Un eucalipto de 20 años tiene 10 m. de altura y 60 cms. de

Un eucalipto de 20 años tiene 10 m. de altura y 60 cms. de diámetro, y su madera se puede
vender a 500 pts/m3. A partir de ese momento cada año crece 20 cms. de alto y 2 cms de
ancho, pero su madera se deprecia a razón de 10 pts. por año el m 3. ¿ A qué edad es más
ventajoso tallar el eucalipto?
SOLUCIÓN:
La función que nos piden maximizar es el precio de venta , que está en función del número de
años que pasen hasta que se produzca; así pues, llamaremos x al número de años , y el
precio será igual al volumen por el precio por m3.
P = r2hp1
( donde p1 es el precio de un m3).
Pasando todo a metros:
r = 0,3 + 0,01x
(el diámetro crece 2 cm por año, el radio 1cm.)
h = 10 + 0,2x
(la altura crece 20 cm por año)
p1= 500 - 10x
(el precio es 10 pts. menos cada año)
Así pues P queda:
P = (0,3 + 0,01x)2(10 + 0,2x)(500 - 10x)
Para buscar el valor máximo de esta función se ha de calcular su derivada;
que si la hacemos directamente saldrá un polinomio de tercer grado, que
tal como se presenta la función puede ser difícil de descomponer. Para no hacer
además tanto cálculo utilizaremos la derivación logarítmica:
lnP = ln + 2ln(0,3 + 0,01x) + ln(10 + 0,2x) + ln(500 - 10x), y derivando:
P'
2(0,01)
0,2
1
0,02(10  0,2x)(50  x)  0,2(0,3  0,01x)(50  x) 




P 0,3  0,01x 10  0,2x 50  x
(0,3  0,01x)(10  0,2x)(50  x)
- (0,3  0,01x)(10  0,2x)
10 - 0,12x - 0,008x 2
=
.
(0,3  0,01x)(10  0,2x)(50  x) (0,3  0,01x)(10  0,2x)(50  x)
P'  P
10 - 0,12x - 0,008x 2
= (0,3  0,01x)(10 - 0,12x - 0,008x 2 ).
(0,3  0,01x)(10  0,2x)(50  x)
Las raíces de P’ son: -43,75 , -30 y 28,5. Las dos primeras no tendrían sentido para
el problema por ser negativas, y en la tercera raíz P’ pasa de tener valores positivos a
tener valores negativos, por ser P’ un polinomio de tercer grado con tres raíces y
con coeficiente de x3 negativo; por lo tanto en ese valor P pasaría de ser creciente a
decreciente , con lo cual el punto: (28,5 , 3.629) sería un máximo relativo de la función P.
El precio máximo se obtendría dentro de 28 años y medio.