
.... por lo que podemos concluir que dadas las limitaciones físicas de nuestra
experiencia el resultado es satisfactorio.
g es una magnitud que se determina de manera indirecta, aplicando una expresión
matemática (en contraposición de las magnitudes que determináis directamente, la
longitud del péndulo y el tiempo que tarda en realizar n oscilaciones). Las magnitudes que
como g en este caso se obtienen de manera indirecta, están afectados por los errores de las
magnitudes medidas, es lo que denominamos propagación de errores: el resultado final
(en este caso g) se ve afectado por los errores cometidos en las medidas de las magnitudes
usadas para calcularlo (l, t). Este error propagado que afecta a las magnitudes que se
determinan indirectamente se calcula mediante cálculo diferencial. Como aún no
domináis las herramientas matemáticas necesarias para determinar el error propagado
que afectará al valor de g que habéis determinado en esta práctica, os dejo la expresión
que debéis emplear para determinarlo.
5
… o bien…:
... se aleja bastante del valor esperado, lo que achacamos a las siguientes causas:...
NOTA: 6El valor más exacto de g con el cual comparar nuestro resultado se puede
conocer teniendo en cuenta que las coordenadas del Ies Milladoiro son:
Latitud:
Longitud:
Altitud:..............
e introduciendo dichas coordenadas en el sistema de información de la gravedad
(SIS) creado por el PTB (instituto de física alemán), obtenemos un valor local de g
de:
g= ±
6
m/s2
Si bien la precisión del g local que obtenemos en la SIS es muy superior a la que podamos
determinar experimentalmente con nuestra práctica y medios, me parece interesante que
hagáis el ejercicio de localizar las coordenadas del instituto y con ellas obtengáis el valor de g
para reforzar la idea de que g varía con la altura, latitud y profundidad