UNI-FIM Dr. Salome Gonzáles Chávez TURBOMAQUINAS HIDRAULICAS: TURBOMAQUINAS I S4_MN232B_2024-1_SGCH 3. 3.1 TRANSFERENCIA DE ENERGIA EN LAS TURBOMAQUINAS ALTURA TEORICA DE ROTOR Hr DEDUCIDA A PARTIR DE LA ECUACION DE CONSERVACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO: ECUACION DE EULER La expresión de la energía que transfiere una turbomáquina hidráulica, en términos de altura, fue deducida por Euler en base a la aplicación del principio de conservación de la cantidad de momentum angular, generado por un fluido a su paso por el rotor de dicha turbomáquina. A continuación, se realiza la deducción considerando el rodete de una turbomáquina hidráulica radial. Rotor de una turbina Francis Sea el rotor de una turbomáquina radial movida (bomba o ventilador); la dinámica de conversión de la energía hidráulica en el rotor, bajo un análisis vectorial, lo componen la relación entre los vectores de velocidad absoluta y los radios vectores correspondientes, a la entrada y salida del rotor: UNI-FIM Dr. Salome Gonzáles Chávez TURBOMAQUINAS HIDRAULICAS: TURBOMAQUINAS I Triangulo de velocidades en el rotor de una turbomáquina radial movida, p.e. bomba Bajo el análisis integral de la dinámica de un fluido, o volumen de control, tomando una parte del rotor de la turbomáquina, para la determinación de los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida de dicho rotor, se tiene: U2 U N 1 Triangulo de velocidades en un sector del rotor de una turbomáquina radial movida UNI-FIM Dr. Salome Gonzáles Chávez TURBOMAQUINAS HIDRAULICAS: TURBOMAQUINAS I Entonces, aplicando la ecuación de conservación de cantidad de movimiento, en este caso conservación de momento cinético, se tiene: ∑𝑇 = 𝜕 ∫ (𝑟̄ 𝑥𝑐̄ )𝜌𝑑𝑉 + ∫ (𝑟̄ 𝑥𝑐̄ )𝜌(𝑐̄ . 𝑑𝐴̄) 𝜕𝑡 𝑉𝐶 𝑆.𝐶. Siendo: ∑ 𝑇: ▪ Sumatoria de momentos de torsión, conformado por: Tp: Torque ejercido por las fuerzas de presión que actúan sobre superficies paralelas y concéntricas al eje, por lo que se considera nulo ▪ Tb: Torque ejercido por las fuerzas de campo, que, al ser simétricas respecto al eje, su participación es nula ▪ Ts: Torque ejercido por las fuerzas de superficie (fuerzas cortantes y de fricción); se considera despreciable, excepto el torque transmitido sobre la superficie del rodete cortado por la superficie de control (torque transmitido por el rotor al eje o viceversa) Te : Densidad del fluido de trabajo Q: Caudal 𝑟̄2 𝑥𝑐̄2 : Producto vectorial del radio vector r2 por la velocidad absoluta del fluido en el punto de salida 2, C2 𝑟̄1 𝑥𝑐̄1 : Producto vectorial del radio vector r1 por la velocidad absoluta del fluido en el punto de entrada 1, C1 Restricciones de flujo: • • Flujo incompresible. Densidad constante, puesto que se trata de una turbomáquina hidráulica Flujo permanente. Se trata de un volumen de control que no varía en el tiempo, esto es: 𝜕 ∫ (𝑟̄ 𝑥𝑐̄ )𝜌𝑑𝑉 = 0 𝜕𝑡 𝑉𝐶 • Flujo uniforme y unidimensional. Se asume que las líneas de corriente son iguales a su paso por la turbomáquina (no existe efecto de espesor ni número finito de alabes del rotor). Además, solo existe una entrada (1) y una salida (2); entonces: ∫ (𝑟̄ 𝑥𝑐̄ )(𝜌𝑐̄ . 𝑑𝐴̄) = 𝜌𝑄(𝑟̄2 𝑥𝑐̄2 − 𝑟̄1 𝑥𝑐̄1 ) 𝑆.𝐶. Finalmente, la expresión se resume a: 𝑇𝑒 = 𝜌𝑄(𝑟̄2 𝑥𝑐̄2 − 𝑟̄1 𝑥𝑐̄1 ) Evaluando el módulo del torque al eje de acuerdo a la figura anterior, se tiene 𝑇𝑒 = 𝜌𝑄[𝑟2 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(90 − 𝛼2 ) − 𝑟1 𝐶1 𝑠𝑒𝑛(90 − 𝛼1 )] 𝑻𝒆 = 𝝆𝑸[𝒓𝟐 𝑪𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜶𝟐 − 𝒓𝟏 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜶𝟏 ] Sea la velocidad angular del rotor de la turbomáquina; por tanto, multiplicando por UNI-FIM Dr. Salome Gonzáles Chávez TURBOMAQUINAS HIDRAULICAS: TURBOMAQUINAS I a ambos miembros de la expresión anterior se tiene: 𝑇𝑒 𝜔 = 𝜌𝑄[𝑟2 𝜔𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 𝑟1 𝜔𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝛼1 ] Como: Te : Potencia teórica transmitida a través del eje del rotor, P r2 : Velocidad tangencial en la salida U2 r1 : Velocidad tangencial en la entrada U1 Reemplazando: 𝑃 = 𝜌𝑄[𝑈2 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 𝑈1 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝛼1 ] 𝑃 = 𝑔𝐻𝑟 = [𝑈2 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 𝑈1 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝛼1 ] 𝜌𝑄 Queda: 𝐻𝑟 𝑔 = [𝑈2 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 𝑈1 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝛼1 ] Ecuación de Euler Donde Hr se le denomina altura de Euler o altura teórica de rotor, que también se puede expresar como: 𝐻𝑟 = (𝑈2 𝐶2𝑈 −𝑈1 𝐶1𝑈 ) (Ec. 1) 𝑔 C W Cm U CU Siendo: Cm: CU: Velocidad meridiana Componente de la velocidad absoluta en la dirección de la velocidad tangencial Otra forma de expresar la Altura de Euler se deduce del triángulo de velocidades: 𝑊 2 = 𝑈 2 + 𝐶 2 − 2𝑈𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝛼 Reemplazando queda: 𝐶 2 −𝐶 2 𝑈 2 −𝑈 2 𝐻𝑟 = 2 2𝑔 1 + 2 2𝑔 1 + 𝑊1 2 −𝑊2 2 2𝑔 (Ec. 2) UNI-FIM Dr. Salome Gonzáles Chávez 3.2 TURBOMAQUINAS HIDRAULICAS: TURBOMAQUINAS I ALTURA TEORICA DE ROTOR Hr, DEDUCIDA A PARTIR DE LA ECUACION DE CONSERVACION DE ENERGÍA Aplicando la ecuación de conservación de energía en la turbomáquina como volumen de control, se tiene: 𝑑𝑞 𝑑𝑊 𝜕 − = ∫ 𝑒𝜌𝑑𝑉 + ∫ 𝑒𝜌(𝑐̄ . 𝑑𝐴̄) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑉𝐶 𝑆.𝐶. Siendo: 𝑑𝑞 𝑑𝑡 : Flujo de calor entregado al volumen de control. Para el caso, al ser una turbomáquina hidráulica, este valor es nulo 𝑑𝑊 𝑑𝑡 : Flujo de trabajo total W ▪ ▪ : ▪ Q: : Trabajos debidos a: Wp: trabajo ejercido por las fuerzas de presión que actúan sobre superficies paralelas y concéntricas al eje, por lo que se considera nulo Wb: trabajo ejercido por las fuerzas viscosas, que se consideran teóricamente despreciables dada la condición ideal de la turbomáquina Wm: trabajo motor en el eje, que atraviesa la superficie de control Densidad del fluido Caudal 𝑒=𝑢+ u: C: z: 𝑐2 + 𝑔𝑧 2 Energía interna del fluido. Al ser un fluido frío, este valor se mantiene constante Velocidad absoluta del flujo desnivel Además, teniendo las siguientes restricciones de flujo: • • Flujo incompresible. Densidad constante, dado que trata de una turbomáquina hidráulica Flujo permanente. Se trata de un volumen de control que no varía en el tiempo, esto es: 𝜕 ∫ 𝑒𝜌𝑑𝑉 = 0 𝜕𝑡 𝑉𝐶 • Flujo uniforme y unidimensional. Se asume que las líneas de corriente son iguales a su paso por la turbomáquina (no existe efecto de espesor ni número finito de alabes del rotor). Además, solo existe una entrada (1) y una salida (2); entonces: ∫ 𝑒𝜌𝑐̄ . 𝑑𝐴̄) = 𝜌𝑄 ((ℎ2 + 𝑆.𝐶. Siendo h, la entalpía ℎ= 𝑐22 𝑐12 + 𝑔𝑧2 ) − (ℎ1 + + 𝑔𝑧1 ) 2 2 𝑝 +𝑢 𝜌 UNI-FIM Dr. Salome Gonzáles Chávez • TURBOMAQUINAS HIDRAULICAS: TURBOMAQUINAS I No hay transferencia de calor ni cambio de energía interna, por tanto, la ecuación de la energía se reduce a: 𝑝2 𝑐22 𝑝1 𝑐12 −𝑊̇𝑚 = 𝜌𝑄 (( + + 𝑔𝑧2 ) − ( + + 𝑔𝑧1 )) 𝜌 2 𝜌 2 Si se desprecia la diferencia de nivel entre salida y entrada al rotor, se tiene: 𝑝2 𝑐22 𝑝1 𝑐12 −𝑊̇𝑚 = 𝜌𝑄 (( + + 𝑔𝑧2 ) − ( + + 𝑔𝑧1 )) 𝜌 2 𝜌 2 −𝑊̇𝑚 : Potencia mecánica entregada por el sistema, es decir cuando se trata de turbinas hidráulicas (también tener en cuenta que salida es en 1 y entrada en 2) +𝑊̇𝑚 : Potencia mecánica recibida por el sistema, es decir bombas y ventiladores (también teniendo en cuenta que salida es en 2 y entrada en 1) En el caso de una bomba: 𝑊̇𝑚 𝑝2 − 𝑝1 𝑐22 − 𝑐12 = + 𝜌𝑄 𝜌 2 Obteniéndose finalmente la altura de Euler, como: 𝑐 2 −𝑐 2 𝑝 −𝑝 𝐻𝑟 = 22𝑔 1 + 2 𝛾 1 (Ec. 3) 3.3 ANALISIS ENERGETICO EN EL ROTOR DE UNA TURBINA RADIAL CON PREESTATOR Este análisis se basa en la evaluación de la transferencia de energía en una turbina hidráulica a partir de la aplicación de la ecuación de conservación de energía, tal como lo visto anteriormente, considerando como un volumen de control con una entrada (2) y una salida (1), y entregando trabajo sin ningún elemento estático a su entrada tal como un preestator. En el rotor ideal de la turbina hidráulica, el fluido de trabajo obedece a un flujo permanente, unidimensional a la entrada y salida, entonces la ecuación de energía para este caso estará dada por la siguiente expresión: 𝐶22 𝑑𝑊𝑟 𝐶12 ( + 𝑔𝑧2 + ℎ2 ) − = ( + 𝑔𝑧1 + ℎ1 ) 2 𝑑𝑚 2 Donde: 𝐶12 𝐶22 2 , 2 : Energía cinética específica a la salida y entrada de la turbina gz1, gz2: Energía potencial específica a la salida y entrada de la turbina h1 , h2 : Entalpía específica a la salida y entrada de la turbina UNI-FIM Dr. Salome Gonzáles Chávez 𝑑𝑊𝑟 : 𝑑𝑚 TURBOMAQUINAS HIDRAULICAS: TURBOMAQUINAS I Trabajo específico entregado por la turbina Como se trata de un flujo incompresible, la energía interna u permanecerá constante; por tanto, las entalpías h1 y h2 de la ecuación anterior se reemplazan por p1 / y p2 / . Además, si dm / dt = Q y despreciando la energía de posición z, reemplazando se tiene: ( 𝐶22 𝑝1 𝑑𝑊𝑟 𝐶12 𝑝1 + 𝑔𝑧2 + ) 𝜌𝑄 − = ( + 𝑔𝑧1 + ) 𝜌𝑄 2 𝜌 𝑑𝑡 2 𝜌 − 𝑃 𝐶12 − 𝐶22 𝑝1 − 𝑝2 = −𝑔𝐻𝑟 = + 𝜌𝑄 2 𝜌 Quedando de la siguiente forma: 𝐶22 − 𝐶12 𝑝2 − 𝑝1 𝐻𝑟 = + 2𝑔 𝜌𝑔 Ahora bien, analizando cuando la turbina posee un pre-estator (conjunto de álabes estáticos que sirven para mejorar las condiciones del flujo a la entrada del rotor de la turbina), tal como se esquematiza en la figura siguiente: .C6 Pre-estator . C3 5 4 Rotor 2 .C0 1 N Siendo: Punto 0, ubicado fuera del rotor inmediatamente después del punto 1 Punto 3, ubicado fuera del rotor inmediatamente antes del punto 2 Punto 6, ubicado fuera del pre-estator inmediatamente antes del punto de entrada al pre-estator (5) Punto 5, ubicado en la entrada del pre-estator Punto 4, ubicado en la salida del pre-estator Para analizar el efecto del pre-estator, se aplica la ecuación de la energía en toda la etapa (6-0), esto es en puntos 6 y 0 los cuales están fuera del pre- estator y el rotor (entonces entre tales puntos se asume un proceso de entrada y salida): 𝑊𝐸 𝐶62 𝐶02 = ℎ6 − ℎ0 + − 𝑚 2 2 Haciendo: (ℎ6 − ℎ0 ) = (ℎ6 − ℎ3 ) + (ℎ3 − ℎ0 ) = ∆ℎ𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 + ∆ℎ𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 Efecto Bernoulli en el pre estator ideal, se ordena el flujo para la entrada al rotor UNI-FIM Dr. Salome Gonzáles Chávez TURBOMAQUINAS HIDRAULICAS: TURBOMAQUINAS I ∆ℎ𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 = 𝐶32 𝐶62 − 2 2 Altura estática en el rotor: ∆ℎ𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 = 𝑈22 − 𝑈12 𝑊02 − 𝑊32 + 2 2 Reemplazando queda: 𝑊𝐸 𝐶32 − 𝐶62 𝑈22 − 𝑈12 𝑊02 − 𝑊32 𝐶62 𝐶02 = + + + − 𝑚 2 2 2 2 2 Ordenando, se tiene: 𝑊𝐸 2 2 2 2 2 2 𝑡 = 𝑃 = 𝑔𝐻 = 𝐶3 − 𝐶0 + 𝑈2 − 𝑈1 + 𝑊0 − 𝑊3 𝑟 𝑚 𝜌𝑄 2 2 2 𝑡 Por lo tanto, se demuestra que el estator prepara al flujo para que en el rotor se logre la mayor altura energética de aprovechamiento.
