seme dif

1. Los enteros y los racionales: semejanzas y diferencias
1.1. Introducción. Es usual observar que en el trabajo con los números, algunas conclusiones y métodos
que son correctos y útiles en el contexto de los números enteros, se extienden a los racionales aún cuando
en el nuevo contexto carezcan de validez.
Por ejemplo, no es inusual que ante el pedido que se ordenen de menor a mayor los siguientes números:
0.9, 0.23 y 1 un alumno responda: 1 < 0.9 < 0.23. Esto se debe a una extrapolación de la siguiente
desigualdad que es correcta a nivel de los números enteros: 1 < 9 < 23, al caso de la representación decimal
de los racionales mencionados. Se podrı́a decir que el error responde a la lógica al extrapolar de un contexto
conocido a otro que se está conociendo.
Otra situación relacionada también con el orden, es que tratándose de fracciones se comparen en forma
2 1
independiente numerador y denominador como por ejemplo para ordenar y . En este caso, como nueve
3 9
2
1
es el mayor de los dı́gitos involucrados se escribe que < .
3
9
También se cometen errores cuando se extiende equivocadamente el concepto de sucesor y predecesor que
es válido para los enteros al campo numérico de los racionales en que no es válido. Por ejemplo, es frecuente
que los alumnos piensen que entre 0.3 y 0.4 no hay ningún otro número racional.
Otra confusión de ese tipo, aparece cuando se usa la representación decimal y se piensa que a semejanza
de lo que sucede con los enteros, un número con más cifras es automáticamente mayor que otro con menos
cifras (por ejemplo que 1,8 es mayor que 2).
Si bien es útil que para trabajar sobre los errores se marquen en todas las circunstancias las diferencias,
también es muy importante tener en cuenta que no todo son diferencias entre los enteros y los racionales.
Algunas de las propiedades y de las técnicas de trabajo con los enteros, se generalizan a los racionales. Por
ejemplo, de la misma forma que todo entero tiene un opuesto (por ejemplo el opuesto de 2 es -2 y el de -7
es 7), también todo número racional tiene un opuesto. Y lo mismo vale para muchas de las propiedades
operatorias.
Otra semejanza importante es que tanto los enteros como los racionales admiten una representación
decimal, aunque en el caso de los racionales en algunos casos esta representación puede ser infinita –ver las
notas tituladas: Los racionales.
El objetivo de estas notas –y los correspondientes ejercicios– es el de ilustrar este tipo de situaciones de
semejanzas y de diferencias. Comenzaremos con las semejanzas más notorias y luego trataremos algunas de
las diferencias más importantes teniendo en cuenta sobre todo los errores más frecuentes realizados por los
alumnos.
Recordamos que los enteros son:
Z = {· · · , −n, · · · , −1, 0, 1, · · · , n, · · · },
y los racionales son:
a
: a, b ∈ Z , b 6= 0}.
b
n
Un entero n se puede interpretar como el racional y de esta forma se logra que Z ⊂ Q1.
1
En estas notas la operación de suma se representa siempre como + y la operación de producto se representa
de las siguientes formas: a × b = a.b = ab, siendo la más usual la tercera excepto en caso que pueda haber
confusiones.
Q={
1.2. Las semejanzas.
1En estas notas trabajaremos principalmente con enteros positivos –números naturales– y con racionales positivos. Haremos
algunos comentarios sobre el caso general en el apéndice.
1
2
1.2.1. Las operaciones. Tanto en los enteros Z como en los racionales Q, se pueden realizar las operaciones
de suma y de producto. Ellas tienen las propiedades algebraicas usuales –asociativa, conmutativa, distributiva, existencia del neutro de la suma y del producto –el cero y el uno– y existencia del opuesto –y
consecuentemente de la resta–. Todos estos temas se desarrollan en las notas: “Los naturales y los enteros”
y “Los racionales” elaboradas por el programa ProRazona. Como se explica en las notas, una diferencia
central entre ambos campos numéricos es que para los enteros en general no hay inverso multiplicativo ni
división exacta2.
1.2.2. La representación decimal. Tanto los números enteros como los racionales admiten una representación
decimal. Esta representación consiste en escribir a los números –ya sean enteros o racionales– a partir de
las cifras {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}3.
En el caso de los números enteros no aparecen términos a la derecha de la coma, que por ser innecesaria
se omite. Por ejemplo el número dos mil doce, se representa como 2012 y eso corresponde a la igualdad
2012 = 2000 + 10 + 2 = 2 · 103 + 0 · 102 + 1 · 10 + 2. Frecuentemente se omiten los sumandos que van
multiplicados por cero y en los que están multiplicados por uno también se omite el correspondiente factor
uno.
Por ejemplo 10111 = 104 + 102 + 10 + 1.
Los números racionales también admiten una representación decimal que puede ser finita o infinita y que
–salvo si el número es entero– necesariamente incluye una coma y términos de ambos lados de la coma. En
el caso que sea infinita habrá una periodicidad –o sea habrá un bloque que se repite indefinidamente a la
izquierda de la coma. Esto se explica en detalle en las notas mencionadas anteriormente.
5
1
Por ejemplo el número admite la representación decimal 0, 5 y el número = 2, 5 tiene a 2 como parte
2
2
entera y 0, 5 como parte fraccionaria –también llamada parte decimal4.
1
1
es un poco más compleja. Esta serı́a
= 0, 333 . . ., donde los puntos
La representación decimal de
3
3
1
suspensivos indican que tenemos una repetición infinita del número 3. En este sentido tenemos que =
3
3
0, 333 . . . 6= 0, 3 = .
10
1
= 0, 142857142857 . . ., donde el “paquete” 142857 se repite indefinidaLa representación decimal de
7
mente.
Cuando se da una situación como las anteriores en que un paquete de cifras se repite indefinidamente se
escribe una lı́nea arriba de las cifras que se repiten.
Por ejemplo
1
1
1
= 0, 3
= 0, 142857
= 0, 16.
3
7
6
1
1
El paquete que se repite se llama perı́odo, el perı́odo de = 0, 333 . . . es 3 y el de = 0, 142857142857 . . .
3
7
es 142857.
1
1
En las representaciones finitas, por ejemplo en el caso de = 0, 5 o = 0, 25, se puede también interpretar
2
4
1
1
que hay un cero que se repite indefinidamente, o sea que podemos pensar que = 0, 50 y = 0, 250. Estas
2
4
representaciones en definitiva también pueden verse como periódicas.
2Vale la pena aclarar que los únicos enteros que admiten inverso multiplicativo son el uno y el menos uno, mientras que en
casos bastante generales puede asegurarse la existencia de la división exacte, p.e. 3, 6, 9, 12, · · · son todos divisibles por tres.
3No sólo los racionales admiten una representación decimal sino que la admite cualquier número real, la diferencia importante
es que en la representación decimal de los racionales tendremos siempre una periodicidad –ver las notas Los racionales elaboradas
por el programa ProRazona.
4También se puede representar la fracción cinco medios como 5 = 2, 5 = 2 1 , lo que se llama a veces la representación mixta.
2
2
3
Cuando representamos racionales menores que uno, la parte entera es cero y son de la forma de un cero
y una coma seguida de dı́gitos, como por ejemplo 0, 3. Cuando el racional es mayor que uno, por ejemplo
7
7
, su representación decimal incluye una parte entera y es de la forma = 2, 3.
3
3
En resumen, tanto los enteros como los racionales admiten una representación decimal, pero en el caso
de los enteros esta representación no tiene términos luego de la coma.
1.3. Las diferencias.
1.3.1. La representación. A nivel de la representación –si bien tanto los enteros como los racionales admiten
una representación decimal– y en ese sentido encontramos semejanzas, se presenta una gran diferencia
cuando a los racionales los representamos como fracciones.
Un número entero se representa por:
Uno o varios dı́gitos que van del cero al nueve, además el número posee un signo que en caso de ser positivo
se omite. Por ejemplo el número siete se representa como 7 el dos mil doce como 2012 y el menos treinta
y siete5 como −37. Esa representación se puede tomar ya sea como un paquete indiferenciado o como el
resultado de una operación que involucra potencias positivas o nulas de diez interpretando siempre que
100 = 1 y que 101 = 10. Por ejemplo:
• Siete se interpreta simplemente como 7 o si se quiere como 7 = 7 · 100 .
• 2012 = 2 · 103 + 0 · 102 + 1 · 10 + 2.
• 11111 = 1 · 104 + 1 · 103 + 1 · 102 + 1 · 10 + 1.
Un número racional se representa por:
Un par de enteros uno de los cuales se llama numerador y otro –que no puede ser cero– que se llama
a
denominador. Si a y b son dichos números el racional correspondiente se escribe como .
b
a
Además de que necesitamos un par de enteros para representar al número racional , este par de enteros
b
a
13a
−a
no es único –de hecho hay infinitos pares que representan el mismo racional. Por ejemplo =
=
b
13b
−b
1
2
6
100
o más concretamente
=
=
=
, etc. Dos pares que representan el mismo racional se dicen
2
4
12
200
equivalentes. El par (a, b) es equivalente con (c, d) si a × d = b × c. Eso se simboliza escribiendo que
a
c
(a, b) ∼ (c, d) y en ese caso = y esto se lee: “a sobre b es igual a c sobre d ”. El hecho que un número
b
d
racional admita muchas representaciones como par de enteros, es una de las diferencias sustanciales entre
los enteros y los racionales y esto lleva frecuentemente a dificultades en la comprensión y el trabajo con este
tipo de números. Sin embargo, a pesar de admitir infinitas representaciones como un par de enteros, hay
una de ellas, llamada la representación irreducibe que tiene propiedades que la distinguen de las otras. Esto
lo veremos en el Apéndice 2.
En el gráfico de abajo ilustramos la igualdad
10
5
=
2
4
|
0
|
1
4
•
1
2
|
3
4
•
1
|
5
4
•
3
2
|
7
4
•
2
|
9
4
• 52 =
10
4
Ejercicio 1.3.1. Representar todos los puntos del segmento dibujado arriba en términos de expresiones
con denominador 4. ¿Se pueden representar todos mediante expresiones con denonominador 2?¿ Cuáles se
pueden representar mediante expresiones con denonominador 8? ¿Cuáles se pueden representar mediante
expresiones con denonominador 3?
5En el apéndice consideraremos representaciones de números negativos como el -37.
4
1.3.2. El orden. En el conjunto de los enteros el orden queda definido de la siguiente forma: a < b si b está
a la derecha de a en la representación de los enteros en la recta real o en el listado de los enteros como
Z = {· · · , −n, · · · , −1, 0, 1, · · · , n, · · · } 6, por ejemplo:
−27 < −3 < 2 < 2012.
Desde el punto de vista gráfico en la recta real –ver las notas tituladas “Los naturales y los enteros”–
tenemos la siguiente representación que nos permite visualizar el orden en el caso anterior:
•
•
−27 · · · · · · −3
|
−2
|
−1
|
|
0
1
•
2
|
3
············
•
2012
En el conjunto de los racionales representados como fracciones:
a
: a, b ∈ Z, b 6= 0},
b
el orden es algo más complejo pues para representar un racional necesitamos un par de enteros y para
representar dos racionales necesitamos cuatro. El orden involucrará entonces esos cuatro enteros.
La forma más rápida de describir el orden es la siguiente: un número racional positivo7 siempre se puede
representar con denominador y numerador positivos.
a c
De esta forma si y son dos racionales representados con numerador y denominador positivos, entonces:
b d
c
a
<
si a × d < b × c.
b
d
Q={
De esta forma una desigualdad entre racionales se transforma en una desigualdad ahora en Z (observar que
tanto ad como bc son enteros) que involucra a los cuatro elementos constitutivos de los dos racionales.
1
1
Ejemplo 1.3.2.
• En el caso en que a = c = 1 y b, d > 0, para verificar la desigualdad < , debemos
b
d
saber que d = 1d < b1 = b, o sea que concluimos que:
1
1
< si y sólo si d < b.
b
d
1
1
• Por ejemplo < porque 3 < 5.
5
3
• Consideremos el caso en que ambos racionales tienen el mismo denominador que suponemos positivo.
a c
a
c
Si aplicamos el criterio anterior para comparar y . Sabemos que < si y solo si ab < cb y como
b b
b
b
b es positivo lo podemos cancelar y concluimos que la desigualdad de las fracciones es equivalente a
la desigualdad de los numeradores. Entonces, si b > 0:
a
c
< si y solo si a < c.
b
b
1
3
• Por ejemplo < porque 1 < 3.
5
5
• En la recta real las desigualdades anteriores se ilustran abajo:
|
0
|
1
5
|
1
3
|
3
5
6Como b está a la derecha de a si y sólo si b se obtiene a partir de a sumándole un número natural, se podrı́a definir en forma
más precisa –ver las notas tituladas: “Los naturales y los enteros”– el orden de la siguiente forma: a < b si y sólo si b − a ∈ N.
7En el apéndice se considerará el caso de racionales no necesariamente positivos.
5
Como observamos más arriba vemos es insuficiente comparar en forma independiente numerador y denominador para establecer relaciones de orden entre dos fracciones, es necesario considerar todas las componentes
de los racionales involucrados.
Sin embargo se pueden hacer algunas reducciones usando el hecho que los racionales admiten diferentes
representaciones.
2
7
Por ejemplo si tenemos que comparar con
usando el método general, esta desigualdad se reduce a
3
10
2
7
la desigualdad 10 · 2 = 20 < 21 = 7 · 3 de donde concluimos que < .
3
10
Otra posiblidad es usar el método de unificar denominadores escribiendo ambas fracciones con el mismo
20
7
21
2
y
= . Una vez hecho eso basta comparar los numeradores y como
denominador. Es claro que =
3
30 10
30
2
7
20 < 21 concluimos que < .
3
10
1.3.3. El orden y la representación decimal. Queremos considerar el orden y también otras propiedades de
los racionales en términos de la representación decimal.
(1) La representación decimal y la representación como fracción. En primer lugar consideraremos cómo pasar de la representación decimal de un número racional a su representación fraccionaria
y viceversa.
a
Dado un número racional en la forma para hallar su representación decimal, se procede mediante
b
divisiones sucesivas como se ilustra en el caso que sigue8:
9
Para hallar la representación decimal de
procedemos como
7
sigue:
9 ÷ 7 = 1 resto 2
20 ÷ 7 = 2 resto 6
60 ÷ 7 = 8 resto 4
40 ÷ 7 = 5 resto 5
50 ÷ 7 = 7 resto 1
10 ÷ 7 = 1 resto 3
30 ÷ 7 = 4 resto 2
20 ÷ 7 = 2 resto 6
60 ÷ 7 = 8 resto 4
40 ÷ 7 = 5 resto 5
..
.
Estas operaciones se ilustran en la figura de abajo:
8Por más detalles ver las notas “Los racionales” mencionadas anteriormente
6
Por lo tanto
9
= 1, 285714.
7
En este caso tenemos una representación infinita y periódica. Cuando se repite un resto, en este
caso el 2, los restos sucesivos también se repiten y se obtiene la periodicidad.
Es claro que este procedimiento de divisiones sucesivas produce una representación periódica o
una representación finita. La representación finita se obtiene cuando en determinado momento se
obtiene un resto cero como se ilustra el siguiente ejemplo.
71
procedemos como
Para hallar la representación decimal de
16
sigue:
71 ÷ 16 = 4 resto 7
70 ÷ 16 = 4 resto 6
60 ÷ 16 = 3 resto 12
120 ÷ 16 = 7 resto 8
80 ÷ 16 = 5 resto 0
Por lo tanto
71
= 4, 4375.
16
Para realizar el proceso opuesto en que a partir de la representación decimal pretendemos encontrar
una fracción correspondiente, debemos tomar ciertos cuidados.
Si la representación es finita el proceso es simple y siempre se obtiene con un denominador que es
1123
375
231
una potencia de diez, por ejemplo: 1, 123 =
, 3, 75 =
y 23, 1 =
.
1000
100
10
Ilustremos con ejemplos el procedimiento para calcular la fracción correspondiente a un número
racional de representación periódica. Por ejemplo si queremos calcular una fracción que me da como
resultado 0, 12 procedemos como sigue.
7
x = 0, 12
100x = 12, 12
100x − x = 12
99x = 12
12
x=
99
Si el número fuera por ejemplo 5, 7 se separa como 5 + 0, 7 y se calcula primero la representación
como fracción de 0, 7 por el mismo procedimiento que antes.
5, 7 = 5 + 0, 7
x = 0, 7
10x = 7, 7
10x − x = 7
9x = 7
7
x=
9
5, 7 = 5 + 0, 7 = 5 +
7
52
=
9
9
(2) La representación decimal y el orden.
Si bien, la relación de orden entre dos números enteros –que suponemos positivos– es intuitivamente evidente, puede valer la pena considerarla desde la siguiente perspectiva.
Para ordenar dos números enteros dados en su representación decimal, el primer paso consiste en
escribirlos con la misma cantidad de dı́gitos usando el principio que el cero a la izquierda no tiene
ningún valor.
Por ejemplo, supongamos que queremos comparar los números 1324 y 234. Primero escribimos
234 como 0234 y luego nos planteamos el problema de comparar dos números que ahora cuentan
con cuatro dı́gitos: 0234 y 1234. Para compararlos los empezamos a recorrer de izquierda a derecha.
Como el primer dı́gito de 0234 es menor que el primer dı́gito de 1234 concluimos que 234 = 0234 <
1234.
En situaciones menos evidentes, p.e. si queremos comparar 12345678777 con 12345679333 hacemos
el mismo procedimiento. Vamos de izquierda a derecha con los dı́gitos y en este caso tenemos que
los siete primeros dı́gitos, que son 1,2,3,4,5,6,7 son iguales. El octavo dı́gito del primer número es 8
y del segundo número es 9. Esto nos asegura que 12345678777 < 12345679333 independiente de lo
que pasa después del octavo dı́gito.
En definitiva, para decidir si un entero es menor que otro –suponiendo que son ambos positivos–
se escriben ambos con la misma cantidad de dı́gitos –agregando eventualmente ceros a la izquierda–
y se van comparando los dı́gitos de izquierda a derecha hasta el momento que uno de los dı́gitos es
menor que el correspondiente en el otro número. Sabremos de ese modo cuál es menor. En particular
de ahı́ se deduce que cualquier número que tenga menos dı́gitos que otro es menor. Esto puesto que
cuando los escribimos como teniendo la misma longitud, le agregamos ceros que son menores que
cualquier otro número.
Por ejemplo: 1999 < 11111 porque lo que tenemos que comparar son 01999 con 11111 y como
cero es menor que uno concluimos lo que querı́amos.
Para números racionales se procede de manera semejante, ya sea su representación finita o infinita.
8
Para poder ordenar racionales necesitamos en forma semejante a lo anterior agregarle dı́gitos a
uno de ellos para luego poderlo comparar con el segundo.
Esto es posible pues a diferencia de lo que sucedı́a con los enteros, agregar ceros a la derecha de
la coma no afecta el resultado siempre que la representación del número sea finita9.
Por ejemplo 1, 2 = 1, 20 = 1, 200 = · · · y también 7, 123123 = 7, 1231230 = 7, 12312300 = · · · .
Ahora queremos ilustrar porqué el número 17, 3 es menor que 17, 3.
Al agregar los ceros para que sean comparables, deberı́amos considerar 17, 3000 · · · y 17, 3333 · · ·
y si los recorremos de izquierda a derecha como antes, las tres primeras cifras son iguales (el uno el
siete y el tres) pero en la cuarta cifra (la segunda después de la coma) tenemos una diferencia, en
el primer número aparece el cero y el en segundo el 3. De esta forma concluimos que 17, 3 < 17, 3
independientemente de lo que sucede con el resto de las cifras.
Por otro lado obtenemos la misma conclusión si los representamos como fracciones, el primero es
17, 3 = 173/10 y el segundo es 17, 3 = 17 + 1/3 = 52/3. Ahora:
173
52
<
10
3
si
519 = 173 × 3 < 10 × 52 = 520.
De esta forma también concluı́mos que 17, 3 < 17, 3.
En definitiva, al considerar el orden y la representación decimal se ven algunas semejanzas y
algunas diferencias entre los enteros y los racionales. Como semejanza tenemos que en ambos casos
hay un procedimiento mecánico para decidir sobre el orden entre dos números. El procedimiento
consiste en agregar ceros hasta obtener la misma cantidad de dı́gitos para luego ir recorriendo el
número de izquierda a derecha.
Sin embargo hay también diferencias significativas. Por ejemplo, no basta con que un número
fraccionario tenga más dı́gitos que otro para que sea mayor, cosa que sı́ sucede entre enteros. Por
ejemplo 567 < 1234 porque 1234 tiene cuatro dı́gitos –y consecuentemente es mayor que mil– mientras
que 567 al tener tres es menor que mil. Por otro lado 0, 567 > 0, 1234 y esto se puede comprobar
mediante el procedimiento explicado más arriba.
(3) El concepto de sucesor y predecesor en Z, la densidad de Q
Una de las diferencias más importantes entre los enteros y los racionales es que fijado un racional,
1
por ejemplo siempre podemos encontrar otro racional tan cerca como se quiera del original, esta
2
propiedad se conoce con el nombre de densidad de Q.
Esta propiedad no vale para los enteros pues todo entero tiene un sucesor y un predecesor.
1
Por ejemplo, si representamos a = 0, 5 es claro que 0, 51 es otro racional (que vale 51/100) que
2
está muy cerca de 0, 5. Esto porque 0, 51 − 0, 5 = 0, 01 = 1/100 por lo que la diferencia entre ambos
es de un centésimo.
Si quisiéramos aproximarnos más aún a 0, 5 podrı́amos tomar 0, 501 (que de hecho vale 501/1000)
1
y al compararlo con el original tenemos 0, 501 − 0, 5 = 0, 001 =
.
1000
Si el racional fuera de representación decimal infinita se procede en forma semejante. Si el racional
12
es 0, 12 =
podemos tomar por ejemplo 0, 122212 · · · y de esa forma 0, 122212 · · · − 0, 121212 · · · =
99
1
12
1
0, 001 =
. O sea que el racional 0, 122212 · · · se aproxima al original 0, 12 =
en
.
1000
99
1000
Ejercicio 1.3.3. Escribir el número racional 0, 122212 como fracción.
9Observar que agregar ceros a la derecha en representaciones infinitas carece de sentido. ¿Cómo podrı́amos agregar un cero
a la derecha de la infinita sucesión de tres en la escritura de
1
= 0, 333333 · · · ?
3
9
Otra propiedad relacionada con la anteriormente mencionada para los números racionales, es la
siguiente. Dados dos números racionales siempre existe uno que está entre ellos –para obtenerlo
basta tomar el promedio–.
Ejercicio 1.3.4. (a) Mostrar usando representaciones decimales que entre los racionales 0, 12 y
0, 13 hay algún número racional.u
(b) Dado el racional de representación decimal 0, 31 hallar un racional que se aproxime a él en
1
menos de
y que no sea el original.
100
(c) ¿Se pueden hacer aproximaciones por ambos lados tan chicas como se quieran? O sea, preguntamos por ejemplo, si se pueden encontrar números mayores que 0, 31 que lo aproximan en
1
y otro que sea menor y lo aproxime también en menos del mismo valor.
menos de
100
Por otro lado, si nos limitamos a trabajar con los números enteros la propiedad de la aproximación
no se cumple y la de la existencia de enteros intermedios no vale.
Si miramos la propiedad de la aproximación observamos que los dos enteros más próximos a n son
n+1 y n−1, que se llaman el sucesor y el predecesor. Es claro entonces que la aproximación máxima
que se puede obtener al número n es de una unidad. Como hemos observado esto es notoriamente
diferente de lo que sucede en Q.
Por otro lado, dados dos enteros no siempre existe un entero entre ellos, por ejemplo entre n y
n + 1 no hay ningún entero.
Ejercicio 1.3.5. Explicar porque falla el método de tomar el promedio en el caso de los enteros.
2. Apéndice 1: enteros y racionales negativos
En este Apéndice para completar las observaciones anteriores que están concentradas en el caso de números
positivos, consideraremos el caso de números enteros y racionales negativos.
(1) La representación decimal. En el caso que el número sea negativo, simplemente se le agrega un
signo de menos antes de la representación decimal del correspondiente número positivo. Por ejemplo
1
−10111 = −(104 + 102 + 10 + 1) y el − admite la representación decimal −0, 5.
2
1
(2) Otros ejemplos son: −37 = −(3 · 10 + 7), − = −0, 3.
3
(3) El orden entre fracciones no necesariamente positivas. Un número racional cualquiera –
negativo o positivo– siempre se puede representar con denominador positivo. Por ejemplo, el racional
1
−1
1
−11
1
=
, el racional ya está expresado como queremos y el racional −11 =
, etc. En
− =
2
−2
2
2
1
a c
este caso, si y son dos racionales representados con denominadores positivos, entonces:
b d
a
c
<
b
d
si ad < bc.
De la misma forma que antes, una desigualdad entre racionales se transforma en una desigualdad
ahora en Z (observar que tanto ad como bc son enteros) y que involucra a los cuatro elementos
constitutivos de los dos racionales.
1
1
(4) En el caso en que a = c = 1 y b, d < 0, para verificar la desigualdad
< , debemos primero
b
d
escribirlos con denominador positivo. O sea que b = −B y d = −D con B, D > 0 y en ese
1
−1
1
−1
−1
−1
caso escribimos:
=
y
<
. Una vez hecho eso observamos que
<
si y sólo si
b
B
d
D
B
D
−1 · D < −1 · B o sea que −D = d < −B = b. Llegamos entonces a la misma conclusión que antes
aún cuando los denominadores sean negativos.
10
1
1
< si y sólo si d < b.
b
d
1
1
<
.
−2
−3
(5) Consideremos el caso en que ambos racionales tienen el mismo denominador que suponemos positivo.
a
c
a c
Si aplicamos el criterio anterior para comparar y . Sabemos que < si y solo si ab < cb y como
b b
b
b
b es positivo lo podemos cancelar y concluimos que la desigualdad de las fracciones es equivalente a
la desigualdad de los numeradores. Entonces, si b > 0:
Por ejemplo
a
c
< si y solo si a < c.
b
b
(6) El orden en el caso de números racionales cualesquiera también se puede ver de la siguiente manera. Si
r, s ∈ Q son racionales cualesquiera y los queremos ordenar, se pueden dar las siguientes situaciones.
(a) Tanto r como s son positivos. En ese caso se procede como indicamos anteriormente.
(b) Uno es positivo y el otro es negativo. En ese caso es claro que el negativo será menor que el
positivo.
(c) Ambos son negativos. En ese caso se toman los opuestos que son positivos R = −r y S = −s.
El orden entre r y s es el contrario del orden entre R y s. Por ejemplo: si queremos comparar
−1, 3 con −1, 3 y con −1 en primer lugar consideramos sus opuestos: 1, 3 , 1, 3 y 1, como
1 < 1, 3 < 1, 3, concluimos que 1, 3 < −1, 3 < −1.
••
−1
−1.3 −1.3
•
•
0
1
•
••
1.3
1.3
3. Apéndice 2: más sobre las representaciones de los racionales
3.1. Números con varias representaciones decimales. En primer lugar realicemos el cálculo de 0, 9.
x = 0, 9
10x = 9, 9
10x − x = 9
9x = 9
x=1
De esta forma nos encontramos con la sorpresa de que la igualdad 1 = 0, 9 es válida.
Esto tiene importantes consecuencias. La primera es que la representación decimal de un racional no es
única.
Por ejemplo podemos representar 2 = 1, 9, 2012 = 2011, 9, etc.
Por otro lado es claro que de la igualdad
1 = 0, 9
se deduce dividiendo por 10, por 100,... que
0, 1 = 0, 09
0, 01 = 0, 009...
Ejercicio 3.1.1.
(1) Mediante la representación de 0, 9, 0, 99, 0, 999, .. en la recta real, interpretar la
igualdad 0, 9 = 1.
(2) Mostrar que valen las igualdades 1, 25 = 1, 249, 12345678, 12345678 = 12345678, 123456779.
(3) Escribir otras igualdades del mismo tipo.
11
(4) Sea r un número racional de representación finita (o sea con la propiedad que a la derecha de la
coma hay solo una cantidad finita de cifras, como por ejemplo los considerados anteriormente: 1, 25,
12345678, 12345678). Probar que r se puede representar con una cantidad infinita de nueves.
3.2. Números racionales escritos como fracciones irreducibles. Una fracción p/q se dice que es
irreducible, si no hay factores comunes al numerador y al denominador.
Por ejemplo 2/3 es irreducible pero 4/6 no lo es.
Es fácil ver que todo número racional se representa por una fracción irreducible. Para probarlo, basta
tomar una fracción cualquiera y eliminar todos los factores comunes al numerador y al denominador. Al
final del proceso se llega a una fracción irreducible que representa al mismo racional que la original.
Por ejemplo 30/45 = 10/15 = 2/3.
Un resultado importante que aparece probado en las notas “Los racionales” asegura que si se tienen dos
representaciones del mismo número racional r = a/b = c/d donde la primera representación es irreducible,
entonces c = ma y d = mb para algún entero m.
O sea, estamos diciendo que si conocemos la representación irreducible de un racional, conocemos todas
las otras que se obtienen multiplicando el numerador y el denominador por el mismo entero.