2006AJIEE-15.pdf

“ESTUDIO DE LA DESCARGA ELÉCTRICA SUFRIDO POR EL
ARQUITECTO AMILCAR ENRIQUEZ”
Douglas Moya
Departamento de Física
Escuela Politécnica Nacional.
RESUMEN
Se relata la forma en que se tomaron
los datos del escenario físico del
accidente y la entrevista personal a la
víctima del mismo. Se procede a
considerar los procesos físicos tales
como el efecto punta eléctrico, la
amplificación paramétrica debida a una
capacidad no lineal cuya señal de
bombeo era la de 60 Hz de la línea de
alta tensión de 13.3 KV, los cuales
llevaron a construir un modelo
electromecánico que explica los altos
niveles de corriente y voltaje que
quemaron los brazos del accidentado.
1. ANTECEDENTES
Después que recibí la solicitud del
CIEEPI para investigar este problema
mediante oficio Nº 2005-09-0891 del 22
de septiembre del 2005, me acerqué
donde el licenciado Carlos Morán para
ver la posibilidad de que el CIEEPI
financie el proyecto, a lo que contestó
que no existen fondos disponibles en el
presupuesto del CIEEIPI para financiar
este tipo de cosas. Es necesario aclarar
que no pedí dinero por mis servicios
profesionales sino para manejar la
logística del proyecto.
El 28 de septiembre de 2005 visité el
sitio del accidente, ocurrido en la ciudad
de Salcedo, el cual se localizaba en las
calles 24 de mayo y Ana Paredes. Allí
me enteré que ese mismo lugar había
sido ya visitado por un grupo técnico
con algunos días de anticipación y con
las mismas intenciones, liderado por el
Ing. Fernando Echeverría.
Tomé toda la información que consideré
pertinente para reconstruir los hechos.
Luego me entrevisté con el accidentado
quien aún se hallaba en un trauma
psicológico. No quedó claro, dada su
confusión, si se sujetó con una o dos
manos a las barras de hierro de la
construcción. Algunos testigos del
accidente dijeron que se había cogido
con una sola mano y con la otra había
sujetado la línea de alta tensión. Otros
afirmaban que no llegó a tocar el cable.
Personalmente regresé al sitio para
verificar si había tocado el cable o no. El
cable estaba limpio y no había resto
alguno de haber sido topado.
Es necesario indicar que la empresa
eléctrica había alejado a la línea de alta
tensión mediante soportes de madera
respecto de la locación en la que el
accidente se dio.
2. EFECTO PUNTA
El momento del accidente estaban
fundiendo la losa. Este dato es
necesario subrayar pues la mezcla
debido
a
efectos
de
fricción
seguramente
tenía
una
carga
electrostática. El sitio sobre el cual
estaba parado el arquitecto no estaba
eléctricamente neutro.
Esto lleva a plantear
modelito de la Fig. 1.
el
siguiente
V1
V2
a
b
Fig. 1. Esferas conductoras a distinto potencial
En él se representa dos
conductoras con potenciales.
esferas
q2 = 4π ∈0 bV0
Q1
V1 =
4π ∈0 a
(1)
Q2
4π ∈0 b
(2)
V2 =
con V1 ≠ V2
Si unimos a ambas esferas mediante un
conductor, ambas llegan a tener el
mismo potencial V0.
V0 =
q1
q2
=
4π ∈0 a 4π ∈0 b
(3)
De la cual
q1 = 4π ∈0 aV0
(5)
Y los campos eléctricos en cada una de
ellas y sobre su superficie serán
E1 =
4π ∈0 aV0 V0
q1
=
=
2
4π ∈0 a
4π ∈0 a 2
a
(6)
E2 =
V0
b
(7)
que nos lleva a E 2 = E1
a
b
(8)
Si a = Radio de la tierra y b una punta, a
>> b y
E2 >> E1
(4)
Fig. 2 Configuración de pararrayos por efecto punta.
(9)
De este sencillo análisis se basan los
pararrayos.
Diremos sin más que el aire próximo a
la punta está al borde o en un proceso
de ruptura dieléctrica.
realmente enormes (~109 Volt/m). Es
por ello que a las puntas se les
considera
como
singularidades
matemáticas en r = 0 .
El aire en las inmediaciones de la punta
sigue la ley de un potencial multipolar [1]
3. EMISIÓN DE CAMPO
∞
V =∑
n =0
An Pn (cos θ )
r n +1
(10)
r
lo cual, dado que E = −∇V
nos permite toparnos con
eléctricos cercanos a la punta
(11)
campos
En los conductores los electrones
pueden modelarse como partículas
ondulatorias atrapadas en un pozo de
potencial de espesor infinito.
¿Pero que sucede si la barra de
potencial tiene un espesor finito? Hay
una probabilidad diferente de cero de
que atraviesen la barrera.
f (x)
0
x1
x2
x
Fig. 3 Barrera de potencial de espesor finito
Sea una partícula
ecuación de onda
descrita
d 2ϕ
− f ( x)ϕ = 0
dx 2
por
la
(12)
donde f(x) es positiva para x1 < x < x2 .
En este rango de x se prueba la
solución
ϕ = exp[α (x )]
Ahora se supone que α es una función
lentamente variable de x, de modo que
α ' ' ( x ) << [α ' ( x )]2
(15)
así (13) tiene la solución aproximada en
x1 < x < x2
x2
(13)
α ( x) = ± ∫ f (u ) du
(16)
x1
sustituyendo en (12) se obtiene la
ecuación
α ' ' ( x ) + [α ' ( x )]2 − f ( x ) = 0
(14)
se toma el signo negativo, ya que
interesa una onda que se propaga de
izquierda a derecha. Por lo tanto, la
transparencia de la barrera es
2
⎧⎪
Tb = ϕϕ * x = x = exp⎨− 2 ∫
2
⎪⎩ x1
x
⎫⎪
f ( x )dx ⎬ (17)
⎪⎭
en el caso de una barrera de potencial
V(x)
f (x ) =
2m
(V (x ) − E )
h2
donde V(x) es la energía potencial y E
es la energía del electrón.
Entonces
⎧⎪ ⎛ 2m ⎞1/ 2 x2
⎫⎪
1/ 2
Tb = exp⎨− 2⎜ 2 ⎟ ∫ [V (x ) − E ] dx ⎬
⎪⎩ ⎝ h ⎠ x1
⎪⎭
(18)
(19)
φ
NIVEL DE
f
FERMI
W
E
x2
x1
Fig. 4 Barrera de potencial para emisión de campo desde una punta metálica,
W = E f + φ . Se indican los limites de integración x1 y x2, para una energía E.
A intensidades de campo del orden de
109 Volt/m, la barrera de potencial en la
superficie se hace muy delgada.
Entonces los electrones tienen una
probabilidad finita de atravesar la
barrera y ser emitidos. Este fenómeno
se llama “efecto túnel”.
esa dirección es E =
Calcularemos la emisión de campo a la
temperatura absoluta T = 0. En la Fig. 4
se muestra la barrera de potencial para
un metal en el que se ha despreciado
las fuerzas de imagen. Si el eje x es
perpendicular a la superficie, la energía
cinética del electrón que se mueve en
donde E0 es la intensidad de campo.
1
mVx2 . La energía
2
potencial sin fuerza imagen es
V (x ) = 0 si x < 0;
V ( x ) = W − eE0 x si
De allí
x1 = 0
x2 =
x>0
W −E
eE0
Dado que
x2
1/ 2
∫ (W − E − eE0 x )
x1
2 (W − E )
3
eE0
3/ 2
dx =
(22)
El coeficiente de transmisión Tb es
(20)
(21)
⎧⎪ 4 ⎛ 2m ⎞
Tb = exp⎨− ⎜ 2 ⎟
⎪⎩ 3 ⎝ h ⎠
1/ 2
(W − E )3 / 2 ⎫⎪
⎬
⎪⎭
eE0
(23)
donde
E
puede expresar como
donde px es la
componente del impulso en la dirección
x.
E = p x2 / (2m ) ,
Se recuerda ahora que la densidad de
portadores con impulso entre px y px +d
px, py y py +d py, pz y pz +d pz es
2
dp x dp y dp z
h3
Por consiguiente el número de
portadores que llega a la superficie (por
metro cuadrado y por segundo) es
⎛ 2⎞
dp x dp y dp z
3 ⎟
⎝h ⎠
υx ⎜
⎫
p0 − p x = 2 p0θ
p x ≈ p0 ⎪⎪
⎪
⎪
2
2 3/ 2
⎪
⎤
⎡
p
p
−
x
(W − E )3 / 2 = ⎢φ + 0
⎥ ⎬
2m ⎦ ⎪
⎣
⎪
⎪
1/ 2
⎪
⎛
⎞
3 φ
⎟⎟ p0θ ⎪
= φ 3 / 2 + ⎜⎜
2⎝ m ⎠
⎭
2
υx > 0
2
(28)
Finalmente, el límite superior de
integración puede ser extendido al
infinito sin error notable. Se obtiene así
2
⎧⎪ 4 ⎛ 2m ⎞1 / 2 φ 3 / 2 ⎫⎪
4π e p0
J=
exp⎨− ⎜ 2 ⎟
⎬
mh 3
⎪⎩ 3 ⎝ h ⎠ eE0 ⎪⎭
∞
⎡ ⎛ 2m ⎞1 / 2 φ 1 / 2
⎤
∫0 ⎢⎢− 2⎜⎝ h ⎟⎠ meE0 p0θ ⎥⎥ θ dθ
⎣
⎦
(29)
Por lo tanto, la densidad de corriente es
y finalmente
⎛ 2e ⎞
J = ⎜ 3 ⎟ ∫ p xTb ( p x )dp x dp y dp z
⎝ mh ⎠
(24)
J=
donde la integración debe incluir a
todos los electrones para los cuales
p x + p y + p z ≤ 2mE f = p0
2
2
2
2
(25)
2
⎡ 4 ⎛ 2m ⎞1 / 2 φ 3 / 2 ⎤
e 3 E0
exp ⎢− ⎜ 2 ⎟
⎥
8πhφ
⎢⎣ 3 ⎝ h ⎠ eE0 ⎥⎦
(30)
Si se toma en cuenta la fuerza imagen
el potencial se escribirá como
E f es la energía de Fermi. Efectuando
V ( x ) = 0 si x < 0
la integración respecto a y y la
dirección z, se obtiene
V ( x ) = W − qE0 x −
q2
si x > 0
16π ∈0 x
(31)
(
)
0
⎛ 2πe ⎞
2
2
J = ⎜ 3 ⎟ ∫ Tb ( p x ) p x p0 − p x dp x
⎝ mh ⎠ 0
p
(26)
Se
introduce
la
θ = p0 − p x
nueva
variable
(27)
Dado que T ( p0 − θ ) disminuye muy
rápidamente al aumentar θ , se puede
escribir con buena aproximación
el único efecto que esto produce en la
ecuación
(30)
es
que
queda
multiplicada por un factor υ ( y ) , llamada
función elíptica de Nordheim, donde
1/ 2
1 ⎛ e3 E0 ⎞
⎟
y = ⎜⎜
φ ⎝ 4π ∈0 ⎟⎠
usando
unidades
MKS,
ecuaciones se escriben como
(32)
estas
2
⎡ 6,83x109 φ '3 / 2 υ ( y ) ⎤
1,54 x10−6 E0
J=
exp ⎢−
⎥
E0
φ'
⎣
⎦
(33)
Q = f (V0 + ΔVp + ΔVi )
(35)
Se efectúa ahora un desarrollo de
Taylor de Q entorno ΔVi y se obtiene
con E0 en Volts/m y φ ' en voltios
y = 3,79 x10− 5
Q = f (V0 + ΔVp ) +
1/ 2
0
E
(34)
φ'
dQ
ΔVi
dV ΔVi = 0
(36)
o
la función υ ( y ) varía lentamente desde
Q = Q(V0 + ΔVp ) + C (V0 + ΔVp )ΔVi (37)
y = 1 . Es permisible poner
υ ( y ) = 1 a menos que se desee gran
descartando términos mayores a ΔVi .
La mezcla es realizada por la
capacitancia no lineal o pequeña señal
υ ( y ) = 1 para y = 0 hasta υ ( y ) = 0
para
exactitud.
El gráfico de J / E0
2
en función de
1 / E0 es, aproximadamente una línea
recta. La función de trabajo φ ' se
puede determinar desde la pendiente
de esta línea.
C (t ) = C (V0 + ΔVp ) =
dQ
dV V =V0 + ΔVp
(38)
Si ΔVp = υio cos ω p t (que representa la
señal de 60 Hz de la línea) y la salida
es
cortocircuitada,
las
señales
significantes están en el rango de la
carga
En investigaciones en puntas finas se
han observado densidades de corriente
de hasta 1012 Amp/m2 para el radio de
un micrón. Para radios de mayor
tamaño, del orden de los milímetros
I ≈ 106 Amperios.
+ ∑ C n vio cos{(nω p + ωi )t + ϕ i }+
4. AMPLIFICACIÓN
PARAMÉTRICA
y las corrientes significantes son
obtenidas por derivación respecto al
tiempo
De
lo
visto
anteriormente
el
accidentado estuvo sometido a campos
eléctricos de enorme magnitud.
− ∑ (nω p + ωi )C n vio {sen(nω p + ωi )t + ϕ i }−
ΔQ = C0 vio cos(ωi t + ϕ i ) +
∞
n =1
(39)
+ C n vio cos{(nω p − ωi )t − ϕ i }
i (t ) = −ωi C0 vio sen(ωi t + ϕ i ) −
∞
n =1
∞
En tales campos se presentan efectos
no lineales que pueden disparar
efectos catastróficos.
Partimos de un sistema que posea una
característica de carga no lineal (El
sistema conformado por el arquitecto y
su celular) y lo exponemos a tensión
continua V0 (por el efecto punta de las
barras del hierro), una señal de
bombeo ΔVp y una pequeña señal de
entrada Vi. Se tiene entonces
− ∑ (nω p − ωi )C n vio {sen(nω p − ωi )t − ϕ i }
n =1
(40)
así el dispositivo alineal representa una
capacidad C0 a la entrada y las
transferencias de señal desde la
frecuencia angular ωi a las frecuencias
angulares
n ω p + ωi
y
nω p − ωi
representada por la capacidad Cn .
Hay tres posibilidades
1. nω p + ωi = ω0 o nω p = ω0 − ωi . En
ese caso la salida de la corriente
significante es − ω0Cn sen(ω0t + ϕi ) ,
de modo que no hay inversión de
fase en el proceso de mezclado.
2. nω p − ωi = −ω0 o nω p = ωi − ω0 . En
ese caso la salida de la corriente
significante es − ω0Cn sen(ω0t + ϕi ) ,
de modo que también en ese caso
no hay inversión de fase.
3. nω p − ωi = ω0 o nω p = ω0 + ωi . La
corriente de salida significante es
− ω0Cn sen(ω0t − ϕi ) , de modo que
hay inversión de fase en el proceso
de mezcla.
Ahora se cortocircuita la entrada y se
aplica
una
pequeña
señal
V0 = υ00 cos(ω0t + ϕ0 ) a la salida. Se
obtiene una corriente de salida que
entre al dispositivo.
− ω0C0υ00 sen(ω0t + ϕ0 )
(41)
y una corriente de entrada significante
− ωiCnυ00 sen(ωit ± ϕ0 )
que sale del dispositivo. EL signo
positivo rige si ω0 − ωi = nω p mientras
que el negativo rige si ω0 + ωi = nω p .
Hay pues, una inversión de fase de la
corriente en el último caso, como antes.
Cambiando la notación a compleja, se
tiene
ii = jωiC0υi − jωiCnυ0
⎫
⎪
⎬ si ω0 − ωi = nω p
i0 = − jω0Cnυi + jω0C0υ0 ⎪⎭
(43)
si el asterisco denota el complejo
conjugado
ii = jωiC0υi − jωiCnυ0 * ⎫
⎪
⎬ si ω0 + ωi = nω p
i0 = − jω0Cnυi * + jω0C0υ0 ⎪⎭
(44)
Estas ecuaciones toman en cuenta la
posibilidad de una inversión de fase en
el proceso de mezcla. Es posible,
nuevamente, la notación compleja en
(43) y en (44) dado que una señal
compleja se refiere a su amplitud y su
fase
(42)
C(t)
is
gs
Li
Ci
L2
C2
gL
Fig. 5 Mezclador o capacidad con entrada y salida sintonizadas
Además, en cada línea de las
ecuaciones 43 y 44 todas las señales
complejas son de la misma frecuencia.
El circuito de entrada más la capacidad
C 0 está sintonizado a la frecuencia ωi ,
mientras que el circuito de salida más la
capacidad C 0 esta sintonizado a ω0 .
que tiene el valor óptimo Gmáx =
g s g L = ω0ωiC1
2
Se
considera
ω0 − ωi = nω p
primero
el
caso
y se sustituye en la
ecuación (43)
⎛
⎞
1
ii = is − υi ⎜⎜ g s +
+ jωi Ci ⎟⎟
jωi Li
⎝
⎠
(45)
⎞
⎛
1
i0 = −υ0 ⎜⎜ g L +
+ jω0C2 ⎟⎟
jω0 L2
⎠
⎝
(46)
esto da
⎛
⎞
1
+ jωiC0 ⎟⎟ − jωiCiυ0
is = υi ⎜⎜ g s +
jωi Li
⎝
⎠
is = g sυi − jωiCiυ0
(47)
0 = − jω 0 C1υ i +
⎛
⎞
1
+ υ 0 ⎜⎜ g L +
+ jω0 C 2 + jω 0 C 0 ⎟⎟
jω 0 L2
⎝
⎠
0 = − jω 0 C1υ i + g Lυ 0
(48)
debido a la condición de sintonización
ω0 2 L2 (C2 + C0 ) = ωi 2 Li (Ci + C0 ) = 1
Resolviendo para υ0 se tiene
υ0 =
jω0C1
i
2 s
g s g L + ω0ωiC1
(49)
La ganancia de potencia es, pues,
G = 4gs gL
υ0
is
2
4 g s g Lω0 C1
2
=
(g g
s
2
)
2 2
L
+ ω0ωiC1
(50)
ω0
si
ωi
(51)
Así el circuito tiene una considerable
ganancia de potencia si
ω0 >> ωi
En la figura 6 se representa un
esquema del escenario geométrico en el
que se produjo el accidente.
Las barras de hierro terminan en punta
de un grosor del orden de 1 mm, que
según lo estudiado en las inmediaciones
de la atmósfera entorno al hierro en esa
zona, se ioniza el aire. Entre las cuatro
barras se halla presente, entonces, una
mezcla de atmósfera y de iones que van
desde la línea de alta tensión de 13.3
KV y las barras quienes constituyen una
estructura de pararrayos.
Se halla presente también una
inductancia que va desde el cable de
13.3 KV y las barras de hierro, que
participaron en un circuito muy similar al
de la Fig.5 en el accidente. Del mismo
circuito g s y g L representarían la
conductancia de los brazos y Ci y C2
constituyen las capacidades que mira el
cable a lo largo de los brazos del
accidentado.
La frecuencia de bombeo es ω p y (51)
justifica el uso de las relaciones de
Manley-Rowe como efecto mariposa
que desencadena la descarga.
La señal is de la Fig. 5 es la que se
amplifica y es la que precipita el arco
que quemó los brazos del Arquitecto
Enríquez, a quien se lo ha representado
como el capacitor no lineal.
COLUMNA
DE
VARILLAS
80 cm
FILO DE LOZA
25 cm
HV 13.3KV RMS
(a)
VISTA SUPERIOR
COLUMNA
DE
VARILLAS
13.3KV
RMS
LINEA DE ALTO VOLTAJE
150 cm
100 cm
LOZA
(b)
VISTA LATERAL
Fig. 6 Esquema de la geometría en sitio de accidente
5. SISTEMA ELECTROMECÁNICO
Cuando un cuerpo de constante
dieléctrica ∈ se introduce en un campo
eléctrico, como se indica en la figura
que representa un condensador de
placas planas. Supondremos que no
existe fricción entre el dieléctrico (celular)
y la placa inferior.
l
S
d1
ε
ε0
m
+
h
-
Vo
d2
x
l-x
Fig. 7 Sistema Electromecánico
Despreciamos los defectos de los
bordes y asumimos que las placas del
condensador son cuadrados, lo mismo
con respecto a la pastilla dieléctrica de
espesor d 2 .
El sistema electromecánico anterior
puede representarse por el circuito
equivalente que se indica a continuación,
donde S es un interruptor. A t = 0 se
cierra S y t < 0 los condensadores están
descargados.
S
C1
+
V0
C
-
C2
Fig. 8 Circuito equivalente del sistema de fig. 7
La capacidad que ve la fuente es
CT = C +
C1 =
C1 C 2
C1 + C 2
∈0 xl
d1
C2 =
C=
∈0 l (l − x )
d1 + d 2
(54)
(52)
y
∈ xl
d2
(53)
CT =
∈0 l (l − x )
+
d1 + d 2
∈0∈ x 2l 2
⎛ ∈ xl ∈ xl ⎞
⎟
d1d 2 ⎜⎜ 0 +
d 2 ⎟⎠
⎝ d1
(55)
m&x& 1 ⎡ ∈0∈ l
∈ l ⎤
= ⎢
− 0 ⎥ = cons.
2
Vo
2 ⎣∈0 d 2 + ∈ d1 d1 + d 2 ⎦
Simplificando CT
CT =
∈0∈ xl
∈0 l (l − x )
+
d1 + d 2
∈0 d 2 + ∈ d1
(56)
&x& =
la energía potencial es
U=
(65)
q2
2CT
(57)
la barra dieléctrica es absorbida con
aceleración constante. En ese caso
x=
1
y la energía cinética T = mx& 2
2
(58)
donde m es la masa del dieléctrico (el
celular)
El Lagrangiano
Vo 2 ⎡ ∈0∈ l
∈ l ⎤
− 0 ⎥ = cons. = a
⎢
2m ⎣∈0 d 2 + ∈ d1 d1 + d 2 ⎦
L = T −U
(59)
La función de disipación de Rayleigh
F = −q&V0
( )
1 2
at y q = f t 2
2
⎡∈ l (l − x )
∈0∈ xl ⎤
q = V0 ⎢ 0
+
⎥
∈0 d 2 + ∈ d1 ⎦
⎣ d1 + d 2
(66)
si t = 0 x = 0
q1 =
V0 ∈0 l 2
d1 + d 2
(67)
(60)
en condiciones estacionarias x = l y
las ecuaciones del sistema son
∂L ∂ ∂L ∂F
−
=
∂x ∂t ∂x& ∂x&
(61)
∂L ∂ ∂L ∂F
−
=
∂q ∂t ∂q& ∂q&
(62)
que nos lleva al siguiente sistema de
ecuaciones diferenciales.
q
∈0 l (l − x )
∈0∈ xl
+
d1 + d 2
∈0 d 2 + ∈ d1
= V0
(63)
⎡ ∈0∈ l
∈ l ⎤
− 0 ⎥
q2 ⎢
⎣∈0 d 2 + ∈ d1 d1 + d 2 ⎦ = m&x& (64)
2
⎡∈0 l (l − x )
∈0∈ xl ⎤
2⎢
+
∈0 d 2 + ∈ d1 ⎥⎦
⎣ d1 + d 2
Elevando al cuadrado la ecuación (63) y
dividiendo para (64) obtenemos
q2 =
∈0∈ l 2V0
∈0 d 2 + ∈ d1
(d + d 2 ) ∈ = d1 + d 2
q2
= 1
q1 ∈0 d 2 + ∈ d1 ∈0 d + d
2
1
∈
(68)
(69)
como ∈>>∈0 para los ferro eléctricos
en alta frecuencia
q2
d
=1+ 2 >1
q1
d1
(70)
y tenemos la configuración de un
amplificador paramétrico.
La corriente será
⎡ ∈0 ∈ l
∈ l ⎤
i = q& = V0 x& ⎢
− 0 ⎥ + q1δ (t )
⎣∈0 d 2 + ∈ d1 d1 + d 2 ⎦
(71)
2
3
∈ l ⎤
V ⎡ ∈0 ∈ l
− 0 ⎥ t + q1δ (t )
i= 0 ⎢
2m ⎣∈0 d 2 + ∈ d1 d1 + d 2 ⎦
(72)
así que la corriente crece linealmente en
el intervalo de ir desde q1 a q2 y la
carga la hace de forma cuadrática.
Luego de ese intervalo la corriente se
hace cero. q1δ (t ) Representa la
corriente del transitorio al cerrar el
interruptor S.
i(t)
q,δ(t)
t
(a)
q(t)
q2
q1
t
(b)
Fig. 9 Evolución de la corriente y la carga del sistema
Considerando que l >> d1 + d 2 y ∈>>∈0
para la antena ferroeléctrica del celular
a baja frecuencia, (72) puede escribirse
como
i=
2
2.197 ∗ 1012
∗ (8.85 ∗ 10−12 ∗ 103 ) t
0.2
i=
2.197 ∗ 1012
∗ 7.83 ∗ 10 −17 t
0.2
2
3
V ⎛∈ l ⎞
i = 0 ⎜⎜ 0 ⎟⎟ t ,
2m ⎝ d1 ⎠
t>0
(73)
y tomando datos de V0 = 13KV ,
d1 = 10−3 m y m = 0.1Kg como la masa
del celular
i = 8.6 ∗ 10−4 t Amp.
(74)
valor de corriente que no explica la
magnitud del daño sufrido por la victima
del accidente.
6. MODELO DE AMPLIFICADOR
PARAMÉTRICO
y la corriente (74) debe multiplicarse por
este factor
Según la ecuación (66), la capacidad
diferencial es
q=
∈0∈ xl
dq ∈0 l (l − x )
(75)
=
+
∈0 d 2 + ∈ d1
dV0
d1 + d 2
en realidad &x& tiene una dependencia
cuadrática de senωt , con ω = 2πf y
f = 60 Hz . Esta será tomada en cuenta
como una frecuencia de bombeo.
Podemos generalizar el problema y
decir que C (t ) puede escribirse en
forma de Fourier.
∞
C (t ) = ∑ Cn cos nω p t
(76)
i = 3.51t Amp.
y esta corriente si es capaz de originar
daño
7. COMENTARIOS Y
CONCLUSIONES
-
El considerar a un dieléctrico, de
simplificadismo
modelo
electromecánico, no explica el
accidente.
-
Es
necesario
introducir
las
relaciones de Manley-Rowe de un
amplificador paramétrico en el rango
de las microondas (la presencia del
celular) para encontrar corrientes
que pueden originar daño.
-
El celular sufre una aceleración de 7
m/seg2
n=0
y usaremos la teoría de Manley-Rowe
de conservación de la potencia (1), (4)
P10
ω1
+
P11
=0
ω1 + ω2
(77)
de donde
−
(79)
BIBLIOGRAFÍA
P11 ω1 + ω2
ω
=
=1+ 2
P10
ω1
ω1
(78)
donde ω2 es la frecuencia de micro-
ondas del celular y ω1 los 60 Hz de la
línea de transmisión de alto Voltaje.
1).
M. J. Howea y D.V. Morgan.
Microwave devices. John Wiley
and Sons Ltda.. 1976
2).
Douglas
Moya.
Sistemas
Electromecánicos. EPN 1997
3).
Douglas
Moya.
Elementos
Semiconductores
usados
en
micro-ondas. II Jornadas de Ing.
Eléctrica. EPN 1982.
4).
Aldert Vander Ziel. Electrónica
física del estado sólido. Pág. 299305. PHI internacional, 1972
En este caso, la amplificación de la
corriente será
ω
ω2
i1
= 1+ 2 ≈
=
ω1
ω1
i2
10 9 Hz
= 4.082 ∗10 3
60 Hz