Tema 6: el oscilador armónico y el rotor rígido

Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2008
Tema 6: el oscilador armónico y el rotor rígido
Ejercicio 1
Separación del movimiento traslacional del movimiento vibro-rotacional en
una molécula diatómica.
Sea el sistema de dos masas m1 y m2 unidas por un resorte de constante k y
longitud natural l0.
a. - Plantear las ecuaciones de Newton para ambas masas.
b. - Planteando en las ecuaciones obtenidas en la parte a.- el cambio de
variable:
obtener las siguientes ecuaciones de movimiento para
y
:
0
0
Discutir desde el punto de vista físico el resultado obtenido.
c. - Plantear la ecuación de Schrödinger correspondiente al sistema:
Las funciones propias del operador Hamiltoniano del oscilador armónico
son:
1
2
donde:
2
!
es un operador aplicado n veces a la función
.
: frecuencia natural del oscilador.
0, 1, 2, …: valor propio de la función
.
1
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2008
Ejercicio 2
Funciones propias del Hamiltoniano del oscilador armónico cuántico.
a. - Obtener las funciones propias
,
,
del oscilador armónico
cuántico. Esbozar un gráfico de cada una de éstas funciones.
.
b. - Estudiar la paridad de las funciones
c. - Utilizando argumentos de paridad demostrar que
son ortogonales.
,
y
d. - Sin efectuar ningún tipo de cálculo y considerando que el operador
y
con
son
Hamiltoniano es hermítico, demostrar que
ortogonales
, .
Ejercicio 3
Oscilador armónico clásico vs. oscilador armónico cuántico.
a. - Calcular la energía En de un oscilador armónico clásico cuya ecuación
de movimiento es:
cos
Exprese An en función de En.
b. - Sea un oscilador armónico cuántico cuyo estado viene descrito por la
función de onda
.
Sabiendo que
y utilizando la expresión de An en función de En
hallada en la parte a.-, calcular A0. Hallar la probabilidad de que en el
estado
la partícula se encuentra entre ∞;
;∞ .
Discutir el resultado obtenido. Comparar con la predicción de la
mecáncia clásica.
El operador Hamiltoniano del oscilador armónico puede
expresarse en función de p y x como:
̂
2
2
Ejercicio 4
La energía de punto cero y el principio de incertidumbre.
Sea un oscilador armónico cuántico cuyo estado viene descrito por la función
de onda
.
a. - Utilizando argumentos de paridad, calcular ∆ y ∆ para el oscilador en
dicho estado.
2
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b. - Deducir que en dicho estado se verifica: ∆ · ∆
. ¿Se verifica el
principio de incertidumbre?
c. - Demostrar que:
2
d. - Discutir los resultados obtenidos en las partes b.- y c.-.
Ejercicio 5
Constante de fuerza del H79Br.
El espectro infrarrojo del H79Br posee una línea intensa en 2630 cm-1.
Utilizando el oscilador armónico cuántico como modelo del H79Br y la regla de
selección vista en el teórico, calcular la constante de fuerza k del H79Br.
Dato:
Masa del 1H: mH=1,67 x 10-27 Kg
Masa del 79Br: mBr=1,31 x 10-25 Kg
Ejercicio 6
Coordenadas esféricas y rotor rígido.
a. - Deducir la expresión de las coordenadas rectangulares
función de las coordenadas esféricas , , .
, ,
en
b. - Deducir que la expresión del elemento infinitesimal de volumen en
coordenadas esféricas es:
sen
c. - Sea el siguiente sistema clásico, sobre el que no se ejercen fuerzas
externas:
Demostrar que la energía total del sistema es:
1
2
1
2
Discutir el resultado obtenido.
d. - Plantear la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas para el
sistema anterior.
3
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Integrales importantes:
!
2
4
1·3·5 ·…· 2
2
2
1
!
2
°
sen
sen
°
cos
sen
cos
cos
2
0
* n entero positivo
º m, n enteros
Coordenadas esféricas:
sen cos
0
∞; 0
;
sen sen
; 0
;
cos
2
1
1
sen
sen
1
sen
Primeras funciones propias del oscilador armónico cuántico:
2
√2
1
√2
1
·
2
·
2
1
4