Conjuntos y aplicaciones

CONJUNTOS Y APLICACIONES
CONCEPTOS BÁSICOS:
DEFINICIÓN: Conjunto es una colección de objetos a los que llamo elementos.
DEFINICIÓN: Sean
y
dos conjuntos, entonces se dice que
es un subconjunto de
, y se escribe
, si para todo elemento de
se tiene que dicho elemento pertenece a
. Matematicamente :
OBSERVACIÓN: Si
,
y
son conjuntos y
,
; entonces se verifica que
DEFINICIÓN: Se dice que dos conjuntos
y
son iguales si
y
.
OBSERVACIÓN: Si
esta incluido en
, pero no es igual a
, lo escribiremos
DEFINICIÓN: Sea
un conjunto y
. Se define el complementario
en
, y lo representaremos como
al conjunto :
OBSERVACIÓN:
DEFINICIÓN: Se define el conjunto vacio como el complementario de
en
, don de
es un conjunto. Se representa por :
1
OBSERVACIÓN:
•
es un subconjunto de cualquier conjunto
•
es único. Es el mismo para todo conjunto
DEFINICIÓN: Sea
un conjunto. Entonces se define el conjuntos partes de
, es representa por :
, como el conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de
. Hay como mínimo dos,
y
OBSERVACIÓN:
•
•
es el número de elementos de
es la cantidad de algo.
DEFINICIÓN: Sean
y
dos conjuntos. Se define
• El producto cartesiano de
y
, y se representa como
, al conjunto :
• La intersección de
y
, que se representa como
, al conjunto
• La unión de
y
, que se escribe como
, al conjunto:
OBSERVACIÓN:
•
•
•
PROPIEDADES: Sea
un conjunto y
,
2
y
subconjuntos de
. Se verifica que:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES:
DEFINICIÓN: Sean
y
dos conjuntos, entonces se dice que
es un grafo de
en
si
está incluido en
, y si
. Se dice entonces que
es una correspondencia de
en
, siendo
el conjunto de salida y
el conjunto de llegada Podemos expresar el grafo como un conjunto de puntos de
. Nos indica como se relacionan los conjuntos
y
mediante la correspondencia.
DEFINICIÓN: Sea
una correspondencia. Se llama conjunto de definición de
, y se representa por
, al conjunto
. Si además
y
3
, entonces:
EJEMPLO:
,
DEFINICIÓN: Sea
un conjunto; entonces una relación binaria en
es una correspondencia de
en
OBSERVACIÓN: Dada la relación binaria
, entonces se escribe:
DEFINICIÓN: Una aplicación o función del conjunto
en el conjunto
es una correspondencia
OBSERVACIÓN: En el caso de aplicaciones se escribe:
DEFINICIÓN: Sea
una aplicación; entonces se dice que:
• Es inyectiva si a elementos distintos, imágenes distintas:
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• Es suprayectiva si todo elemento de
es imagen de uno de
:
• Es biyectiva si es suprayectiva e inyectiva a la vez.
DEFINICIÓN: Sea
una aplicación; entonces se define la función inversa de
, y se representada por
, como la aplicación :
OBSERVACIÓN: Claramente
pertenece a las funciones
DEFINICIÓN: Sea
un conjunto; entonces se define la aplicación identidad, y se representa por
, como la aplicación:
TEOREMA(de la biyección): Si
es biyectiva, existe una función
tal que:
•
•
Es decir :
Demostración:
biyectiva
•¿
?
5
•¿
?
¿
biyectiva?
¿
inyectiva?, ¿
suprayectiva?
•¿
inyectiva?
¿
?
Supongamos que
Luego es inyectiva
•¿
suprayectiva?
¿
?
EJEMPLO: Comprobar que la siguiente aplicación es biyectiva
• ¿Es inyectiva?
Sean
6
,
¿
?
¿
?
¿
? Falso, luego es inyectiva
• ¿Es suprayectiva?
¿
?
Luego es suprayectiva
Por tanto es biyectiva
RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
DEFINICIÓN: Sea
un conjunto y
una relación binaria tal que:
•
•
•
Entonces a
se le llama RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Además se llama CLASE DE EQUIVALENCIA del elemento
, y se representa por
o
al conjunto :
Al elemento
se le llama REPRESENTANTE DE LA CLASE. Se puede intercambiar por cualquier elemento de
(
). Asimismo se llama CONJUNTO COCIENTE, y se representa por
(
modificado por la relación
), al conjunto de las clases de equivalencia
EJEMPLO:
7
Sean
,
,y
.¿
es relación de equivalencia?
• Sea
¿
?
Si, pues
luego
• Sean
¿
?
Si, pues
luego
• Sean
¿
?
Si, pues
;
, luego:
luego
Por cumplirse las tres condiciones,
es relación de equivalencia. Su conjunto cociente es:
Obsérvese que no se construya la clase de equivalencia del elemento
, por coincidir con la del cero.
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A esta relación de equivalencia en particular se le llama relación de congruencia modulo
. Se suele escribir :
En el caso particular de
:
PROPOSICIÓN: Sea
una relación de equivalencia en
. Entonces:
•
, pues
• Si
, entonces
, pues si
• Si
, entonces
:
Sea
Sea
Luego
• Si
, entonces
:
Supongamos
, lo que es falso
DEFINICIÓN: Sean
y
dos conjuntos, y
una aplicación. Entonces se define la RELACIÓN DE EQUIVALENCIA INDUCIDA POR UNA
APLICACIÓN como la siguiente relación binaria:
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Por tanto su conjunto cociente viene dado por:
DESCRIPCIÓN CANÓNICA DE UNA APLICACIÓN:
TEOREMA: Sean dos conjuntos
y
, y una aplicación cualquiera
. Entonces
se puede realizar mediante la composición de tres aplicaciones:
Vamos a comprobar que las tres son aplicaciones, y en su caso las características particulares:
Hace corresponder a cada elemento su clase de equivalencia.
es aplicación, pues
y
es suprayectiva:
Sea
¿
?
Hace corresponder a cada clase de equivalencia su imagen.
es aplicación, pues
es inyectiva:
Sean
¿
?
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¿
? Si, pues
es suprayectiva:
Sean
¿
?
es biyectiva
es claramente una aplicación inyectiva.
Sea
,
¿
?
Luego la descomposición canónica es valida.
EJEMPLO:
Por tanto
ALGEBRA DE BOOLE:
DEFINICIÓN: Sea
un conjunto. Entonces se llama operación binaria interna(ley de composición interna) a toda aplicación de
en
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DEFINICIÓN: Un álgebra de Boole es una terna
, donde
y
y
son operaciones binarias en
si se verifica:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(Conmutatividad)
(Asociatividad)
(Distributividad)
(Idempotencia)
(
)
(
)
(
es el complementario de
)
(Leyes de Morgan
(Involución)
RELACIONES DE ORDEN:
DEFINICIÓN: Sea
,y
una relación binaria en
. Entonces
se llama RELACIÓN DE PREORDEN si se verifica que:
•
•
DEFINICIÓN: Sea
,y
una relación de preorden. Entonces
se llama RELACIÓN DE ORDEN si además verifica que:
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OBSERVACIÓN:
• Si
es una relación de orden, se suele escribir
o
• Al par
se le llama conjunto ordenado.
DEFINICIÓN: Sea
,y
una relación de orden. Entonces
se dice que es DE ORDEN TOTAL si se verifica que:
En tal caso al par
se la llama conjunto totalmente ordenado.
Analogamente, si
no es de orden total, se dice que es DE ORDEN PARCIAL, y al par
se le llama conjunto parcialmente ordenado.
EJEMPLO:
Sea
y
¿Es
de orden? ¿Es
sde orden total?
Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden:
•¿
?. Si, pues
,y
, luego
•¿
?
¿
?
Luego
Por tanto
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es de preorden
Comprobamos ahora si es de orden total
¿
?
Por tanto
es de orden
Comprobamos ahora si es de orden total
¿
?
,
,
Por tanto
es de orden parcial
EJEMPLO:
Sea
y
¿Es
de orden? ¿Es
de orden total?
Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden:
•¿
?. Si, pues
,y
, luego
•¿
?
¿
?
14
Luego
Por tanto
es de preorden
Comprobamos ahora si es de orden total
¿
?
Luego
Por tanto
es de orden
Comprobamos ahora si es de orden total
¿
?
Por tanto
es de orden total
ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UN CONJUNTO ORDENADO:
DEFINICIÓN: Sea
un conjunto ordenado, y
. Entonces se dice que:
•
es un máximo de
si
y
•
es un mínimo de
si
y
•
es una cota superior de
si
(Se dice que
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está acotado superiormente)
• Análogo para cotas inferiores
• El supremo de
, si existe, es el mínimo del conjunto de las cotas superiores de
• Análogo para ínfimo.
•
es minimal de
si
y
• Análogo para maximal.
OBSERVACIÓN:
• Si existe máximo, entonces es único. Análogo para el mínimo.
• Si existe máximo, entonces existe un único maximal y coincide con el máximo. Análogo para el mínimo y
minimal.
significa que tan solo existe uno.
Es decir, aRb si a es el resto de dividir b entre m
Todo elemento tiene imagen, y la imagen de un elemento es única
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