20.- Estática del sólido rígido.

20.- Estática del sólido rígido.
§20.1. Estática (587); §20.2. Equilibrio del sólido rígido (588); §20.3. Fuerzas aplicadas a
un sólido rígido (589); §20.4. Ecuaciones cardinales de la estática (590); §20.5. Centro de
gravedad (592); §20.6. Sistemas con ligaduras. Grados de libertad (594); §20.7. Estática del
sólido rígido sujeto a ligaduras (596); §20.8. Diagrama del cuerpo libre (600);
§20.9. Estática de un sistema de cuerpos rígidos (602); §20.10. Concepto de desplazamiento
virtual (604); §20.11. Principio de los trabajos virtuales (605); Problemas (611)
§20.1. Estática.- La Dinámica es la parte de la Mecánica en la que se estudia
la relación existente entre el movimiento de un cuerpo y sus causas. Nos enseña que
dicho movimiento depende de la masa del cuerpo y de las acciones o fuerzas que
ejercen sobre él otros cuerpos que constituyen su medio ambiente. Los efectos de
dichas fuerzas pueden contrarrestarse entre sí, dando lugar a una situación análoga
a la que se presentaría si no actuase fuerza alguna sobre el cuerpo. El capítulo de la
Mecánica que estudia sólo aquellos sistemas en los que las fuerzas actuantes se
contrarrestan, recibe el nombre de Estática.
La Estática está íntimamente relacionada con el concepto de equilibrio, y puede
definirse como aquella parte de la Mecánica que trata del equilibrio de los sistemas
materiales, entendiéndose por equilibrio aquella configuración del sistema material
que permanece invariable bajo la acción de un sistema de fuerzas. Esta definición nos
presenta a la Estática como la parte de la Mecánica que estudia las condiciones que
deben satisfacer los sistemas de fuerzas para que al actuar sobre un sistema material
no se alteren los parámetros que determinan la posición y configuración de éste.
En una lección anterior nos ocupábamos de la Estática de la partícula y decíamos
que ésta se encuentra en equilibrio en un referencial cuando es nula su aceleración
en ese referencial. Esta definición de equilibrio implica que la resultante de todas las
fuerzas que actúan sobre la partícula debe ser nula; esto es
R
i
Fi
0
[20.1]
En definitiva, la partícula se encuentra en equilibrio, bajo la acción de un sistema de
fuerzas, si su estado de movimiento es el que corresponde a una partícula libre
(ausencia de fuerzas); esto significa que su movimiento es rectilíneo y uniforme
(aceleración nula).
Física Universitaria
587
588
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
¿Qué entendemos por equilibrio de un sólido rígido? ¿Cuáles deberán ser las
condiciones que satisfagan las fuerzas que actúen sobre él para que el equilibrio sea
posible? La respuesta a estas dos preguntas es el objetivo fundamental de esta
lección.
§20.2. Equilibrio del sólido rígido.- Contestaremos a la primera de las dos
preguntas anteriores estableciendo una analogía entre el equilibrio de la partícula y
el del sólido rígido, hasta donde ello sea posible. De ese modo, diremos que el sólido
rígido se encuentra en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas si su estado
de movimiento es el que correspondería a un sólido rígido libre de acción exterior;
pero ¿qué tipo de movimiento presenta el sólido rígido libre?
Sabemos que el movimiento más general de un sólido rígido es el rototraslatorio;
esto es, compuesto de una rotación y una traslación. Sabemos, además, que el centro
de masa del sólido rígido (al igual que el de cualquier sistema material) se mueve
como si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido rígido estuviesen
aplicadas en él. En ausencia de fuerzas, el centro de masa del sólido rígido se mueve
con velocidad constante (movimiento rectilíneo y uniforme). Así pues, el sólido
rígido se encuentra en equilibrio de traslación en un referencial cuando la aceleración
de su centro de masa es nula en ese referencial.
En cuanto al equilibrio de rotación no podemos seguir con la misma analogía (ya
que la partícula no rota). Veremos en las lecciones siguientes que cuando un sólido
rígido utiliza uno de sus ejes principales de inercia como eje de rotación no muestra
tendencia alguna a abandonar ese eje y no ejerce reacciones sobre los apoyos del
mismo. Por esa razón los ejes principales del sólido reciben también el nombre de
ejes libres. Veremos también que en esas condiciones el movimiento de rotación del
sólido continúa sin necesidad de la intervención de momentos externos; su momento
angular permanece constante y, al serlo también su momento de inercia, su velocidad
angular también será constante. Así, podemos definir el equilibrio de rotación del
sólido rígido como la ausencia de aceleración angular con respecto a cualquier eje
libre y fijo (en cuanto a su orientación en el espacio, sin descartar la posibilidad de
que dicho eje se traslade paralelamente a sí mismo) en un cierto referencial.
Las definiciones dadas anteriormente para los equilibrios de traslación y de
rotación no exigen que el cuerpo se encuentre en reposo en el referencial elegido,
sino solamente que no tenga aceleración (de traslación y angular, respectivamente)
en dicho referencial. Así, el sólido rígido en equilibrio puede estar moviéndose de
modo que su centro de masa lo haga con velocidad constante (vcm = cte) y que la
rotación tenga lugar en torno a un eje libre de orientación fija en el espacio con
velocidad angular constante (ω = cte). Si el sólido está realmente en reposo en el
referencial elegido, esto es si vcm = 0 y ω = 0, diremos que su equilibrio es estático.
Sin embargo, como veremos posteriormente, las condiciones que deben satisfacer los
sistemas de fuerzas que actúen sobre el cuerpo son las mismas ya sea que el cuerpo
se encuentre en equilibrio estático o no-estático.
Por otra parte, conviene destacar que en principio la Estática no presupone la
elección de un referencial inercial, ya que un observador situado en un referencial noinercial detectaría unas fuerzas que actuarían sobre el cuerpo y que provienen de la
falta de inercialidad de su referencial (las fuerzas de inercia) que para él son tan
589
§20.2.- Equilibrio del sólido rígido.
legítimas y tan activas como las demás fuerzas que puedan actuar sobre el cuerpo y
que provengan de la presencia de otros cuerpos en sus cercanías.
§20.3. Fuerzas aplicadas a un sólido rígido.- Con anterioridad hemos definido el sólido rígido como aquel sistema de partículas en el que la distancia entre dos
cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso de cualquier proceso
físico. Esta definición es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo
rigor, no existe, ya que todos los cuerpos reales se deforman siempre, en mayor o
menor grado, bajo la acción de las fuerzas. Sin embargo, si esas fuerzas son
suficientemente poco intensas, las deformaciones que producen al actuar sobre un
gran número de cuerpos reales son despreciables; dichos cuerpos serán considerados
como rígidos o indeformables. En ese sentido, el sólido rígido es sólo una
idealización y extrapolación (para fuerzas poco intensas) del sólido real.
¿Cómo se comportan las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido? En las
lecciones anteriores hemos insistido en el carácter vectorial de las fuerzas y hemos
visto que cuando varias fuerzas actúan sobre una partícula, el efecto de todas ellas
en conjunto es el mismo que produciría una única fuerza resultante que es la suma
vectorial de todas ellas (principio de superposición). No encontrábamos ninguna
dificultad para efectuar dicha suma al estar todas las fuerzas aplicadas a un mismo
punto.
En cambio, en el caso de un sólido rígido, las fuerzas que actúan sobre él estarán
aplicadas en distintos puntos del sólido y sólo la experiencia nos permitirá establecer
el método que debemos seguir para reducir el sistema de fuerzas a otro más sencillo.
Experimentalmente se pueden comprobar los dos postulados siguientes, sobre los que
cimentaremos la Estática del Sólido Rígido:
(1) Carácter vectorial de las fuerzas.- Un sistema de fuerzas que actúa
sobre un mismo punto de un sólido rígido puede ser sustituido por una
fuerza única, la resultante del sistema, obtenida sumando vectorialmente
todas las fuerzas que constituyen el sistema (Figura 20.1a). O sea
[20.2]
(2) Condición estática de rigidez.- Los efectos producidos por dos fuerzas
iguales y opuestas, F y -F, que actúan sobre una misma recta directriz, se
neutralizan mutuamente, aun cuando no estén aplicadas a un mismo punto
del sólido rígido.
En efecto, puesto que la distancia entre los puntos A y B (Figura 20.1b) debe permanecer invariable y
puesto que el único efecto que pueden producir tales fuerzas es un desplazamiento a lo largo de la recta
AB, los efectos respectivos deberán neutralizarse.
Admitidos los dos postulados anteriores, también deberemos admitir que:
Las fuerzas aplicadas a un sólido rígido puedan representarse mediante vectores deslizantes.
En efecto, si consideramos un sólido rígido sometido a la acción de una fuerza F, aplicada en el punto A,
el primer postulado nos permite añadir dos fuerzas iguales y opuestas, F y -F, del mismo módulo y con
la misma recta de acción que la dada pero aplicadas en un punto B, sin que con ello se modifique el estado
de equilibrio o de movimiento del cuerpo (Figura 20.1c). Entonces, de acuerdo con el segundo postulado,
590
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
Figura 20.1
las fuerzas F y -F, aplicadas respectivamente en los puntos A y B, neutralizan sus efectos y el resultado
neto es que nos queda sólo la fuerza F aplicada en el punto B, que podemos considerarla como el resultado
de deslizar la fuerza original F aplicada en A a lo largo de su recta de acción.
Los dos postulados en los que hemos cimentado la Estática apoyan su validez en
el hecho de que todas las consecuencias que de ellos se derivan son corroboradas por
la experiencia. En virtud de ellos y de la conclusión que de ellos hemos obtenido
referente al carácter deslizante de los vectores que representan a las fuerzas, todas las
propiedades estudiadas en la Lección 2 para los vectores deslizantes serán igualmente
aplicables a los sistemas de fuerzas que actúen sobre un sólido rígido; por ello excusamos aquí la repetición de aquellas propiedades.
En definitiva,
el sistema de fuerzas aplicadas a un sólido rígido está representado por un
sistema de vectores deslizantes respecto al cuerpo al que están aplicadas.
Es más, admitimos que sistemas de vectores equivalentes representan a sistemas
de fuerzas equivalentes; esto es, que modifican de igual modo el estado de equilibrio
o de movimiento de los sistemas rígidos sobre los que se aplican.
§20.4. Ecuaciones cardinales de la estática.- Consideremos un sólido rígido
sobre el cuál actúa un sistema de fuerzas. De la definición dada anteriormente para
el equilibrio del sólido rígido y del carácter vectorial y deslizante de las fuerzas
aplicadas al sólido se sigue que:
La condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido se encuentre
en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas es que dicho sistema
de fuerzas sea equivalente a cero.
El enunciado anterior significa que la resultante general y el momento resultante
general (con respecto a cualquier punto del espacio) deben ser nulos. Esto es, las
condiciones de equilibrio del sólido rígido pueden expresarse por las llamadas
ecuaciones cardinales de la Estática:
591
§20.4.- Ecuaciones cardinales de la estática.
R
i
Fi
0
M
i
Mi
0
[20.3]
La ec. [20.3a] se refiere al equilibrio de traslación del sólido. Al ser nula la
resultante del sistema de fuerzas aplicado al sólido, el centro de masa del mismo
estará en reposo o moviéndose con velocidad constante.
La condición expresada por la ec. [20.3b] se refiere al equilibrio de rotación. Al
ser nulo el momento de las fuerzas, con respecto a cualquier punto del espacio, se
garantiza que el momento angular del sólido permanecerá constante, de modo que el
cuerpo está o bien en reposo o bien girando con velocidad angular constante en torno
a un eje principal que mantiene su orientación fija en el espacio.
El momento resultante M en la ec. [20.3b], que debe ser nulo para que exista
equilibrio, deberá calcularse con respecto a un cierto centro de reducción O. Nos
podemos preguntar si es indiferente el centro de reducción que escojamos.
Recordemos que la resultante general de un sistema de vectores deslizantes es
independiente del centro de reducción elegido, pero que no sucede lo mismo con el
momento resultante general, que varía de un punto a otro. La relación existente entre
MO y MO′ es
MO′
MO
[20.4]
O′O × R
de modo que si R = 0 (primera condición de equilibrio), entonces MO′ = MO, y si el
momento resultante es nulo con respecto a un centro de reducción O, también lo será
con respecto a cualquier otro punto O′. Por tanto, la condición [20.3b] bastará
verificarla para un solo punto del espacio, toda vez que se haya verificado la
condición [20.3a].
Las ecuaciones [20.3] son vectoriales, de modo que nos conducen a seis
ecuaciones escalares (tres por cada una de ellas), independientes, que deben satisfacer
las fuerzas aplicadas al sólido rígido para que éste se encuentre en equilibrio. Estas
ecuaciones son
Rx
Mx
i
i
Fi,x
0
Mi,x
0
Ry
My
i
i
Fi,y
0
Mi,y
0
Rz
Mz
i
i
Fi,z
0
[20.5]
Mi,z
0
[20.6]
que establecen que la suma de las componentes de las fuerzas y de los momentos de
las fuerzas (con respecto a un punto cualquiera) sobre cada uno de los ejes coordenados deben ser nulos para que haya equilibrio. Estas seis condiciones independientes
entre sí se corresponden con los seis grados de libertad del sólido rígido (tres de
traslación y tres de rotación).
Frecuentemente nos encontramos con problemas en los que todas las fuerzas
actuantes son coplanarias. No habrá entonces inconveniente en tomar como plano xy
el de coplanaridad, ya que de ese modo será Rz ≡ 0 (por ser nulas las componentes
de las fuerzas en la dirección normal al plano de coplanaridad). Por otra parte,
también serán nulos todos los momentos de las fuerzas con respecto a los ejes x e y
(por ser coplanarias con ellos), de modo que Mx ≡ 0 y My ≡ 0, al igual que Rz ≡ 0,
se cumplen idénticamente, y las condiciones de equilibrio se reducen a tres
592
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
Rx
0
Ry
0
Mz
0
[20.7]
que se corresponden con los tres grados de libertad para el movimiento plano del
sólido rígido (dos de traslación y uno de rotación).
Para completar nuestro estudio consideraremos los siguientes casos particulares:
(1) Un sólido rígido no puede estar en equilibrio bajo la acción de una sola
fuerza.
Obviamente, en estas condiciones no puede ser nula la resultante general. Ejemplo: cuerpo que cae
libremente.
(2) El sólido rígido sólo podrá estar en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas si éstas son iguales y opuestas y tienen la misma recta de acción.
Si las dos fuerzas no tienen la misma recta de acción, aunque la resultante sea nula (equilibrio de traslación), el momento resultante no será nulo; en estas condiciones, el sistema constituye un par de fuerzas
y no existe equilibrio de rotación.
El lector puede demostrar fácilmente (utilizando el
teorema de Varignon) que:
(3) Si son tres las fuerzas aplicadas al sólido
rígido, la condición de equilibrio implica que
estas tres fuerzas (Figura 20.2) han de ser coplanarias y concurrentes (el punto de concurrencia
puede estar eventualmente en el infinito).
Las condiciones de equilibrio [20.7] equivalen a ...
Figura 20.2
(4) ... la anulación del momento con respecto a
dos puntos y a la anulación de la suma de las
componentes de las fuerzas en una dirección
que no sea perpendicular a la de la recta definida por los dos puntos anteriormente citados
(Problema 20.1).
(5) ... la anulación de los momentos con respecto a tres puntos no alineados
(Problema 20.2).
En ningún caso podemos obtener más de tres condiciones de equilibrio independientes.
§20.5. Centro de gravedad.- Una de las fuerzas con las que estamos más
familiarizados es aquélla que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos que están en
sus proximidades; dicha fuerza recibe el nombre de peso del cuerpo. En realidad,
para un cuerpo de dimensiones finitas, el peso no es estrictamente "una fuerza", sino
la resultante de un gran número de ellas, ya que cada una de las partículas que lo
constituyen está sometida a la atracción gravitatoria terrestre.
Consideremos un cuerpo de masa M que se encuentra en una región del espacio
donde existe un campo gravitatorio. La fuerza que actúa sobre cada una de las
partículas que lo constituyen viene dada por mi gi, donde mi representa la masa de la
partícula i-ésima y gi es la intensidad del campo gravitatorio en el punto donde se
593
§20.5.- Centro de gravedad.
encuentra dicha partícula. La fuerza total que
actúa sobre las N partículas que constituyen el
cuerpo es, obviamente,
P
mi g i
i
[20.8]
i.e., la resultante general de ese sistema de fuerzas. Pero, ¿dónde está aplicada esa resultante?
Si la intensidad del campo gravitatorio, g,
tiene el mismo valor en todos los puntos de una
cierta región del espacio, decimos que el campo
gravitatorio es uniforme en dicha región. Para un
Figura 20.3
cuerpo situado en un campo gravitatorio uniforme, g tiene el mismo valor para todas las partículas que lo constituyen, de modo que las fuerzas gravitatorias individuales forman un
sistema de vectores paralelos entre sí cuya resultante es P=Mg, i.e., el peso del
cuerpo. El centro de ese sistema de vectores paralelos (§2.7) recibe el nombre de
centro de gravedad y viene determinado por
OG
i
Fi OP i
Fi
i
Fi r i
i
i
[20.9]
rG
Fi
y puesto que Fi = mi g, o sea Fi = mi g, resulta
rG
mi g r i
i
i
mi r i
i
mi g
[20.10]
i
mi
ecuación vectorial que nos determina la posición del centro de gravedad y que
equivale a tres ecuaciones escalares
[20.11]
xG
i
mi xi
M
yG
i
mi yi
M
zG
i
mi zi
M
de modo que todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas que
constituyen un cuerpo pueden reemplazarse por una fuerza única, Mg, aplicada en el
centro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir que los efectos de todas las
fuerzas gravitatorias individuales (sobre las partículas) pueden contrarrestarse por una
sola fuerza, -Mg, con tal de que sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo,
como se indica en la Figura 20.3.
En efecto, puesto que el momento de un sistema de vectores paralelos con respecto al centro del
sistema es cero (por definición), el sistema es equivalente a un vector único (la resultante) aplicado en
dicho centro; entonces, para equilibrar el sistema bastará aplicar una fuerza en el centro de gravedad del
cuerpo, de igual módulo, misma dirección y sentido opuesto a la resultante Mg.
Observaremos que las ecuaciones [20.10] y [20.11] son también las que determinan
la posición del centro de masa del cuerpo; sin embargo, no debemos confundir o
utilizar indiferentemente los términos de centro de masa y de centro de gravedad, ya
594
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
que entre ellos existe una distinción no sólo conceptual sino también
práctica. El centro de masa o de inercia es una propiedad intrínseca
de la materia, que siempre tiene significado; en cambio, el centro
de gravedad solo tiene significado cuando el cuerpo se encuentra en
un campo gravitatorio externo. Además, la coincidencia del centro
de gravedad y del centro de masa no es general, sino que proviene
de la suposición que hemos hecho de que el campo gravitatorio sea
uniforme en el volumen ocupado por el cuerpo.
Esta situación se presenta, en el caso del campo gravitatorio terrestre, sólo si el
cuerpo no es demasiado extenso. De otro modo no podemos considerar g = cte en
toda la extensión del cuerpo ya que, como sabemos, la dirección de g es radial y su
módulo decrece con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Bajo unas
condiciones generales el centro de gravedad y el centro de masa de un cuerpo no
Figura 20.4
tienen porqué coincidir.
Para comprenderlo, imaginemos una barra homogénea, de muchos kilómetros
de longitud (Figura 20.4), en posición vertical sobre la superficie terrestre. Si consideramos el peso por
unidad de longitud de la barra, es obvio que a medida que nos alejamos del extremo inferior de la barra
dicho peso por unidad de longitud irá disminuyendo (por disminuir la intensidad del campo gravitatorio
terrestre). Las posiciones del centro de masa (cm) y del centro de gravedad (G) de la barra están indicadas
en la Figura 20.4; se comprenderá fácilmente la no coincidencia de ambos centros.
En la mayor parte de los problemas de la
Mecánica nos referiremos a cuerpos cuyas dimensiones son pequeñas en comparación con las distancias que se requieren para que la intensidad del
campo gravitatorio terrestre cambie de un modo
significativo; bajo esas condiciones podemos
aceptar la coincidencia del centro de masa y del
centro de gravedad de un cuerpo en un mismo
Figura 20.5
punto. De hecho, utilizamos esa coincidencia
cuando determinamos la posición del centro de
masa de un cuerpo irregular o no-homogéneo utilizando el método de suspenderlo por
dos puntos distintos (Figura 20.5).
§20.6. Sistemas con ligaduras. Grados de libertad.- Frecuentemente nos
encontramos con sistemas materiales cuyo movimiento está restringido por ciertas
limitaciones físicas que reciben el nombre de ligaduras. El concepto de ligadura, así
como el modo de abordar los problemas en los que estas aparecen, ya fue
desarrollado en una lección anterior (véase, §8.13) y si ahora lo mencionamos de
nuevo es para relacionarlo con otro concepto importante; el de grados de libertad de
un sistema material. También hemos hecho referencia, con anterioridad, a los seis
grados de libertad del sólido rígido libre, pero en ningún momento hemos definido
el concepto de grados de libertad y su relación con las ligaduras.
Entendemos por grados de libertad de un sistema material el número
mínimo de coordenadas independientes que son necesarias para especificar
la configuración del sistema material.
Así, para el caso de una partícula no sujeta a ligaduras, necesitamos tres
coordenadas [las cartesianas (x,y,z), por ejemplo] para especificar su posición con
595
§20.6.- Sistemas con ligaduras. Grados de libertad.
respecto a un cierto sistema coordenado. Diremos que la partícula no sujeta a
ligaduras tiene tres grados de libertad.
La configuración de un sistema material, compuesto por N partículas, quedará
determinada si conocemos en cada instante las coordenadas de las N partículas; esto
es, necesitamos 3N coordenadas. Un sistema de N partículas, sin ligaduras, tiene 3N
grados de libertad.
Pero si existen ligaduras holónomas, las coordenadas de las N partículas que
constituyen el sistema no son independientes entre sí, ya que están relacionadas por
ecuaciones de la forma
f j (x1,y1,z1,x2,y2,z2, xN,yN,zN)
0
con j
1,2, h
[20.12]
de modo que podemos utilizar esas h ecuaciones de ligadura para eliminar h de las
3N coordenadas, con lo que sólo nos quedarán 3N - h coordenadas independientes
que especificarán la configuración del sistema material sujeto a ligaduras holónomas.
Estas coordenadas independientes entre sí pueden elegirse de muy diversas formas
y constituyen las llamadas coordenadas libres del sistema material. Entonces,
definiremos los grados de libertad de un sistema material como el número mínimo
de esas coordenadas libres que especifican su configuración en cada instante.
Un ejemplo sencillo de sistema sujeto a ligaduras lo constituye una cuenta de collar ensartada en un
alambre. El alambre coincide con cierta curva en el espacio y las ligaduras exigen que las coordenadas de
la cuenta satisfagan las dos ecuaciones que definen dicha curva (las ecuaciones de dos superficies cuya
intersección es la curva considerada). Así pues, existen dos ecuaciones de ligadura y la cuenta tiene 3 2 = 1 grado de libertad; esto es, sólo necesitamos especificar una coordenada (la coordenada intrínseca,
por ejemplo) para determinar la posición de la cuenta en el alambre. (¿Qué ocurrirá si se mueve el
alambre?)
Para un sólido rígido formado por N partículas se
tendrá como máximo 3N grados de libertad, número
que se reduce considerablemente al tener en cuenta
las ligaduras de rigidez, que pueden expresarse
mediante ecuaciones de la forma
rij
cij
cte
[20.13]
donde rij es la distancia entre las partículas i-ésima y
j-ésima, y cij es constante. Para un cuerpo constituido
por N partículas existen N(N-1)/2 modos distintos de
Figura 20.6
combinarlas por parejas; esto es, existen
N(N-1)/2 ecuaciones de ligadura del tipo de [20.13].
No obstante, el número efectivo de grados de libertad del sólido rígido no es
3N-N(N-1)/2, número que resulta negativo para N > 7. La razón está en que las
N(N-1)/2 ecuaciones de ligadura no son todas independientes entre sí. Para especificar
la posición de un punto del sólido rígido no es necesario dar sus distancias a todos
los demás puntos del cuerpo; basta con dar las correspondientes a tres puntos no
alineados. Una vez que especificamos las coordenadas de tres puntos no alineados
de un sólido rígido, las coordenadas de los demás puntos quedan determinadas por
las ligaduras. Por tanto, el número de grados de libertad del sólido rígido no excederá
de nueve. Pero, además, los tres puntos (1,2,3), que hemos tomado como referencia,
están ligados por las condiciones de rigidez
596
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
r12
c12
r23
c23
r31
c31
esto es, por tres ecuaciones de ligadura, con lo que el número de grados de libertad
se reduce a seis. Así pues, necesitamos seis coordenadas libres para especificar la
posición de un sólido rígido en el espacio, con independencia del número de
partículas que lo constituyan y de que sea continuo o discreto.
Podemos clasificar los sistemas materiales de acuerdo con el número de grados
de libertad que tengan; así, hablaremos de sistemas materiales con 1, 2, 3, ... grados
de libertad. Tendremos ocasión de ir comprendiendo en lo que sigue que, desde el
punto de vista de la Estática, sólo estamos interesados en el estudio de aquellos
sistemas materiales que tienen algún grado de libertad positivo. Un sistema con un
número de grados de libertad negativo es un sistema sobreabundante en vínculos y
se denomina sistema hiperestático; el estudio de tales sistemas queda fuera del campo
de la Estática, ya que requiere aplicar no solamente las leyes de la Mecánica de los
cuerpo rígidos sino también las leyes de la Elasticidad (vide §20.7.c).
§20.7. Estática del sólido rígido sujeto a ligaduras.- Como ya hemos visto,
el sólido rígido constituye, ya de por sí, un ejemplo de sistema restringido
holonómicamente, en el que las ecuaciones de ligadura expresan que la distancia
entre dos cualesquiera de sus puntos permanece constante. Pero, además de a esas
ligaduras intrínsecas, el sólido rígido puede estar sujeto a otras ligaduras que
constriñan su movimiento de conjunto; así, por ejemplo, puede estar obligado a girar
alrededor de un eje fijo solidario con el cuerpo.
De acuerdo con el Principio de Liberación de LAGRANGE, podemos sustituir las
ligaduras o vínculos por las fuerzas de ligadura que producen el mismo efecto que
aquellas. Entonces, cuando busquemos la resultante de todas las fuerzas que obran
sobre el cuerpo, deberemos tener en cuenta las fuerzas de ligadura o de reacción
vincular. Así, si llamamos Fi (i = 1, 2, ... n) a las fuerzas activas que obran sobre el
cuerpo y F̃j (j = 1, 2, ... h) a las fuerzas de ligadura, las condiciones de equilibrio
[20.3] pueden escribirse en la forma
i
Fi
j
F̃ j
0
i
Mi
j
M̃ j
0
[20.14]
donde Mi y M̃j representan los momentos de Fi y F̃j, respectivamente, con respecto
a un punto cualquiera del espacio. Las ecuaciones [20.14] nos muestran que,
en el equilibrio, las fuerzas activas y las de ligadura constituyen sendos
sistemas de fuerzas opuestos entre sí.
Normalmente las fuerzas Fi se dan como datos en los problemas de Mecánica;
en tanto que las F̃j aparecen entre las incógnitas, i.e., se desconocen inicialmente.
Imponer ligaduras a un sistema material es una forma de reconocer la presencia de
unas fuerzas cuyo valor no podemos determinar directamente, sino que su evaluación
exige resolver completamente el problema, ya que esas fuerzas sólo las conocemos
a través de sus efectos sobre el movimiento del sistema. En ocasiones, no nos
interesará conocer los valores de las fuerzas de ligadura y las eliminaremos de las
ecuaciones del equilibrio (o del movimiento) en una etapa inicial; pero, si se desea,
597
§20.7.- Estática del sólido rígido sujeto a ligaduras.
se puede proceder a su determinación. En ciertos casos podremos calcular el valor
de las fuerzas de ligadura a partir de las ecuaciones [20.14] que establecen las
condiciones de equilibrio del sólido rígido sujeto a ligaduras.
A continuación estudiaremos con algún detalle ciertos casos interesantes de la
Estática del sólido rígido vinculado.
§20.7.a. Sólido rígido con un punto fijo.- Consideremos un cuerpo rígido cuyo
movimiento esté restringido de modo que uno de sus puntos, el O, permanezca fijo
en un cierto referencial. Se comprende que el cuerpo sólo podrá girar en torno a un
eje que pase por dicho punto O; la orientación de ese eje en el espacio podrá ser
cualquiera. Este sistema tiene tan sólo tres grados de libertad; dos ángulos fijarán la
orientación del eje en el espacio y un tercer ángulo determinará la rotación del sólido
respecto a dicho eje. Supongamos que sobre el sólido
actúa un sistema de fuerzas Fi, con i = 1, 2, ... n. Las
condiciones de equilibrio [20.14] se escriben en la forma
i
i
Fi
F̃
0
Mi
M̃
0
[20.15]
de modo que, llamando R = Fi y M = Mi a la
resultante y al momento resultante de las fuerzas
activas y tomando el punto O como centro de reducción, queda
⎧ Rx
⎪
(a) ⎨ Ry
⎪ R
⎩ z
F̃x
F̃y
F̃z
0
0
0
⎧ Mx
⎪
(b) ⎨ My
⎪ M
z
⎩
Figura 20.7
0
0
0
[20.16]
esto es, seis ecuaciones escalares, de las que sólo las tres de [20.16b] son independientes de las reacciones vinculares y representan, por tanto, las condiciones de
equilibrio correspondientes a los tres grados de libertad del sistema. Las ecuaciones
[20.16b] exigen que la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sólido
rígido con un punto fijo pasen por dicho punto.
Conocidas las fuerzas exteriores, las componentes de la reacción vincular en O
se calcularán a partir de las tres ecuaciones de [20.16a].
§20.7.b. Sólido rígido con dos puntos fijos.- Consideremos,
ahora, un sólido rígido
que tenga dos puntos fijos en un referencial dado; esto equivale a decir que son fijos
todos los puntos de la recta que une esos dos puntos, o sea que el movimiento del
sólido está restringido a una rotación en torno a un eje fijo. Este sistema tiene,
evidentemente, un solo grado de libertad.
Supongamos que obre sobre el sólido un sistema de fuerzas, Fi con i = 1, 2, ...
n, y llamemos F̃1 y F̃2 a las reacciones vinculares en los puntos fijos O1 y O2, respectivamente. Llamaremos R a la resultante y M al momento resultante de las fuerzas
exteriores. Tomando el punto O1 como centro de reducción, las ecuaciones de
equilibrio son
598
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
i
o sea
Fi
F̃1
⎧
⎪ Rx
⎪
(a) ⎨ Ry
⎪
⎪ R
⎩ z
F̃2
0
i
F̃1x
F̃2x
0
F̃1y
F̃2y
0
F̃1z
F̃2z
0
Mi
M̃1
⎧
⎪ M
x
⎪
(b) ⎨ My
⎪
⎪ M
z
⎩
M̃2
0
[20.17]
lF̃2y
0
lF̃2x
0
[20.18]
0
esto es, seis ecuaciones escalares, de las que sólo
una, Mz =0, es independiente de las reacciones
vinculares y representa la condición de equilibrio
correspondiente al único grado de libertad del
sistema. Así, la condición necesaria para que el
sólido esté en equilibrio es que sea nula la componente del momento externo a lo largo del eje fijo
(i.e., el momento externo con respecto a dicho eje).
Cuando intentemos calcular las componentes de
las reacciones vinculares en O1 y O2 nos encontrareFigura 20.8
mos con sólo cinco ecuaciones (las tres de [20.18a] y
las dos primeras de [20.18b]) con seis incógnitas (tres
componentes para cada reacción vincular); el sistema
de ecuaciones es indeterminado. No obstante, la forma de las
ecuaciones nos permite calcular F̃1x, F̃1y, F̃2x y F̃2y tomando sólo
las dos primeras ecuaciones de [20.18a] y las dos primeras de
[20.18b]. Nos queda entonces la tercera ecuación de [20.18a] que
puede resolverse teniendo en cuenta el sentido de la componente
en el
Rz de la resultante R y el tipo de apoyos del eje. Así,
caso que se ilustra en la Figura 20.9, si Rz apunta hacia O1,
entonces será F̃1z =0; pero si Rz apunta hacia O2, será F̃2z =0.
§20.7.c. Sólido apoyado.- Consideremos un cuerpo rígido
apoyado, como es el caso más frecuente, sobre una superficie
plana horizontal, que supondremos sin rozamiento. Llamaremos
polígono de apoyo del cuerpo al polígono conexo determinado
Figura 20.9
tomando como vértices aquellos puntos de apoyo tales que todos
los puntos de apoyo queden en el interior de dicho polígono.
En las condiciones anteriores, resulta evidente que las fuerzas de reacción
vincular constituyen un sistema de fuerzas paralelas que admite una resultante única
aplicada en un punto del interior del polígono de apoyo; ese punto es el centro del
citado sistema de fuerzas paralelas.
En el caso de que se trate simplemente de un cuerpo sometido a la acción de su
propio peso, P, las condiciones de equilibrio se escriben en la forma
h
P
j 1
h
F̃ j
0
M
j 1
OO j × F̃ j
0
[20.19]
599
§20.7.- Estática del sólido rígido sujeto a ligaduras.
siendo h el número de apoyos, y donde hemos tomado momentos con respecto a un
punto arbitrario O. Las ecuaciones [20.19] nos muestran que la resultante de las
reacciones en los apoyos deben tener (en el equilibrio) el mismo módulo, la misma
dirección y recta de acción, pero distinto sentido que el peso de un cuerpo apoyado.
Esto equivale a enunciar
Para que un cuerpo apoyado esté en equilibrio es necesario que la proyección vertical de su centro de gravedad caiga en el interior del polígono de
apoyo.
Tomando como plano xy el de apoyo y tomando momentos con respecto al
origen O de dicho sistema coordenado, al desarrollar el producto vectorial que
aparece en [20.19b], tenemos
h
M
j 1
h
OO j × F̃ j
M
j 1
⎛ xj ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜y ⎟ × ⎜ 0 ⎟
⎜ j ⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜ F̃ ⎟
⎝ 0 ⎠ ⎝ j ⎠
0
de modo que las condiciones de equilibrio [20.19] toman la forma
⎧
⎪ Px
⎪
⎪
⎨ Py
⎪
⎪
⎪ Pz
⎩
0
0
h
j 1
F̃j
0
⎧
⎪ Mx
⎪
⎪
⎨ My
⎪
⎪
⎪ Mz
⎩
h
j 1
h
j 1
yj F̃j
0
xj F̃j
0
[20.20]
0
esto es, seis ecuaciones de las que
sólo tres, Px = 0, Py = 0 y Mz = 0,
son independientes de las reacciones en los apoyos y que representan las condiciones de equilibrio
correspondientes a los tres grados
de libertad del sistema. Las otras
tres ecuaciones permiten calcular
el valor de las reacciones en los
apoyos siempre que h no sea
superior a tres, lo que haría que el
Figura 20.10
problema estuviese estáticamente
indeterminado. En efecto, un cuerpo con cuatro o más punto de apoyo constituye un sistema hiperestático, por ser
sobreabundante en vínculos, y el cálculo de las reacciones vinculares exige no sólo
aplicar las leyes de la Estática sino recurrir a la teoría de la Elasticidad.
Como ejemplo, pensemos en una silla de cuatro patas apoyada sobre un suelo plano horizontal.
En realidad bastarían tres para la finalidad que tiene la silla; la cuarta pata, en principio, está de
más. Puede ocurrir que la silla cojee cuando no soporte más carga que su propio peso; sin embargo,
si una persona se sienta sobre ella, quizás la silla deje de cojear. La silla se ha deformado (por
efecto de la carga) de modo que las cuatro patas, finalmente, tocan el suelo simultáneamente.
Evidentemente, este ejemplo corresponde a un cuerpo que no es rígido, sino deformable (cuerpo
600
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
real), y para calcular las reacciones en los apoyos no podemos servirnos de las leyes de la Estática
del sólido rígido a menos que las completemos con otras que den cuenta de las deformaciones que
experimentan los cuerpos reales cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas.
Podemos considerar, ahora, el caso más general en el que el plano de apoyo no
sea horizontal. Entonces, resulta evidente que deberá existir rozamiento para evitar
que el cuerpo deslice plano abajo. Las condiciones de equilibrio deberán expresar,
como antes, la imposibilidad de vuelco y la de deslizamiento. Dejamos al cuidado del
alumno expresar analíticamente esas condiciones.
§20.8. Diagrama del cuerpo libre.- Cuando el sólido rígido está vinculado,
utilizamos el Principio de Liberación de LAGRANGE para sustituir las ligaduras o
vínculos por las llamadas fuerzas de ligaduras o de reacción vincular que producen
los mismos efectos que las ligaduras o vínculos. Esto es, en el sistema de fuerzas
que actúa sobre el sólido deberemos incluir no sólo las fuerzas activas sino también
las fuerzas de ligadura o de reacción vincular. De ese modo podemos obtener un
diagrama en el que se incluyen el cuerpo y todas las fuerzas que actúan sobre él,
incluidas las de ligadura (una vez suprimidas las propias ligaduras); dibujaremos así
el llamado diagrama para el sólido rígido libre (de ligaduras), que constituye un
primer paso en la resolución de los problemas de la Estática.
Imaginemos una varilla rectilínea y homogénea
que se encuentra en equilibrio apoyada en el fondo
y en el borde de una
oquedad hemiesférica
perfectamente lisa, como
se muestra en la Figura 20.11a. La varilla está
sometida a ligaduras que
limitan
sus posibilidades
Figura 20.11
de movimiento. En la
Figura 20.11b hemos
dibujado el diagrama de la varilla libre, en el que hemos sustituido las ligaduras (fondo y borde
de la oquedad) por las fuerzas de ligadura (N1 y N2) que producen los mismos efectos que aquéllas.
Ejemplo I.- Una varilla lisa y uniforme, de longitud l y masa m, se apoya en el fondo y en el borde
de una oquedad hemiesférica perfectamente lisa, de radio R tal que 2R < l < 4R, como se muestra
en la Figura 20.11a. a) Determinar la posición de equilibrio. b) Calcular las reacciones en los
apoyos.
a) Comenzamos dibujando el diagrama de la varilla libre, sustituyendo las ligaduras por las
fuerzas de ligadura o de reacción en los apoyos (N1 y N2) que producen los mismos efectos que
aquéllas, como se muestra en la Figura 20.12, que resulta suficientemente autoexplicativa. La varilla
está sometida a la acción de tres fuerzas que deberán ser concurrentes en el punto D situado sobre
la circunferencia de trazos, ya que el ángulo ACD es recto y la dirección de N1 es diametral. Así,
el problema de determinar la posición de equilibrio de la varilla se reduce a una cuestión puramente
geométrica.
Observemos que los ángulos GAE y GAD son iguales, ya que son ángulos inscritos en una
circunferencia que subtienden arcos iguales, y que en los triángulos ΔAEG y ΔAED se verifica
601
§20.8.- Diagrama del cuerpo libre.
AEG
→
AE
l
cos θ
2
AED
→
AE
2 R cos 2θ
de modo que
o sea
l
cos θ
2
2 R cos 2θ
cos 2θ
cos θ
l
< 1
4R
Figura 20.12
que es la relación que nos permite determinar el valor del ángulo θ correspondiente a la posición
de equilibrio de la varilla. Así, para l=3R, será θ=23.21°, como el lector comprobará fácilmente.
b) Para calcular las reacciones en los apoyos aplicaremos la primera ec. de la Estática:
i
Fi
j
F̃ j
0
⎧
⎪ N1 cos 2θ
⎨
⎪ N sen 2θ
⎩ 1
N2 sen θ
0
N2 cos θ
mg
con lo que disponemos de un sistema dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es:
N1
tg θ mg
N2
cos 2θ
mg
cos θ
l
mg
4R
Obsérvese que no ha sido necesario aplicar la segunda condición de la Estática (anulación de
momentos), ya que hemos hecho uso implícito de ella en el apartado (a).
Ejemplo II.- Péndulo cónico.- Un péndulo cónico está formado por una
barra homogénea de longitud l suspendida por su extremo superior de
un punto fijo (O) donde está articulada de modo que pueda girar tanto
alrededor de un eje horizontal como de otro eje vertical con el que
formará un ángulo variable θ. Expresar la velocidad angular ω en
función del ángulo θ.
Podemos reconducir el problema de dinámica a un problema de
estática sin más que resolverlo en un sistema de referencia en el que la
barra se encuentre en reposo; i.e., un referencial solidario (Ox′y′z′)
como el que se indica en la Figura 20.13. Puesto que tal referencial es
no-inercial, por estar en rotación, con velocidad angular ω, sobre la
barra "actuará" una fuerza centrífuga que debemos evaluar.
La fuerza centrífuga elemental que actúa sobre un elemento de
barra, de longitud dx′ y masa dm=λdx′, siendo λ la densidad lineal, así
como su momento con respecto al punto O, vienen dados por
dFcf
ω 2y dm
ω 2λ x′ senθ dx′
dMcf,O
x dFcf
Figura 20.13
ω 2λ x′2 senθ cosθ dx′
que representan las distribuciones de fuerza centrífuga y de momento centrífugo a lo largo de la
barra. Entonces, la fuerza centrífuga resultante y el momento centrífugo resultante con respecto al
punto O se calculan mediante integración
602
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
l
Fcf
ω 2λ senθ ⌠ x′ dx′
⌡0
l
Mcf,O
1 2
ω λ senθ l 2
2
1
mω 2 l senθ
2
1 2 3
ω λ l senθ cosθ
3
ω 2λ senθ cosθ ⌠ x′2 dx′
⌡0
1
mω 2 l 2 senθ cosθ
3
En virtud del Teorema de Varignon, podemos escribir
Mcf,O
h Fcf
⇒
h
Mcf,O
Fcf
2
l cosθ
3
lo que nos permite determinar el punto de aplicación (cf) de la fuerza centrífuga resultante (centro
centrífugo).
Puesto que en el referencial solidario hay equilibrio estático, el momento resultante debe ser
nulo; i.e.,
mg
l
senθ
2
1
mω 2 l 2 senθ cosθ
3
⇒
ω
3g
2l senθ
§20.9. Estática de un sistema de cuerpos rígidos.- Consideremos un
conjunto deformable de cuerpos rígidos (v.g., un montón de piedras). Podemos
clasificar las fuerzas que actúan sobre cualquiera de los cuerpos que componen el
sistemas en las siguientes categorías:
a) Fuerzas interiores al sistema. Son las fuerzas ejercidas por los demás
cuerpos que componen el sistema sobre el cuerpo en cuestión.
b) Fuerzas exteriores al sistema, que pueden clasificarse en:
i) Fuerzas activas: el peso, por ejemplo.
ii) Fuerzas de reacción en los apoyos.
Para que el sistema de cuerpos rígidos esté en equilibrio deberán estarlo por
separado cada uno de los N cuerpos que lo componen. Esa es la idea contenida en
el llamado Principio de Fragmentación que se enuncia así:
Si un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio y lo dividimos en varios
subsistemas, cada uno de ellos está en equilibrio por separado.
El Principio de Fragmentación nos permite reducir el problema al estudio del
equilibrio de cada uno de los N cuerpos por separado. Esto es, para el cuerpo iésimo, de los N que componen el sistema, se deberán satisfacer (en el equilibrio) las
ecuaciones cardinales de la Estática; o sea
Ri
0
Mi
0
[20.21]
603
§20.9.- Estática de un sistema de cuerpos rígidos.
donde Ri y Mi representan la resultante y el momento resultante de todas las fuerzas
que actúan sobre el cuerpo i-ésimo. De ese modo se obtienen 2N ecuaciones
vectoriales que sumadas nos conducen a
R
i
Ri
0
M
i
Mi
0
[20.22]
de modo que la condición necesaria
para el equilibrio de un sistema de
cuerpos rígidos es que sean nulos la
resultante y el momento resultante de
todas las fuerzas exteriores al sistema
(las fuerzas interiores al sistema se
contrarrestan automáticamente en virtud
de la ley de acción y reacción). Las
condiciones expresadas por [20.22] no
son suficientes ya que al no ser rígido
Figura 20.14
el sistema en su conjunto, las fuerzas a
él aplicadas no constituyen un sistema
de vectores deslizantes, sino N de tales sistemas (uno para cada cuerpo).
Ejemplo III.- a) Determinar el ángulo θ de la cuña que deberemos utilizar para calzar al cilindro
inferior para que el sistema, compuesto por dos cilindros idénticos, homogéneos y lisos, dispuestos
como se indica en la Figura 20.15, permanezca en equilibrio. b) Determinar el valor mínimo del
coeficiente de rozamiento de la cuña con el suelo.
a) Aplicamos la primera condición de equilibrio al cilindro superior:
⎧
⎪ N1
⎪
⎨
⎪
⎪ P
⎩
N12
N12
2
2
2
2
⎧ N1
⎪
⎨
⎪ N
⎩ 12
⇒
P
2 P
y al cilindro inferior:
⎧
⎪ N2 senθ
⎪
⎨
⎪
⎪ N2 cosθ
⎩
N12
N12
2
2
2
2
P
Figura 20.15
de donde, elevando al cuadrado y sumando miembro a
miembro, se sigue que
2
2
N2
2
N12
N12
2
2
P2
2 N12P
y dividiendo miembro a miembro obtenemos
5 P2
⇒
N2
5 P
604
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
N12
tg θ
N12
2
2
2
2
P
P
P
1
2
0.5
P
θ arctg 0.5 26.56°
b) Aplicamos la primera condición de equilibrio a la cuña
(Figura 20.16), suponiéndola de masa despreciable:
de modo que
⎧
⎪ N2 senθ
⎨
⎪ N cosθ
⎩ 2
Figura 20.16
f
N3
µ N3
[÷] ⇒
tg θ
µ
0.5
Este es el motivo por el que el ángulo θ recibe el nombre de
ángulo de rozamiento (vide §8.10).
§20.10. Concepto de desplazamiento virtual.- La configuración de un
sistema material queda determinada, en un instante determinado t, especificando los
vectores de posición ri (i = 1, 2, 3, ... N) de cada una de las partículas que lo
componen. El estado de equilibrio del sistema se caracteriza porque dichos vectores
(3N coordenadas en total) permanecen constantes en el transcurso del tiempo.
Cuando la configuración de un sistema material experimenta algún cambio en el
transcurso del tiempo, esto es, evoluciona pasando de una configuración a otra,
decimos que el sistema ha realizado un desplazamiento real. Cada una de las
partículas que componen el sistema, o al menos algunas de ellas, habrán experimentado un cierto desplazamiento (en el sentido usual de la palabra). Durante el intervalo
de tiempo dt, la partícula i-ésima habrá realizado un desplazamiento real dri, dado por
dri = vidt.
Evidentemente, si el sistema material se encuentra en equilibrio, no podrá realizar
ningún desplazamiento real. Sin embargo, podemos imaginar un desplazamiento
virtual del sistema, que ocurra instantáneamente y que sea compatible con las fuerzas
y las ligaduras a que está sujeto el sistema. Cada una de las partículas del sistema
material experimentará un cierto desplazamiento virtual instantáneo, que
designaremos1 por δri (i = 1, 2, 3, ... N) para distinguirlo de los desplazamientos
reales dri que tienen lugar en un cierto intervalo de tiempo dt durante el que pueden
haber variado las fuerzas y las ligaduras.
El símbolo diferencial δ tiene las mismas propiedades que el de diferenciación
ordinaria "d"; así, por ejemplo,
1
δ (x 2)
2 x δ x,
δ (senθ)
cosθ δ θ,
605
§20.10.- Concepto de desplazamiento virtual.
Entendemos por desplazamiento virtual de un sistema toda variación
instantánea de su configuración, como resultado de cualquier cambio
infinitesimal arbitrario en las coordenadas de algunas (o todas) las partículas
que lo componen, compatible con las fuerzas y ligaduras impuestas al
sistema en el instante t.
Un ejemplo de desplazamiento virtual nos lo ofrece una bolita que
pueda correr por un carril circular situado en un plano vertical, como
muestra la Figura 20.17. La bolita puede moverse a lo largo del carril
y, también, en dirección perpendicular a él hacia adentro, pero no hacia
afuera por impedirlo el carril (ligadura de rigidez). El conjunto de
todos lo movimientos infinitesimales imaginables de la bolita (compatibles con las ligaduras) constituyen el conjunto de los desplazamientos
virtuales de ella.
Clasificaremos los desplazamientos virtuales en
Figura 20.17
reversibles e irreversibles. Son reversibles aquellos
desplazamientos virtuales que pueden realizarse en un
cierto sentido (δri) y en su opuesto (-δri). Son irreversibles aquellos desplazamientos
virtuales que se pueden realizar en un cierto sentido pero no en su opuesto, por
impedirlo las ligaduras.
En el ejemplo anterior, son irreversibles los desplazamientos virtuales en dirección normal al carril;
en cambio, son reversibles los desplazamientos virtuales tangentes al carril.
Las ligaduras bilaterales sólo permiten desplazamientos reversibles; las ligaduras
unilaterales (el ejemplo anterior lo es de una de ellas) permiten desplazamientos
virtuales reversibles e irreversibles.
§20.11. Principio de los trabajos virtuales.- Consideremos un sistema
material en equilibrio; como ya sabemos, será condición necesaria y suficiente que
se encuentren en equilibrio cada una de las N partículas que lo componen, lo que
equivale a decir que deben ser nulas las resultantes de las fuerzas que actúan sobre
cada una de las partículas. Esto es
Ri
0
(i
1,2,3, N)
[20.23]
Resulta obvio que, bajo esas condiciones, se anulará el producto Ri δri, que
representa el trabajo virtual de la fuerza Ri en el desplazamiento virtual δri; es decir
δ Wi
Ri δri
[20.24]
0
La suma de todos esos trabajos virtuales, extendida a todas las partículas, será
asimismo nula
N
δW
i
1
Ri δri
0
[20.25]
Hasta aquí no hemos dicho nada que tenga un contenido físico nuevo; las
resultados [20.24] y [20.25] son deducciones triviales que parten de la definición de
equilibrio. Sin embargo, si las fuerzas Ri son funciones continuas de la posición de
las partículas, la expresión [20.25] adquiere un nuevo significado físico que puede
enunciarse del modo siguiente:
606
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
El trabajo realizado en un desplazamiento virtual arbitrario de un sistema
material, a partir de la posición de equilibrio, vale cero.
El enunciado anterior se conoce como Principio de los Trabajos Virtuales, en su
forma más general. Veamos ahora si podemos encontrar un enunciado más restrictivo
y que resulte más interesante en cuento a las aplicaciones.
La fuerza resultante Ri que actúa sobre la partícula i-ésima del sistema puede
separarse en dos partes: La resultante Fi de las fuerzas activas y la resultante F̃i de
las fuerzas de ligadura. O sea
Ri
[20.26]
F̃ i
Fi
de modo que la ec. [20.25] toma la forma
N
i
1
Fi δri
N
i
1
F̃ i δ r i
0
[20.27]
El segundo sumatorio de la esta expresión representa el trabajo virtual de las fuerzas
de ligadura en un desplazamiento virtual compatible con las ligaduras.
Si las ligaduras son bilaterales (reversibles) las fuerzas de ligadura serán
normales a los desplazamientos que permitan, esto es F̃i ⊥ δri, de modo que el
trabajo virtual correspondiente será nulo y, en consecuencia, será
N
1
i
F̃ i δ r i
0
[20.28]
Pero si las ligaduras son unilaterales, los desplazamientos virtuales podrán ser
reversibles e irreversibles. En el primer caso se cumplirá [20.28]. En el segundo caso,
cuando el desplazamiento sea irreversible, la partícula se libera del vínculo (las
ecuaciones de la ligadura desaparecen) y las fuerzas de ligadura realizarán un trabajo
esencialmente positivo, ya que el desplazamiento tendrá lugar en la misma dirección
y sentido que la fuerza de ligadura; así, en la situación más general, resulta
N
1
i
F̃ i δ r i ≥ 0
[20.29]
Combinando las ecuaciones [20.27] y [20.29] tenemos
N
i
1
Fi δri ≤ 0
[20.30]
donde intervienen solamente las fuerzas aplicadas (activas), que pueden suponerse
continuas en el espacio. El signo de igualdad (=) corresponde a la situación, que es
la más frecuente, de que los desplazamientos virtuales sean reversibles, cosa que
puede presentarse tanto con ligaduras bilaterales como unilaterales. El Principio de
los Trabajos Virtuales establece, entonces, que:
El trabajo realizado por las fuerzas activas durante un desplazamiento virtual
reversible, compatible con las ligaduras, de un sistema material, a partir de
la posición de equilibrio, vale cero.
607
§20.11.- Principio de los trabajos virtuales.
N
y puede escribirse
i
1
Fi δri
[20.31]
0
que puede considerarse como la condición de equilibrio del sistema y que se llama
ecuación simbólica de la Estática.
Obsérvese como, a diferencia de lo que ocurre con la ec. [20.25], la ec. [20.31] no
exige que sean nulos todos los coeficientes de δri; esto es, en general Fi ≠ 0. Eso
es así porque los desplazamientos δri no son todos independientes entre sí, ya que
están relacionados por las ecuaciones que expresan las ligaduras. Para que dichos
coeficientes sean todos nulos es necesario que los desplazamientos virtuales
simbolizados por δri sean independientes entre sí, esto es, que utilicemos un conjunto
de coordenadas libres (independientes entre sí) cuyo número es igual al de grados
de libertad del sistema material.
Trataremos ahora de transformar el principio de los trabajos virtuales, en su
expresión de [20.31], en una expresión que incluya los desplazamientos virtuales de
las coordenadas libres, de modo que sus coeficientes puedan igualarse todos a cero.
Consideremos un conjunto de parámetros (q1, q2, ... qs) que constituya un tal
sistema de coordenadas libres; llamamos s al número de grados de libertad del
sistema. La relación entre los ri y las coordenadas libres vendrá expresada por las
ecuaciones de transformación de la forma
ri
r i(q1,q2, ... qs)
δri
de modo que
(i 1,2, ... N)
s
∂r i
j 1
∂qj
δ qj
[20.32]
[20.33]
y la expresión [20.31] se transforma en
N
i 1
Fi δri
s ⎛N
⎜ F
i
⎜
j 1 i 1
⎝
⎛ s ∂r
⎞
i
F i ⎜⎜
δ qj⎟⎟
i 1
⎝j 1 ∂qj
⎠
⎞
s
∂r i ⎟
δ
q
Qj δ q j
j
∂qj ⎟⎠
j 1
N
[20.34]
0
donde los coeficientes
N
Qj
i 1
Fi
∂r i
∂qj
0
(j
1, 2, ... s)
[20.35]
son todos nulos, ya que los desplazamientos virtuales δqi son independientes entre
sí. Tendremos s ecuaciones como la [20.35], que expresan la anulación de los
coeficientes de los desplazamientos virtuales asociados a las s coordenadas libres del
sistema. Esto es, tenemos s condiciones de equilibrio correspondientes a los s grados
de libertad del sistema material.
608
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
Ejemplo IV.- Una bolita de masa m está ensartada en un alambre liso cuya forma es la de una
parábola de ecuación y = 2ax2, y que gira con velocidad angular constante ω alrededor de su eje
de simetría, supuesto que sea vertical. Determinar el valor de ω para el cual la bolita estará en
equilibrio en cualquier punto.
Tomaremos como referencial aquél en el que el
alambre está en reposo; i.e., un referencial en rotación
alrededor del eje vertical, con velocidad angular ω
(constante). Este referencial no es inercial, por lo que
deberemos considerar, además del propio peso de la
bolita, la fuerza centrífuga; esto es, las fuerzas activas
son
P
mg j
F cf
mω 2 x i
F
mω 2x i
mg j
∴
Figura 20.18
δr
con
δx i
δy j
La ecuación simbólica de la estática, en coordenadas cartesianas, es
⎛ mω 2 x
⎜
⎜
⎜ mg
⎜
⎝ 0
F δr
⎛ δx ⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
δ
y
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝ δz ⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
mω 2 x δ x
mg δ y
[A]
0
La bolita posee un solo grado de libertad, de modo que tomando la coordenada x como
coordenada libre será
→
2 ax 2
y
δy
4 ax δ x
[B]
y la expresión [A] se transforma en
F δr
mω 2 x δ x
4 mga x δ x
mx (ω 2
4ga) δ x
0
[C]
Entonces, anulando el coeficiente de δx en [C], tenemos, aparte de la solución trivial (x=0)
ω2
4ga
→
0
ω
2 ag
[D]
de modo que para esta velocidad angular el equilibrio será posible para cualquier posición de la
bolita en el alambre.
Ejemplo V.- Determinaremos la configuración de equilibrio correspondiente al sistema de dos
barras idénticas articuladas, como se muestra en la Figura 20.19, cuando actúa una fuerza horizontal
P0 sobre su extremo inferior.
Las fuerzas activas son:
P0
con
P0 i
P1
δri
mg j
δ xi i
P2
δ yi j
mg j
609
§20.11.- Principio de los trabajos virtuales.
La ecuación simbólica de la estática es
3
i 0
Fi δri
P0δ x0
mg δ y1
mg δ y2
[A]
0
El sistema posee dos grados de libertad; en
consecuencia, las coordenadas x0, y1 e y2 no son
libres. Tomaremos los ángulos θ1 y θ2 como
coordenadas libres, de modo que tenemos
⎧
⎪
⎪ x0
⎪
⎨ y1
⎪
⎪
⎪ y2
⎩
⎧
⎪
⎪ δ x0
⎪
⎨ δ y1
⎪
⎪
⎪ δ y2
⎩
l sen θ1 l sen θ2
l
cos θ1
2
l
cos θ2
l cos θ1
2
⇒
Figura 20.19
l cos θ1 δ θ1 l cos θ2 δ θ2
l
[B]
sen θ1 δ θ1
2
l
sen θ2 δ θ2
l sen θ1 δ θ1
2
Sustituyendo las expresiones [B] en [A] obtenemos la ecuación simbólica de la estática en
coordenadas libres:
( P0 l cos θ1
3
mgl sen θ1 ) δ θ1
2
( P0 l cos θ2
1
mgl sen θ2 ) δ θ2
2
[C]
0
Entonces, anulando los coeficientes de δθ1 y δθ2 se sigue
⎧
⎪ P l cos θ
1
⎪ 0
⎨
⎪
⎪ P0 l cos θ2
⎩
3
mgl sen θ1
2
1
mgl sen θ2
2
⎧
⎪ tg θ
1
⎪
⎨
⎪
⎪ tg θ2
⎩
0
0
2 P0
3 mg
P
2 0
mg
[D]
3 tg θ1
Efectuando el producto escalar que aparece en la expresión [20.35] tenemos
⎛
⎜F ∂xi
⎜ i,x ∂q
1
j
⎝
N
Qj
i
Fi,y
∂yi
∂qj
Fi,z
∂zi ⎞⎟
∂qj ⎟⎠
[20.36]
0
Supongamos que las fuerzas activas sean conservativas; i.e., pueden obtenerse
como el gradiente (cambiado de signo) de una función escalar (la energía potencial)
de punto, tal que Fi = - ∇Epi, lo que equivale a escribir para las componentes de las
fuerzas
Fi,x
∂Ep,i
∂xi
Fi,y
∂Ep,i
∂yi
Fi,z
∂Ep,i
∂zi
[20.37]
para i = 1, 2, 3, ... N. En estas condiciones, las ecuaciones [20.36] se reducen a
610
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
⎛
⎜
⎜
1
⎝
N
Qj
i
∂Ep,i ∂xi
∂Ep,i ∂yi
∂xi ∂qj
∂yi ∂qj
N
3
i 1
∂Ep,i
3
∂qj
∂Ep
∂qj
∂Ep,i ∂zi ⎞⎟
∂zi ∂qj ⎟⎠
[20.38]
0
donde Ep representa la energía potencial total del sistema material. Así, podemos
escribir
∂Ep
∂qj
0
(j
]
1, 2, ... s )
que es a lo que se reducen las condiciones de equilibrio en el caso de fuerzas
conservativas. Estas ecuaciones nos indican que
un sistema material está en equilibrio si su configuración se corresponde a
un máximo o a un mínimo de energía potencial con respecto a las coordenadas libres.
En el primer caso, el equilibrio será inestable; en el segundo, será estable.
Ejemplo VI.- Tres varillas idénticas, de longitud l y masa m, están articuladas como se muestra
en la Figura 20.20: en A tenemos un apoyo fijo y en B un apoyo deslizante (sin fricción) a lo largo
de un eje vertical. a) Determinar la posición de equilibrio del
sistema. b) Evaluar el cociente D/l para que la varilla inferior
forme un ángulo de 45° con la vertical. Determinar la inclinación de las otras dos varillas.
a) Expresaremos la energía potencial (gravitatoria) del
sistema, tomando como nivel de referencia de energía potencial
cero el origen de coordenadas xy:
Ep
mg
l
cos θ1
2
mg ( l cosθ1
mg ( l cosθ1
l cos θ2
1
mgl ( 5 cosθ1
2
l
cos θ2 )
2
l
cos θ3 )
2
3 cosθ2
cosθ3 )
Por otra parte, disponemos de una condición de ligadura
D
l sen θ1
l sen θ2
l senθ3
[A]
de modo que las tres coordenadas (θ1, θ2 y θ3) no son
independientes. Puesto que el sistema tiene dos grados de
libertad, tomaremos como coordenadas libres θ1 y θ2 y
expresaremos la energía potencial en función de ellas:
Figura 20.20
611
§20.11.- Principio de los trabajos virtuales.
Ep
⎛
⎜
1
⎜
mgl ⎜ 5 cosθ1
2
⎝
3 cosθ2
⎛D
⎜
⎝l
1
senθ1
⎞
⎟
⎞2 ⎟
senθ2⎟ ⎟
⎠ ⎠
Aplicamos las condiciones de equilibrio [20.39] a las 2 coordenadas libres:
∂Ep
∂θ1
⎛
⎜
⎜
1
mgl ⎜
2
⎜
⎜
⎜
⎝
5 senθ1
⎛
1
mgl ⎜⎜
2
⎝
⎛D
2⎜
⎝ l
senθ1
2 1
⎛D
⎜
⎝l
5 senθ1
⎞
⎞
senθ2⎟ cosθ1 ⎟
⎟
⎠
⎟
⎟
2
⎞ ⎟
senθ1 senθ2⎟ ⎟
⎠ ⎠
senθ3 cosθ1 ⎞⎟
cosθ3 ⎟⎠
0
o sea
5 tg θ1
tg θ3
[B]
y, análogamente,
3 tg θ2
tg θ3
[C]
Las tres ecuaciones [A], [B] y [C] nos permiten determinar los valores de los ángulos θ1, θ2 y θ3
correspondientes al equilibrio.
b) Para θ3=45° es tg θ3=1, de modo que
y
D
l
sen θ1
senθ2
tg θ1
1
5
→
θ1
11.31°
tg θ2
1
3
→
θ2
18.43°
senθ3
sen 11.31°
sen 18.43°
sen 45°
1.22
Problemas
20.1.- Demostrar que, en el caso de un sólido
rígido sometido a un sistema de fuerzas coplanarias, las condiciones de equilibrio equivalen
a la anulación de los momentos respecto de
dos puntos (en el plano de coplanaridad) y a la
anulación de la componente de la resultante en
una dirección que no sea perpendicular a la de
la recta definida por los dos puntos citados.
20.2.- Demostrar que, en el caso de un sólido
rígido sometido a un sistema de fuerzas, las
condiciones de equilibrio equivalen a la anulación de los momentos respecto de tres puntos
no alineados.
20.3.- Una caja de embalaje que contiene un
frigorífico pesa 300 kg y tiene forma de
paralelepípedo rectangular de 2 m de alto por
612
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
80 cm × 80 cm de base. El coeficiente de
rozamiento entre la caja y el suelo vale 0.30.
Deseamos arrastrarla sobre el suelo mediante
la aplicación de una fuerza horizontal.
a) ¿Cuál debe ser la magnitud de esa fuerza?
b) ¿A qué altura sobre el suelo podemos aplicar esa fuerza sin riesgo de vuelco?
20.4.- La caja del Problema 20.3 se encuentra
ahora sobre la plataforma de un camión. Cuando el camión frena bruscamente ¿qué riesgo
será mayor, el de deslizamiento o el de vuelco
de la caja?
20.5.- Transportamos
en una carretilla un
bloque homogéneo, de
masa m, cuyas dimensiones se especifican en
la figura. Sea µ el
coeficiente de rozamiento entre la base
del bloque y la plataforma de la carretilla.
Determinar los valores
máximos de la aceleProb. 20.5
ración de la carretilla
(acelerando y frenando)
para que no haya movimiento relativo entre el
bloque y la carretilla.
20.6.- Un bloque
homogéneo, de
forma de paralelepípedo rectangular de 50 cm de
altura y 30 cm ×
Prob. 20.6
30 cm de base,
descansa sobre un
tablero, como se
muestra en la figura. El coeficiente de rozamiento estático entre el tablero y el bloque es
0.50. a) Cuando vamos inclinando lentamente
el tablero, ¿comenzará a deslizar el bloque o
bien volcará? Determínense los ángulos críticos de deslizamiento y de vuelco. b) ¿Cuál
sería la respuesta a la pregunta anterior si el
coeficiente de rozamiento estático fuese 0.70.
c) ¿Y si fuese 0.60?
20.7.- Una varilla
homogénea de
masa m y longitud
l apoya sus extremos en dos planos
lisos que determinan un diedro
Prob. 20.7
recto, como se
muestra en la
figura. Determinar
la posición de equilibrio y las reacciones en
los extremos de la varilla en función del
ángulo θ.
20.8.- Un rodillo
homogéneo de 25 cm
de radio y 20 kg de
peso está apoyado en
dos planos lisos que
forman ángulos de 30°
y 45°, respectivamente,
con la horizontal.
Calcular las reacciones
en los apoyos de cilindro.
Prob. 20.8
Prob. 20.9
20.9.- En el mecanismo que se representa en la
figura se aplica un par mediante dos fuerzas
de 100 N, con un brazo de 120 mm, aplicadas
en los puntos D y E de la aleta. Todas las
cotas indicadas están expresadas en mm. Determinar la fuerza F necesaria para establecer
el equilibrio y las reacciones en los apoyos
fijos B y C. (Se desprecia el peso de la aleta).
Prob. 20.10
20.10.- La herramienta de la figura se utiliza
para hacer girar un eje. Para ello, dispone de
un perno A que penetra en un orificio del eje,
mientras que el saliente B se apoya en la
superficie lisa del eje. Cuando se aplicamos
una fuerza de 40 kg en el extremo C de la
herramienta, calcular las reacciones en los
puntos A y B y el momento de rotación que se
aplica al eje.
613
Problemas
20.11.- Un rodillo homogéneo de 25 cm de
radio y 40 kg de peso está situado sobre un
plano horizontal. Deseamos hacerlo subir un
escalón de 5 cm de altura, y para ello tiramos
de él con una fuerza cuya línea de acción pasa
por el eje del rodillo. Determinar el módulo de
la fuerza necesaria para conseguir nuestro
objetivo: a) si la fuerza aplicada es horizontal
y b) si la fuerza aplicada forma un ángulo θ
con la horizontal. c) ¿Cuál será el valor de θ
que minimizará la fuerza necesaria y cuánto
valdrá ésta?
20.12.- Una placa
rectangular y
homogénea, de
dimensiones
30 cm × 20 cm y
que pesa 2 kg,
está unida a un eje
Prob. 20.12
vertical de modo
que en A está
articulada con el
eje y en B sólo se apoya en él. a) Determinar
las reacciones en los apoyos cuando el sistema
gira con una velocidad angular de 30 rpm.
b) ¿A partir de que velocidad angular no se
apoyará la placa en B?
20.13.- Una escalera de
3 m de longitud y
10 kg de peso está
apoyada en un suelo
rugoso y en un rodillo
de eje horizontal situaProb. 20.13
do a una altura de 2 m
sobre el suelo, como se
muestra en la figura. La escalera permanece en
equilibrio para cualquier ángulo θ < 60°, pero
resbala si θ > 60°. Calcular el coeficiente de
rozamiento entre el suelo y la escalera y las
reacciones en los apoyos en la situación de
equilibrio crítico.
20.14.- a) Determinar la posición
de equilibrio del
sistema representado en la figura
que se adjunta, en
el que no existen
rozamientos en los
Prob. 20.14
apoyos de la varilla con la pared
vertical (A) y con
el borde horizontal (B). b) Determinar las
reacciones en los apoyos.
20.15.- Una escalera uniforme de 10 m de
longitud pesa 30 kg y se apoya en un suelo
horizontal y en una pared vertical, formando
un ángulo de 70° con la horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático en los apoyos de
la escalera en el suelo y en la pared valen
0.2 y 0.6, respectivamente. Un hombre que
pesa 60 kg comienza a subir por la escalera:
a) ¿Qué longitud podrá subir antes de que la
escalera comience a resbalar? b) ¿Cuál debería
ser la inclinación mínima de la escalera para
que el hombre pueda subir hasta el último
travesaño sin que la escalera resbale?
20.16.- Una
puerta de
garaje pesa
60 kg y está
montada como se muesProb. 20.16
tra en la
figura. Las
ruedas están
enmohecidas de modo que no ruedan sino que
deslizan en la guía, siendo 0.4 el coeficiente
cinético de rozamiento. La distancia entre las
ruedas es de 2 m y cada una de ellas dista
50 cm de los bordes verticales de la puerta. Se
empuja la puerta mediante una fuerza horizontal constante de modo que se mueva uniformemente. a) Si la línea de acción de dicha
fuerza dista 1 m de la guía, ¿cuál es la fuerza
ejercida por cada una de las ruedas sobre el
carril? b) Encontrar la máxima distancia a la
que se puede aplicar la fuerza horizontal F sin
que ninguna rueda se separe del carril.
Prob. 20.17
20.17.- Se trata de colocar una serie de ladrillos uno sobre otro, como se muestra en la
figura, de modo que obtengamos el máximo
saliente. a) Obtener el criterio que debemos seguir para conseguir nuestro objetivo. b) Demostrar que se puede conseguir un saliente tan
grande como queramos sin
más que apilar un número
suficientemente grande de
ladrillos.
20.18.- Un bastón está
formado por un tramo
rectilíneo de 100 cm de
longitud y un puño semicircular de 8 cm de radio. Lo
apoyamos en el borde de
una mesa de modo que la
parte rectilínea cuelgue por
Prob. 20.18
614
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
debajo del tablero de la mesa. Determinar la
posición de equilibrio del bastón.
reacciones en los contactos. b) Encontrar la
relación existente entre M, m y θ.
20.19.- Una semiesfera y
un cono, ambos macizos,
construidos con el mismo
material y del mismo radio,
están soldados por sus
bases. Calcular el valor de
la altura máxima del cono
para que el sistema se
comporte como un tentetieso al apoyarlo sobre una
superficie horizontal.
20.23.- Un
cilindro está
formado por
dos hemicilindros homogéneos, de
diferentes
Prob. 20.23
materiales,
siendo la
densidad de
uno de ellos el doble de la del otro. Colocamos el cilindro sobre un plano horizontal
rugoso y lo vamos inclinando progresivamente.
a) Determinar el valor máximo del ángulo de
inclinación del plano para que el cilindro permanezca en equilibrio, así como la posición
del cilindro en el plano. b) Determinar el valor
mínimo del coeficiente de rozamiento que
impide que el cilindro resbale antes de empezar a rodar.
Prob. 20.19
20.20.- Un canalón, de masa m
cuya forma es la
de medio cilindro
circular con un
radio exterior que
es el doble del
radio interior, desProb. 20.20
cansa sobre un
plano horizontal.
Determinar el módulo de la fuerza vertical F que deberá aplicarse al borde del canalón para que se incline
un ángulo θ, como se indica en la figura.
20.21.- Una barra
homogénea, de
longitud 3l, está
apoyada, sin fricción, en un
bloque homogéneo, de masa m,
anchura l y altura
2l, como se
indica en la
Prob. 20.21
figura. Determinar el valor
máximo de la
masa de la barra para que el sistema no vuelque.
Prob. 20.22
20.22.- La barra homogénea que se muestra en
la figura se apoya sin fricción en el interior y
en el borde de una hemiesfera hueca. La posición de equilibrio del sistema corresponde a la
barra en posición horizontal. a) Determinar las
Prob. 20.24
20.24.- En el mecanismo que se muestra en la
figura todos los elementos se consideran de
masa despreciable. a) Determinar la fuerza
mínima F que hay que aplicar para levantar el
tablero por el punto A. b) En las condiciones
del apartado anterior, evaluar las reacciones en
B y C.
Prob. 20.25
20.25.- En el mecanismo que se muestra en la
figura, la dos barras homogéneas tienen una
masa por unidad de longitud λ. Un tope (C)
impide que la corredera se desplace hacia la
615
Problemas
derecha. Determinar la reacciones en los
apoyos A y B y en el tope C.
Prob. 20.26
20.26.- Dos cilindros macizos y homogéneos,
que pesan respectivamente 5 kg y 12 kg, se
apoyan sobre sendos planos lisos, inclinados
30° y 45°, respectivamente, sobre la horizontal, como se indica en la figura. a) Determinar
la posición de equilibrio del sistema evaluando
el ángulo θ determinado entre la horizontal y
la recta que une los centros de los dos
cilindros. b) Calcular las reacciones que actúan
sobre cada cilindro.
20.27.- Dos bolas
idénticas, de masa m y
radio r, están colocadas
en el interior de un
tubo cilíndrico (abierto
en sus bases) de diámetro 3r. El conjunto
descansa sobre un
Prob. 20.27
plano horizontal, como
se muestra en la figura.
Determinar la masa mínima que deberá tener
el tubo cilíndrico para que el sistema no
vuelque.
20.28.- Dos esferas de 2 kg y 12 kg y radios
respectivos de 40 cm y 30 cm están suspendidas de un mismo punto mediante sendos hilos
iguales de 20 cm de longitud. Determinar la
posición de equilibrio del sistema y las tensiones en los hilos.
20.29.- Tres rodil l o s id én tico s
están apilados en
la forma que se
muestra en la
figura. Supongamos que el coefiProb. 20.29
ciente de rozamiento estático es
el mismo para todos los pares de superficies en
contacto. Calcúlese el valor mínimo del coeficiente de rozamiento que evite el desmoronamiento del sistema.
20.30.- Una barra homogénea, de 3 m de
longitud y 10 kg de peso, está articulada en
uno de sus extremos y soportada por una
cuerda ligera como se muestra en la figura. La
cuerda pasa por una
pequeña polea fija
situada 2 m por
encima de la articulación y en la misma vertical. Del extremo libre de la
cuerda cuelga una
pesa de 8 kg. DeterProb. 20.30
minar la posición de
equilibrio del sistema y la reacción en
la articulación.
Prob. 20.31
20.31.- Un pescante AB, de 5 m de longitud y
100 kg de peso, está articulado en su extremo
A y soportado en su extremo B por un cable
ligero, de modo que forma un ángulo de 60°
con la horizontal. La distancia AC es 3 m.
a) Calcular la tensión en el cable y la reacción
en el apoyo. b) Repetir el apartado anterior
cuando se cuelga una carga de 2000 kg en el
extremo B del pescante.
20.32.- En el sistema representado en la figura adjunta, determinar la relación
en que deben encontrarse
las masas m1 y m2 para que
el sistema esté en equilibrio. Considerar ambas poleas lisas y de masas despreciables.
20.33.- Una barra homogéProb. 20.32
nea está doblada en ángulo
recto, siendo las longitudes
de cada porción de 10 cm
y de 30 cm, respectivamente. La barra se
cuelga de una puntilla clavada en la pared. Determinar la posición de equilibrio de la barra y
estudiar su estabilidad.
20.34.- Determinar el valor del ángulo θ correspondiente a la configuración de equilibrio
del sistema de dos barras ligeras articuladas
616
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
to del cilindro. a) Determinar la posición del
centro de gravedad G (i.e., la distancia h) de la
tabla correspondiente a la posición de equilibrio del sistema. b) Calcular las reacciones
en los apoyos correspondientes a dicha posición de equilibrio.
Prob. 20.34
como se muestra en la figura adjunta. Expresar
el resultado en función de las intensidades de
los esfuerzos P y F.
Prob. 20.38
Prob. 20.35
20.35.- Una escalera está apoyada en una
pared vertical lisa y en un suelo horizontal
liso, como se muestra en la figura. Determinar
la posición de equilibrio de la escalera cuando
se le aplica una fuerza horizontal F en su pie.
20.36.- Una bolita
está ensartada en
un alambre circular
liso, contenido en
un plano vertical,
como se muestra
en la figura. Sobre
la bolita actúan dos
fuerzas: su propio
Prob. 20.36
peso y una fuerza
horizontal proporcional a la distancia entre la bolita y el diámetro vertical del alambre. Determinar las posiciones de equilibrio de la bolita.
20.37.- Una tabla, de masa M y
espesor despreciable, está atrapada entre un cilindro macizo y
homogéneo, de
masa m y radio r,
y el borde fijo O,
como se muestra
en la figura, no
existiendo rozamiento en ninguno de los contac-
Prob. 20.37
20.38.- a) Determinar las posiciones de equilibrio del sistema representado en la figura
adjunta. Las varillas son homogéneas e idénticas entre sí, de longitud l de modo que l < h <
2l, y el suelo es horizontal y liso. b) Determinar las reacciones en los puntos A, B y C.
Prob. 20.39
20.39.- Dos bolitas, cuyas masas son m1 =
20 g y m2 = 40 g, unidas entre sí mediante un
hilo inextensible y ligero de longitud l, están
ensartadas en sendos alambres lisos, como se
muestra en la figura. a) Determinar el valor
del ángulo α que corresponde a la posición de
equilibrio del sistema. b) Calcular las reacciones en los alambres.
20.40.- Determinar
la configuración
correspondiente al
equilibrio de las
tres barras articuladas que se
muestran en la
figura adjunta,
cuando actúa una
fuerza horizontal
de 1 kg sobre el
Prob. 20.40
extremo inferior
de la barra que
está más abajo.
Las tres barras son homogéneas entre sí; cada
una de ellas mide 50 cm y pesa 2 kg.
617
Problemas
20.41.- Continuemos con el Problema 20.40
pero consideremos que en lugar de tener tres
barras articuladas, se tengan N barras articuladas, todas idénticas, de masa total M = Nm.
a) Demostrar que el ángulo que forma la barra
i-ésima con la vertical, cuando se aplica una
fuerza horizontal F en el extremo inferior de
la barra que está más abajo, viene dado por
tg θi
2N
F
2( N i ) 1 Mg
b) Como caso particular, sustitúyase el conjunto de barras articuladas por una cuerda
flexible, de masa M, y calcúlese el ángulo
θ0 que forma la cuerda con la vertical en el
punto de suspensión.
20.42.- El sistema
representado en la
figura está constituido por dos
varillas idénticas,
de 100 cm de
longitud y 4 kg de
masa cada una de
Prob. 20.42
ellas, articuladas
sin fricción, apoyadas sobre un
suelo horizontal liso y unidas por sus centros
mediante un muelle constante elástica k =
113.16 N/m y 30 cm de longitud natural.
Determinar el valor del ángulo θ para que el
sistema se encuentre en equilibrio.
20.43.- Una varilla
de masa m y
longitud l está
apoyada en una
pared y en un
suelo lisos, como
se muestra en la
figura. El movimiento de la
escalera está
restringido por un
muelle, cuya
constante elástica
es k = 3mg/l y
cuya longitud
natural es l/2,
unido a la pared y
al extremo inferior
de la escalera.
Determinar la
posición de equilibrio de la escalera.
20.44.- Determinar el valor mínimo de la constante elástica k del muelle representado en la
figura para que el péndulo invertido se encuentre en equilibrio estable. Considerar solamente
pequeños desplazamientos angulares.
Prob. 20.43
Prob. 20.44
Prob. 20.45
20.45.- El sistema representado en la figura
está formado por dos varillas idénticas articuladas entre sí, en el techo y en la guía vertical
lisa. a) Encontrar las relaciones que existen
entre los ángulos θ1 y θ2 cuando el sistema se
encuentra en equilibrio. b) Calcular los valores
de dichos ángulos cuando D = 3l/2.
20.46.- Uno de
los extremos de
una varilla homogénea, de longitud l, está obligado a deslizar a lo
largo de una guía
vertical, en tanto
que la varilla se
apoya sobre una
superficie cilíndrica lisa, de
radio r, de eje
horizontal, como
se muestra en la
figura. Determinar el
valor del ángulo θ
correspondiente al equilibrio. Aplicación
numérica: l=4r.
Prob. 20.46
20.47.- Una barra de
4 m de longitud y
100 kg de peso está
apoyada por uno de sus
extremos en una pared
vertical lisa y sostenida
Prob. 20.47
por el otro extremo mediante un cable inextensible, de 6 m de longitud y masa despreciable, como se indica en la
figura. a) Determinar el valor de los ángulos α
618
Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
y β que forman el cable y la barra con la
pared en la posición de equilibrio. b) Determinar la tensión del cable y la reacción en el
apoyo.
20.48.- El mecanismo que se muestra en la
figura se encuentra en equilibrio cuando la
barra homogénea, de masa m y longitud l, está
en posición
vertical (i.e., el
muelle no está
deformado). En
e l co n ta c to
entre los
cilindros no
existe deslizamiento. Determinar el ángulo
θ corresponProb. 20.48
diente a una
nueva posición
de equilibrio y
comprobar que dicho equilibrio es estable.
20.49.- Una varilla AB,
delgada y homogénea,
de longitud l y masa m,
esta sostenida por un
hilo ligero BC y por un
pasador que desliza sin
fricción a lo largo de
un eje vertical, como
se indica en la figura.
Determinar los ángulos
α y θ correspondiente
a la posición de
equilibrio.
Prob. 20.49
Prob. 20.50
20.50.- Una varilla lisa, de masa m y longitud
l se apoya por uno de sus extremos (A) en un
plano horizontal liso y por un punto comprendido entre el A y su centro de gravedad (G) en
un borde fijo B, como se muestra en la figura.
Determinar la fuerza horizontal que hay que
aplicar en A para mantener la varilla en equilibrio con una inclinación θ respecto de la
horizontal y evaluar las reacciones en los
apoyos.
Prob. 20.51
20.51.- Un puente colgante está tendido horizontalmente y soportado por seis pares de
cables verticales, como se muestra en la figura
adjunta, a intervalos de 6 m. El puente pesa
120 000 kg; los cables se consideran de masa
despreciable. Los cables verticales más cercanos al centro del puente miden 2 m. a) Calcular las longitudes que deberán tener los demás
cables verticales para que la carga esté igualmente repartida. b) Calcular las tensiones en
cada uno de los cables transversales.