aplicaciones de análisis matemático i desarrolladas mediante

APROXIMACIONES DE LA FÓRMULA DE TAYLOR CON EL MATHEMATICA
Luisa Lucila Lazzari
[email protected]
Andrea Parma
[email protected]
Julio C. Ferreiro
[email protected]
1ª Cátedra de Análisis Matemático II
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad de Buenos Aires
Julio 2006
1- INTRODUCCION
Este trabajo forma parte de una investigación iniciada en el año 2005, que consiste en el diseño y
desarrollo de aplicaciones del software Mathematica como herramienta de cálculo simbólico y
numérico, y recurso didáctico, para ser usada en la enseñanza de las asignaturas Análisis Matemático I
y II.
El objetivo fundamental es que el alumno desarrolle algunas actividades con el programa Mathematica
que le permitan facilitar la construcción del conocimiento de los temas desarrollados en las clases
teóricas. Las ventajas del uso de la tecnología en la educación matemática son muy significativas, pues
permite un manejo más dinámico de múltiples sistemas de representación de objetos matemáticos.
En esta presentación se analizan diferentes casos de aproximación de funciones, expresadas en forma
explícita o definidas implícitamente por una ecuación, mediante las fórmulas de Taylor y de Mac
Laurin. Este tema desempeña un papel importante en muchas áreas de la matemática aplicada y
computacional.
Además de obtener la fórmula de Taylor con el Mathematica, se visualizan y comparan los gráficos de
la función original con sus aproximaciones lineales, cuadráticas y de orden superior. Para el caso de
funciones de dos variables independientes se realiza el gráfico de las curvas de nivel y se muestran sus
diferencias.
2. POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
2.1. Desarrollo de la función f :  y  c os x en la proximidad de x= 0
El programa Mathematica tiene un comando llamado Series que permite obtener el desarrollo de una
función f en serie de potencias en la proximidad de x = a hasta orden n.
Su sintaxis es: Series[f, {var, a, n}]
En primer lugar se considera una función sencilla f1x   cos x y se obtiene el desarrollo de Mac
Laurin, hasta orden 5.
[1]
f VI c  6
x
donde 0  c  x representa el resto o cota de error de
en la que 0[ x]
6!
Lagrange que se obtiene al aproximar la función y  cos x mediante un polinomio de 5º grado.
6
 R6  x  
Se realiza el gráfico de la función cuya fórmula es f 1  cos x (Figura 1) con el Mathematica,
considerando x   8;8 . Para trabajar más cómodamente se define la función a utilizar mediante la
forma genérica f [var_] = , así es fácil invocarla cuando se la precise
1
0.5
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
-0.5
-1
Figura 1. y  cos x
Nótese que la Figura 1 no está en la misma escala en ambos ejes, pero de este modo se aprecian mejor
algunas de sus características.
Si se considera una aproximación de 1º orden, se obtiene el polinomio P1 ( x) cuya gráfica (Figura 2)
es de grado 0, pues f10  0
Figura 2. y  1
Luego se obtienen las aproximaciones de 2º y 3º orden que son iguales y de grado 2, pues f10  0 .
Se grafican estos polinomios, designándolos P2 x  (Figura 3).
Figura 3. y  1 
x2
2
Se calculan los polinomios de 4º y 5º grado, P4 x  , que son iguales pues f v 0  0 . Su gráfica se
muestra en la Figura 4.
Figura 4. y  1 
x2 x4

2
24
2.2. Visualización simultánea de funciones
Para visualizar dos o más gráficos en el mismo sistema de ejes cartesianos, se utiliza el comando
Show del Mathematica.
La gráfica de la función original y su aproximación de grado 2, se presentan en la Figura 5.
Figura 5. Gráfico de la función y su
aproximación de grado 2
En la Figura 6 están representadas todas las aproximaciones obtenidas, junto con la función original.
4
2
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
-2
Figura 6. Gráfico de la función y sus
aproximaciones
7.5
Si se desea dibujar todas las aproximaciones en una matriz de gráficos para su mejor visualización, se
utiliza la opción GraphicsArray, combinada con Show (Figura 7).
Figura 7. Diferentes aproximaciones de la función f1 x   cos x
3. SERIE DE TAYLOR
Sea una función de una variable independiente con derivadas de todos los órdenes en algún intervalo
a  r ; a  r  , con r  0 .
La fórmula de Taylor es:
f ( x)  f a   f a x  a  
Rn1x  
n 

f a 
x  a 2  f a  x  a 3  ...  f a  x  a n  Rn1 x  con
2!
3!
n!
f n1c 
x  a n y c  a  r ; a  r  .
n  1!
La serie de Taylor f ( x)  f a   f a x  a  

f a 
x  a2  f a x  a3  
2!
3!
representa a la función f en el intervalo a  r ; a  r  si y solo si lim Rn 1 x   0 .
n
3.1. La serie de Taylor para la función f1 ( x)  cos x
En 2.1. se desarrolló la función f1 ( x)  cos x obteniéndose la expresión [1]. Entonces
x2 x4
cosx  1 

 
2
24
[2]
f n1 c  n 1
x
0
n n  1!
La expresión [2] es válida, siempre que lim Rn1 x   lim
n
f n1x   senx  1 o
Para y  cos x se cumple
De modo que Rn1x  
x
f n1x   cos x  1
n1
n  1!

Pero a su vez la serie de potencias
x
n 1
 n  1! es convergente x  .
0
En efecto,
a n1
 lím
n a n
n
  lím
x n2
n  2!
x n 1
x
 lím
n n  2
 0,
n  1!
por lo tanto el radio de convergencia es infinito. A su vez si la serie es convergente x   se puede
x n 1
 0 . Como consecuencia lim Rn  x   0 y la serie [2] representa a
n 
n n  1!
asegurar que x  . lim
la función.
3.2. La función de Cauchy
La función de Cauchy está definida de la siguiente manera:
  1

2
f : / f x   e x
si
 0
si

x0
x0
Para x  0 , la función f(x) tiene derivadas de todos los órdenes, que se determinan mediante las reglas
de derivación elementales.
Se calculan con el Mathematica las derivadas de orden 1º, 2º y enésimo.
Por lo tanto las derivadas son:
f x   2 x 3e 1 / x
2
x  0 ;


f x    6 x 4  4 x 6 e 1 / x
2
x  0
En general, f n  x   p n 1 / x  e 1 / x x  0 donde p n 1 / x  es un polinomiorespecto de 1 / x
2
2
 1 
Se observa que f n x  , para n  es una combinación lineal de expresiones del tipo  e1 / x ,
k
x 
donde k  .
 1  1 / x2
 e
Además se verifica que f n 0  0, n  , es decir lim 
 0 . Esto se comprueba
x0 x k 
 1  1 / x2
t k/ 2
 e
lim 
 lim
0.
x0 x k 
t  e t
Por lo tanto la función de Cauchy tiene derivadas de todos los órdenes nulas en el origen. La serie de
Mac Laurin es:
fácilmente haciendo el cambio de variable t  1 / x 2
f n 0 n
 n! x  0  0 x  0 x2  ...  0 x  .
Finalmente se observa que esta serie no representa la función de Cauchy, pues converge a y = 0.

0
Figura 8. Función de Cauchy y convergencia de la serie
Es obvio que para esta función no se cumple lim Rn 1 x   0 . Es posible visualizar esta situación en
n 
f i 0 i
x  f x   0  f x 
i 0 i!
n
la Figura 8, sacando como conclusión que Rn1 x   f x   
4. POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
INDEPENDIENTES
4.1. Polinomio de Mac Laurin para la función f : 2 /f (x, y) = sen x sen y
Para obtener el polinomio de 2º grado que aproxime la función f(x, y) = sen x sen y en un entorno del
origen se utiliza la fórmula de Mac Laurin para dos variables independientes, con ayuda del operador
diferencial simbólico.
 
 
1 
 
f x , y   f 0,0   x  y  f 0,0   x  y 
y 
2!  x
y 
 x

1 
 
 x  y 
n!  x
y 
n 
f 0,0 
1  
 
 x  y 
n  1!  x y 
n 1
2 
f 0,0   
f  x , y , 0    1
Para una aproximación de 2º orden, la fórmula de Mac Laurin se reduce a:
 
 
1 
 
f x , y   f 0 ,0   x
 y  f 0,0   x
 y 
y 
2!  x
y 
 x

2 
f 0,0  R3
 12 x2 f xx 0,0  2 x y f xy 0,0  y 2 f yy 0,0
f x , y  f 0,0  x f x 0,0  y f y 0,0 


1 3
 cx ,cy   3 x 2 yf xxy
 cx ,cy   3 xy 2 f xyy
 cx ,cy   y 3 f yyy
 cx ,cy 
x f xxx
6

Donde
f 0,0  0,
 0,0  0,
f xx
R3
f x 0,0  0,
 0,0  1,
f xy
f y 0,0  0,
 0,0  0
f yy
Reemplazando en la expresión anterior, se obtiene
1
sen x sen y  0  0  0  x2 (0)  2 x y (1)  y 2 (0)
2
sen x sen y  x y
El error en la aproximación es
1
 cx ,cy   3 x2 yf xxy
 cx ,cy   3 xy 2 f xyy
 cx ,cy   y3 f yyy
 cx ,cy 
R3  x3 f xxx
6
En la Figura 9 puede observarse el gráfico de la función y la aproximación de segundo orden.




Figura 9. f(x;y) = senx seny y su aproximación de 2º orden
Si se desarrolla la función en un entorno del origen hasta el término de cuarto orden, se obtiene la
siguiente expresión:
x3 y x y3
f x , y   xy 

6
6
En la Figura 10.a se presenta el gráfico del polinomio de 4º orden de aproximación y en la Figura 10.b
el polinomio y la función, superpuestos.
Se observa que en la Figura 10.b, la parte que tiene mallado en el entorno del origen (ver recuadro),
aproxima con más exactitud que en la Figura 10.a.
1
1
2
0
1
-1
0
-1
-2
2
1
-1
-2
0
-1
-1
0
0
0
-1
1
2
1
2
-2
-2
Figura 10. a. Polinomio de 4º orden
Figura 10. b. Función y polinomio
superpuestos
4.2. Comparación de curvas de nivel
Se obtienen con el Mathematica las curvas de nivel de la función original y se comparan con las de sus
aproximaciones de 2º y 4º orden.
Figura 11. Curvas de nivel de la función
Figura 12. Curvas de nivel del polinomio de 2º grado
Figura 13. Curvas de nivel del polinomio de 4º grado
Se observa que las curvas de nivel de la función original (Figura 11) son más similares a las de su
aproximación de 4º orden (Figura 13).
5. POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNCIONES DEFINIDAS EN FORMA IMPLÍCITA
5.1. Gráfica de una función y  f x  definida implícitamente en un determinado dominio
Dada la ecuación
[3]
H x; y   y 3  xy  x 2  1  0
se analiza si la misma define una función y  f x  en un entorno del punto (1;1). Para ello se
verifican, con la ayuda del Mathematica, las hipótesis del Teorema de Cauchy-Dini:
a) H 1;1  0
0
b) Las derivadas parciales de H x; y  son continuas en un E 1;1
c)
H
1;1  0
y
Al cumplirse las condiciones de Cauchy-Dini, se asegura la existencia de la función y  f x  en un
entorno del punto (1; 1).
Para dibujar esta función con el Mathematica (Figura 14) se obtiene la intersección de los gráficos de
z  H x; y  y de z = 0 (curva de nivel cero de la función z  H x; y  ).
Figura 14. Intersección de los gráficos de z  H x; y  y de z = 0
Agregando al comando Show un punto de vista adecuado, se obtiene la gráfica de y  f x  en un
E 1;1 con bastante precisión (Figura 15.a).
También se puede realizar la gráfica de la función y  f x  en un entorno del punto (1;1) trabajando
con el comando ContourPlot, considerando un rango conveniente para x e y (Figura 15.b).
Figura 15.a. Gráfico de la función como intersección de
los gráficos de z  H x; y  y de z = 0
Figura 15.b. Gráfico de la función dada en forma
implícita como curva de nivel
5.2. Polinomio de Taylor para la función y  f x  definida implícitamente en un determinado
dominio
En primer lugar se calcula la derivada primera de la función y  f x  en el punto (1;1), utilizando la
H
dy
 x
fórmula:
dx
H y
[4]
1
Por lo tanto
u
dy
1;1  1
dx
d2y
( 1;1 )
dx 2
Para ello se debe derivar la función [4], teniendo en cuenta que y  yx  .
Ahora se calcula la derivada segunda
Se asigna a la variable y la expresión yx  en [4] y luego se deriva. Esto se puede realizar debido a
que el Mathematica es un programa de cálculo simbólico.
y por la regla generalizada de la cadena para funciones de varias variables, se obtiene:
El Polinomio de Taylor de orden dos que aproxima a la función y  yx  en un E(1;1) es:
La gráfica de la aproximación de 2º orden se presenta en la Figura 16.
Figura 16. Aproximación de 2º orden
También se representa (Figura 17) la aproximación de 1º orden en un entorno del punto (1;1).
:
Figura 17. Aproximación de 1º orden
Finalmente se compara la función original, con sus aproximaciones de 1º y 2º orden (Figura 18).
Figura 18. Función original y
aproximaciones de 1º y 2º orden
Para hallar el polinomio de grado tres, se calcula y ' ' ' con el Mathematica.
Se observa la complejidad de las expresiones de las derivadas sucesivas y la ventaja del uso del
software para realizar este tipo de cálculos.
Así, el polinomio de tercer grado que aproxima a una de las posibles funciones definidas
implícitamente en el entorno considerado es:
y el de cuarto grado, es:
En la Figura 19 se muestra la función original con sus aproximaciones de 2º, 3º y 4º orden.
Figura 19. Función original con sus
aproximaciones de 2º, 3º y 4º orden.
6. CONCLUSIONES
El uso de la computadora en la enseñanza de la matemática permite incluir ejercitación más compleja
desde el punto de vista del cálculo y también más próxima a las reales condiciones del trabajo que
desempeñarán los alumnos en su vida profesional, a la vez que dinamiza la operatoria rutinaria.
Potencia el desarrollo del conocimiento y del aprendizaje, la creatividad, el aprendizaje por
descubrimiento y exploración y la resolución de problemas concretos vinculados a su desempeño
profesional.
El empleo de programas de cálculo simbólico, como el Mathematica, para el estudio y representación
de funciones mediante el desarrollo de Taylor resulta muy adecuado, tanto desde el punto de vista
didáctico como práctico.
Este tema es muy importante para los estudiantes de carreras de Ciencias Económicas dado la gran
cantidad de aplicaciones que presenta, entre las que se pueden mencionar:

En Análisis Numérico, entre otros temas, se aplica al cálculo de errores, ajuste de datos observados
a una curva por mínimos cuadrados, en los métodos numéricos de integración, en el método de
Runge-Kutta para problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias.

En la Teoría de Inversiones, los desarrollos en serie de Taylor permiten obtener modelos más
generales de inversiones bajo incertidumbre, en particular los que emplean movimientos
Brownianos y el lema de Ito, como así también la ecuación de Kolmogorov.

En Estadística y Econometría se suelen hacer lineales los estimadores aplicando la fórmula de
Taylor. También se utiliza en la formulación y estimación de modelos especiales, como los
intrínsecamente lineales (que resultan no lineales respecto a las variables pero lineales respecto a
los parámetros a estimar) y los íntrinsecamente no lineales (que son modelos no lineales respecto a
las variables y a los parámetros); así como recurso en demostraciones teóricas referidas al testeo
de hipótesis.

En Administración Financiera, se utiliza en particular en el tema de cobertura de un portafolio de
inversiones. La serie de Taylor en dos o más variables permite expresar el cambio del portafolio
en función del precio del activo y del tiempo, para períodos de tiempo cortos. Esto es posible dado
que si la volatilidad del activo se considera constante, el valor del portafolio puede expresarse en
función del precio del activo y del tiempo; y si la volatilidad del activo se asume variable, el
portafolio es función de la volatilidad, el precio y el tiempo, en cuyo caso el desarrollo de Taylor
corresponde a tres variables.
Referencias bibliográficas

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Economía I y II. Madrid, Editorial AC, Thomson.

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
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Lazzari, L.; Parrino, M. (1995), “El uso de la computadora en la enseñanza de la Matemática”.
Temas y Propuestas, Año 4, N° 8. Facultad de Ciencias Económicas, Universidad de Buenos
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Rey Pastor, J.; Pi Calleja, P.; Trejo, C.A. (1957). Análisis Matemático 1 y 2. Buenos Aires,
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
Thomas, G.; Finney, R.L. (1999). Cálculo en Varias Variables, 9a edición. México, Addison
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
Troparevsky, M.; García, R. (1997). Matemática con Mathematica. Buenos Aires, Nueva Librería.

Wolfram, S. (1991). Mathematica. Illinois, Addison-Wesley Publishing Company, Inc..
Equipo de apoyo necesario: PC y cañón de proyección