CUADRILATEROS PROF: JAIME QUISPE CASAS CUADRILATEROS b) Trapezoides Asimetricos.-Es DEFINICIÓN.- Son polígonos que tienen cuatro lados, y cuadrilátero irregular que no tiene pueden ser: ningún lado paralelo al otro. II. NO CONVEXO CONVEXO = 360º x los lados no paralelos x = 1) Vértices: Son los puntos de intersección A, B, C y D, de las rectas que forman el cuadrilátero ABCD. los B2 C segmentos AB, BC, CD el bases Base Mayor A D vértice común BC // = 180º h : altura del trapecio MN AD BC AD 2 Trapecio Escaleno CLASES DE TRAPECIOS y DA limitados por dos y las de los lados laterales del trapecio. = x + y lados a Mediana.- ( MN ) Es el segmento que une los puntos medios Elementos Son N comprendidos entre ellas. y Lados: h M Altura (h) es el segmento perpendicular 2) C se trapecio. D B Base Menor denominan lados laterales del x A se llaman bases del trapecio, y B Trapecio.-Es aquel cuadrilátero que tiene dos lados paralelos; los lados paralelos C un B1 Trapecio Rectángulo D 3) Ángulos interiores: Son los ángulos α,γ,ω,θ, formados por dos lados y el vértice común. 4) Ángulos exteriores: Son los ángulos ß1, ß2, ß3 y ß4, formados por un lado, un vértice y la prolongación del Trapecio isósceles lado adyacente. 5) Diagonales.-Son los segmentos BD; y AC Perímetro: De un cuadrilátero está dado por la suma de sus cuatro lados CLASIFICACIÓN DE CUADRILATEROS I.- Trapezoide.- Son cuadriláteros cuyos lados no son paralelos, tales como: simétricos.- Son aquellos que tienen sus lados consecutivos iguales y los otros dos A β β Paralelogramo.-Son aquellas figuras que sus lados opuestos D CD C paralelo. AB C b B son B a) Trapezoides III. a a BC AD = 180º A b D lados también iguales pero distintos a los anteriores. 1 CUADRILATEROS PROF: JAIME QUISPE CASAS PROPIEDADES DEL RECTANGULO Q CLASES DE PARALELOGRAMOS Romboide Rombo R O Rectángulo S P 1.- Cumple con las propiedades ya antes mencionadas Cuadrado 2.- Las diagonales son iguales ( QS = PR ) 3.- La perpendicular que pasa por los puntos medios de los lados opuestos del rectángulo es su eje e simetría PROPIEDADES DEL CUADRADO 1.- Por ser un rombo cumple PROPIEDADES DE LOS PARALEOGRAMOS.b B C α θ a θ b sus 45º 45º 45º 45º propiedades 2.-Por sr un rectángulo cumple a A con α D con sus propiedades respectivas. 3.- Las diagonales del 45º 45º 45º 45º 1.- Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales cuadrado son perpendiculares entre si, son congruentes y 2.- Los ángulos opuestos son iguales son bisectrices de sus ángulos interiores. 3.- Las diagonales se bisecan. 4.- El punto medio de un a diagonal es su centro de su PROPIEDADES DEL TRAPECIO. simetría. 1.- La mediana de un trapecio es paralela a sus bases del 5.- Cada diagonal divide a un paralelogramo en triángulos trapecio y es igual a la semisuma de ellas. MN iguales. 2.- La mediana divide a la altura en dos partes congruentes 6.- Los ángulos interiores suman 360º 7.- Dos lados consecutivos de un paralelogramo son suplementarios 8.- La suma de los cuadrados de las diagonales ( D y d ) es igual a la suma de los cuadrado de sus 4 lados. 2 2 2 4.- Dos ángulos interiores del trapecio situados en el mismo lado lateral son suplementarios, es decir β + α = 180º 5.- En el trapecio isósceles los ángulos de cada base son 6.- La longitud del segmento que une los puntos medios de b las diagonales de un trapecio es igual a la semidiferencia de PROPIEDADES DEL ROMBO.mencionadas anteriormente. 3.- Los ángulos interiores de un trapecio suman 360º congruentes 2 D + d = 2 (a +b ) , siendo : AC = D y BD = d 1.- Cumple con las propiedades ya αα sus bases. PQ 2.- Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí. θ θ bisectrices de los ángulos internos del mismo. 4.- Cada diagonal del rombo es su eje de simetría. 2 α α B b 2 b α θ θ M 3.- Las diagonales del rombo son bB 2 N P Q β B β B CUADRILATEROS PROF: JAIME QUISPE CASAS NIVEL I NIVEL II 1. 6. Marcar verdadero (V) o falso (F) En el romboide las diagonales son congruentes. ( ) En el rectángulo las diagonales son perpendiculares. ( ) En el rombo sus ángulos internos miden 90º ( ) a) FFF b) FFV c) FVV d) VFF e) VVV En el trapecio isósceles ABCD, calcular AD, si : BC = CD = 10 B 2. d) 20 e) 35 7. d) 32º 2º 8. 5. D 9. C d) 7 d) 52º e)7,5 a) 4 x-1 b) 3 c) 5 d) 6 53º D a) 5º x c) 10º e) 20º x+3 C 10. Si ABCD es un rombo y BMC un triángulo equilátero, calcular “x” M d) 8º e) 7 D A b) 15º 6 A b) 5 c) 9 D C 2 a) 6 c) 74º 26º QC = Calcular la mediana del trapecio ABCD si: AB = 8 Y BC = 4 b) 64º ABCD es un trapecio, calcular “x” Q B B B A 70º c) 14 e) 13 A x ABCD es un paralelogramo, donde CD = 10 y 4. Hallar AD d) 15 Del gráfico. Hallar la m∢ACD e) 44º b) 10 C B a) 12 d) 48 a) 54º e) 25º c) 56 4. c) 15º b) 52 e) 42 100º b) 10º En el romboide mostrado, AD = 3(CD) = 18. Hallar EL perímetro ABCD. a) 46 Calcular “x”, en el trapezoide mostrado d) 20º 70º e) 35º D A a) 5º 130º c) 31º 3. c) 30 3º b) 30º 120º b) 25 Del gráfico, calcular “” a) 24º C a) 15 B A 40º C D 3 CUADRILATEROS PROF: JAIME QUISPE CASAS NIVEL III 17. En un trapezoide ABCD: 11. En un trapecio ABCD, la bisectriz interior de C corta a AD en “F” tal que ABCF es un paralelogramo, si : BC = 7 y CD = 11. Calcular AD. a) 9 d) 18 b) 15,5 e) 16 c) 12,5 mA 3 a) 60º d) 75º mB 5 mC 6 mD 2 b) 30º e) 90º PQ = QR = RT = PT 2 a) 50º d) 30º . Calcular la m∠QPT b) 60º e) 75º c) 45º 13. Se tiene un rombo ABCD y se construye exteriormente el cuadrado BEFC, tal que: m∢ECD = 89º. Calcular la m∢AEC a) 68º d) 58º b) 56º e) 62º c) 72º cortan a AD en “E” y “F” respectivamente. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de BE y EF b) 6 e) 4 c) 7 distancia entre los puntos medios de AG y CE a) 16 2 D A 19. Si ABCD es un romboide: AO = 4,5 ; BO = 3 Hallar : (AC + BD) a) 10 B C b) 12 O d) 18 e) 20 A D 20. En el trapecio mostrado, calcular “x” B b) 100º x d) 120º F d) 8 2 A E D A P d) 70º D e) 80º En el rombo las diagonales son perpendiculares y congruentes. e) FVF A D 22. Calcular “x” En el trapecio las diagonales se bisecan. d) FFF C B c) 60º Todo cuadrilátero tiene dos diagonales. b) VVF x b) 50º G 16. Marcar verdadero (V) o falso (F). a) VFV C e) 80º a) 40º c) 6 2 4 45º e) 8 21. Calcular “x”, siendo ABCD un trapecio isósceles y además AC = BP = PD C B b) 4 2 e) 10 2 5 d) 7,5 c) 90º 15. ABCD y EFGD son cuadrados, CG = 16. Calcular la C c) 7 a) 60º a) 5 d) 8 4 B b) 6,5 c) 15 14. En un romboide ABCD; AB = 4 y BC = 10. Luego se trazan las bisectrices interiores de “B” y “C” que c) 36º 18. Calcular la mediana del trapecio ABCD a) 6 12. En un trapecio PQRT ( QR // PT ) se cumple: ; Hallar la m∠D c) VFF 110º 2x a) 10º b) 15º c) 12º d) 25º e) 20º 50º 4x CUADRILATEROS PROF: JAIME QUISPE CASAS 23. Si ABCD es un cuadrado y CED un triángulo equilátero. C B a) 30º b) 60º c) 45º d) 37º D A e) 33º a) 20 b) 30 c) 40 d) 60 e) 80 E x 24. En un romboide, las bisectrices interiores de B y C se cortan en un punto de AD . Calcular el perímetro de ABCD, si BC = K a) 4k b) 2k d) 3k e) 2,5k 30. En un paralelogramo ABCD se construyen exteriormente los triángulos equiláteros ABM y BCN. Hallar la m∢MCN. c) 5k 25. En el trapecio ABCD mostrado. Calcular AD; siendo PQ = 17 Y MN = 3 a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 36º C B a) 15 29. Calcular la base menor de un trapecio sabiendo que la diferencia de la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 40. b) 14 P c) 13 M d) 10 e) 20 Q N A D 26. Si ABCD es un cuadrado, calcular el perímetro del trapecio ABCE. C B a) 20 b) 30 82º c) 15 5 d) 12 e) 25 A E D 27. Del gráfico, calcular “” si ABCD es un romboide a) 60º B 70º b) 65º C c) 75º d) 70º e) 80º D A 28. ABCD es un rectángulo, AB = 4 3 Y AD = 16. Calcular la mediana del trapecio AQCD a) 10 Q B C b) 15 c) 12 d) 13 e) 14 30º A D 5