SISTEMA DE ECUACIONES 3 VARIABLES

a 1x  b1 y  c1z  k1
a 2x  b2 y  c2z  k 2
a 3 x  b3 y  c3z  k 3
PROF: JAIME QUISPE CASAS
I.E.P.Nº 2874 Ex 451
2010
1
 Tres ecuaciones de la forma
a1x  b1 y  c1z  k1
a 2x  b2 y  c2z  k 2
a 3 x  b3 y  c3z  k 3
 Se llama sistema de ecuaciones de primer
grado con tres variables, donde a1, a2, a3, b1,
b2, b3, c1, c2, c3; k1 , k2 , k3 son números reales
donde x ,y , z son las variables. Ejemplo
3x  y  z  5 


2x  y  z  3
x  2 y  z  0 


2
 METODOS DE RESOLUCION DE SISTEMA
DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON TRES VARIABLES
•
Existen diversos procedimientos que permiten hallar el conjunto
solución de un sistema de tres ecuaciones con tres variables
•
Entre ellas tenemos :
•
1.-Método de Reducción
•
2.- Método de sustitución
•
3.- Método de igualación
•
4.- Método de determinantes
3
a) Reducción
Por este método, se trata de obtener (eliminando una misma variable
en las tres ecuaciones del sistema )dos ecuaciones con solo dos
variables para luego, al hallar el valor de estas variables, determinar
sustitución en cualquiera de estas tres primeras ecuaciones , el valor
de la tercera ecuación.
•
Se procede la siguiente manera.
•
•
Se elimina una de las variables( la mas adecuada) tomando dos a
dos las ecuaciones del sistema
Se forma un sistema con dos variables y se resuelve
•
•
Se sustituyen los valores de estas dos variables en una de las
ecuaciones del sistema ( la mas simple) y se halla la tercera
variable
•
Ejemplo
4
4 x  2 y  3z  28 (I)

2 x  3y  2z  13 (II)
3x  4 y  z  9
(III)






Tomamos I y II y eliminamos «x»
•
Multiplicamos por -2 la ecuación II
4 x  6 y  4z  26
•
Luego le sumamos con la ecuación I
4 x  2 y  3z  28
•
Obtenemos la ecuación IV
•
Multiplicamos por -3 la ecuación II
•
•
Multiplicamos por 2 la ecuación III
Sumamos ambas ecuaciones y
obtenemos la ecuación V
•
•
Resolvemos el nuevo sistema
formado por las ecuaciones IV y V
8 y  7 z  54
(IV)
6 x  9 y  6z  39
6 x  8 y  2z  18
 y  8z  21
(V)
 8 y  7 z  54 



y

8
z


21


5
•
Tomamos IV y V y eliminamos «y»
• Multiplicamos por -8 la ecuación V
• Luego le sumamos con la ecuación
IV
•
Obtenemos el valor de «z»
Remplazamos «z» en la ecuación IV
•
•
Obtenemos el valor de «y»
•
Para obtener la variable «x» en la
ecuación I
Hallamos el valor de x
•
•
cs=  3;5;2
8 y  64z  168
8 y  7 z  54
57 z  114
z2
8 y  7(2)  54
y5
4x  2 y  3z  28
4 x  2(5)  3(2)  28
4x  10  6  28
x  3
6
•
EJERCICIOS
x  y  z  6 


2 x  y  z  1 
3x  2 y  z  2


2 x  y  z  1 


x  y  2z  3
3x  4 y  z  2 


3x  y  z  5 


2x  y  z  3
x  2 y  z  0 


1,2;3
0,1;2
2,3;4
1

4 x  2 y  z  2 


6 x  4 y  3z  8

9 
x  8 y  z 

2 

 x  5 y  2z  9


3x  y  2z  1 
x  4 y  z  3 


1 

x

y

z



2 


2 x  y  z  3 

9
x  2 y  z   
2

1 1

 , ;2
2 4

4,1;5
 5  20 8 
; 
 ,
6
9
9

7