Archivo PDF, 6 slides por página, 75 KB

APROXIMACION DE BORN-OPPENHEIMER
MECÁNICA MOLECULAR (MM)
∧
H Ψ = EΨ
MÉTODO DE CÁLCULO DISEÑADO PARA
OBTENER ENERGÍAS Y ESTRUCTURAS DE LAS
MOLÉCULAS.
Ψ =ψ
ψ
( el )
Ecuación de Schrödinger
( nuc )
Aproximación de las partículas
independientes
MECÁNICA CUÁNTICA Æ a partir de una configuración
nuclear fija se estudia el movimiento electrónico.
MÉTODO ESTÁNDAR EN QUÍMICA TEÓRICA.
FUNDAMENTO Y APLICABILIDAD DIFERENTES A
MECÁNICA CUÁNTICA:
MECÁNICA MOLECULAR Æ se estudia el movimiento de
los núcleos y los electrones no se tratan explícitamente. Se
asume que se distribuyen óptimamente alrededor de los
núcleos.
• Conceptos de enlace, ángulo, diedro e interacciones no
enlazantes.
•Fundamentos de espectroscopía vibracional.
•Formulismo mecánico-clásico.
•Eficiente para sistemas moleculares extensos.
La energía de la molécula en el estado electrónico fundamental
es una función de las posiciones nucleares.
El cálculo de la energía potencial y la geometría de una
molécula se lleva a cabo utilizando los llamados
Superficie Born-Oppenheimer = superficie potencial de MM
CAMPOS DE FUERZA: conjunto de ecuaciones
(formulismo mecánico-clásico) las cuales se derivan
empíricamente.
Es la “superficie” multidimensional que describe la energía de
la molécula en términos de las posiciones nucleares. En
mecánica molecular esto se llama superficie de energía
potencial.
Ej: confórmeros de n-butano
1
Debido a la íntima conexión entre la estructura y la energía,
los cálculos de Mecánica Molecular siempre involucran a
ambas. Para encontrar la estructura, necesariamente se debe
examinar la energía para ubicar donde se encuentra el
mínimo de ésta última.
2
MM (Química Teórica) vs EXPERIMENTO
La Mecánica Molecular está basada en datos experimentales
Los campos de fuerza han sido diseñados para reproducir las
estructuras vibracionales promedio a temperatura ambiente
(obtenidas por ejemplo de experimentos de rayos X).
1: El mínimo (absoluto) de la superficie de energía potencial
describe la estructura de una molécula.
¿Por qué el interés en la Mecánica Molecular?
2: Una molécula es una mezcla de estructuras en diferentes
mínimos de energía (mínimos locales) siguiendo una
distribución de Boltzmann.
MOTIVOS PRÁCTICOS
• imposibilidad o extrema dificultad en realizar el
experimento.
• necesidad de muestras grandes.
3: Los átomos están sujetos a vibraciones, es decir, las
estructuras no son estáticas.
Un cálculo de MM lleva generalmente unos minutos
….pero....
•Problema de confiabilidad de MM.
4: la agitación térmica permite a las moléculas saltar barreras
de activación y moverse entre mínimos energéticos.
•El uso indiscriminado del método lleva a errores
importantes.
Causa: El método de Mecánica Molecular es empírico, es decir
que se derivan las ecuaciones de potencial y los parámetros
mediante el ajuste a los datos experimentales: la transferencia
no es ilimitada aún en las mejores situaciones.
3
4
1
MECÁNICA MOLECULAR:
Si usamos las ecuaciones y los parámetros en otras situaciones
donde estemos interpolando resultados, entonces podemos
confiar en los mismos. Si queremos extrapolar las ecuaciones a
áreas más allá de donde fueron testeadas…la confiabilidad es
dudosa.
• A menudo resultados menos confiables que los obtenidos por
métodos de mecánica cuántica (poca exactitud).
• Requiere información
cuántica!!!).
experimental
(y/o
de
mecánica
•Mucho mayor aplicabilidad: macromoléculas (miles de átomos)
Hablamos de la capacidad de transferir (transferability) la forma
funcional y los parámetros. Esta es una característica importante
de los campos de fuerza.
-Apropiados para estudiar moléculas estables de clases ya
estudiadas
-Cálculos “baratos” computacionalmente.
La posibilidad de transferir los parámetros es evidentemente
importante si queremos usar el campo de fuerza para hacer
predicciones.
CAMPOS DE FUERZA
CÁLCULOS DE MECÁNICA
MECÁNICA MOLECULAR
CUÁNTICA
VS
“Mecánica Molecular es el método de cálculo de campos de
fuerza”
MECÁNICA CUÁNTICA:
• Más apropiado para el cálculo de propiedades moleculares.
• No requiere (en general) de información experimental.
• Aplicabilidad restringida: pequeñas moléculas (algo mayores
con Métodos Semiempíricos y Funcionales de la Densidad).
• Apropiados para estudiar nuevas moléculas (incluyendo
estructuras de transición).
Un punto importante que debemos tener en mente es que los
campos de fuerza son empíricos, lo que implica que no hay una
forma “correcta” para un campo de fuerza.
Los campos de fuerza que se emplean en Mecánica Molecular,
fueron desarrollados originalmente en una forma físicamente
más rigurosa a partir del análisis vibracional.
• Cálculos costosos computacionalmente (tiempo = $$$).
5
6
Formalismo de espectroscopía vibracional
n átomos
La relación anterior define un sistema de osciladores
armónicos acoplados.
3n coordenadas xi
MATRIZ DE CONSTANTES DE FUERZA:
Vo:mínima energía potencial
• i=j: elementos diagonales.
x0: coordenadas de mínima energía
• i≠j: elementos fuera de la diagonal (off-diagonal)
3n
3n
i=1
i, j=1
Vpot =Vo +∑(∂V / ∂xi)∆xi +1/ 2∑(∂ V / ∂xi∂xj)∆xi∆xj
3n
2
Matriz diagonal: Ley de Hooke (osciladores armónicos
desacoplados)
+1/ 6 ∑∂ V / ∂xi∂xj∂xk)∆xi∆xj∆xk +.....
3
La ley de Newton provee con la relación entre las constantes
de fuerza y las frecuencias de vibración:
i, j,k=1
ω=
Como la molécula está en un mínimo energético:
• el primer término V0 se toma como cero.
•La derivada primera de la energía también es cero.
k
m
ν=
ω
2π
•Coordenadas cartesianas
⇒la energía potencial depende del tercer término.
•Coordenadas internas
Dentro de la aproximación armónica y sustituyendo las
derivadas segundas por sus símbolos característicos, fij, se
llega a:
•Coordenadas normales: modos normales de vibración
En espectroscopía vibracional, a partir de las frecuencias
del espectro, se calculan las constantes de fuerza, en
Mecánica Molecular se sigue el procedimiento inverso, se
tiene un campo de fuerza dado y se calculan a partir del
mismo las frecuencias vibracionales.
3n
Vpot = 1 / 2 ∑ fij∆xi∆xj
i , j =1
campo de fuerza armónico
7
8
2
Campo de fuerza de valencia
¿Cuál es el problema para determinar el campo de
fuerza molecular a partir de las frecuencias en un
análisis vibracional?
• Definido en términos de coordenadas internas: enlaces,
ángulos y diedros.
Hay muchas más constantes de fuerza que frecuencias para
una molécula dada.
• Diagonal.
• Las fuerzas actúan tanto paralela como perpendicularmente a
los enlaces entre átomos restaurando los valores de equilibrio
correspondientes:
Soluciones
• Análisis de espectros de moléculas sustituidas
isotópicamente, de manera de obtener más frecuencias sin
introducir constantes de fuerza adicionales.
V = 1 / 2 ∑ f r , i ( r i − r oi ) + 1 / 2 ∑ f θ , k (θ k − θ ok ) +
2
2
i
• Despreciar las constantes de fuerza off-diagonal de la
matriz!
1/ 2
∑
k
f ω , l (ω l − ω ol )
2
l
El inconveniente de los campos de fuerza diagonales es que sus
constantes de fuerzas no son TRANSFERIBLES.
CAMPOS DE FUERZA ESPECTROSCÓPICOS
Solución:
Campo de fuerza central
• Recuperar algunas constantes de fuerza. Se sabe que las
constantes off-diagonal no despreciables son aquellas que tienen
que ver con coordenadas que “terminan” en un mismo átomo o
en átomos contiguos.
• Definido en términos de distancias interatómicas (sin
discriminar entre átomos enlazados o no).
• Diagonal (se desprecian los términos cruzados).
• Incorporar términos adicionales al campo de fuerza (UreyBradley)
• Carente de significado químico.
9
10
CAMPO DE FUERZA TIPO DE MM
Campo de fuerza Urey-Bradley
V = 1 / 2 ∑ f r , i ( r i − r oi ) + 1 / 2 ∑ f θ , k (θ k − θ ok ) +
2
2
k
i
1/ 2
∑
2
f ω , l (ω l − ω ol ) +
l
3n
∑
i , j =1
∑
∑
f ´´ω , l (ω l − ω 0 l )
i
i
i
2
i,0
) +
i
2
i
+
N
i` j
i =1 j = i +1
i
i
2
i ,0
) +
∑V
n
/ 2 (1 + cos( n ω )) +
torsionale s
N
∑ ∑ ( 4ε [(σ
∑ k / 2 (θ −θ
ángulos
enlaces
impropios
i , j =1
f ´´r , i ( r i − r 0 i ) + ∑ f ´´θ , k (θ k − θ 0 k ) +
∑ k / 2 (l − l
∑ k / 2 (ϑ )
3n
f ´r ij + ∑ f ´´r ij +
2
V =
12
ij
6
/ r ij ) − (σ ij / r ij ) ] +
q iq j
)+
4πε o r ij
k
términos especiales
l
Este campo de fuerza tiene en cuenta interacciones no
enlazantes (1,3-no enlazantes) entre átomos unidos a un átomo
en común.
Posee un carácter de transferencia mucho mayor a los
anteriores.
Mecánica Molecular, en contraste con Mecánica Cuántica,
necesita información suplementaria a la ecuación de cálculo
de potencial:
concepto de “tipos de átomos”
En Mecánica Molecular, también existen campos de fuerza
similares (de tipo valencia y de tipo Urey-Bradley).
11
12
3
El modelo MM concibe a los átomos en las moléculas como
pequeñas “bolas” con determinada masa unidos entre sí por
“resortes”, los cuales actúan restaurando los valores “naturales”
de distancias y ángulos.
La aproximación más elemental es usar la ley de Hooke
(aproximación armónica).
Venlaces =
∑ k / 2 (l − l
i
i
i ,0
)
2
V ángulos =
∑ k / 2 (θ −θ
i
i
i ,0
)
De: profundidad del mínimo energético
l0: valor de referencia del enlace.
La función de Morse no es muy utilizada porque es
costosa computacionalmente debido al término
exponencial y además requiere de tres parámetros.
2
Inclusión de término cúbico
ángulos
enlaces
2
V ( l ) = D e {1 − exp[ − a ( l − l 0 )]}
BOND STRETCHING Y ANGLE BENDING
V (l ) = 1 / 2 kl (l −l 0) + k´l(l −l 0)
2
La aproximación armónica es generalmente válida aunque en
algunas situaciones es deseable representar efectos
anarmónicos que puedan deformar las coordenadas:
3
• El término cúbico es menos costoso de calcular.
• Describe bastante bien la curva de potencial real de un
enlace.
Función de Morse
• A valores lejanos del de referencia se invierte!!!
13
En angle bending, no es tan común utilizar otros tipos
funcionales que Hooke.
En caso de deformaciones grandes, es posible subsanarlo con
interacciones no enlazantes apropiadas o introduciendo un set
de parámetros distintos
14
V (ω ) = V 3 / 2 [1 + cos( 3ω )]
etano
V (ω ) = V 2 / 2 [1 − cos( 2 ω )]
eteno
Para coordenadas involucrando diferentes sustituyentes y
específicamente heteroátomos se utilizan combinaciones de
términos con diferentes multiplicidades.
DIEDROS PROPIOS (TORSIÓN)
Surgen por la incapacidad de reproducir barreras energéticas en
el etano, sólo con interacciones covalentes y no enlazantes
típicas (van der Waals).
Ej: V1 y V2 en alcanos, V4 en alquenos
Los potenciales de torsión siempre se expresan como funciones
trigonométricas del tipo:
También conocidos como out of plane (fuera del plano)
DIEDROS IMPROPIOS
En principio podrían representarse de la misma forma que
los diedros propios (multiplicidad 2) pero en general se
prefiere representarlos aparte.
N
V (ω ) = ∑ V n / 2[1 + cos( n ω )]
n=0
Se representan con un término tipo Hooke al igual que
angle bending y bond stretching. Esto introduce una fuerza
de restauración que impide que el grupo se mueva fuera del
plano.
ω = ángulo de torsión
n = multiplicidad. Da el número de mínimos cuando el
enlace se rota 360º.
Ej: ciclobutanona, benceno, estructuras aromáticas en
general
Vn = es la “altura de la barrera”
En general, para una coordenada, se usa uno o dos términos
de la sucesión.
15
16
4
INTERACCIONES NO ENLAZANTES
Cargas puntuales atómicas
• No dependen de relaciones de enlace específicas. Son
interacciones “a través del espacio”.
N A NB
qiqj
0 rij
4
πε
j =1
V = ∑∑
i =1
• Inter o intra moleculares
Dos tipos básicos:
La interacción electrostática entre dos moléculas (o entre
diferentes partes de la misma molécula) puede calcularse
como la suma de las interacciones entre pares de cargas
puntuales utilizando la Ley de Coulomb.
• Electrostáticas.
• Van der waals
Ventaja: aplicabilidad general
INTERACCIONES ELECTROSTÁTICAS
Desventajas: mayor tiempo de cálculo
Expansión de multipolo central (carga, dipolo, cuadrupolo, etc.)
necesidad de determinar cargas puntuales
q
Θ ( 3 cos 2 − 1 )
µ cos θ
+
+ ...)
φ ( r ) = 1 / 4 πε 0 ( +
2
3
r
r
2r
Cálculo de cargas puntuales
El primer término distinto de cero es el que domina el
potencial electrostático (y la interacción).
2) Reproducción de propiedades termodinámicas calculadas
(MonteCarlo y Dinámica Molecular)
1) A partir de los momentos eléctricos y la geometría
3) A partir de Mecánica Cuántica
Ventajas:
eficiente, menos cantidad de cálculos
• Método de Mulliken.
Desventajas:
• A partir del potencial electrostático.
Poca aplicabilidad. Las moléculas deben estar separadas
por distancias mayores a sus dimensiones moleculares.
• Método de Bader.
4) Para moléculas grandes, uso de valores derivados de
fragmentos más pequeños.
No se puede aplicar a interacciones intramoleculares!
17
INTERACCIONES DE VAN DER WAALS
18
La energía de interacción entre los dipolos es:
3α 4 hω
Surgen de la imposibilidad de explicar las desviaciones del
comportamiento de gases ideales sólo con las interacciones
electrostáticas.
V (r ) = −
La interacción de van der Waals resulta de la contribución de dos
componentes:
Considerando todos los momentos eléctricos:
4(4πε 0) 2 r 6
V (r ) = C 6 / r 6 + C 8 / r 8 + C10 / r10 + ...
• fuerzas de atracción (dispersión de London)
• fuerzas de repulsión
Fuerzas de repulsión: Fuerzas de intercambio
La componente repulsiva también tiene un origen mecánico
cuántico en términos del principio de exclusión de Pauli.
El efecto del intercambio es reducir la repulsión electrostática
entre pares de electrones prohibiendo que se encuentren en la
misma región del espacio (la región internuclear).
La reducción de la densidad electrónica en la región internuclear
provoca la repulsión entre los núcleos que ahora están
parcialmente desblindados.
Fuerzas de atracción: Modelo de Drude
Dos dipolos interaccionando entre sí.
A distancias cortas, la repulsión varía según 1/r pero a mayores
distancias decae exponencialmente según exp(-2r/a0), donde a0
es el radio de Bohr.
2
∂ 2ψ
− h
+ 1 / 2 k z 2ψ = E ψ
2 m ∂z 2
Ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico.
19
20
5
Modelo de Lennard-Jones:Potencial 12-6
V (r ) = 4ε [(
σ
r
12
)
−(
σ
r
SISTEMAS POLIATÓMICOS
Para sistemas con diferentes tipos de átomos, se van a necesitar
calcular interacciones de van der Waals entre diferentes átomos.
6
) ]
σ= diámetro de colisión, es la separación para la cual la
energía es cero.
Los parámetros para las interacciones “cruzadas” se derivan de las
interacciones “puras” (entre átomos iguales):
Reglas de Lorentz-Berthelot
ε= profundidad del pozo
σ AB = 1 / 2 (σ AA + σ BB )
Alternativamente:
ε AB =
rm 12
rm 6
V (r) = ε{( ) − 2( ) }
r
r
ε AA ε BB
r m AB = R AA + R BB
RAA = ½ rmAA, RBB = ½ rmBB
rm = distancia correspondiente al mínimo de la función
No existen argumentos teóricos de peso para el exponente 12
en la parte repulsiva de la interacción.
Aproximaciones en la evaluación de las interacciones de van
der Waals
• Distribución esférica de electrones alrededor del núcleo.
Ecuación de Buckingham
• Fuerzas intermoleculares semejantes a fuerzas intramoleculares.
6 − α ( r − 1) α rm 6
V (r ) = ε [
( )]
e rm −
α −6
α −6 r
• Potencial evaluado de a pares.
Parámetro adicional α
Se invierte a distancias muy pequeñas (fusión nuclear!)
21
22
Polarizabilidad
TÉRMINOS ESPECIALES EN EL CAMPO DE FUERZA
Enlaces de H
µind = αE
µ= dipolo inducido, α =polarizabilidad, E = campo eléctrico
Algunos campos de fuerza tratan explícitamente los enlaces de
hidrógeno en las moléculas.
La energía de interacción entre el dipolo y el campo es:
Es común el uso de potenciales similares a Lennard-Jones:
V(α,E) = -1/2(αE2)
V(r) =
A
12
r
−
C
La polarización es un efecto cooperativo.
r10
Generalmente, los campos de fuerza no tratan explícitamente
este tipo de interacción sino que ya son implícitamente tenidas
en cuenta en las interacciones no enlazantes.
MM Æ puede incluir polarización a nivel atómico:
Inducción de dipolos en cada átomo a partir del campo eléctrico
en cada átomo generado por el resto.
Concepto de “United atoms”
El número de interacciones no enlazantes aumenta con el
cuadrado del número de sitios presentes.
La manera de reducir el número de interacciones es incluir
algunos de los átomos (usualmente los H) dentro de otros
átomos a los cuales están enlazados.
Por ejemplo: un grupo metilo puede modelarse como un único
“united atom”.
23
24
6
Términos cruzados
PARAMETRIZACIÓN DE LOS CAMPOS DE FUERZA
Asignación de valores a todos los parámetros utilizados en el
campo de fuerza: constantes de fuerza, coordenadas de mínima
energía, parámetros de van de Waals, etc.
• Reflejan el acoplamiento entre las coordenadas internas.
• Más importantes en campos de fuerza espectroscópicos.
Fuentes para parametrización
•
Stretching-bending
Experimentales (estructurales y energéticas)
- Datos de Espectroscopía Vibracional (moléculas simples
para bond stretching, angle bending y torsión)
Vstr / bend = 1 / 2krθ (r − ro)(θ −θ 0)
-Scattering para van der Waals
Torsion-bending
•
Vtor / bend = kTB(ω − ωo)(θ −θ 0)
Teóricas (cálculos de Química Cuántica ab initio)
-Bond stretching, angle bending y torsión
-Potencial electrostático para cargas
Stretching-torsion
Métodos de optimización de parámetros:
Vstr / tor = kST (l − lo)(1 + cos(nω ))
•
Ensayo y error.
•
Método de mínimos cuadrados (Lifson SCFF).
∆y(x + ∂x) = ∆y(x) + Z∂x + ....
25
∆y = vector de diferencias entre los datos calculados y
observados.
26
En Mecánica Molecular es clave que los parámetros posean
un grado de transferencia muy alto.
x = vector de parámetros del Campo de Fuerza
Z= matriz de derivadas de cada propiedad con respecto a cada
parámetro.
Campos de fuerza de uso común:
MM2/MM3: compuestos orgánicos en general.
El procedimiento es iterativo de manera de minimizar la suma
de los cuadrados de las diferencias ∆y2.
1) Se asignan los valores a los parámetros.
2) Se calculan las propiedades con este set de parámetros y se
obtienen las diferencias con respecto a los valores
observados.
3) Se calculan las derivadas primeras de cada propiedad con
respecto a cada parámetro.
AMBER: Assisted Model Building with Energy Refinement.
Parametrizado para polipéptidos, proteínas y ácidos nucleicos.
OPLS: Optimized Potential for Liquid Simulation. Diseñado
para modelar líquidos.
GROMOS: Gronigen Molecular Simulation. Se usa para
predecir el movimiento dinámico de las moléculas y los líquidos.
También se usa para modelado biomolecular.
CHARMM: Chemistry at Harvard Macromolecular Mechanics.
Diseñado originalmente para proteínas y ácidos nucleicos. Ahora
se aplica a biomoléculas, dinámica molecular, solvatación, etc.
4) Se obtiene un nuevo set de parámetros y se vuelve al paso 2
del ciclo.
27
28
7