8-Sucesiones y Series (ejercicios resueltos)

Cátedra:
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Carrera:
ISI
Coordinadora: Mg. Alicia Tinnirello
SUCESIONES Y SERIES
Práctica del libro
“Cálculo. Trascendentes Tempranas”
4º Ed.- James Stewart -
Ing. Mirta Mechni
Ing. Eduardo Gago
Año 2012
Sucesiones y Series
CAPITULO Nº 11 – SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
SECCIÓN 11.1 – SUCESIONES.
2)
a)
¿Qué es una sucesión convergente? De dos ejemplos.
Se dice que una sucesión es convergente cuando lim a n = L , al aumentar o crecer n,
n →∞
los términos de la sucesión se aproximan indefinidamente a un valor finito L
Ejemplos:
n2
i) a n = 2
2n + n + 1
n2
n2 / n2
1
lim 2
= lim 2 2
=
2
n →∞ 2 n + n + 1
n →∞ 2 n / n + 1 / n + 1 / n
2
ii)
an =
n
en
n
= Ind ( ∞∞ )
n
e
Asociamos una función a la serie dada y hallamos el límite aplicando L´Hopital
x
f (x) = x
e
lim
n →∞
lim
n →∞
b)
1
x
= lim x = 0
x
n
→
∞
e
e
¿Qué es una sucesión divergente? De dos ejemplos.
Se dice que una sucesión es divergente cuando lim a n no existe .
n →∞
2
Sucesiones y Series
Ejemplos:
i)
{a n } = 2 n = 2,2 2 ,2 3 ,2 4 ,2 5 ,.....
{ } {
}
lim 2 n = ∞
n →∞
ii)
{a n } = {(− 1)n .n} = {− 1,2,−3,4,−5,.....}
lim (− 1) .n no existe.n
n →∞
3-8 Haga la lista de los cinco primeros términos.
4)
an =
n +1
3n − 1
3 1 5 3
la lista es: 1; ; ; ;
5 2 11 7
15-38 Determine si la sucesión converge o diverge. Si converge, establezca el límite.
15) a n = n (n − 1)
Cuando n aumenta a n también aumenta
Como lim
n(n − 1) = ∞ entonces la Sucesión es divergente
n −>∞
17) a n =
3 + 5n 2
n + n2
3
+5
2
0+5
Como lim n
=
= 5 entonces la Sucesión es convergente
n − >∞ 1
0 +1
+1
n
2n
19) a n = n +1
3
n
2n
2n
12
Como lim n +1 = lim n = lim n→∞   = 0 de donde {a n } converge
n − >∞ 3
n − >∞ 3 3
3 3
21) a n =
(− 1)n−1 n
n2 +1
3
Sucesiones y Series
n −1
(
− 1) n
Como lim
= 0 , por Teorema Nº 5 podemos asegurar que:
n − >∞
lim
n − >∞
n2 +1
(− 1)n−1 n = 0 de donde {a } converge
n
n2 +1
23) a n = 2 + cos nπ
Como lim (2 + cos nπ ) no existe, entonces la sujeción dada diverge
n − >∞
 3 + (− 1)n1 
25) 

 n 2

3 + (− 1)
n − >∞
n2
n1
Como lim
=0
⇒
3 + (− 1)n1
= 0 , de donde {a n }
n − >∞
n2
lim
Por Teorema Nº 5
converge.
 ln n 2 
27) 

 n 
Considerando la función a variable real f ( x ) =
ln x 2
, calculamos
x
ln x 2
= Ind .(∞∞ )
n − >∞
x
Para resolver el límite indeterminado ( ∞∞ ) tomamos la función asociada a la
sucesión,
1
2x
2
2
ln x
ln n 2
2
x
lim
= lim
= lim = 0 , de donde lim
= 0 y {a n } converge.
L' H n − > ∞
n − >∞
n −>∞ x
n − >∞ n
x
1
lim
29)
{ n + 2 − n}
Como lim
n − >∞
( x + 2 − x ) = Ind .( ∞ − ∞ )
Para resolver este límite rompemos la indeterminación (∞ − ∞ ) multiplicando y
dividiendo por el conjugado de la expresión dada.
( x + 2 − x )( x + 2 + x ) = lim ( x + 2 ) − ( x )
lim ( x + 2 − x ) = lim
( x + 2 + x)
x+2 + x
2
n − >∞
= lim
n − >∞
n − >∞
x+2− x
x+2+ x
= lim
n − >∞
n − >∞
2
x+2+ x
=0
4
2
Sucesiones y Series
por lo tanto la sucesión es convergente.
31) a n = n 2 − n
Para calcular lim n 2 − n = lim
n
, consideramos la función real: f ( x ) =
n − >∞ 2 n
n − >∞
x
2x
x
∞
= Ind . 
x
x − >∞ 2
∞
y calculamos lim
Se presenta nuevamente una indeterminación ( ∞∞ ), por lo tanto, asociamos otra vez
una función de variable real a la sucesión dada para poder aplicar la regla de
L´Hopital:
x
x − >∞ 2 x
lim
1
= 0 ∴ lim n 2 − n = 0 ⇒ La sucesión converge
L .H . x − > ∞ 2 ln 2
x − >∞
=
lim
x
53) Determine si la sucesión es creciente, decreciente o no monótona. ¿Es acotada?
an =
1
2n + 3
a n +1 =
1
2(n + 1) + 3
i) Estudiemos la monotonía:
2 n + 5 > 2n + 3
a n > a n +1 ∀n ≥ 1 ⇒ a n
a n +1 =
1
2n + 5
es decreciente por definición de
sucesión decreciente
ii) Analicemos ahora si es convergente o divergente:
1
= 0 Convergente
n − >∞ 2 n + 3
Por ser monótona y convergente es acotada: 1 / 5 ≥ a n > 0
lim
57) a n =
a n +1 =
n
n +1
n +1
2
(n + 1)2 + 1
i) Estudiemos la monotonía
n
n +1
2
≥
⇔ [(n + 1) + 1].n ≥ (n 2 + 1).(n + 1) ⇔
2
n + 1 (n + 1) + 1
2
⇔ n 3 + 2n 2 + 2n ≥ n 3 + n 2 + n + 1
Donde observamos que an > an +1
∀n ≥ 1 ⇒ a n Decreciente
ii) Analicemos ahora si es convergente o divergente:
n
lim 2
= 0 Convergente
n− >∞ n + 1
Por se monótona y convergente es acotada: 1 / 2 ≥ a n > 0
5
Sucesiones y Series
SECCIÓN 11.2 – SERIES.
11-34 Determine si la serie es convergente o divergente. En caso de que converja,
calcule la suma
2
3
8 16 32
2
2 2 23 2 4 25
2
2
+
+ ..... = 4 + 4. + 4.  + 4.  + .... = 0 +
+
+
+ ..... =
1) 4 + +
5 25 125
5
5 5 2 53
5
5
5
∞ 2 n+ 2
= ∑
n=0 5
n
∞ 2n 22
= ∑
n =0
r =
Como
∞
2
15) ∑ 5 
n =1  3 
5
∞
2
= ∑ 4 
n =0  5 
n
∞
∑
n =1
2
y a=4
5
n −1
2
y a=5
3
2 2
5
= < 1 ⇒ la serie converge y su suma es S =
= 15
3 3
1 − 23
∞
(− 3)n−1
n =1
4n
17) ∑
, serie geométrica de razón r =
2 2
4
4 20
= 3 =
= < 1 ⇒ la serie es convergente, y su suma es S =
2
1− 5 5
3
5 5
serie geométrica de razón r =
Como r =
n
(− 3)n−1 = ∞ − 1  − 3  n = ∞ − 1  − 3  − 3  n−1 = ∞ 1  − 3  n−1
4n
∑
n =1


3 4
∑
n =1
∑ 



3  4  4 
n =1 4 

4
1
3
−3 3
y la razón es: r = − , dado que r =
= <1⇒
4
4
4
4
1
1
la serie es convergente y su suma nos da: S = 4 3 =
1+ 4 7
Serie geométrica donde a =
∞
19) ∑ 3 −n 8 n +1
n =1
n
∞
∞ 8
∞  8  8 
− n n +1
∑ 3 8 = ∑ 8  = ∑ 8  
n =1
n =1  3 
n =1  3  3 
serie geométrica de razón r =
n −1
∞ 64  8 
=∑
 
n =1 3  3 
8
64
y a=
3
3
6
n −1
Sucesiones y Series
Como r =
8 8
= > 1 ⇒ la serie diverge
3 3
∞
n
n =1 n + 5
21) ∑
n
lim
n − >∞ n + 5
= 1 ≠ 0 ⇒ la serie diverge (Prueba de la divergencia, Teorema Nº 7)
∞
1
n =1 n(n + 2 )
23) ∑
A
B
A(n + 2 ) + Bn
1
= +
=
n(n + 2) n n + 2
n(n + 2 )
1 = A( x + 2 ) + Bx
Si x = −2
1 = B(− 2 ) ⇒ B = −
Si x = 0 n
1 = 2A ⇒ A =
1
2
1
2
1
1
1
11
1 
= 2− 2 =  −

n ( n + 2) n n + 2 2  n n + 2 
Sn =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1 
− −−−−+ −
1 − + − + − + − + − + − − − − − +

2 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6
n−2 n
n n + 2
Sn =
1 1
1 
1 + −

2  2 n + 2
1 3
1  3
 −
=
n −>∞ 2  2
n + 2 4
lim S n = lim
n − >∞
∞
27) ∑
Serie convergente cuya suma es
3
4
n
1+ n2
n
= lim
1 + n 2 n − >∞ n
n =1
lim
n − >∞
n
1
n2
+1
= 1 ≠ 0 ï la serie diverge (Prueba de la divergencia,
Teorema Nº 7)
7
Sucesiones y Series
∞ 3n + 2 n
29) ∑
6n
n =1
∞ 3n + 2 n
∑
∞ 3n
=∑
+
n
n
n =1
6n
q =
1 1
= < 1 ⇒ Convergente
2 2
n =1 6
n
n
∞ 1
∞ 1
∞ 1
2n
1
= ∑   +   = ∑  + ∑ 
n
n =1  2 
n =1 2 
n =1 3 
6
 3
q =
n
a=1
1 1
= < 1 ⇒ Convergente
3 3
Por teorema nº 8 (prop. ii) la serie dada converge.
S1 =
1
2
=1
1
S2 =
1− 2
1
3
1−
1
3
=
1
2
S= 1 + 1/2 = 3/2
∞
31) ∑ arctgn
n =1
lim (arctgn ) =
n − >∞
π
≠ 0 ⇒ la serie diverge (Prueba de la divergencia, Teorema Nº 7)
2
SECCIÓN 11-3
∞
1
4
n =1 n
3) ∑
f (n ) =
1
Contínua ∧ f (n ) > 0en[1,+∞)
n4
f (′n ) =
−4
< 0∀n > 0 ⇒ f (n ) decreciente.en.[1,+∞) ∴ es. posible.aplicar.la.PI
n5
∞
1
1
−1
dx = lim 3
∫1 x 4 dx = lim
t →∞ ∫ x 4
t →∞ 3 x
1
t
t
1
 −1 1  1
= lim 3 +  =
t → ∞ 3t
3 3

La serie converge, ya que la integral impropia de la función relacionada resultó
convergente.-
8
Sucesiones y Series
∞
1
n =1 3n + 1
5) ∑
f (n ) =
1
Contínua ∧ Positiva ∧ Decreciente.en[1,+∞)
3n + 1
Cumple con las condiciones de las PI
∞
t
t
1
1
1
1
dx = lim ln 3 x + 1 1 = lim(ln 3t + 1 − ln 4 ) = ∞
∫1 3x + 1dx = lim
t →∞ ∫ 3 x + 1
t →∞ 3
3 t →∞
1
∞
7) ∑ ne
n =1
−n
Diverge
∞
n
n
n =1 e
=∑
f (n ) =
n
Contínua ∧ Positiva.en[1,+∞)
en
f (′n ) =
e n − ne n e n (1 − n) 1 − n
=
= n < 0 ⇒ f (n ) decreciente.en.[1,+∞) ∴ es. posible.aplicar.la.PI
e 2n
e 2n
e
∞
t
x
x
dx = lim(− xe − x
∫1 e x dx = lim
t →∞ ∫ e x
t →∞
1
t
+ ∫ e − x dx) = lim(− xe − x − e − x ) 1 =
1
t
t
t →∞
1
= lim(−te −t − e −t + e −1 + e −1 ) = 2e −1
t →∞
Resolución de la integral por partes, tomando:
u=x du=dx
y dv= 1/e v= -1/e
Resolución del límite indeterminado por L´Hopital:
−t
−1
= lim(−te −t ) = lim t = lim t = 0
t →∞
t →∞ e
t →∞ e
9
Sucesiones y Series
SECCIÓN 11-4
∞
1
n =1 n + n + 1
3) ∑
2
∞
Comparamos con la serie p convergente (p>1)
1
∑n
n =1
2
Directamente: n 2 < n 2 + n + 1.∀n > 0
1
1
> 2
2
n
n + n +1
Con paso al límite:
1
Converge
n2
= 1 > 0 ⇒ Converge
tn → ∞ n 2 + n + 1
lim n +1n +1 = lim
2
n →∞
n2
∞
5
n
n =1 2 + 3
5) ∑
∞
Comparamos con la serie geométrica convergente
5
5.3 n
= 5 > 0 ⇒ Converge
tn →∞ 2 + 3 n
lim 2+13 = lim
n
n →∞
3n
Resolvemos aplicando L´Hopital a la función asociada:
10
n
1
  r <1
∑
n =1  3 
Sucesiones y Series
5.3 x
5.3 x ln 3
=
∴
lim
=5
x →∞ 2 + 3 x
x → ∞ 3 x ln 3
∴ lim
∞
6) ∑
n=2
1
n− n
∞
Comparamos con la serie armónica, divergente,
1
∑n
n =1
1
lim n −1 n = lim
n →∞
tn → ∞
n
lim
tn →∞
n
n− n
n
n(1 − 1 / n )
= lim
tn → ∞
n
n(1 − n / n)
=
= 1 > 0 ∴ la.serie.Diverge
n +1
2
n =1 n
∞
7) ∑
∞
Comparamos con la serie armónica, divergente,
1
∑n
n =1
n +1
n2
n →∞ 1
n
lim
n +n
= 1 > 0 ∴ la.serie.Diverge
tn →∞
n2
= lim
2
4 + 3n
2n
n =1
∞
8) ∑
∞
Comparamos con la serie geométrica Divergente
4 + 3n
2n 2
lim 3n
n →∞
2n
3
 
∑
n =1  2 
n
r ≥1
 4 3n 
 +  = 1 > 0 ⇒ Diverge
4 + 3 n lim
= lim
= n→∞ 3 n 3 n 
n
tn → ∞
3
∞
3
n
n =1 n 2
9) ∑
∞
Comparamos con la serie geométrica convergente
2 n ≤ n.2 n ∀n ≥ 1
1
1
≥ n
n
2
n2
11
1
 
∑
n =1  2 
n
r =
1
<1
2
Sucesiones y Series
∞
∞
1
1
≤
⇒ Converge
∑
∑
n
n
n =1 n 2
n =1 2
∞
11) ∑
n=2
1
n(n + 1)(n + 2)
∞
Comparamos con la serie p convergente (p>1)
∑n
n =1
lim
1
n.( n +1).( n + 2 )
n →∞
= lim
tn →∞
1
n3
1
3/ 2
n3
= 1 > 0 ⇒ Converge
n.(n + 1)(
. n + 2)
n2 +1
3
n =1 n − 1
∞
13) ∑
∞
Comparamos con la serie armónica, divergente,
1
∑n
n =1
n 2 +1
n 3 −1
n →∞ 1
n
lim
n +n
= 1 > 0 ∴ la.serie.Diverge
tn →∞ n 3 − 1
= lim
3
∞
n
n
n =1 ( n + 1) 2
14) ∑
∞
Comparamos con la serie geométrica convergente
lim
n
( n +1).2 n
n →∞
1
2n
1
 
∑
n =1  2 
n
r =
1
<1
2
n
= 1 > 0 ∴ la.serie.Converge
tn →∞ n + 1
= lim
∞
3 + cos n
3 cos n
=
( n + n )
∑
n
3
3
n =1
n =1 3
∞
15) ∑
∞
∞
3
1
=
3
∑
∑
n
n
n =1 3
n =1 3
Converge por Teorema 8 de series convergentes.
12
Sucesiones y Series
∞
cos n ∞ 1
≤ ∑ n y por lo tanto es Convergente.
∑
n
n =1 3
n =1 3
La serie dada resulta convergente por suma de series convergentes.∞
n
n =1
n +4
17) ∑
5
∞
∑n
Comparamos con la serie p convergente (p=3/2>1)
n =1
n
lim
n5 + 4
n →∞
= lim
tn → ∞
1
n3
1
3/ 2
n5
= 1 > 0 ⇒ Converge
n5 + 4
∞
2n
n
n =1 1 + 3
19) ∑
∞
Comparamos con la serie geométrica convergente
2n
1+ 3n
2
 
∑
n =1  3 
n
r =
3n
= 1 > 0 ∴ la.serie.Converge
tn →∞ 1 + 3 n
lim 2n = lim
n →∞
3nn
∞
21) ∑
n =1
1
1+ n
∞
Comparamos con la serie divergente:
1
∑ n
n =1
1
lim 1+1 n = lim
tn →∞
n →∞
n
n
1+ n
= lim
tn →∞
1
1/ n + 1
= 1 > 0 ∴ la.serie.Diverge
n2 +1
3
n =1 n − 1
∞
23) ∑
∞
Comparamos con la serie p convergente (p>1)
n =1
13
1
∑n
2
2
<1
3
Sucesiones y Series
n 2 +1
n 4 +1
n →∞ 1
n2
lim
n4 + n2
= 1 > 0 ⇒ Converge
tn →∞ n 4 + 1
= lim
SECCIÓN 11-5
∞
(−1) n−1
n =1
n
5) ∑
14
Sucesiones y Series
i) Consideramos la función asociada : f ( x ) =
f (′x ) =
−1
2 x3
1
ii) lim
tn → ∞
n
1
x
< 0∀x > 0 ⇒ f (n ) Decreciente∀n > 0
= 0 ⇒ Serie Convergente
7)
∞
∑ (− 1) 4n + 1
2n
n
n =1
i) Consideramos la función asociada : f ( x ) =
f (′x ) =
2(4 x + 1) − 2 x.4
(4 x + 1)
2
2
=
(4 x + 1)2
2x
4x + 1
> 0∀x ≠ −1 / 4 ⇒ f ( x )Creciente
(−1) n 2n
ii) Además lim
Noexiste ⇒ Serie Divergente
tn → ∞ 4 n + 1
11)
( −1) n −1 n
∑
n+4
n =1
∞
x
x+4
Consideramos la función asociada : f ( x ) =
i)
f (′x ) =
1
2 x
(x + 4 ) −
( x + 4 )2
x
=
x + 4 − 2x
2 x (x + 4)
2
=
−x+4
2 x (x + 4)
2
< 0 ⇔ 4− x < 0 ⇔ x > 4
f (n ) Decrecient e∀n > 4
ii) lim
tn →∞
n
= lim
n + 4 tn →∞
1
n+
4
= 0 ⇒ Serie Convergente
n
13)
∞
∑ (− 1) ln n
n
n
n=2
15
Sucesiones y Series
i) Consideramos la función asociada : f ( x ) =
f (′x ) =
ln x − x. 1x
(ln x )
2
=
ln x − 1
(ln x )2
x
ln x
< 0 ⇔ ln x − 1 < 0 ⇔ ln x < 1 ⇔ x < e ⇒ f ( x ) Decreciente ⇔ n < e
No cumple con la primer condición de la prueba de convergencia de las series
alternantes.
(−1) n n
ii) Además lim
Noexiste ⇒ Serie Divergente.
tn →∞ ln n
SECCIÓN 11.6CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ
1)¿Qué puede decir de la serie ∑ a n en los casos siguientes?
16
Sucesiones y Series
a) lim a n +1 = 8
n→ ∞
an
∞
∑ a : Diverge
n
n =1
Recordar lo establecido en la Prueba de la razón
ii) Si lim a n +1 = L > 1 ⇒ Serie .Divergente
n→ ∞
an
b) lim a n +1 = 0 .8
n→ ∞
an
Recordar lo establecido en la Prueba de la razón
i) Si lim a n +1 = L < 1 ⇒ Serie Convergente, entonces en este caso
n→ ∞
an
∞
∑ a : Converge
n
n =1
c) lim a n +1 = 1
n→ ∞
an
En este caso la Prueba de la razón no es concluyente, es decir el criterio no
dice nada.-
Determine si la serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente
o divergente.
2)
∞
( −1) n −1
1
1
1
∑ n n = 1 − 2 2 + 3 3 − 4 4 + ...... Serie alternante, veamos si se cumplen las
n =1
Propiedades necesarias para aplicar la Prueba de la Serie Alternante…
a
n=
1
n n
>0
i) Veamos si se satisface: a n +1 ≤ a n ∀n
1
(n + 1) n + 1 > n n ⇒ 1 >
⇒ Serie.decreciente∀n
n n ( n + 1) n + 1
17
Sucesiones y Series
Conclusión que puede alcanzarse asociando a la serie dada la respectiva función e
investigando su crecimiento a través de la derivada primera:
1
f ( x) =
=
1
3/ 2
x x x
− 3/ 2
f (′x ) = 5 / 2 < 0∀x > 0 ⇒ f ( x ) Decrece∀x > 0
x
ii) ¿ lim a n = 0 ?
n →∞
1
=0
n n
Se satisfacen las condiciones i) e ii) ⇒ la.dada.es.una.Serie.Convergente
Además:
lim
n →∞
∞
(−1) n −1
∞
∑ n n =∑ n
n =1
n =1
Por lo tanto
∞
(−1) n −1
∑ n n
1
3/ 2
Serie convergente, por ser una serie con p=3/2>1.-
Es Absolutamente Convergente.-
n =1
7)
∞
( −1) n
∑ 5 + n Serie Alternante.n =1
Veremos si cumple las propiedades para aplicar el criterio correspondiente.
i)
Análisis del crecimiento de la serie
5 + n +1 > 5 + n ⇒
1
1
<
⇒ Serie.decreciente∀n ≠ −5
5 + n +1 5 + n
Analizamos el crecimiento de la serie asociándole una función y estudiando el signo
de la derivada primera:
f ( x) =
f (′x ) =
ii)
1
5+ x
−1
(5 + x )2
< 0∀x ≠ −5 ⇒ f ( x ) Decrece∀x ≠ −5
Límite del término enésimo:
18
Sucesiones y Series
lim
n →∞
1
= 0 ⇒ Serie.Convergente
5+n
Pero,
∞
(−1) n
1
=∑
∑
n =1 5 + n
n =1 5 + n
∞
Comparamos esta serie con la armónica divergente, con paso al límite:
1
lim 5+1 n = lim
n →∞
n
tn →∞
n
= 1 > 0 ⇒ Diverge
5+n
(−1) n
es Condicionalmente Convergente.n =1 5 + n
∞
Entonces la serie dada: ∑
5)
( −3) n
∑
n3
n =1
∞
∞
(−3) n
3n
=
∑
3
n3
n =1
n =1 n
∞
Analizamos ∑
*Si tomamos la función correspondiente y hallamos el límite al infinito aplicando
L´Hopital:
f ( x) =
3x
x3
∞
3x
3 x ln 3
3 x ln 2 3
3 x ln 3 3
3n
Diverge
=
lim
=
lim
=
lim
=
∞
⇒
∑
3
n →∞ x 3
tn → ∞ 3 x 2
tn →∞
tn →∞
6x
6
n =1 n
lim
*Asimismo, si aplicamos el criterio de la razón:
−3 n +1
( n +1)3
3
3
3n 3
 n 
 1 
= lim 3.
= lim 3.

 = 3 > 1 ⇒ Diverge
3
tn →∞ ( n + 1)
tn →∞
tn →∞
 n +1
 1 + 1/ n 
lim −3n . = lim
n →∞
n3
9)
∞
n
∑ (−1) 5 + n
n
n =1
i)
Análisis del crecimiento:
19
Sucesiones y Series
Si f ( x ) =
f (′x ) =
x
5+ x
5+ x− x
(5 + x )
2
=
5
(5 + x )2
> 0∀x ⇒ f ( x )crece∀x
ii) Límite del término enésimo:
lim
tn →∞
n
= 1 ≠ 0 ⇒ Diverge
5+n
11)
∞
1
∑ (2n)! Serie a términos positivos, no utilizamos signos de valor absoluto,
n =1
directamente:
Aplicamos el criterio de la razón:
lim
n →∞
1
( 2 n + 2 )!
1
( 2 n )!
= lim
tn →∞
( 2n)!
1
= lim
= 0 < 1 ⇒ Convergente
( 2n + 2).(2n + 1)(
. 2n )! tn →∞ ( 2n + 2).(2n + 1)
Y así la serie resulta Absolutamente Convergente.13)
∞
Sen2n
∑ n
n =1
2
∞
Comparamos con la serie p convergente (p=2>1)
n =1
Sen2n ≤ 1 ⇒
sen2n
n
2
≤
1
∑n
2
1
n2
∞
∞
Sen2n
1
≤ ∑ 2 ∀n ≠ 0
2
n
n =1
n =1 n
∑
La serie dada es Absolutamente Convergente.-
15)
∞
n.(−3) n
∑ 4
n =1
n −1
Utilizamos el criterio de la razón:
20
Sucesiones y Series
( −3 ) n +1 ( n +1)
lim
n →∞
lim
n →∞
− 3(− 3) 4 −1 4 n (n + 1)
=
n →∞
4 n ( −3) n n
n
= lim
4n
( −3 ) n . . n
4 n −1
3 (n + 1). 3
= < 1 ⇒ SerieConvergente
4 .n
4
La serie es Absolutamente convergente.17)
∞
10 n
∑
2 n +1
n =1 ( n + 1) 4
Se trata de una serie a términos positivos y no hace falta utilizar signos de valor
absoluto.
Utilizamos el criterio de la razón:
10 n+1
lim
n →∞
( n + 2 ).4 2 n+3
10
nn
( n +1)4 2 n+1
10.10 n (n + 1)4 2 n +1
10.10 n (n + 1)4 2 n.4
=
lim
=
tn →∞ ( n + 2).4 2 n + 310 n
tn →∞ ( n + 2).4 2 n .4 310 n
= lim
10  (n + 1)  5

 = < 1 ⇒ La.serie.dada.es. Absolutamente.Convergente
tn →∞ 4 2  ( n + 2) 

 8
lim
19)
∞
n!
∑ (−10)
n =1
n
Tomamos valor absoluto ya que se trata de una serie alternante, aplicamos el criterio
de la razón:
(n + 1)!
(− 10)n+1 = lim = (n + 1)!.(− 10)n = lim = (n + 1) = ∞ ⇒ La serie Diverge.lim
n →∞
tn →∞
n!
(−10) n .(− 10 )(
. n )! tn →∞ .(− 10 )
n
(− 10)
21)
21
Sucesiones y Series
cos(n.π / 3)
n!
n =1
∞
∑
cos(n.π / 3)
cos(n.π / 3) ≤ 1
n!
≤
1
n!
Consideramos la serie
∞
1
∑ n!
n =1
Aplicamos el criterio de la razón para series con términos positivos:
lim
1
( n +1)!
n →∞
1
( n )!
(n)!
1
= lim
= 0 < 1 ⇒ Convergente y como
tn → ∞ .(n + 1)!
tn →∞ (n + 1)
= lim
∞
cos(n.π / 3)
1
≤
∑
∑
n!
n =1
n =1 n!
∞
Y así la serie dada resulta Absolutamente Convergente.-
23)
 n 
n
n
n
1  
= ∑ 3n = ∑
= ∑  27 
∑
1+ 3 n
n
3 n =1
n =1 3
n =1 33
n =1 3.27
∞
∞
n
∞
n
n
n
∞
Esta serie tiene términos positivos, aplicaremos el criterio de la raíz:
n
 n 
lim   = ∞ ⇒
n →∞
 27 
n
La serie Diverge
33) ¿Para cuál de las series adjuntas la prueba de la razón no es concluyente (esto
es, no produce una respuesta definitiva)acerca de la convergencia?
∞
a)
1
∑n
n =1
3
Aplicamos el critrerio de la razón
1
lim
n →∞
( n +1)3
1
n3
n3
3
3
n 
 n 

= lim
=  lim

 = 1 ⇒ El criterio no es
3
n →∞ (
n →∞ 1 + n
1 + n)


 n →∞ 1 + n 
= lim
22
Sucesiones y Series
concluyente.
∞
b)
n
∑ 2n
n =1
n +1
(n + 1).2 n
n +1 1
= lim
= < 1 ⇒ Convergencia. Absoluta
n
n →∞ .2 .2.n
n →∞ 2.n
2
n +1
lim 2 n = lim
n →∞
c)
2n
∞
.(−3) n −1
n =1
n
( −3 ) n
(− 3)(− 3)n n = lim (− 3) n = 3 lim 1 = 3 > 1 ⇒ Diverge
n
n →∞
n →∞ (
n →∞
n +1
− 3) n + 1
1 + 1n
∑
lim ( −3n)+n1−1 = lim
n →∞
n
∞
d)
n =1
lim
n →∞
n
∑1+ n
n +1
1+ ( n +1)2
n
1+ n 2
2
= lim
n →∞
(
n +1 1 + n2
[
n . 1 + (n + 1)
) = lim n + 1 (1 + n )
2
]
2
n →∞
n
[1 + (n + 1) ] = 1 ⇒ El criterio no es
2
concluyente en este caso.-
35)
∞
a)
Demuestre que
xn
∑
n =1 n!
converge ∀x
(x )n+1
(n + 1)! = lim = n!.(x )n .x = lim = x = 0<1
lim
n → ∞ ( )n
tn →∞
( x) n .(n + 1)(
. n )! tn →∞ (n + 1)
x
n!
∀x ∈ R ⇒ Converge∀x ∈ R
xn
= 0∀x
n →∞ n!
b) Deduzca que lim
23
Sucesiones y Series
∞
xn
∑ n!
es Convergente, ver ejercicio 21, entonces, por Propiedad de las Series
n =1
Numéricas – Teorema nº 6, resulta:
xn
=0
n → ∞ n!
lim
SECCIÓN 11-7
24
Sucesiones y Series
1)
n2 −1
∞
∑n +n
2
n =1
n2 −1
= 1 ≠ 0 ⇒ SerieDivergente , según prueba de la divergencia.
n →∞ n 2 + n
lim
3)
∞
1
∑n +n
Serie con términos positivos, utilizaremos los criterios de
2
n =1
comparación
para dicho tipo de series.∞
-Comparamos con la serie p convergente (p>1)
1
∑n
n =1
2
Directamente: n 2 < n 2 + n.∀n > 0
∞
1
1
1
>
Converge por ser menor ( sus términos son más
∴
∑
2
2
2
n
n +n
n =1 n + n
pequeños) que una serie convergente
-Con paso al límite:
1
n2 +n
n →∞ 1
n2
n2
= 1 > 0 ⇒ Converge por prueba de
tn →∞ n 2 + n
comparación en el límite con una serie convergente.
lim
= lim
5)
∞
(− 3)n+1 = ∞ (− 3)n .(− 3) = ∞ (− 3) − 3  n . = ∞ (− 3) − 3 − 3  n−1 . =
∑ 2
n =1
3n
∑
n =1
∑
8n
n =1


 8
Serie geométrica convergente
q =
3
< 1 ⇒ Convergente
8
a=9/8
25
∑
n =1


8  8
Sucesiones y Series
S=
9
8
9
= 118 =
3
1+ 8
8
9
11
15)
∞
3n n 2
∑
n!
n =1
Serie con términos positivos, donde encontramos productos y factorial,
entonces aplicaremos la prueba del cociente.
lim
3n +1 ( n +1)2
(n +1)!
3n ..n 2
n!
n →∞
3.3 n (n + 1) .n!
3.(n + 1) .
= lim
= 0 < 1 ⇒ SerieConvergente
n
2
n →∞ (n + 1)!.3 n
n →∞ (n + 1).n 2
2
2
= lim
17)
∞
3n
∑5 +n
n =1
n
∞
Comparamos con la serie geométrica convergente
n
3
  r = 3/ 5 < 1
∑
n =1  5 
3n
3n
<
⇒ La serie dada es menor que la geométrica convergente
5n + n 5n
utilizada para comparar y por elle también converge.
5n + n > 5n ⇒
La misma conclusión sacamos con la comparación en el límite:
3n
5n + n
5n
= 1 > 0 ∴ la.serie.Converge
tn → ∞ 5 n + n
lim 3n = lim
n →∞
5n
Para resolver el límite, asociamos una función a la expresión dada y aplicamos
L´Hopital:
5x
5 x ln 5
5 x ln 2 5
=
lim
=
lim
=1
tn → ∞ 5 x + x
tn →∞ 5 x ln 5 + 1
tn →∞ 5 x ln 2 5
lim
31)
∞
2n
∑ (2n + 1)!
n =1
Aplicamos el criterio de la razón, ya que encontramos una expresión con potencias
enésimas y factoriales.
26
Sucesiones y Series
lim
n →∞
2 n +1
( 2 n + 3 )!
2n
( 2 n +1)!
2 n . 2 .( 2 n + 1)!
=
tn → ∞ ( 2 n + 3 )!. 2 n
= lim
2.(2n + 1)!
2.
= lim
= 0 < 1 ⇒ Serie.Convergente. −
tn →∞ ( 2 n + 3).( 2n + 2).(2 n + 1)!
tn →∞ ( 2 n + 3).( 2n + 2)!
lim
27