1.1 Mega-Pack-Estadistica-1Parcial

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
AÑO:
2018
PERIODO:
MATERIA:
ESTADÍSTICA
PROFESORES:
EVALUACIÓN:
PRIMERA
FECHA:
Primer Término
Cárdenas N/García S./González S./Moreira F./Ochoa
G./ Pinos C./Sánchez J./Ugarte J.
Jueves 28 de Junio 2018
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar este compromiso,
reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una calculadora sencilla, ordinaria
para cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del examen; y,
cualquier instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior del aula, junto con algún otro
material que se encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes adicionales a las que se entreguen en esta
evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
Firma
NÚMERO DE MATRÍCULA:……………….……………………PARALELO:…………
Nota1: En los temas que aplique, identifique y describa claramente los eventos o las variables aleatorias además
de los parámetros de sus correspondientes distribuciones.
Nota 2: Los temas deben ser desarrollados en orden y señalando claramente el tema y la respuesta.
Nota 3: Es válido utilizar aproximaciones en caso de ser necesario; use tres decimales de aproximación.
TEMA 1 (10 puntos)
El histograma de frecuencias absolutas que se muestra a continuación fue elaborado con resultados del
porcentaje de posesión de balón de ciertos equipos de la Champions League en la etapa final, este análisis está
publicado en WhoScored.com.
a.
b.
c.
d.
Reconstruir la tabla de frecuencias correspondiente al histograma mostrado. (2 puntos)
¿Qué valor toma y cómo interpreta usted el 4to quintil? (2 puntos)
Calcular medidas de media y varianza (2 puntos)
Aproxime la mediana y moda de acuerdo con la tabla de frecuencias; así como también el rango
intercuartil. (2 puntos)
e. ¿Qué puede decir sobre el sesgo de estos datos? Justifique su respuesta. (2 puntos)
a) Reconstruir la tabla de frecuencias correspondiente al histograma mostrado. (2 puntos)
Clase
marca de clase
(xi)
[39.1, 43.1]
(43.1, 47.1]
(47.1, 51.1]
(51.1, 55.1]
(55.1, 59.1]
(59.1, 63.1]
Frec.
Abs
acum.
(Fi)
Frec. Abs
(fi)
41,1
45,1
49,1
53,1
57,1
61,1
3
6
10
4
5
2
Frec.
Relativa
(fi/n)
3
9
19
23
28
30
0,10
0,20
0,33
0,13
0,17
0,07
Frec.
Relativa
acum.
(Fi/n)
0,10
0,30
0,63
0,77
0,93
1,00
b) ¿Qué valor toma y cómo interpreta usted el 4to quintil? (2 puntos)
𝑛∗𝑘
− 𝐹𝑖−1
𝑃𝑘 = 𝐿𝑖𝑛𝑓 + 𝑤 ( 100
)
𝑓𝑖
𝑃80
•
30 ∗ 80
− 23
= 55.1 + 4 ( 100
) = 55.9
5
Otra posible respuesta resulta aproximando y diciendo que es un valor cercano a 55.1 o que esté en el
intervalo (55.1, 59.1].
El 4to quintil representa el valor de la variable que deja por debajo, el 80% de los valores de la variable (ordenados).
c) Calcular medidas de media y varianza. (2 puntos)
6
1
𝑋̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
1
(1505) = 50.17
𝑋̅ =
30
6
1
2
𝑆 =
∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑋̅)2
𝑛−1
𝑖=1
1
(925.87) = 31.93
𝑆 =
29
d) Aproxime la mediana y moda de acuerdo con la tabla de frecuencias; así como también el rango intercuartil. (2
puntos)
𝑋̃ ≈ 49
𝑚𝑜𝑑𝑎 ≈ 49.1
𝑄1 ≈ 46; 𝑄3 ≈ 55 𝑅𝐼 = 𝑄3 − 𝑄1 ≈ 9
2
e) ¿Qué puede decir sobre el sesgo de estos datos? Justifique su respuesta. (2 puntos)
Por la distribución de los datos se puede observar que existe mayor cantidad del lado izquierdo de la media, la
distribución de los datos no es simétrica, por lo tanto hay evidencia de sesgo positivo.
moda 𝑋̅
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Puntos
Criterios
0
No realiza cálculo
alguno.
Puntos
Criterios
0
No realiza cálculo
alguno.
Puntos
Criterios
0
No realiza cálculo
alguno.
Puntos
0
Desarrollo
En desarrollo
Calcula correctamente
menos de la mitad de
los valores.
Desarrollado
Calcula
correctamente hasta
la mitad de los
valores.
Excelente
Calcula correctamente
todos los valores
1
Calcula o aproxima el
valor
del
quintil
correctamente pero
no lo interpreta
2
Calcula o aproxima el
valor del quintil
correctamente y lo
interpreta
1
Calcula
correctamente
la
media o la varianza
2
Calcula correctamente la
media y la varianza
Aproxima
correctamente uno de
los valores
1
Aproxima
correctamente dos de
los valores
2
Aproxima correctamente
todos los valores
0.5
1
2
0.5
TEMA 2 (8 puntos)
En un estudio efectuado a un grupo de estudiantes de una universidad se preguntó el número de materias tomadas
en el último semestre cursado y el número de materias aprobadas en el mismo. Si se sabe que el mínimo número
de materias tomadas es tres y el máximo es seis,
a. Describa el conjunto  (espacio muestral) de respuestas posibles dadas por los estudiantes (3 puntos)
Determine las siguientes probabilidades:
b. Que el número de materias reprobadas sea mayor a tres (2 puntos)
c. Que el número de materias tomadas sea igual a cuatro si se conoce que reprobó más de tres materias (3
puntos)
Rúbrica y Resolución
Descripción del conjunto  (3 puntos)
=
(3,0)
(4,2)
(5,3)
(6,3)
(3,1)
(4,3)
(5,4)
(6,4)
(3,2)
(4,4)
(5,5)
(6,5)
(3,3)
(5,0)
(6,0)
(6,6)
(4,0)
(5,1)
(6,1)
(4,1)
(5,2)
(6,2)
Probabilidad de que el número de materias reprobadas sea mayor a tres (2 puntos)
Definición del evento (1 punto)
E1 = número de materias reprobadas mayor a tres
E1 = (4,0) (5,0) (5,1) (6,0) (6,1) (6,2)
Cálculo de la probabilidad (1 punto)
𝑁(𝐸1 )
6
𝑃(𝐸1 ) =
=
= 0.273
𝑁(Ω) 22
Probabilidad de que el número de materias tomadas sea igual a cuatro si se conoce que reprobó más de tres materias
(3 puntos)
Definición de eventos (1.5 puntos)
E1 = número de materias reprobadas mayor a tres
E1 = (4,0) (5,0) (5,1) (6,0) (6,1) (6,2)
E2 = número de materias tomadas igual a cuatro
E2 = (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
E1E2 = (4,0)
Cálculo de la probabilidad (1.5 puntos)
𝑁(𝐸1 ∩ 𝐸2 )
1
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 )
1
𝑁(Ω)
22
𝑃(𝐸2 |𝐸1 ) =
=
=
= = 0.167
6
𝑁(𝐸1 )
𝑃(𝐸1 )
6
22
𝑁(Ω)
TEMA 3 (6 puntos)
Un dispositivo de seguridad posee un sensor conectado a un sistema de alarma. El sensor manda una señal que
activa la alarma con una probabilidad del 95% si existe realmente una condición peligrosa en un día cualquiera y
si las condiciones son normales la probabilidad de que el sensor active la alarma son de 0,5%. La probabilidad de
que se presenten condiciones de riesgo es del 0,5%. Bajo este escenario calcule:
a. La probabilidad de una falsa alarma. (3 puntos)
b. La probabilidad de que no se detecte una condición riesgosa. (3 puntos)
SOLUCIÓN
Eventos: R: Existe riesgo NR: No existe riesgo A: Se activa alarma NA: No se activa alarma
Datos del problema:
P(A/R)=0,95 por tanto P(NA/R)=0,05
P(A/NR)=0,005 POR TANTO P(NA/NR)=0,995
P(R)=0,005 POR TANTO P(NR)=0,995
LITERAL a)
Falsa alarma: No hay riesgo dado que se activa la alarma
P(NR/A)=P(NR∩A)/P(A)= 0,004975/0,009725=0,512
P(NR∩A)=P(NR)P(A/NR)=0,995*0,005=0,004975
PARA PROBABILIDAD DE A REQUERIMOS APLICAR PROBABILIDAD TOTAL YA QUE LA ALARMA SE ACTIVA
TANTO SI HAY RIESGO O NO
P(A)=P(NR∩A)+P(R∩A)=P(NR)P(A/NR)+P(R)P(A/R)=(0,995*0,005)+(0,005*0,95)=
0,004975+0,00475=0,009725
LITERAL b)
No detectar una condición de riesgo: Existe riesgo dado no se activa alarma
P(R/NA)=P(R∩NA)/P(NA)= 0,00025/0,990275=0,0002525
P(R∩NA)=P(R)P(NA/R)=0,005*0,05=0,00025
PARA PROBABILIDAD DE NA REQUERIMOS APLICAR PROBABILIDAD TOTAL YA QUE LA ALARMA NO SE ACTIVA
TANTO SI HAY RIESGO O NO
P(NA)=P(NR∩NA)+P(R∩NA)=P(NR)P(NA/NR)+P(R)P(NA/R)=(0,995*0,995)+(0,005*0,05)=0,990025+0,00025=0,990275
RÚBRICA
Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
Sin desarrollo o
incoherencias
Identifica eventos y probabilidades
dadas en el problema (3 puntos)
Identifica las ecuaciones
correctas (2 puntos)
Calcula las probabilidades
exactas (1 punto)
Puntos
0
3
5
6
TEMA 4 (6 puntos)
Un estudiante politécnico que estuvo de vocal en el último referéndum, faltando a la ley trató de convencer a cada
uno de los votantes que en la pregunta se pronunciaran por el SÍ o por el No pero que no votaran en blanco o
anularan el voto; las estimaciones del politécnico indican que el 60% de los votantes se pronunciaría por el SI. Si
los supuestos del politécnico fuesen correctos:
a. ¿Cuál es la probabilidad que recién el cuarto votante sea el primero en votar SI?(3 puntos)
b. ¿Cuál es la probabilidad que recién el votante duodécimo, sea el tercero en votar SI? (3 puntos)
Solución:
a) 60% votaron SI
P(votar SI)=0.6
Para responder al literal a, es necesario aplicar la Variable Aleatoria Geométrica, cuya función de
distribución de probabilidades es:
𝑓 (𝑥 ) = 𝑃 (𝑋 = 𝑥 ) = (1 − 𝑝)𝑥−1 𝑝,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝜖 𝑆
𝑃(𝑋 = 4) = (0.4)3 0.6 = 0.0384
Entonces, la probabilidad de que recién el cuarto votante sea el primero en votar SI es de 0.0384
Rúbrica:
Desarrollo
Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
No realiza
cálculo alguno
Identifica correctamente
la variable aleatoria
Plantea de forma
correcta la probabilidad
Calcula correctamente la
probabilidad
Puntos
0
1
2
3
a) Se aplica la variable aleatoria binomial negativa
𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑃 (𝑋 = 𝑥 ) = (
𝑥−1 𝑟
) 𝑝 (1 − 𝑝)𝑥−𝑟 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝜖 𝑆¸ 𝑆 = {𝑟; 𝑟 + 1; … . }
𝑟−1
11
P(x=12)=( ) (0.6)3 (0.4)9 = 0.00311
2
La probabilidad de que el décimo segundo votante sea el tercero en votar SI es de 0.01946
Rúbrica:
Desarrollo
Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
No realiza
cálculo alguno
Identifica correctamente
la variable aleatoria
Plantea de forma
correcta la probabilidad
Calcula correctamente la
probabilidad
Puntos
0
1
2
3
TEMA 5 (8 puntos)
El tiempo de atención al cliente en un banco de la ciudad de Guayaquil sigue una distribución exponencial con
promedio 2.3 minutos.
a. Encuentre la probabilidad de que una persona sea atendida en el banco después de esperar más de 2.5
minutos. (4 puntos)
b. Si se analiza a un grupo de 10 clientes del banco ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos
sea atendidos en más de 2.5 minutos? (4 puntos)
RESOLUCIÓN
a)
−𝑥
𝑓(𝑥) =
𝑒 2.3
{ 2.3 ,
𝑥>0
0, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥
∞
−𝑥
𝑒 2.3
𝑃(𝑥 > 2.5) = ∫
𝑑𝑥 = 0.3372
2.5 2.3
Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
No realiza cálculo
alguno
Plantea
correctamente la
f(t)
Propone correctamente el cálculo
con la distribución exponencial
pero no obtiene el resultado
correcto.
Obtiene el resultado
correcto.
Puntos
0
2
3
4
b) Suceso: Una persona sea atendida en más de 2.5 años
P(suceso): 0.1466
Variable aleatoria Binomial (10, 0.3372)
𝑃 (𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) − 𝑃(𝑋 = 1)
𝑃 (𝑋 ≥ 2) = 1 − 0.016 − 0.083
𝑃 (𝑋 ≥ 2) = 0,9
Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
No realiza cálculo
alguno
Plantea correctamente la
variable aleatoria y el
suceso.
Plantea correctamente la variable aleatoria
y valores a evaluar pero no obtiene el
resultado correcto.
Obtiene la probabilidad
correcta.
Puntos
0
2
3
4
TEMA 6 (12 puntos)
El artículo “Computer Assisted Net Weight Control” (Quality Progress, 1983: 22-25) sugiere una distribución
normal con media de 137.2 oz y desviación estándar de 1.6 oz del contenido de frascos de cierto tipo. El contenido
declarado fue de 135 oz.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un solo frasco contenga más que el contenido declarado? (4 puntos)
b. Suponiendo que la media permanece en 137.2, ¿A qué valor se tendría que cambiar la varianza de modo
que 95% de todos los frascos contengan más que el contenido declarado? (4 puntos)
c. ¿Qué contenido es tal que el 30% de los frascos tengan contenidos menores o iguales al mismo? ¿Qué
cuantil representa? (4 puntos)
a)
z=
135 − 137.2
= −1.38
1.6
 (−1.38) = 0.5 + 0.4162 = 0.9162
Nivel
Insuficiente
Satisfactorio
Excelente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno.
0
Calcula
correctamente z
2p
Calcula
correctamente la
probabilidad
4p
b)
95% mayores
5% menores o igual
 ( z ) = 0.05 z = −1.65
=
135 − 137.2
= 1.33
− 1.65
 2 = 1,778
Nivel
Insuficiente
Satisfactorio
Excelente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno.
0
Encuentra z
correcta
2p
Calcula en forma
correcta la varianza
2p
c)
 ( z) = 0.3 z = −0,53
x = (−0.53)(1.6) + 137.2 = 136,35
Percentil 30
Nivel
Insuficiente
Satisfactorio
Excelente
Criterios
No realiza cálculo
alguno.
Encuentra z
Calcula valor de X e
identifica el quantil
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
AÑO:
2018
PERIODO:
PRIMER TÈRMINO
MATERIA:
ESTADISTICA
PROFESOR:
Mero J, Pinos C., Ronquillo C.
EVALUACIÓN:
PRIMERA
FECHA:
28 DE JUNIO DE 2018
SOLUCION Y RUBRICA
Tema 1(15 puntos) Dada la siguiente tabla de frecuencias, se pide:
Interval
o
Marc
a de
clase
[1,2)
Frec.
Abs.
Frec.
Abs.Ac
um
Frec.
Rel.
Frec.
Rel.
Acum.
2
9
0.22
0.68
0.88
10
0.06
7.5
a) Completarla (3 puntos)
b) Graficar el histograma de frecuencias absolutas y la ojiva (6 puntos)
c) Calcule la media y la varianza para estos datos agrupados. (6 puntos)
a) Se escriben directamente los intervalos, marcas de clase y los valores de frecuencia que se pueden
determinar observando los datos dados y con las definiciones establecidas.
Además, se utiliza la siguiente relación contenida en la tabla 10/n=0.2. De donde se obtiene que n=50
Nivel
Criterios
Puntos
Clase
Marca de Frec. Abs. Frec.Abs.
Clase
Acum.
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
[6.7)
[7,8)
1.5
2.3
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
2
7
11
14
10
3
3
2
9
20
34
44
47
50
Desarrollo
Insuficiente
En desarrollo
No realiza
Encuentra el valor
cálculo alguno. de los primeros
valores de la tabla
utilizando
definiciones.
0
1
Frec.Relat Frec.
.
Relat.Acu
m.
0.04
0.04
0.14
0.18
0.22
0.4
0.28
0,68
0.2
0.88
0.06
0.94
0.06
1
Desarrollo
Encuentra el
valor de n y
sigue
encontrando
valores que
faltan
2
Excelente
Completa
exitosamente todos
los valores de la
tabla de
frecuencias
3
b)
Histograma de Frecuencias Absolutas
14
Frecuencia absoluta
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
Datos
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza grafico
alguno.
Puntos
Desarrollo
Regular
Boqueja un gráfico
sin asociarlo
correctamente a las
frecuencias
0
Satisfactorio
Grafica
correctamente
Omite Rótulos
1
Excelente
Se evidencia que la
altura de cada barra
es proporcional a la
frecuencia absoluta
del respectivo
intervalo
Rotula el gráfico
3
2
Ojiva
100
Porcentaje
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Datos
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza grafico
alguno.
0
Desarrollo
Regular
Boqueja un gráfico
sin asociarlo
correctamente a los
puntos coordenados
(Límite, Frecuencia
relativa acumulada)
1
Satisfactorio
Realiza los puntos a
graficar en el plano
cartesiano
Grafica los puntos
Omite Rótulos
2
Excelente
Grafica los puntos
de forma correcta
en el plano
cartesiano
Rotula el gráfico
3
d) La media y la varianza se las calcula con las siguientes fórmulas:
𝑘
𝑋̅
=∑
𝑖=1
Nivel
Criterios
Desarrollo
En desarrollo
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Puntos
Solo plantea la
formula para datos
agrupados.
0
𝑘
𝑠 =∑
𝑖=1
Criterios
No realiza cálculo
alguno.
Sólo plantea la
fórmula para datos
agrupados.
0
Excelente
Halla correctamente el
valor de la media
2
3
𝑓𝑖 (𝑦𝑖−𝑦̅ )2
= 2.15
𝑛−1
Desarrollo
En desarrollo
Insuficiente
Puntos
Desarrollo
Desarrolla la
fórmula pero se
equivoca en algún
término
1
2
Nivel
𝑓𝑖 𝑦𝑖
= 4.38
𝑛
Desarrollo
Excelente
Realiza los cálculos
pero se equivoca en
algún término
Halla correctamente el
valor de la varianza
2
3
1
Tema 2 (5 puntos) Se determina como Población Objetivo a los estudiantes del paralelo 4 de Estadística
(ESTG2001) de la ESPOL, donde el tamaño de dicha Población es N = 30. A la población objetivo se le ha
medido una variable de interés, X: Estatura.
Los valores observados son:
1.58
1.64
1.60
1.66
1.54
1.75
1.90
1.73
1.73
1.70
1.64
1.58
1.50
1.78
1.64
1.63
1.73
1.72
1.61
1.55
1.66
1.66
1.57
1.63
1.50
1.72
1.57
1.55
1.48
1.61
Para la variable aleatoria X: Estatura, determine:
a) El valor Máximo, el valor mínimo y la amplitud (o rango)
b) Los cuartiles y el rango intercuartílico .
c) Usando la información obtenida en el inciso b), dibuje el diagrama de cajas.
a) El valor Máximo, el valor mínimo y la amplitud (o rango).
Primero ordenamos los valores observados X(i) para i = 1, 2, … , 30.
1.48
1.50
1.50
1.54
1.55
1.55
1.57
1.57
1.58
1.58
1.60
1.61
1.61
1.63
1.63
1.64
1.64
1.64
1.66
1.66
1.66
1.70
1.72
1.72
1.73
1.73
1.73
1.75
1.78
1.90
Min = X(1) = 1.48
Max = X(30) = 1.90
Rango = X(30) – X(1) = 1.90 – 1.48 = 0.42.
b) Los cuartiles y el rango intercuartílico.
X(i,a) = X(i) + 0.a(X(i+1) + X(i)) ; para i = 1, 2, … , n.
Para el primer cuartil Q1:
m = 0.25(n + 1) = 0.25(31) = 7.75
i = 7; a = 0.75
Q1 = X(7.75) = X(7) + 0.75(X(8) – X(7)) = 1.57 + 0.75(1.57 – 1.57) = 1.57
Para el segundo cuartil Q2:
m = 0.50(n + 1) = 0.50(31) = 15.50
i = 15; a = 0.50
Q2 = X(15.50) = X(15) + 0.50(X(16) – X(15)) = 1.63 + 0.50(1.64 – 1.63) = 1.635
Para el tercer cuartil Q3:
m = 0.75(n + 1) = 0.75(31) = 23.25
i = 23; a = 0.25
Q3 = X(23.25) = X(23) + 0.25(X(24) – X(23)) = 1.72 + 0.25(1.72 – 1.72) = 1.72
Rango Intercuartílico (R.I.)
R.I. = Q3 – Q1 = 1.72 - 1.57 = 0.15
c) Usando la información obtenida en el inciso b), dibuje el diagrama de cajas
Para el diagrama de cajas:
Q1 = 1.57
Q2 = 1.635
Q3 = 1.72
Para elaborar el diagrama se toman los Valores Máximos y Mínimos de la muestra (X (1) y X(30)).
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No hace cálculo
alguno.
0
Desarrollo
En desarrollo
Plantea correctamente
los valores máximos y
mínimos; estima la
mediana y además
coloca la fórmula para
el cálculo de los
cuartiles
1–2
Desarrollo
Calcula correctamente
los cuartiles y del
rango intercuartil.
Excelente
Dibuja correctamente el
diagrama de cajas con los
valores antes
encontrados.
3-4
5
Tema 3 (5 puntos) Sea realizado una implementación informática en una Institución Financiera, proyecto que
tiene como objetivo incrementar la capacidad de generación de uno de sus servidores en su edificio matriz. El
proyecto fue dividido en dos etapas o pasos sucesivos: etapa 1 (Diseño) y etapa 2 (Implementación). A pesar
de que cada etapa se planeará y controlará con todo el cuidado posible, a los administrativos no les es posible
pronosticar el tiempo exacto requerido en cada una de las etapas del proyecto. En un análisis de proyectos de
implementación informática similares encuentran que la posible duración de la etapa de diseño es de 2, 3, o 4
meses y que la duración de la implementación es de 8, 9 y 10 meses. Además, debido a la necesidad urgente
de esta herramienta, los administrativos han establecido como meta 14 meses para la terminación de todo el
proyecto. Se pide:
a) Mediante un diagrama de árbol determine las opciones que los gerentes de la Institución Financiera
tienen para ver el tiempo de esta Implementación Informática.
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No identifica
el tipo de
técnica a usar.
0
Desarrollo
En desarrollo
Desarrollo
Identifica las
Grafica el
etapas del
diagrama de
ejercicio
árbol pero se
equivoca en
alguna parte
1-2
3-4
Excelente
Elabora
correctamente el
gráfico.
5
Tema 4 (10 puntos) Un comité de 12 personas será elegido entre 10 hombres y 10 mujeres. ¿De cuántas
formas se puede hacer la selección si: (Cada literal vale 2 puntos) La misma rúbrica al final de este tema,
se aplica a cada literal.
a) No hay restricciones
b) Debe haber seis hombres y seis mujeres
c) Debe haber un número par de mujeres
d) Debe haber más mujeres que hombres
e) Debe haber al menos 8 hombres
a) No hay restricciones
(
20
) = 125970
12
b) Debe haber seis hombres y seis mujeres
(
10 10
) ( ) = 44100
6
6
c) Debe haber un número par de mujeres
1. Si hay 2 mujeres, debe haber 10 hombres:
10 10
( )( )
2 10
2. Si hay 4 mujeres, debe haber 8 hombres:
10 10
( )( )
4
8
3. Si hay 6 mujeres, debe haber 6 hombres:
(
10 10
)( )
6
6
4. Si hay 8 mujeres, debe haber 4 hombres:
10 10
( )( )
8
4
5. Si hay 10 mujeres, debe haber 2 hombres:
(
10 10
)( )
10 2
Sumando estos literales (1 al 5) tenemos 63090 formas distintas.
d) Debe haber más mujeres que hombres
1. 7 mujeres y 5 hombres
(
10 10
)( )
7
5
(
10 10
)( )
8
4
(
10 10
)( )
9
3
(
10 10
)( )
10 2
(
10 10
)( )
8
4
(
10 10
)( )
9
3
(
10 10
)( )
10 2
2. 8 mujeres y 4 hombres
3. 9 mujeres y 3 hombres
4. 10 mujeres y 2 hombres
Sumando estos literales son 40935
e) Debe haber al menos 8 hombres
1. 8 hombres y 4 mujeres
2. 9 hombres y 3 mujeres
3. 10 hombres y 2 mujeres
Sumando estos literales son 10695
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza ningún
cálculo
0
Desarrollo
En desarrollo
Identifica
incorrectamente el
método para obtener los
comités (reglas conteo
para experimentos de
pasos múltiples, o,
permutaciones)
Desarrollo
Identifica
correctamente el
método a utilizar,
pero no calcula
correctamente, o, lo
hace de forma parcial.
Excelente
Elabora correctamente lo
solicitado.
0.5
1
2
Tema 5 (15 puntos) En el número 286 de su año 88, diario El Universo de Guayaquil, presenta el total de
detenidos liberados por caducidad de la prisión preventiva (X1) entre octubre de 2007 y mayo 2009. De igual
manera se da el número de reincidentes liberados (X2) por tipo de delitos. Los datos se presentan a
continuación.
LIBERADOS POR CADUCIDAD DE
PREVENTIVA
(Entre Octubre de 2007 Cárcel de
y mayo de 2009)
Guayaquil
Total
Liberados
Robo
575
Tenencia y tráfico de 333
droga
Robo Agravado
228
Tenencia de armas
125
Violación
87
Otros delitos sexuales
29
Muerte
81
Otros delitos contra la 44
vida
Otros delitos
71
No especifica delito
161
TOTAL
1.734
LA PRISIÓN
Varones
de
Reincidentes
41
10
16
9
4
4
6
2
0
14
106
a) Elabore el diagrama de dispersión para las variables X1 y X2.(5 puntos)
b) Calcule la covarianza y el coeficiente de correlación para las variables X 1 y X2.
(10 puntos)
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No identifica
el tipo de
gráfico
solicitado.
0
Desarrollo
En desarrollo
Identifica el tipo
de gráfico y
establece
correctamente las
variables en cada
eje
1
Desarrollo
Elabora el
gráfico, pero no
guarda las
debidas
proporciones
2-4
Excelente
Elabora
correctamente el
diagrama
solicitado.
5
a) Calcule la covarianza y el coeficiente de correlación para las variables X 1 y X2.
𝟏𝟎
𝒔𝒙𝒚 = ∑
𝒊=𝟏
(𝒙𝟏𝒊 − 𝒙
̅𝟏 )(𝒙𝟐𝒊 − 𝒙
̅𝟐 )
𝒏−𝟏
𝟏𝟎
̅𝟏 = ∑
𝒙
𝒊=𝟏
𝟏𝟎
𝒙𝟏𝒊
= 𝟏𝟕𝟑. 𝟒
𝟏𝟎
̅𝟐 = ∑
𝒙
𝒊=𝟏
x1i
575,00
333,00
228,00
125,00
87,00
29,00
81,00
44,00
71,00
161,00
x2i
41,00
10,00
16,00
9,00
4,00
4,00
6,00
2,00
0,00
14,00
𝒔𝒙𝒚
Nivel
Criterios
𝒙𝟐𝒊
= 𝟏𝟎. 𝟔
𝟏𝟎
(x1i – 𝐱̅ 𝟏) (x2i – 𝐱̅ 𝟐)
(x1i – 𝐱̅ 𝟏) (x2i – 𝐱̅ 𝟐)
401,60
30,40
12.208,64
159,60
-0,60
-95,76
54,60
5,40
294,84
-48,40
-1,60
77,44
-86,40
-6,60
570,24
-144,40
-6,60
953,04
-92,40
-4,60
425,04
-129,40
-8,60
1.112,84
-102,40
-10,60
1.085,44
-12,40
3,40
-42,16
𝟏𝟔. 𝟓𝟖𝟗, 𝟔
=
= 𝟏. 𝟖𝟒𝟑, 𝟐𝟗
𝟗
Desarrollo
Insuficiente
En desarrollo
No hace
Plantea la fórmula
cálculo alguno. de cálculo de la
covarianza
muestral. Además
calcula las medias
de las muestras.
Puntos
0
1
𝒓𝒙𝟏 𝒙𝟐 =
𝟏𝟎
𝒔𝟐𝒙𝟏 = ∑
𝒊=𝟏
𝟏𝟎
𝒔𝟐𝒙𝟐 = ∑
x1i
575,00
333,00
228,00
125,00
87,00
29,00
81,00
(x1i – 𝐱̅ 𝟏)
401,60
159,60
54,60
-48,40
-86,40
-144,40
-92,40
𝒊=𝟏
Desarrollo
Establece un
procedimiento
para calcular la
covarianza
muestral, pero
no obtiene la
respuesta
correcta.
2-4
Excelente
Calcula
correctamente la
covarianza
muestra.
5
𝒔𝒙𝟏 𝒙𝟐
𝒔𝒙𝟏 𝒔𝒙𝟐
(𝒙𝟏𝒊 − 𝒙
̅ 𝟏 )𝟐
𝒏−𝟏
(𝒙𝟐𝒊 − 𝒙
̅ 𝟐 )𝟐
𝒏−𝟏
(x1i – 𝐱̅ 𝟏)2
161.282,56
25.472,16
2.981,16
2.342,56
7.464,96
20.851,36
8.537,76
x2i
41,00
10,00
16,00
9,00
4,00
4,00
6,00
(x2i – 𝐱̅ 𝟐)
30,40
-0,60
5,40
-1,60
-6,60
-6,60
-4,60
(x2i – 𝐱̅ 𝟐)2
924,16
0,36
29,16
2,56
43,56
43,56
21,16
44,00
71,00
161,00
-129,40
-102,40
-12,40
16.744,36
10.485,76
153,76
2,00
0,00
14,00
-8,60
-10,60
3,40
73,96
112,36
11,56
𝟐𝟓𝟔. 𝟑𝟏𝟔, 𝟒
= 𝟐𝟖. 𝟒𝟕𝟗, 𝟔
𝟗
𝟏. 𝟐𝟔𝟐, 𝟒
𝒔𝟐𝒙𝟐 =
= 𝟏𝟒𝟎, 𝟐𝟕
𝟗
𝒔𝒙 𝒙
𝟏. 𝟖𝟒𝟑, 𝟐𝟗
𝒓𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝟏 𝟐 =
= 𝟎, 𝟗𝟐
𝒔𝒙𝟏 𝒔𝒙𝟐 √(𝟐𝟖. 𝟒𝟕𝟗, 𝟔)(𝟏𝟒𝟎, 𝟐𝟕)
Dado que el coeficiente de correlación es 0,92, se puede decir que existe una fuerte dependencia lineal
positiva para las variables estudiadas.
𝒔𝟐𝒙𝟏 =
Nivel
Criterios
Puntos
Desarrollo
Insuficiente
En desarrollo
No hace
Plantea la fórmula
cálculo alguno. de cálculo del
coeficiente de
correlación.
0
1
Desarrollo
Establece un
procedimiento
para calcular las
varianzas
muestrales de
las variables
aleatorias.
2-4
Excelente
Calcula
correctamente el
coeficiente de
correlación
muestral y
concluye sobre
mismo.
5
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AÑO:
2016
PERIODO:
SEGUNDO TÉRMINO
MATERIA:
ESTADÍSTICA.
PROFESORES:
Lissethy Cevallos
EVALUACIÓN:
Segunda
FECHA:
15 febrero 2017
NOMBRE
Los siguientes datos son proporcionados por la aerolínea “Delta” de los Estados Unidos, con el fin de determinar patrones o perfil de
sus clientes, a continuación se detalla el análisis que se requiere.
Género
Tipo de
Viaje
Tiempo de
viaje
Hrs. Al
destino
Salario anual
(Miles)
Femenino
Placer
Tres a Cinco días
1,5
49,8
Femenino
Placer
Tres a Cinco días
1,25
59,5
Femenino
Negocios
Menos de un día
1
51,8
Masculino
Negocios
De 1 a 2 días
4,5
41,5
Masculino
Negocios
De 1 a 2 días
6
74,6
Masculino
Negocios
De 1 a 2 días
1,5
70,7
Masculino
Negocios
Menos de un día
1,5
57,4
Masculino
Negocios
Menos de un día
1,5
47,7
Masculino
Negocios
De 1 a 2 días
3
63,2
Masculino
Negocios
De 1 a 2 días
3
57,2
Masculino
Placer
Tres a Cinco días
5
66,4
Femenino
Placer
Una Semana
6
43,8
Femenino
Negocios
Tres a Cinco días
3
50,4
Tema1.- (40 puntos) Estadística Descriptiva
a) 10pts Realizar una tabla de frecuencia de la variable “Salario Anual”, Utilice un resumen de 4 intervalos (k=4).
b) 10pts Diagrame la Ojiva de la variable “ Salario Anual” e Indique que porcentaje de clientes ganan más de 68 mil dólares
c) 20pts Calcule e interprete el Tercer cuartil, la media, desviación estándar del Salario Anual e indique cuál es el salario que
perciben 30% de los cliente si los ordenamos de forma ascendente.
Tema 2.- (35 puntos) Estadística multivariante
a) 10ptsRealice una tabla cruzada entre las variables “Tiempo de viaje” y “Tipo de Viaje”, Grafique los resultados de la tabla
cruzada, en términos de porcentajes
b) 10pts Existe correlación lineal entre la variable “Salario anual ” y “Horas de viaje”, calcule e interprete el resultado
c) 10pts Determine una ecuación que permita estimar las Horas de viaje a partir del salario del cliente
d) 10pts Calcule el coeficiente de determinación, interprete su significado y dé su conclusión.
Tema 3.- (20 puntos) Muestreo
a) 10pts ¿Cuál es la diferencia en escala ordinal y nominal?
b) 10pts ¿Mencione la diferencia entre muestreo estratificado y por conglomerado?
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
RÙBRICA
AÑO:
2016
PERIODO:
SEGUNDO TÉRMINO
MATERIA:
ESTADÍSTICA.
PROFESORES:
Lissethy Cevallos
EVALUACIÓN:
Segunda
FECHA:
15 febrero 2017
NOMBRE
Los siguientes datos son proporcionados por la aerolínea “Delta” de los Estados Unidos, con el fin de determinar patrones o perfil de
sus clientes, a continuación se detalla el análisis que se requiere.
Tema1.- (40 puntos) Estadística Descriptiva
a) 10pts Realizar una tabla de frecuencia de la variable “Salario Anual”, Utilice un resumen de 4 intervalos (k=4).
Desarrollo
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0%
Regular
Considera al menos dos
condiciones al realizar la
tabla de frecuencia y
bosqueja los campos
necesarios
10%
Satisfactorio
Considera al menos una de las
tres condiciones al realizar los
intervalos y evidencia conocer los
cálculos de frecuencias absolutas
y relativas
50%
Excelente
Considera las tres condiciones al
realizar los intervalos y realiza los
cálculos de frecuencia y
frecuencia relativa de forma
correcta
100%
b) 8pts Diagrame la Ojiva de la variable “ Salario Anual” e Indique que porcentaje de clientes ganan más de 68 mil dólares
Nivel
Criterios
Puntos
c)
Insuficiente
No realiza grafico
alguno.
Desarrollo
Regular
Bosqueja un gráfico sin asociarlo
correctamente a los puntos coordenados
(Límite, Frecuencia relativa acumulada)
0%
10%
Satisfactorio
Realiza los puntos a graficar
en el plano cartesiano
Grafica los puntos
Omite Rótulos
85%
Excelente
Grafica los puntos de
forma correcta en el
plano cartesiano
Rotula el gráfico
100%
2pts Identifica el porcentaje que gana más de 68 mil. (19%)
20pts Calcule e interprete el tercer quartil, la media, desviación estándar del Salario Anual e indique cuál es el salario que
perciben 30% de los cliente si los ordenamos de forma ascendente.
Indicador
Tercer Cuartil
Media
Desviación
Estándar
P30
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza grafico
alguno.
0%
Valor
64.8
56,48
Puntaje
5pts
5pts
10,21
49,96
5pts
5pts
En desarrollo
Desarrollado
Evidencia conocer el
cálculo.
Proporciona el valor correcto y realiza la
interpretación acorde al contexto del
problema
100%
70%
Tema 2.- (35 puntos) Estadística multivariante
a) 10ptsRealice una tabla cruzada entre las variables “Tiempo de viaje” y “Tipo de Viaje”, Grafique los resultados de la tabla
cruzada, en términos de porcentajes
Tiempo de viaje
De 1 a 2 días
Menos de un día
Tres a Cinco días
Una Semana
Total general
Tipo de Negocio
Negocios Placer Total general
5
5
3
3
1
3
4
1
1
9
4
13
Tiempo de viaje
De 1 a 2 días
Menos de un día
Tres a Cinco días
Una Semana
Total general
Tipo de Negocio
Negocios Placer Total general
38%
0%
38%
23%
0%
23%
8%
23%
31%
0%
8%
8%
69%
31%
100%
8 pts Tabla cruzada
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza ni cálculo alguno
Puntos
En desarrollo
La tabla esta rotulada con todas las respuestas
posibles de las variables.
Evidencia conocer que en cada casilla se
presenta la cantidad de personas que cumplen
con las dos condiciones.
50%
0%
Desarrollado
La tabla esta rotulada con todas las
respuestas posibles de las variables.
Cada casilla contiene el valor
correcto.
100%
2 pts Gráfico
Desarrollo
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza grafico
alguno.
Puntos
Regular
Bosqueja un gráfico sin
asociar cada valor con la
frecuencias relativa
correspondiente
0%
Satisfactorio
Grafica correctamente cada
valor de la variable con su
frecuencia Relativa. Omite
Rótulos
10%
50%
Excelente
Se evidencia que la altura de cada barra
es proporcional a la frecuencia absoluta
o relativa del valor de la variable. Rotula
el gráfico. El gráfico es de fácil
interpretación
100%
b) 10pts Existe correlación lineal entre la variable “Salario anual ” y “Horas de viaje”, calcule e interprete el resultado
5 puntos, Determine el indicador
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno
Puntos
0%
En desarrollo
Evidencia conocer el cálculo.
Covarianza= 1.509
Desviación Horas = 1.8 / promedio 3
Desviación salario= 10.2 / promedio 56.5
50%
Desarrollado
Proporciona el indicador
correcto.
0.08
100%
5puntos, Interprete el resultado.
Nivel
Criterios
Puntos
c)
Insuficiente
No realiza interpretación
alguna
En desarrollo
Solo cuantifica o el
sentido o la magnitud
0%
50%
Desarrollado
Interpreta acorde al contexto del
problema el sentido y la magnitud del
problema
100%
10pts Determine una ecuación que permita estimar las Horas de viaje a partir del salario del cliente
Intercepción
Coeficientes
2,16
Pendiente
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno
Puntos
0,0145
En desarrollo
Evidencia conocer el cálculo de:
𝑏1 𝑦 𝑏0
0%
Desarrollado
Escribe de forma correcta la
ecuación del modelo.
Hora = 2.16 +0.0145*Salario
50%
100%
d) 10pts Calcule el coeficiente de determinación, interprete su significado y dé su conclusión.
Calculo
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno
0%
En desarrollo
Evidencia conocer el cálculo.
50%
Desarrollado
Proporciona el indicador
correcto. 0.0065
100%
Interpretación
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza interpretación
alguna
0%
En desarrollo
Identifica que se refiere al
nivel explicación del modelo
a los datos muestrales.
50%
Desarrollado
Determina que es el porcentaje de variabilidad de las
horas explicada por la variabilidad de los sueldos.
Aprecia que no es sería un buen modelo para predecir
100%
Tema 3.- (20 puntos) Muestreo
a) 10pts ¿Cuál es la diferencia en escala ordinal y nominal?
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No establece ninguna
diferencia
0%
En desarrollo
Identifica que ambas son
para tratamientos de datos
cualitativos
30%
Desarrollado
Determina que la diferencia radica en el que la escala
ordinal nos ayuda proporcionar un orden a los datos
cualitativos, mientras que las nominales solo los etiqueta.
100%
b) 10pts ¿Mencione la diferencia entre muestreo estratificado y por conglomerado?
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No establece ninguna
diferencia
0%
En desarrollo
Identifica que ambas son
muestreos de tipo
probabilísticos
30%
Desarrollado
Determina que la diferencia en la composición de los
grupos que realizan en la población la variable de interés.
Estratificado: Los grupos son heterogéneos entre si
Conglomerado: Los grupos son homogéneos entre si y
heterogéneos dentro de ellos.
100%
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AÑO:
2016
PERIODO:
PRIMER TÉRMINO
MATERIA:
ESTADÍSTICA ING.
PROFESORES:
Lissethy Cevallos
EVALUACIÓN:
PRIMERA
FECHA:
30 de junio de 2016
Tema 1.-Durante un curso nivelatorio para bachilleres, se tomó una prueba piloto a 141 de ellos y aprobaron
la misma 85 de ellos, que se distribuyen por género y aprobación como se muestra en la siguiente tabla.
(10 puntos)
Masculino Femenino Resultado
51
34
85
Aprueba
27
29
56
No aprueba
78
63
141
Género
a. ¿Cuál es la probabilidad que una estudiante apruebe y sea mujer?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe dado que es hombre?
c. ¿Puede afirmarse que el género del bachiller no influye en el resultado?
d.
Tema 2.- Un doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada
equipo es de 25% al primero, 35% el segundo y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen
probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y
observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato. (20 puntos)
Tema 3.- Las alturas de los jugadores de un equipo de básquet están dadas según la siguiente tabla:
Determine la altura promedio del equipo y la mediana. (15 puntos)
Tema 4.- Un representante de ventas debe visitar seis ciudades durante un viaje. Si hay diez ciudades en el
área geográfica que va a visitar, de las cuales seis son mercados primarios para el producto en cuestión,
mientras que las otras cuatro son mercados secundarios. Si el vendedor elige al azar las seis ciudades que va a
visitar, ¿Cuál es la probabilidad de que todas las ciudades visitadas por el vendedor sean del mercado
primario? ¿Cuál es el número esperado de visitas en el mercado primario? . (15 puntos)
Tema 5.- Un individuo lanza un dardo a una diana. La distancia (d) entre el punto central de la diana y el
punto obtenido en el lanzamiento del dardo se distribuye como una exponencial con media 10. Si el individuo
consigue la puntuación máxima cuando la distancia d es menor que 8. (20 puntos)
a) Calcular la probabilidad de que en 50 lanzamientos obtenga la puntuación máxima al menos una vez.
b) Calcular la probabilidad de que obtenga la primera puntuación máxima en el segundo lanzamiento.
c) Calcular la probabilidad de que obtenga la primera puntuación máxima en el segundo lanzamiento.
d) Calcular la probabilidad de que se necesiten 10 lanzamientos para obtener tres puntuaciones máximas.
Tema 6. Para cierta población humana, el índice cefálico I, el cual se calcula como la relación entre la
anchura máxima del cráneo y su longitud máxima por 100; es una variable aleatoria con distribución N (μ ; σ2
). Se ha determinado que hay un 58% de individuos con I ≤ 75, un 38% con 75 < I ≤ 80 y un 4% con I ≥ 80.
(20 puntos)
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
RÚBRICA
AÑO:
2016
PERIODO:
PRIMER TÉRMINO
MATERIA:
ESTADÍSTICA ING.
PROFESORES:
Lissethy Cevallos
EVALUACIÓN:
PRIMERA
FECHA:
30 de junio de 2016
Tema 1.-Durante un curso nivelatorio para bachilleres, se tomó una prueba piloto a 141 de ellos y aprobaron
la misma 85 de ellos, que se distribuyen por género y aprobación como se muestra en la siguiente tabla.
(10 puntos)
Masculino Femenino Resultado
51
34
85
Aprueba
27
29
56
No aprueba
78
63
141
Género
e.
¿Cuál es la probabilidad que una estudiante apruebe y sea mujer?
P(A∩F) = 34/141 = 0,2411
Nivel
Criterios
Puntos
f.
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Desarrollo
Regular
Solamente
identifica los
eventos.
0
Satisfactorio
Reconoce la
probabilidad de
intersección.
1
Excelente
Calcula
correctamente la
probabilidad de la
intersección.
2
¿Cuál es la probabilidad de que apruebe dado que es hombre?
P(A/M) = P(A∩M)/P(M) = (51/141)/(78/141) = 0,6584
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
probabilidad
condicional.
2
Satisfactorio
Realiza el cálculo
de la probabilidad
condicional pero no
encuentra la
respuesta correcta.
2–3
Excelente
Calcula
correctamente la
probabilidad
condicional.
4
g.
¿Puede afirmarse que el género del bachiller no influye en el resultado?
Se requiere verificar si el género es independiente del resultado, en este caso se verificará si el
género Masculino es independiente del resultado Aprueba.
Si los eventos fueran independientes se debería cumplir que P(A∩M)= P(A)P(M)
P(A∩M)= P(A)P(M)
51/141 = (78/141)(85/141)
0,36 ≠ 0,33
Nivel
Criterios
Insuficiente
No
realiza
cálculo
alguno.
Desarrollo
Regular
Reconoce que
solicitan la
demostración que
los eventos son
independientes.
Satisfactorio
Realiza el cálculo de las
probabilidades de eventos
independientes pero no
encuentra la respuesta
correcta.
Excelente
Calcula
correctamente las
probabilidades y
determina que no
son independientes.
2
2–3
4
0
Puntos
Tema 2.- Un doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada
equipo es de 25% al primero, 35% el segundo y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen
probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y
observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato. (20 puntos)
SOLUCIÓN
Se pide determinar la probabilidad de que el resultado de una ecografía con error sea del primer aparato, es decir,
previamente ocurrió el error. Por lo tanto, se debe aplicar el Teorema de Bayes.
Además, es necesario obtener la probabilidad de que el resultado de la ecografía tiene error, aplicando Probabilidad Total.
Se definen los eventos:
E1: El Doctor usa el primer equipo electrónico
E2: El Doctor usa el segundo equipo electrónico
E3: El Doctor usa el tercer equipo electrónico
A: El resultado de la ecografía tiene error
Probabilidades
P(E1)=0,25
P(E2)=0,35
P(E3)=0,40
P(A/E1)=0,01
P(A/E2)=0,02
P(A/E3)=0,03
Aplicando Probabilidad Total
k
P( A)   P( A Ei ) P( Ei )
i 1
P(A)  P( A E1 ) P( E1 )  P( A E2 ) P( E2 )  P( A E3 ) P( E3 )
P(A)  0,01 0,25  0,02  0,35  0,03  0,40  0,0215
Aplicando Teorema de Bayes
P( E1 A) 
P( E1 A) 
Nivel
P( A E1 ) P( E1 )
P( A)
0,01 0,25 0,0025

 0,1162
0,0215
0,0215
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno.
0
Identifica la
aplicación del
Teorema de Bayes,
define
correctamente los
eventos e identifica
las probabilidades
proporcionadas.
2-6
Calcula
correctamente la
Probabilidad Total
6 - 12
Calcula
correctamente la
respuesta aplicando
el Teorema de
Bayes.
20
Tema 3.- Las alturas de los jugadores de un equipo de básquet están dadas según la siguiente tabla:
Determine la altura promedio del equipo y la mediana. (15 puntos)
Media Aritmética de datos agrupados:
k
X 
i 1
f iYi
n
=
5
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Regular
Determina las
marcas de clase
0
2
Satisfactorio
Plantea
correctamente el
cálculo de la Media
Aritmética de Datos
Agrupados.
1-3
Excelente
Calcula
correctamente el
promedio del
equipo igual a la
Media Aritmética.
5
Mediana: Puede obtenerla reconstruyendo la muestra con las marcas de clase o estimarla por medio de una
Ojiva usando el segundo cuartil.
Q2 = X(12) = 1,875
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Regular
Identifica que la
Mediana es Q2 ó
X(12)
Puntos
0
2
Satisfactorio
Determina que la
Mediana es Q2 ó
X(12) pero se
equivoca en el
resultado.
2-3
Excelente
Calcula o estima
correctamente la
Mediana.
5
Interpretación: La media aritmética utiliza todas las observaciones para el cálculo, por lo tanto, es sensible a
valores aberrantes, mientras que, la mediana al tomar únicamente las observaciones centrales, no es sensible a
valores aberrantes; en promedio la altura del equipo es 1,865, siendo este valor menor que la Mediana 1,875,
lo cual implica que la distribución de los datos está sesgada hacia la derecha del observador.
Nivel
Insuficiente
Desarrollo
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
No responde
interpretación
alguna.
Interpreta la Media
vs. la Mediana.
0
Puntos
1-3
Interpreta
correctamente los
resultados.
3-4
Interpreta todos los
resultados incluido
el sesgo.
5
Tema 4.- Un representante de ventas debe visitar seis ciudades durante un viaje. Si hay diez ciudades en el
área geográfica que va a visitar, de las cuales seis son mercados primarios para el producto en cuestión,
mientras que las otras cuatro son mercados secundarios. Si el vendedor elige al azar las seis ciudades que va a
visitar, ¿Cuál es la probabilidad de que todas las ciudades visitadas por el vendedor sean del mercado
primario? ¿Cuál es el número esperado de visitas en el mercado primario?
(15 puntos)
Variable Aleatoria Hipergeométrica, N=10, a=6, n=6
 a  N  a 

 x

 nx 

 ; para todo x  S ; S  {0,1, ..., k}; k  min{a; n}
P( X  x)  f ( x)   
N

n

 
𝑃(𝑋 = 6) =
(66)(10−6
)
6−6
(10
)
6
= 0,0047
Número esperado de visitas en el mercado primario
μ= an/N= (6x6)/10 = 3,6
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Puntos
0
Desarrollo
Regular
Definición correcta
de la Variable
Aleatoria
Hipergeométrica,
incluyendo el
planteamiento
correcto de la
probabilidad.
1-4
Satisfactorio
Calcula
correctamente la
probabilidad
P(X=6).
4 - 10
Excelente
Calcula
correctamente el
número esperado de
visitas como la
media de la V. A.
Hipergeométrica.
15
Tema 5.- Un individuo lanza un dardo a una diana. La distancia (d) entre el punto central de la diana y el
punto obtenido en el lanzamiento del dardo se distribuye como una exponencial con media 10. Si el individuo
consigue la puntuación máxima cuando la distancia d es menor que 8. (20 puntos)
Cálculo de probabilidad de éxito.
d es una Variable Aleatoria Exponencial con β=10.
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 1 − 𝑒 −𝑥/β
8
Probabilidad de éxito 𝑝 = 𝑃(𝑑 < 8) = 1 − 𝑒 −10 = 0,55
Nivel
Criterios
Puntos
e)
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
probabilidad de
éxito usando la V.
A. Exponencial.
0
Satisfactorio
Calcula la
probabilidad de
éxito pero se
equivoca en la
respuesta.
1-2
Excelente
Calcula
correctamente la
probabilidad de
éxito.
2-3
4
Calcular la probabilidad de que en 50 lanzamientos obtenga la puntuación máxima al menos una vez.
Variable Aleatoria Binomial, n=50, p=0,55
 n
P( X  x)  f ( x)    p x (1  p)n  x ; para todo x  S ; S  {0,1, 2, ..., n}
 x
𝟓𝟎
𝑷(𝑿 ≥ 𝟏) = 𝟏 − 𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝟏 − [( ) 𝟎, 𝟓𝟓𝟎 (𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟓)𝟓𝟎−𝟎 ] = 𝟏
𝟎
Nivel
Criterios
Puntos
f)
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Desarrollo
Regular
Identifica
correctamente la
variable aleatoria.
0
2
Satisfactorio
Plantea de forma
correcta la
probabilidad pero
comete errores en
los cálculos.
Excelente
Calcula
correctamente la
probabilidad.
2-3
4
Calcular la probabilidad de que obtenga la primera puntuación máxima en el segundo lanzamiento.
Variable Aleatoria Geométrica, X=2, p=0,55
P( X  x)  f ( x)  p (1  p) x 1; para todo x  S
𝑷(𝑿 = 𝟐) = 𝟎, 𝟓𝟓(𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟓)𝟐−𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟕
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Desarrollo
Regular
Identifica
correctamente la
variable aleatoria.
2
Satisfactorio
Plantea de forma
correcta la
probabilidad pero
comete errores en
los cálculos.
Excelente
Calcula
correctamente la
probabilidad.
2-3
4
g) Calcular la probabilidad de que se necesiten 10 lanzamientos para obtener tres puntuaciones máximas.
Variable Aleatoria Binomial Negativa, X=10, r=3, p=0,55
 x  1 r
x r
P( X  x)  f ( x)  
 r  1
 p (1  p) ; para todo x  S ; S  {r , r  1, ...}


𝟏𝟎 − 𝟏
𝑷(𝑿 = 𝟏𝟎) = (
) 𝟎, 𝟓𝟓𝟑 (𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟓)𝟏𝟎−𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟐
𝟑−𝟏
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Puntos
Desarrollo
Regular
Identifica
correctamente la
variable aleatoria.
2
Satisfactorio
Plantea de forma
correcta la
probabilidad pero
comete errores en
los cálculos.
Excelente
Calcula
correctamente la
probabilidad.
2-3
4
h) Calcular el número medio de lanzamientos para obtener tres puntuaciones máximas.
μ= r/p= 3/0,55 = 5,45
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Desarrollo
Regular
Plantea una media
que no es correcta
1-2
Satisfactorio
Plantea bien la
media, pero con
errores en los
cálculos.
Excelente
Calcula el valor
esperado de manera
correcta.
2-3
4
Tema 6. Para cierta población humana, el índice cefálico I, el cual se calcula como la relación entre la
anchura máxima del cráneo y su longitud máxima por 100; es una variable aleatoria con distribución N (μ ; σ2
). Se ha determinado que hay un 58% de individuos con I ≤ 75, un 38% con 75 < I ≤ 80 y un 4% con I ≥ 80.
(20 puntos)
a) Determine los parámetros de la distribución de I
P (I ≤ 75) = 0,58; estandarizando y verificando el Z respectivo nos queda
75 – μ = 0,21 σ
P (I ≥ 80) = 0,04; esto es equivalente a P(I ≤ 80) = 0,96; estandarizando y verificando el Z respectivo nos
queda
80 – μ = 1,76 σ
Se resuelve el sistema de ecuaciones y se obtiene:
μ = 74,33
σ = 3,22
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Desarrollo
Regular
Estandariza
correctamente la
variable I.
2-4
Satisfactorio
Determina
correctamente los
valores de Z en la
Tabla Normal.
Excelente
Calcula
correctamente la
media y la varianza
de I.
4-8
12
b) Calcule P (78 ≤ I ≤ 82)
P (78 ≤ I ≤ 82); estandarizando nos queda
P (1,14 ≤ Z ≤ 2,38) = P ( Z < 2,38 ) – P ( Z < 1,14 ) = 0,9913 – 0,8729 = 0,1184
Nivel
Insuficiente
Desarrollo
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno.
0
Estandariza
correctamente la
variable I.
2
Determina
correctamente las
probabilidades a
partir de la Tabla
Normal.
2-4
Calcula
correctamente la
probabilidad
8
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL
LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)
AÑO:
2016
PERIODO:
PRIMER TÉRMINO
MATERIA:
EVALUACIÓN:
Estadística
Tecera
PROFESORES:
FECHA:
Lissethy Cevallos
Miércoles 14 de Septiembre 2016
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar este
compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una calculadora ordinaria para
cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del examen; y, cualquier
instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior del aula, junto con algún otro material que se
encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes adicionales a las que se entreguen en esta evaluación. Los temas
debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
NÚMERO DE MATRÍCULA:……………….……………………PARALELO:…………
Firma
1.- (30puntos) Estadística Descriptiva
Los siguientes datos son los sueldos mensuales de los operadores turísticos de la compañía familiar
cuencana Ecuador Exporta, y los inversionistas requieren un informe ejecutivo el cual contenga los
enunciados que a continuación se detallan con su respectiva interpretación.
1110
2679
1321
335
1456
2145
6pts
6pts
6pts
6pts
6pts
Sueldos
308
1730
459
949
2102
990
1670
1360
1799
2046
2096
1212
a.-Presentar la información de los sueldos en 4 intervalos
b.-Bosquejar el histograma de frecuencia
c.-Graficar Polígono de frecuencias acumulada
d.- A través el Polígono de frecuencias acumulada (Ojiva) determinar los cuartiles
e.- Bosquejar el diagrama de cajas
2.-(25 puntos) Muestreo
10pts a.-Con el fin de determinar el grado de aceptación de una campaña cuyo objetivo era el
incrementar la frecuencia de visita a una playa del perfil costanero del Guayas, El
Municipio respectivo decide realizar la medición del impacto y necesita determinar el
tamaño de la muestra requerido bajo el 95% de confianza y un error máximo de 0.15
5pts b.- ¿Cuál es la diferencia entre variable nominal y ordinal?
10pts c.- ¿En qué consiste el muestreo Estratificado, proporcione un ejemplo en la que se
evidencie la utilidad de su empleo?
3.-(20 puntos) Asociación Lineal
En el cuadro adjunto resumen la cantidad de semanas en la que se ha exhibido una película y el
monto de ingresos recaudado. En base esta muestra conteste:
a.- Se puede determinar si existe alguna asociación lineal entre el valor del ingresos vs la
cantidad de semanas en exhibición, mencione a través de qué indicador y de qué gráfico.
10pts b.- Calcule el indicador
6pts
c.- Interprete el valor
4pts
4.-(25 puntos) Regresión lineal Simple
En base a los datos de la pregunta 3, complete el siguiente cuadro y responda las siguientes
inquietudes
5pst a.- Calcule e interprete el coeficiente de determinación.
10pts b.- ¿Cuál es la ecuación de regresión que le permitirá estimar ingreso total alcanzado en
función de las semanas de exhibición las películas?
5pts c.-¿Los datos dan evidencia para indicar que las variables en cuestión están relacionados
linealmente? Pruebe usando un nivel de significancia α=5%
5pts d.- ¿Cuál sería el ingreso alcanzado si sólo se exhibe la película dos semanas?
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)
RUBRICA
1.- (30puntos) Estadística Descriptiva
6pts
Nivel
Criterios
Puntos
6pts
Nivel
Criterios
a.-Presentar la información de los sueldos en 4 intervalos
Desarrollo
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
No realiza cálculo
Considera al menos Considera las tres
alguno.
dos condiciones al
condiciones al
realizar la tabla de
realizar los
frecuencia y
intervalos y
bosqueja los
evidencia conocer
campos necesarios
los cálculos de
frecuencias
absolutas y
relativas
0
1
3
b.-Bosquejar el histograma de frecuencia
Desarrollo
Insuficiente
Regular
No realiza grafico
Bosqueja un gráfico
alguno.
sin asociarlo
correctamente a las
frecuencias
0
Puntos
6pts
Nivel
Criterios
Puntos
6pts
Nivel
Criterios
Puntos
6pts
Nivel
Criterios
1.5
c.-Graficar Polígono de frecuencias acumulada
Desarrollo
Insuficiente
Regular
No realiza grafico
Bosqueja un gráfico
alguno.
sin asociarlo
correctamente a los
puntos coordenados
(Límite, Frecuencia
relativa acumulada)
0
1
Satisfactorio
Grafica
correctamente
Omite Rótulos
Excelente
Considera las tres
condiciones al
realizar los
intervalos y realiza
los cálculos de
frecuencia y
frecuencia relativa
de forma correcta
6
4
Excelente
Se evidencia que la
altura de cada barra
es proporcional a la
frecuencia absoluta
o relativa del
respectivo intervalo
Rotula el gráfico
6
Satisfactorio
Realiza los puntos a
graficar en el plano
cartesiano
Grafica los puntos
Omite Rótulos
Excelente
Grafica los puntos
de forma correcta
en el plano
cartesiano
Rotula el gráfico
4
6
d.- A través el Polígono de frecuencias acumulada (Ojiva) determinar los cuartiles
Desarrollo
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
No realiza cálculo
Solo plantea la
Identifica los
Identifica los
alguno.
fórmula
porcentajes que
porcentajes que
corresponde a cada
corresponde a cada
cuartil
cuartil y
proporciona
estimados bien
aproximados
0
1
3
6
e.- Bosquejar el diagrama de cajas
Insuficiente
No realiza grafico
alguno.
Desarrollo
Regular
Bosqueja un gráfico
sin asociarlo
correctamente a los
cuartiles
Satisfactorio
Bosqueja el gráfico
pero no respeta la
unidad de medida
que le permite ver
Excelente
Grafica el gráfico ,
respeta la unidad de
medida y cada
cuartil está bien
Puntos
0
1.5
la verdadera
distribución de los
datos
4
representado.
6
2.- (25puntos) Muestreo
10pts Cálculo de tamaño de muestra
5pts Reconoce cada dato dado
5pts Determina el tamaño.
5pts Diferencia Nominal y Ordinal
Establece que nominal clasifica y la ordinal ordena
5pts Muestreo Estratificado
Menciona la principal característica que debe presentar la población para utilizar este tipo de
muestreo, la cual es que se divide la misma en grupos los cuales son heterogéneos entre y
homogéneos dentro.
3.-(20puntos) Asociación
4pts a.- Indicadores
Determina el coeficiente de correlación y el gráfico de dispersión
10pts b.- Calculo el indicador
Plantea la ecuación 2pts
Plantea la ecuación y calcula correctamente al menos dos de los elemento que involucra la
formula 6pts
Presenta el valor correcto 0.88 10pts
6pts c.- Interpretación el valor
3pts Sentido y 3pts magnitud de la asociación
4.-(25puntos) Regresión lineal
Resumen
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple
Coeficiente de determinación R^2
R^2 ajustado
Error típico
Observaciones
0,88
0,78
0,75
12,79
10
ANÁLISIS DE VARIANZA
Regresión
Residuos
Total
Intercepto
Exhibición
Promedio
Grados de
Suma de
de los
libertad
cuadrados cuadrados
1
4592,45
4592,45
8
1308,40
163,55
9
5900,85
F
Valor crítico
de F
28,08
0,0007
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad
-14,15
9,043
-1,565
0,156
21,43
4,044
5,299
0,001
5pts a.- Cálculo del coeficiente determinación
10pts b.- Establece la fórmula
5pts c.- Estadístico de prueba
5pts d.- Interpretación
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
SOLUCIÓN Y RÚBRICA EXAMEN
TEMA 1 (15 puntos): En una encuesta aplicada a estudiantes universitarios se obtienen datos sobre
un cambio propuesto en el plan de estudios común. Los resultados son los siguientes:
OPINIÓN
AÑO (nivel)
Primero
En favor
120
En contra
80
Segundo
70
130
Tercero
60
70
Cuarto
40
60
Pruebe la hipótesis de que la opinión acerca del cambio en el plan de estudio es independiente del
año que cursan los estudiantes. Use nivel de significancia de 0,05 y base su respuesta en el valor p.
𝝌𝟐 𝟎,𝟎𝟓 (𝟑) = 𝟏𝟎, 𝟔𝟎
SOLUCIÓN:
TABLA DE CONTINGENCIA
OPINIÓN
AÑO (nivel)
Primero
En favor
120
En contra
80
Segundo
70
130
Tercero
60
70
Cuarto
40
60
290
340
𝒏.𝒋
𝒏𝒊.
200
200
130
100
630
Se plantea una prueba de hipótesis de independencia:
H0: La opinión acerca del cambio propuesto en el plan es independiente del año que cursan los
estudiantes universitarios.
vs.
H1: ¬𝐻0
Con 95% de confianza rechace H0 en favor de H1 si:
𝑟
𝑐
2
(𝑛𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗 )
𝜒 = ∑∑
> 𝜒 2 𝛼 (𝑟 − 1)(𝑐 − 1)
𝐸𝑖𝑗
2
𝑖=1 𝑗=1
𝐸𝑖𝑗 =
𝑛𝑖.× 𝑛.𝑗
𝑛
4
𝑬𝟏𝟏 =
(200)(290)
= 92,06
630
𝑬𝟏𝟐 =
(200)(340)
= 107,94
630
𝑬𝟐𝟏 =
(200)(290)
= 92,06
630
𝑬𝟐𝟐 =
(200)(340)
= 107,94
630
𝑬𝟑𝟏 =
(130)(290)
= 59,84
630
𝑬𝟑𝟐 =
(130)(340)
= 70,16
630
𝑬𝟒𝟏 =
(100)(290)
= 46,03
630
𝑬𝟒𝟐 =
(100)(340)
= 53,97
630
2
2
(120 − 92,06)2 (80 − 107,94)2
(60 − 53,97)2
(𝑛𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗 )
𝜒 = ∑∑
=
+
+ ⋯+
𝐸𝑖𝑗
92,06
107,94
53,97
2
𝑖=1 𝑗=1
𝜒 2 = 26,971
Valor p < 0,05 aproximadamente igual a 0.
CONCLUSIÓN
Por lo tanto, existe evidencia estadística para rechazar H0 en favor de H1, es decir, la opinión acerca
del cambio propuesto en el plan NO es independiente del año que cursan los estudiantes
universitarios.
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
prueba de hipótesis
JI-CUADRADO de
independencia.
3
Satisfactorio
Realiza
correctamente el
cálculo del
Estadístico de
Prueba.
4 - 10
Excelente
Estima
correctamente el
Valor p de la
prueba y rechaza la
Hipótesis Nula a
favor de la
Hipótesis Alterna.
15
TEMA 2.-De una población X que es Beta con parámetros 𝛼 = 2 𝑦 𝛽 = 3, 𝐵(2,3) se toma
una Muestra Aleatoria de tamaño n= 32. Determine la probabilidad de que la Media
Aritmética de la Muestra tome un valor menor a 0.28
(10 puntos)
Fórmulas para el Formulario
1
𝐵(𝛼, 𝛽) = ∫ 𝑥 𝛼−1 (1 − 𝑥)𝛽−1 𝑑𝑥
0
𝛼
𝛼+𝛽
𝛼𝛽
𝜎2 =
2
(𝛼 + 𝛽) (𝛼 + 𝛽 + 1)
𝜇=
𝑝(𝑥̅ < 0.28) = 𝑝(𝑧 < −3.4) = 0.0003
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
Desarrollo
Regular
Satisfactorio
No realiza cálculo
alguno.
Reconoce que
para el cálculo de
probabilidad de la
media aritmética,
debe utilizar el
TLC
Plantea el cálculo
de la probabilidad
y calcula el
correspondiente
valor 𝑧0
0
2
3-7
Excelente
Calcula
correctamente la
probabilidad.
8 - 10
TEMA 3 (10 puntos). Califique como verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones.
Verdadero
El área total bajo la curva de una normal estándar es igual a 0.5
Falso
X
Sean X e Y variables aleatorias discretas o continuas si la cov(x,y)=0
entonces X e Y son estocásticamente independientes
X
̂1 y 𝜃
̂2 dos estimadores insesgados
Sea 𝜃 un parámetro poblacional, y sean 𝜃
̂1 es más eficiente que 𝜃
̂2 cuando y
del mismo parámetro 𝜃, diremos que 𝜃
̂
̂
solo cuando el cociente de 𝑣𝑎𝑟(𝜃1 )/𝑣𝑎𝑟(𝜃2 ) es menor a uno.
X
Si 𝑋 𝑡 = (𝑋 𝑌) es un vector bivariado continuo con densidad conjunta f(x,y)
+∞
la Marginal 𝑓𝑥 de la variable aleatoria X es igual a 𝑓𝑥 (𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
El coeficiente de Correlación 𝜌𝑥𝑦 entre X e Y cumple con la condición
−1 ≤ 𝜌𝑥𝑦 ≤ 1 para cualquier par de Variables Aleatorias X e Y
X
X
Nivel
Criterios
Puntos
Desarrollo
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
No
valora Contesta
Contesta
correctamente
correctamente de 1 a correctamente de 3
ninguna
2 afirmaciones.
a 4 afirmaciones.
afirmación
0
2-4
6-8
Excelente
Contesta
correctamente las
5 afirmaciones.
10
TEMA 4. (15 puntos) Para una caseta de peaje se presenta a continuación una distribución de
frecuencias observadas correspondiente al tiempo de espera (en segundos) de vehículos livianos en
cola.
Tiempo
Frecuencia
≤ 4.009
13
4.010 - 5.869
158
5.870 - 7.729
437
7.730 - 9.589
122
> 9.590
20
Usando una distribución normal con µ = 6.80 y σ = 1.24, calcule el estadístico de K-S. Al nivel de
significancia de 0.15, ¿parece esta distribución estar bien descrita por la distribución normal sugerida?
Solución:
Las hipótesis nula y alterna vinculadas a la bondad de ajuste por Kolmogorov-Smirnov son
detalladas a continuación:
H0: El tiempo de espera de vehículos livianos en cola tiene una distribución N ~ (6.80, 1.242)
Vs.
H1: ¬𝐻0
Las probabilidades de ubicarse en las cinco clases son las áreas indicadas bajo la curva en la siguiente
figura:
Dado que el número total de vehículos que esperan en la caseta corresponden a 750, las
frecuencias esperadas son:
750 (0.0122)
750 (0.2144)
750 (0.5468)
750 (0.2144)
750 (0.0122)
9.15
160.80
410.10
160.80
9.15
La tabla para efectos del cálculo del estadístico de prueba K-S es detallada a continuación:
Fo
13
158
437
122
20
fo acum.
13
171
608
730
750
Fo
0.0173
0.2280
0.8107
0.9733
1.0000
fe
9.15
160.80
410.10
160.80
9.15
fe acum.
9
170
580
741
750
Fe
0.0122
0.2266
0.7734
0.9878
1
lFe-Fol
0.0051
0.0014
0.0373
0.0145
0.0000
Por lo tanto, Dn = 0.0373. Como n = 750, al observar la tabla de K-S bajo un nivel de significancia
de 0.15 se determina que:
Dα =
1.36
√𝑛
=
1.36
√750
= 0.049
Como Dn < Dα no se rechaza Ho, es decir que los datos presentados se encuentran bien descritos
por la distribución normal sugerida.
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno
Puntos
0
Desarrollo
Regular
Determina
de forma precisa
hipótesis y
probabilidades
Satisfactorio
Calcula de forma
correcta valores
observados y
esperados
4
5 - 10
Excelente
No rechaza la
hipótesis nula
basada en el
correcto cálculo
del estadístico de
prueba y región de
rechazo
15
TEMA 5. (15 puntos) Se mide la cantidad de oxígeno que consumen seis personas durante dos
periodos de 10 minutos, antes y después de escuchar música clásica. Sobre los resultados expuestos
y empleando un nivel de significancia del 5%. ¿Existe evidencia estadística para afirmar que es menor
el consumo de oxígeno cuando escuchan música? Justifique su respuesta empleando el valor p de la
prueba.
Participante
1
2
3
4
5
6
Antes
6,1
7,3
5,7
6,4
5,8
6,2
Después
5,4
6,7
5,4
6,2
6,0
6,1
SOLUCIÓN 1
Dado que se mide el consumo de oxígeno a los mismos individuos bajo dos condiciones, entonces
es una prueba de muestras pareadas.
Participante
1
2
3
4
5
6
Antes
6,1
7,3
5,7
6,4
5,8
6,2
Después
5,4
6,7
5,4
6,2
6,0
6,1
Diferencia
0,7
0,6
0,3
0,2
-0,2
0,1
Ho: µd = 0 vs. Ho: µd > 0
Estadístico de prueba t = 2,096 aproximadamente 2,1
Si revisamos la tabla t con 5 grados de libertad observamos t0,95 = 2,015 t0,975 = 2,571
2,1 se encuentra entre el percentil 95 y 97,5, por lo tanto el valor p se encuentra entre 0,025 y 0,05,
por lo tanto este valor es menor que α, entonces rechazamos la hipótesis nula.
Conclusión: Con un nivel del 5% podemos afirmar que el consumo de oxígeno es significativamente
menor cuando escuchan música.
SOLUCIÓN 2
Dado que se mide el consumo de oxígeno a los mismos individuos bajo dos condiciones, entonces
es una prueba de muestras pareadas.
Participante
1
2
3
4
5
6
H0: µd = 0 vs. H1: µd < 0
Antes
6,1
7,3
5,7
6,4
5,8
6,2
Después
5,4
6,7
5,4
6,2
6,0
6,1
Con (1- α)100% de confianza, rechace H0 en favor de H1 si:
Diferencia
Después - Antes
-0,7
-0,6
-0,3
-0,2
0,2
-0,1
̅−𝛿
𝐷
𝑇=𝑠
< −𝑡𝛼 (𝑛 − 1)
𝑑
⁄
√𝑛
Estadístico de prueba T = -2,10
Si revisamos la tabla t con 5 grados de libertad observamos - t0,05 = -2,015
Valor p < 0,05
Conclusión: Existe evidencia estadística para rechazar H0 en favor de H1, es decir, podemos afirmar
que el consumo de oxígeno es significativamente menor cuando escuchan música.
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza
cálculo alguno
Puntos
0
Desarrollo
Regular
Plantea las
hipótesis
correctamente y
obtiene las
diferencias
3
Satisfactorio
Además obtiene
el estadístico
Excelente
Rechaza la
hipótesis nula a
favor de la
hipótesis alterna.
4 -7
8 - 10
TEMA 6 (20 puntos) Se desea construir un modelo de regresión lineal simple donde Y: el precio del
kilo de harina en pesos y X: Producción de trigo en toneladas. Los resultados fueron los siguientes:
Interprete los resultados.
Nivel
Criterios
Insuficiente
No Interpreta
Desarrollo
Regular
Escribe el
modelo
Puntos
0
4
Satisfactorio
Escribe el
modelo e
Interpreta los
coeficientes
5 - 12
Excelente
Interpreta los
resultados del
modelo
incluyendo
significancia y
potencia de
explicación.
20
TEMA 7:
Se asume que los pesos de las personas mayores a 25 años están distribuidas normalmente con una
desviación típica de 20 libras. Se selecciona una muestra aleatoria de 100 personas de esta población
y plante el contraste de hipótesis. (15 puntos)
𝐻𝑜 : 𝜇 = 165 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠
Vs.
𝐻1 : 𝜇 = 166 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠
Hallar el error de tipo I y error de tipo II para las siguientes regiones:
a) Se acepta 𝐻𝑜 , si al seleccionar aleatoriamente de un grupo de bolas conformado por 19
negras y una roja, el resultado es una bola negra.
b) Región de rechazo = {𝑥̅ ≤ 168.28}
c) Región de rechazo = {𝑥̅ ≥ 161.72}
RESOLUCIÓN Y RÚBRICA
a) α = P (rechazar Ho, Ho es cierta)
α = P (seleccionar una roja, µ=165)
α = P (seleccionar una roja)= 1/20
β= P (Aceptar Ho, Ho es falsa)
β= P (seleccionar una negra, µ=166)
β= 19/20
Nivel
Insuficiente
Regular
Realiza
correctamente el
No realiza cálculo cálculo del error
tipo I
Criterios alguno.
0
2
Puntos
Satisfactorio
Realiza correctamente el
cálculo del error tipo I y solo
plantea correctamente el error
tipo II sin llegar al resultado
3-4
Excelente
Realiza
correctamente el
cálculo del error
tipo I y error tipo II
5
b) α = P (rechazar Ho, Ho es cierta)
α = P (𝑥̅ ≤ 168.28, µ=165) =𝑃 (
𝑥̅ −µ
𝜎
√𝑛
168.28−165
≤
20
√100
) = 𝑃(𝑧 ≤ 1.64)=0.9495
β= P (Aceptar Ho, Ho es falsa)
β= P (𝑥̅ > 168.28, µ=166) =𝑃 (
Nivel
𝑥̅ −µ
𝜎
√𝑛
>
168.28−166
Insuficiente
Regular
Realiza
correctamente el
No realiza cálculo cálculo del error
tipo I
Criterios alguno.
0
2
Puntos
20
√100
) = 𝑃(𝑧 > 1.14)=0.1271
Satisfactorio
Realiza correctamente el
cálculo del error tipo I y solo
plantea correctamente el error
tipo II sin llegar al resultado
3-4
Excelente
Realiza
correctamente el
cálculo del error
tipo I y error tipo II
5
c) α = P (rechazar Ho, Ho es cierta)
α = P (𝑥̅ ≥ 161.72, µ=165) =𝑃 (
𝑥̅ −µ
𝜎
√𝑛
≥
161.72−165
20
√100
) = 𝑃(𝑧 ≥ −1.64)=0.9495
β= P (Aceptar Ho, Ho es falsa)
β = P (𝑥̅ < 161.72, µ=166) =𝑃 (
Nivel
Insuficiente
𝑥̅ −µ
𝜎
√𝑛
<
Regular
Realiza
correctamente el
No realiza cálculo cálculo del error
tipo I
Criterios alguno.
0
2
Puntos
161.72−166
20
√100
) = 𝑃(𝑧 < −2.14)=0.0162
Satisfactorio
Realiza correctamente el
cálculo del error tipo I y solo
plantea correctamente el error
tipo II sin llegar al resultado
3-4
Excelente
Realiza
correctamente el
cálculo del error
tipo I y error tipo II
5
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
RUBRICA
TEMA 1 (20 puntos):
La magnitud de temblores registrados en una región de América del Sur puede modelarse como si
tuviera una distribución exponencial con media 2.4, según se mide en la escala de Richter.
a) Encuentre la probabilidad de que un temblor que ocurra en esta región a sea mayor que 5.0
en la escala de Richter.
b) De los siguientes diez temblores que afecten esta región, ¿cuál es la probabilidad de que al
menos uno de ellos sea mayor que 5.0 en la escala de Richter?
FÓRMULAS REQUERIDAS
Densidad de la Variable Aleatoria Exponencial
−
𝑥
𝑒 𝛽
𝑓(𝑥) = {
;𝑥 > 0
𝛽
0; 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥
Distribución de Variable Aleatoria Binomial
 n
P( X  x)  f ( x)    p x (1  p)n  x ; para todo x  S ; S  {0,1, 2, ..., n}
 x
SOLUCIÓN:
X = Magnitud de los temblores en una región de América del Sur.
X es una variable aleatoria Exponencial con β=2,4
−
𝑥
𝑒 2,4
𝑓(𝑥) = {
;𝑥 > 0
2,4
0; 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥
−
𝑥
𝐹(𝑥) = { 1 − 𝑒 2,4 ; 𝑥 > 0
0; 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥
a) Encuentre la probabilidad de que un temblor que ocurra en esta región a sea mayor que 5.0
en la escala de Richter.
∞
−
𝑥
𝑒 2,4
𝑃(𝑋 > 5) = ∫
𝑑𝑥 = 0,1245
2,4
5
ó
𝑃(𝑋 > 5) = 1 − 𝑃(𝑋 < 5)
𝑃(𝑋 > 5) = 1 − 𝐹(5) = 1 − [1 − 𝑒
𝑃(𝑋 > 5) = 𝑒 −2,083 = 0,1245
−
5
2,4 ]
RÚBRICA:
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Puntos (10
PUNTOS)
0%
Desarrollo
Regular
Plantea la Densidad o la
Distribución
Acumulada de la
Variable Aleatoria
Exponencial 𝛽 = 2,4.
Satisfactorio
Plantea correctamente
el cálculo de la
probabilidad como
𝑃(𝑋 > 5).
10% - 20%
30% - 40%
Excelente
Calcula correctamente el
valor de la probabilidad
usando la Densidad o la
Distribución Acumulada
de la Variable Aleatoria
Exponencial 𝛽 = 2,4.
50% - 100%
b) De los siguientes diez temblores que afecten esta región, ¿cuál es la probabilidad de que al
menos uno de ellos sea mayor que 5.0 en la escala de Richter?
Suceso: La magnitud del temblor es mayor que 5.0 en la escala de Richter.
P (Suceso)=p= 0,1245
Variable Aleatoria Binomial, n=10, p=0,1245
10 
P( X  x)  f ( x)   0,1245x (1  0,1245)10 x ; para todo x  S ; S  {0,1, 2, ...,10}
x
𝑷(𝑿 ≥ 𝟏) = 𝟏 − 𝑷(𝑿 < 𝟏) = 𝟏 − 𝑷(𝑿 = 𝟎)
𝟏𝟎
𝑷(𝑿 ≥ 𝟏) = 𝟏 − ( ) 𝟎, 𝟏𝟐𝟒𝟓𝟎 (𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟐𝟒𝟓)𝟏𝟎−𝟎
𝟎
𝑷(𝑿 ≥ 𝟏) = 𝟏 − 𝟎, 𝟐𝟔𝟒𝟓
𝑷(𝑿 ≥ 𝟏) = 𝟎, 𝟕𝟑𝟓𝟒
RÚBRICA:
Nivel
Criterios
Puntos (10
PUNTOS)
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0%
Desarrollo
Regular
Identifica la Variable
Aleatoria Binomial con
𝑛 = 10 y 𝑝 = 0,1245.
10% - 20%
Satisfactorio
Plantea correctamente
el cálculo de la
probabilidad
requerida como
P(X ≥ 1).
30% - 40%
Excelente
Calcula correctamente el
valor de la P(X ≥ 1).
50% - 100%
TEMA 2 (25 puntos):
Un sistema importante funciona como apoyo de un vehículo en el programa espacial. Un solo
componente crucial funciona únicamente 85% del tiempo. Para reforzar la confiabilidad del sistema,
se decidió que se instalarán 3 componentes paralelos, de manera que el sistema falle sólo si todos
fallan. Suponga que los componentes actúan de forma independiente y que son equivalentes en el
sentido de que los 3 tienen una tasa de éxito del 85%. Considere la variable aleatoria X como el
número de componentes de cada tres que fallan.
a)
b)
c)
d)
e)
Escriba una función de probabilidad para la variable aleatoria X
Determine el número medio de componentes de cada tres que fallan
Determine el segundo momento central para la variable aleatoria X
¿Cuál es la probabilidad de que el sistema completo sea exitoso?
¿Cuál es la probabilidad de que falle el sistema?
SOLUCIÓN:
a)
 3
f ( x)   0.15 x (0.85)3 x ; para todo x  S ; S  {0,1, 2, 3}
 x
x
f (x)
0
0.614125
1
0.325125
2
0.057375
3
0.003375
RÚBRICA:
Nivel
Criterios
Puntos (9 )
Insuficiente
No identifica la
función de
probabilidad de la
variable aleatoria X
0
Desarrollo
Regular
Identifica la función de
probabilidad pero no
determina
correctamente los
parámetros de la
función
10% - 20%
Satisfactorio
Identifica la función
de probabilidad con
sus parámetros pero
no calcula
correctamente las
probabilidades
30% - 40%
Excelente
Escribe correctamente la
función de probabilidad y
calcula correctamente las
probabilidades
50% - 100%
b)
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑓(𝑥) = 0(0.61) + 1(0.33) + 2(0.06) + 3(0.003) = 0.45
𝑥
RÚBRICA:
Nivel
Criterios
Puntos (4
PUNTOS)
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Desarrollo
Regular
Escribe la fórmula del
Valor esperado
correctamente pero no
realiza el cálculo
10% - 20%
Satisfactorio
Escribe la fórmula del
Valor esperado
correctamente pero el
cálculo es incorrecto
Excelente
Calcula correctamente
𝐸(𝑋)
30% - 40%
50% - 100%
c) 𝐸(𝑋 2 ) = ∑𝑥 𝑥 2 𝑓(𝑥) = 02 (0.61) + 12 (0.33) + 22 (0.06) + 32 (0.003) = 0.585
Por lo que
2
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋)) = 0.585 − 0.452 = 0.3825
RÚBRICA:
Nivel
Criterios
Puntos (4)
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Desarrollo
Regular
Escribe la fórmula de la
Varianza correctamente
pero no realiza el
cálculo
Satisfactorio
Escribe la fórmula de
la Varianza
correctamente pero el
cálculo es incorrecto
10% - 20%
30% - 40%
Excelente
Calcula correctamente
𝑉𝑎𝑟(𝑋)
50% - 100%
d) 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 = 3) = 1 − 0.003375 = 0.996625
RÚBRICA:
Nivel
Criterios
Puntos
(4PUNTOS)
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Desarrollo
Regular
Calcula la probabilidad
incorrectamente usando
la distribución binomial
10% - 20%
Satisfactorio
Describe
correctamente como
realizar el cálculo,
pero el resultado es
incorrecto
30% - 40%
Excelente
Calcula correctamente la
probabilidad de que el
sistema completo sea
exitoso
Satisfactorio
Describe
correctamente como
realizar el cálculo,
pero el resultado es
incorrecto
Excelente
Calcula correctamente la
probabilidad de que falle
el sistema
50% - 100%
e) 𝑃(𝑋 = 3) = 0.003375
RÚBRICA:
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Desarrollo
Regular
Calcula la probabilidad
incorrectamente usando
la distribución binomial
0
Puntos (4
PUNTOS)
10% - 20%
30% - 40%
50% - 100%
TEMA 3 (20 puntos):
En una enlatadora de productos alimenticios hay 3 líneas de ensamblaje: 1, 2 y 3; las que representan
respectivamente el 37%, 42% y 21% de la producción de latas respectivamente. Si el 6% de las latas
de las líneas del ensamblaje 1 son selladas inadecuadamente, mientras que el porcentaje de las líneas
de ensamblaje 2 y 3 es 0.4% y 1.2% en ese orden. Determinar:
a)
La probabilidad, si se tomara una lata de la producción, que está sellada adecuadamente.
b)
Que proceda de la línea de ensamblaje 2 dado que sabemos que esta sellada adecuadamente.
c)
Que proceda de la línea de ensamblaje 3, dado que sabemos que esta sellada
inadecuadamente.
a) P(A)= 0.37*0.94 +0.42*0.996+0.21*0.988 = 0.957
Nivel
Criterios
Puntos
(10)
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Identifica que se
No realiza cálculo debe resolver con
alguno.
probabilidad total
Aplica todos los valores
correctamente en la
probabilidad total pero no
obtiene el resultado correcto.
Aplica probabilidad
total y realiza el
cálculo
correctamente.
0%
50% – 80%
100%
50%
b)
P (E1│A) =
Nivel
Criterios
Puntos
(5)
0.42∗0.996
0.957
Insuficiente
0.41
= 0.957 = 0.4284
Regular
Satisfactorio
Excelente
Identifica que se
No realiza cálculo debe resolver con
alguno.
Bayes
Aplica todos los valores
correctamente según teorema
de Bayes pero no obtiene el
resultado correcto.
Aplica teorema de
Bayes y realiza el
cálculo
correctamente.
0%
50% – 80%
100%
50%
0.21∗0.012
0.0025
c) P (E1│A) = (0.37∗0.06)+(0.42∗0.004)+(0.21∗0.012) = 0.0261 = 0.0957
Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
Identifica que se
No realiza cálculo debe resolver con
alguno.
Bayes
Puntos 0%
(5)
50%
Aplica todos los valores
correctamente según teorema
de Bayes pero no obtiene el
resultado correcto.
Aplica teorema de
Bayes y realiza el
cálculo
correctamente.
50% – 80%
100%
TEMA 4 (20 puntos):
Sea X una variable aleatoria normal con media 10 y varianza σ2 desconocida.
a)
Determine σ, si P(X≥7)=0.90
b)
Determine el valor de k tal que P(X≤k)= 4P(X>K)
a)
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza
cálculo alguno
Puntos (10)
0
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
ecuación
20%
Satisfactorio
Determina
correctamente el
percentil
60%
Excelente
Calcula
correctamente
sigma
100%
Desarrollo
Regular
Plantea el
cálculo de la
probabilidad
60%
Satisfactorio
Determina
correctamente el
percentil
80%
Excelente
Calcula
correctamente k
b) 10 puntos
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza
cálculo alguno
Puntos (10)
0
100%
TEMA 5 (15 puntos):
Una empresa ha realizado un test físico entre sus empleados para comprobar la capacidad de esfuerzo
que posee cada uno de ellos. Una de las medidas que componen el mismo es el número de pulsaciones
después de una determinada actividad física, que está altamente relacionada con las que se realizan a
lo largo de una jornada laboral. Los datos conseguidos han sido distribuidos en una tabla de
frecuencias. La tabla resultante es la que se presenta:
Número de pulsaciones
Número de empleados
70 - 75
3
75 - 80
3
80 - 85
7
85 - 90
10
90 – 95
12
95 - 100
8
a) Construya una tabla de frecuencias completa (marcas de clase, frecuencias relativas,
frecuencias absolutas acumuladas, frecuencias relativas acumuladas)
b) Determine la media aritmética, la varianza y la desviación estándar, del número de
pulsaciones, e interprete cada uno de sus resultados.
c) Por medio de un método gráfico, determine de manera aproximada, el porcentaje de
empleados que tuvieron menos de 83 pulsaciones.
SOLUCIÓN:
a)
# de pulsaciones
# de empleados
3
Marca
de clase
72.5
Frec.
relativa
0.070
Frec. Abs.
Acum.
3
Frec. Rel.
Acum.
0.070
70 - 75
75 - 80
3
77.5
0.070
6
0.140
80 - 85
7
82.5
0.163
13
0.302
85 - 90
10
87.5
0.233
23
0.535
90 – 95
12
92.5
0.279
35
0.814
95 - 100
8
97.5
0.186
43
1.000
b)
Usando las siguientes expresiones matemáticas, para la media aritmética, varianza y
desviación estándar, respectivamente:
∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 ∗ 𝑚𝑖
(3 ∗ 72.5) + (3 ∗ 77.5) + ⋯ + (8 ∗ 97.5)
𝑥̅ =
=
= 𝟖𝟖. 𝟏𝟗𝟖
𝑛
43
Este valor indica la esperanza matemática (promedio) del número de pulsaciones de
un empleado, después de una determinada actividad física.
∑𝑘𝑖=1(𝑚𝑖 − 𝑥̅ )2 ∗ 𝑓𝑖
𝑠 =
𝑛
(72.5 − 88.198)2 ∗ 3 + (77.5 − 88.198)2 ∗ 3 + ⋯ + (97.5 − 88.198)2 ∗ 8
=
43
= 𝟓𝟏. 𝟖𝟑𝟖
2
Esta es una medida de variabilidad, la cual, viene en unidades cuadráticas, por tal
razón es necesario obtener su raíz cuadrada, para así trabajar con las unidades
originales.
∑𝑘 (𝑐𝑖 − 𝑥̅ )2 ∗ 𝑛𝑖
𝑠 = √ 𝑖=1
= √51.838 = 𝟕. 𝟏𝟗𝟗
𝑛
Dado este valor de la desviación estándar, se interpreta en términos de la Regla
Empírica, por ejemplo, tal que aproximadamente el 68% de este grupo de empleados,
tiene un número de pulsaciones, después de una actividad física, de la media
aritmética más menor una desviación estándar, con dos desviaciones estándar,
aglomera aproximadamente un 95%, mientras que con tres desviaciones estándar
aglomera aproximadamente 99.7%.
c)
Como método gráfico, se hará uso de la Ojiva:
Estamos hablando de que el porcentaje de empleados, que tuvieron menos de 83
pulsaciones, es aproximadamente 23.721%
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
72,5
77,5
82,5
87,5
92,5
97,5
RÚBRICA:
Desarrollo
Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
Puntos
No construye la
tabla de
frecuencias, no
realiza cálculo
alguno, ni estima
el valor
correspondiente.
Construye
parcialmente la
tabla de
frecuencias,
calcula
correctamente de
manera parcial,
las medidas
estadísticas
solicitadas e
intenta estimar el
valor
correspondiente.
Construye
correctamente la
tabla de
frecuencias,
calcula
correctamente las
medidas
estadísticas
solicitadas e
intenta estimar
correctamente el
valor
correspondiente.
0
30%
80%
Construye
correctamente la
tabla de
frecuencias,
calcula
correctamente las
medidas
estadísticas
solicitadas,
intenta estimar
correctamente el
valor
correspondiente y
realiza un análisis
de cada uno de
los resultados
obtenidos.
100%
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AÑO:
2016
PERIODO:
SEGUNDO TÉRMINO
MATERIA:
ESTADÍSTICA.
PROFESORES:
Lissethy Cevallos
EVALUACIÓN:
PRIMERA
FECHA:
5 de Diciembre de 2016
Tema 1.- (25puntos) La investigación de NRF proporcionó los resultados de una encuesta de gastos vacacionales de los
consumidores (Usa Today, 20 de diciembre de 2005). Los datos siguientes indican la cantidad en dólares de gastos vacacionales
para una muestra de 16 consumidores
1200
1780
1450
890
1090
740
1120
850
450
800
850
180
280
260
590
510
a) Realice un resumen de 4 intervalos
b) Realice un histograma de frecuencia
c) ¿Qué porcentaje de los consumidores presentan gastos vacacionales menores a 1350?
d) Interprete los resultados del inciso a.
Tema 2.- (25puntos) Una agencia evalúa dos medios de transporte que utilizan más frecuente los turistas para dirigirse desde
el centro de la ciudad de Guayaquil hasta el Zoológico El Pantanal, estas dos alternativas son transporte público y automóvil
contratado.
A continuación vemos una muestra de tiempos de cada medio de transporte. Las cifras están dadas en minutos
Transporte Público: 28, 29, 32, 37, 33, 25 29, 32, 41
Automóvil:
29, 31, 33, 32, 34, 30, 31, 32, 35
a) Calcule la media y la desviación estándar por tipo de transporte
b) Determine qué tipo de vehículo utilizaría y argumente su respuesta con el coeficiente de variación.
Tema 3.- (25puntos) La siguiente tabla presenta el porcentaje de guayaquileños por nivel de gasto en alimentos bimensual
expresado en miles de dólares.
Gastos
1- [0,0 - 0,15)
2- [0,15 - 0,3)
3- [0,3 - 0,45)
4- [0,45 - 0,75)
5- [0,75 -0,9)
Porcentaje de
Personas
18%
27%
18%
14%
23%
a)
b)
c)
d)
Realice el Polígono de frecuencias acumulado
Determine los cuartiles, Interprete los valores
Bosqueje el diagrama de Caja
Determine el percentil trigésimo noveno, e interprete el
resultado.
Tema 4.- (25puntos) El costo de un automóvil seminuevo depende de factores como marca y modelo, año y millas recorridas.
Para investigar la relación entre millas recorridas y el precio de venta se obtuvieron los datos de 10 operaciones de compra–
venta entre particulares de un HONDA modelo 2000.
Millas(1000s) 90
59
66
87
90
106
94
57
138
87
Precio($1000) 7.0
7.5
6.6
7.2
7.0
5.4
6.4
7.0
5.1
7.2
a) A través de que indicador se puede medir la posible asociación lineal entre las millas recorridas y el precio de venta
b) Determine el indicador
c) Interprete el resultado.
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AÑO:
2016
PERIODO:
SEGUNDO TÉRMINO
MATERIA:
ESTADÍSTICA.
PROFESORES:
Lissethy Cevallos
EVALUACIÓN:
PRIMERA
FECHA:
5 de Diciembre de 2016
Tema 1.- (25puntos) La investigación de NRF proporcionó los resultados de una encuesta de gastos vacacionales de los
consumidores (Usa Today, 20 de diciembre de 2005). Los datos siguientes indican la cantidad en dólares de gastos vacacionales
para una muestra de 16 consumidores
1200
1780
1450
890
1090
740
1120
850
450
800
850
180
280
260
590
510
e) (8puntos) Realice un resumen de 4 intervalos
Desarrollo
Nivel
Criterios
Puntos
f)
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Regular
Considera al menos dos
condiciones al realizar la
tabla de frecuencia y
bosqueja los campos
necesarios
10%
0%
Satisfactorio
Considera al menos una de las
tres condiciones al realizar los
intervalos y evidencia conocer los
cálculos de frecuencias absolutas
y relativas
50%
Excelente
Considera las tres condiciones al
realizar los intervalos y realiza los
cálculos de frecuencia y
frecuencia relativa de forma
correcta
100%
(6puntos) Realice un histograma de frecuencia
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza grafico
alguno.
Puntos
Desarrollo
Regular
Bosqueja un gráfico sin
asociar los intervalos
con sus frecuencias
0%
10%
Satisfactorio
Grafica
correctamente cada
intervalo y la
frecuencia Relativa
Omite Rótulos
70%
Excelente
Se evidencia que la altura de cada barra
es proporcional a la frecuencia absoluta
o relativa del respectivo intervalo
Rotula el gráfico
100%
g) (6puntos)¿Qué porcentaje de los consumidores presentan gastos vacacionales menores a 1350?
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Puntos
Desarrollo
Regular
Satisfactorio
Reconoce que se está
Entiende el problema y trata de
consultando por la
estimar el resultado a través de la
frecuencia relativa.
tabla de frecuencia
0%
10%
50%
Excelente
Proporciona un valor
cercano a 87%
100%
h) (5puntos) Interprete los resultados del inciso a.
Desarrollo
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0%
Regular
Escribe la asociación
de al menos dos
intervalo a su
frecuencia relativa sin
ser datos relevantes
10%
Satisfactorio
Escribe la asociación de al menos dos
intervalos a su frecuencia relativa,
expresa en las unidades de medida y
elige para la interpretación
porcentajes máximos y mínimos
60%
Excelente
Interpreta utilizando el contexto del
problema lo que significaría cada
intervalo con su respectiva
frecuencia relativa
100%
Tema 2.- (25puntos) Una agencia evalúa dos medios de transporte que utilizan más frecuente los turistas para dirigirse desde
el centro de la ciudad de Guayaquil hasta el Zoológico El Pantanal, estas dos alternativas son transporte público y automóvil
contratado.
A continuación vemos una muestra de tiempos de cada medio de transporte. Las cifras están dadas en minutos
Transporte Público: 28, 29, 32, 37, 33, 25 29, 32, 41
Automóvil:
29, 31, 33, 32, 34, 30, 31, 32, 35
c) (15 puntos) Calcule la media y la desviación estándar por tipo de transporte
Promedio
Desviación
CV
Transporte Público
31,8
4,9
15%
Automóvil
31,9
1,9
6%
Desarrollo
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Puntos
d)
En Desarrollo
Bosqueja el cálculo con
errores mínimos de cada
indicador
30%
0%
Desarrollado
Presenta los cálculos y
valores correctos
100%
(10puntos) Determine qué tipo de vehículo utilizaría y argumente su respuesta con el coeficiente de variación.
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Puntos
0%
Desarrollo
En Desarrollo
Desarrollado
Reconoce que la opción
Reconoce que la opción con menor variabilidad es la mejor
con menor variabilidad es
alternativa.
la mejor alternativa.
Calcula el coeficiente de variación para argumentar su respuesta.
Selecciona el automóvil como medio de transporte idóneo.
70%
100%
Tema 3.- (25puntos) La siguiente tabla presenta el porcentaje de guayaquileños por nivel de gasto en alimentos bimensual
expresado en miles de dólares.
Porcentaje de
Personas
18%
27%
18%
14%
23%
Gastos
1- [0,0 - 0,15)
2- [0,15 - 0,3)
3- [0,3 - 0,45)
4- [0,45 - 0,75)
5- [0,75 -0,9)
a)
e)
f)
g)
h)
Realice el Polígono de frecuencias acumulado
Determine los cuartiles, Interprete los valores
Bosqueje el diagrama de Caja
Determine el percentil trigésimo noveno, e interprete el
resultado.
(5puntos) Realice el Polígono de frecuencias acumulado
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza grafico
alguno.
Puntos
Desarrollo
Regular
Bosqueja un gráfico sin asociarlo
correctamente a los puntos coordenados
(Límite, Frecuencia relativa acumulada)
0%
10%
Satisfactorio
Realiza los puntos a graficar
en el plano cartesiano
Grafica los puntos
Omite Rótulos
85%
Excelente
Grafica los puntos de
forma correcta en el
plano cartesiano
Rotula el gráfico
100%
b) (5puntos) Determine los cuartiles,
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Puntos
En desarrollo
Realiza los cálculos sin precisión.
0%
Desarrollado
Calcula valores aproximados de
los cuartiles a través de la ojiva.
10%
100%
b) (5puntos), Interprete los cuartiles
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza interpretación
alguna
Puntos
En desarrollo
Evidencia conocer teóricamente lo
que representa el primer, segundo
y tercer cuartil.
0%
50%
Desarrollado
Interpreta los cuartiles
acorde al contexto del
problema.
100%
c) (5puntos), Bosqueje el diagrama de Caja
Nivel
Insuficiente
En desarrollo
Desarrollado
Criterios
No realiza grafico alguno
Puntos
Conoce el bosquejo de
la gráfica
0%
Delimita los límites con el mínimo y el máximo
El contorno de la caja los define acorde a los cuartiles
Lo dibuja basados en la recta numérica
50%
100%
d) (5puntos), Determine el percentil trigésimo noveno, e interprete el resultado.
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza ni cálculo
alguno
Puntos
En desarrollo
Evidencia conocer
teóricamente lo que
representa el 𝑃39
0%
50%
Desarrollado
Calcula e Interpreta el
𝑃39acorde al contexto
del problema.
100%
Tema 4.- (25puntos) El costo de un automóvil seminuevo depende de factores como marca y modelo, año y millas recorridas.
Para investigar la relación entre millas recorridas y el precio de venta se obtuvieron los datos de 10 operaciones de compra–
venta entre particulares de un HONDA modelo 2000.
Millas(1000s) 90
59
66
87
90
106
94
57
138
87
Precio($1000) 7.0
7.5
6.6
7.2
7.0
5.4
6.4
7.0
5.1
7.2
d) (5puntos), A través de que indicador se puede medir la posible asociación lineal entre las millas recorridas y el precio
de venta.
Coeficiente de correlación.
e) (10 puntos), Determine el indicador
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno
Puntos
f)
0%
En desarrollo
Evidencia conocer el
cálculo.
Covarianza= -15.07
Desviación x = 23,9
Desviación y= 0.79
50%
Desarrollado
Proporciona el indicador
correcto.
-0.78
100%
(10puntos), Interprete el resultado.
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza interpretación
alguna
0%
En desarrollo
Solo cuantifica o el
sentido o la magnitud
50%
Desarrollado
Interpreta acorde al contexto del
problema el sentido y la magnitud del
problema
100%
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AÑO:
MATERIA:
EVALUACIÓN:
2016
ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
TERCERA
PERIODO:
PRIMER TÉRMINO
PROFESORES:
Ing. Wendy Plata Alarcón, Mg.
FECHA:
12 de septiembre de 2016
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar este
compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una calculadora
ordinaria para cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del
examen; y, cualquier instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior del aula, junto con
algún otro material que se encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes adicionales a las que se entreguen
en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
Firma
NÚMERO DE MATRÍCULA:……………….……………………PARALELO:…………
TEMA 1 (30 puntos)
Una muestra con reposición de tamaño n=2 se selecciona aleatoriamente de los números 1 al 5. Esto produce
entonces el espacio equiprobable S conformando por todos los 25 pares de ordenados (a,b) de números del 1 al 5.
Es decir, S={(1,1),(1,2),….,(1,5),(2,1),….,(5,5)}. Sea X=0 si el primer número es par y X=1 de lo contrario; sea
Y=1 si el segundo número es impar y Y=0 de lo contrario.
a) Encuentre las distribuciones de X y Y.
b) Encuentre la distribución conjunta de X y Y.
c) Determine si X y Y son independientes.
TEMA 2 (10 puntos)
Si X e Y son variables aleatorias independientes con E[X]= 0, Var[X]= 4, E[Y]=10 y Var[Y]= 9. Calcule lo
siguiente:
a) E[2X +3Y]
b) Var[2X +3Y]
TEMA 3 (20 puntos)
Un Tecnólogo Médico dispone de tres equipos electrónicos para tomar radiografías. El uso que le da a cada equipo
es de 25% al primero, 35% el segundo y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error
de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una radiografía y observa que tiene un error.
Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.
TEMA 4 (15 puntos)
En un sistema de comunicación ocurren errores a razón de 2.8 errores por hora. Si la distribución de probabilidades
del número de errores se puede aproximar bien por una distribución Poisson:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día (24 horas) no haya ningún error?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en media hora se observen más de 3 errores?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se observen a lo mucho 2 errores en una hora?
TEMA 5 (25puntos)
Las líneas telefónicas de la oficina de reservaciones de cierta área se encuentran ocupadas alrededor del 60% del
tiempo.
a) Si llama a esta oficina. ¿Cuál será la probabilidad de que le contesten en el primer intento?
b) Si un amigo suyo y usted tienen que llamar a esta oficina, ¿cuál será la probabilidad de que al hacer en
total cuatro intentos obtengan comunicación ambos?
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AÑO:
2016
PERIODO:
MATERIA:
Estadística (IIT95)
PROFESORES:
EVALUACIÓN:
PRIMERA
FECHA:
PRIMER TÈRMINO
Ing. Carlos Villafuerte Peña
Ing. Rosa Tapia Andino
29 de junio de 2016
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar este
compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una calculadora
ordinaria para cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del
examen; y, cualquier instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior del aula, junto con
algún otro material que se encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes adicionales a las que se entreguen
en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
Firma
NÚMERO DE MATRÍCULA:……………….……………………PARALELO:…………
1. (15 puntos) Un reporte reciente mostró los siguientes datos sobre el porcentaje de ejecutivos que
están en las 42 mejores corporaciones de Estados Unidos que sufren de problemas de abuso de
drogas.
5.9 8.8 14.3 8.3 9.1 5.1 15.3 17.5 17.3 15.0 9.3 9.9 7.0 16.7
10.3 11.5 17.0 8.5 7.2 13.7 16.3 12.7 8.7 6.5 6.8 13.4 5.5 15.2
8.4 9.8 7.3 10.0 11.0 13.2 16.3 9.1 12.3 8.5 16.0 10.2 11.7 14.2
a. (5 puntos) Elabore un diagrama de tallo y hojas a partir de los datos muestrales.
b. (5 puntos) Determine los tres cuartiles muestrales.
c. (5 puntos) Construya un diagrama de caja. Comente sobre la simetría o no de la distribución.
2. (15 puntos) Anteriormente, el tiempo para completar un trabajo determinado en las oficinas de
Harmon Electronics había obtenido las siguientes estadísticas en horas: una media de 12.2, una
mediana de 13.2, y una moda de 14.5. La varianza fue de 8.21. Se reflejan datos más recientes en la
siguiente tabla de frecuencias.
Tiempo hasta la finalización del trabajo
5 y menos de 7
7 y menos de 9
9 y menos de 11
11 y menos de 13
13 y menos de 15
15 y menos de 17
Frecuencia
4
8
12
8
5
2
El señor Harmon lo contrata como consultor externo para evaluar los cambios en la eficiencia de los
empleados. Calcule los nuevos estadísticos correspondientes (media, mediana, moda y varianza) con
base en estos datos y prepare un breve informe. ¿Qué conclusiones obtiene?
3. (15 puntos) Dell Publishing tiene 75 títulos distintos de libros, clasificados por tipo y costo de la
siguiente manera:
Tipo
Ficción
Biografías
Histórico
$ 10
10
12
4
Costo
$ 15
8
10
17
$ 20
3
9
2
Encuentre la probabilidad de que un libro escogido aleatoriamente sea:
a. (2 puntos) Ficción o cueste $10;
b. (2 puntos) Histórico y cueste $20;
c. (2 puntos) Biográfico o cueste $15;
d. (3 puntos) Ficción dado que cuesta $20;
e. (3 puntos) Que cueste $15 dado que es histórico;
f. (3 puntos) Que cueste más de $15.
4. (5 puntos) Conteste:
a. ¿La mediana y moda son siempre iguales? Justifique su respuesta.
b. ¿La desviación estándar y varianza alguna vez serán iguales? Justifique su respuesta.
c. ¿Qué es una tabla de contingencia?
d. ¿Qué es un histograma?
e. ¿Qué es un experimento aleatorio?
FÓRMULAS
x̅ =
∑ fM
n
𝑃(𝐴𝑜𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) si A y B son disjuntos
∑ f(M − x̅)2
𝑠=√
n−1
𝐿𝑝 = (𝑛 + 1)
𝑠𝑘 =
𝑃
100
𝑃(𝐴𝑜𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝑦𝐵)
𝑃(𝐴𝑦𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵); si A y B son
independientes
3(x̅ − 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎)
s
𝑃(𝐴𝑦𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)
𝑃(𝐴1 |𝐵) =
𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐵|𝐴1 )
𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐵|𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) ∗ 𝑃(𝐵|𝐴2 )
SOLUCIÓN Y RÚBRICA
Segunda Evaluación - Estadística Descriptiva
Página 1 de 7
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Año:2016
Materia: Estadística Descriptiva
Evaluación: Segunda
Período: Segundo Término
Coordinador: Ing. Elkin Angulo Ramírez
Fecha: Febrero 01 de 2016
SOLUCIÓN Y RÚBRICA
Temas
1)
(15 puntos) Un trabajador recibirá un premio de 3000, 2000 o 1000 dólares, según el tiempo que tarde en
realizar un trabajo en menos de 10 horas, entre 10 y 15 horas y más de 15 horas, respectivamente. La
probabilidad de realizar el trabajo en cada uno de estos casos es 0.1, 0.4 y 0.5.
a)
Si X es la variable “premio recibido”, determine su función de probabilidad, su media y su varianza.
(7 puntos)
𝑓(𝑥) = {
0,1; 𝑥 = 3000
0,4; 𝑥 = 2000
0,5; 𝑥 = 1000
0; 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥
𝜇 = 𝐸[𝑋] = ∑ 𝑋𝑓(𝑥) = 3000 ∗ 0,1 + 2000 ∗ 0,4 + 1000 ∗ 0,5 = 1600
𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥
𝜎 2 = 𝐸[𝑋 2 ] − 𝜇2 = ∑ 𝑋 2 𝑓(𝑥) − 𝜇2 = [30002 ∗ 0,1 + 20002 ∗ 0,4 + 10002 ∗ 0,5] − 16002 = 440000
𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Desarrollo
Regular
Determina la
función de
probabilidades de la
variable “premio
recibido”.
0
Puntos
b)
3
Satisfactorio
Realiza
correctamente los
cálculos determinar
la media de la
variable “premio
recibido”.
4-5
Excelente
Realiza
correctamente los
cálculos determinar
la varianza de la
variable “premio
recibido”.
6-7
Si se define una nueva variable Y, con valor 1 si tarda menos de 10 horas y 0, en caso contrario, determine
su función de probabilidad, su media y su varianza. (8 puntos)
0,1; 𝑦 = 1
0,9; 𝑦 = 0
𝑓(𝑦) = {
0; 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑦
𝜇 = 𝐸[𝑌] = ∑ 𝑌𝑓(𝑦) = 1 ∗ 0,1 + 0 ∗ 0,9 = 0,1
𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑦
𝜎 2 = 𝐸[𝑌 2 ] − 𝜇2 = ∑ 𝑌 2 𝑓(𝑦) − 𝜇2 = [12 ∗ 0,1 + 02 ∗ 0,9] − 0,12 = 0,09
𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Solución y Rúbrica elaboradas por:
Ing. Wendy Plata Alarcón
Desarrollo
Regular
Determina la
función de
probabilidades de la
variable Y.
Satisfactorio
Realiza
correctamente los
cálculos determinar
la media de la
variable Y.
Excelente
Realiza
correctamente los
cálculos determinar
la varianza de la
variable Y.
5-6
7-8
4
Fecha de Actualización:
9-febrero-2016
SOLUCIÓN Y RÚBRICA
Segunda Evaluación - Estadística Descriptiva
Página 2 de 7
2)
(15 puntos) Suponga que siete de cada diez estudiantes, aprueba el primer parcial de una asignatura:
a)
Si se seleccionan ocho estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad que al menos dos reprueben el primer
parcial) (5 puntos)
Éxito: El estudiante aprueba el primer parcial de una asignatura
P (Éxito)=p=7/10 = 0,7
Fracaso: El estudiante reprueba el primer parcial de una asignatura
P (Fracaso)= 1- p = 1 - 7/10 =1 - 0,7 = 0,3
Variable Aleatoria Binomial, n=8, p=0,3
n
P( X  x)  f ( x)    p x (1  p) n  x ; para todo x  S ; S  {0,1, 2, ..., n}
 x
𝑷(𝑿 ≥ 𝟐) = 𝟏 − 𝑷(𝑿 < 𝟐) = 𝟏 − [𝑷(𝑿 = 𝟎) + 𝑷(𝑿 = 𝟏)]
𝟖
𝟖
𝑷(𝑿 ≥ 𝟐) = 𝟏 − [( ) 𝟎, 𝟑𝟎 (𝟏 − 𝟎, 𝟑)𝟖−𝟎 + ( ) 𝟎, 𝟑𝟏 (𝟏 − 𝟎, 𝟑)𝟖−𝟏 ]
𝟎
𝟏
𝑷(𝑿 ≥ 𝟐) = 𝟏 − (𝟎, 𝟎𝟓𝟕 + 𝟎, 𝟏𝟗𝟕) = 𝟎, 𝟕𝟒𝟔
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Puntos
b)
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
probabilidad con
Variable Aleatoria
Binomial n=8 y
p=0,3.
2
Satisfactorio
Realiza los cálculos
de la probabilidad
pero no llega a la
respuesta correcta.
Excelente
Realiza los cálculos
de la probabilidad y
llega a la respuesta
correcta.
3
4-5
Si se selecciona de manera secuencial, un grupo de estos estudiantes, ¿cuál es la probabilidad que el
sexto seleccionado sea el primero en aprobar el primer parcial? (5 puntos)
Variable Aleatoria Geométrica, X=6, p=0,7
P( X  x)  f ( x)  p (1  p) x 1; para todo x  S
𝑷(𝑿 = 𝟔) = 𝟎, 𝟕(𝟏 − 𝟎, 𝟕)𝟔−𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟕𝟎𝟏
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Puntos
c)
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
probabilidad con
Variable Aleatoria
Geométrica X=6 y
p=0,7.
2
Satisfactorio
Realiza los cálculos
de la probabilidad
pero no llega a la
respuesta correcta.
Excelente
Realiza los cálculos
de la probabilidad y
llega a la respuesta
correcta.
3
4-5
Si se selecciona de manera secuencia, un grupo de estos estudiantes, ¿cuál es la probabilidad que el
octavo seleccionado sea el quinto en reprobar el primer parcial? (5 puntos)
Nota: Asuma independencia entre eventos.
Variable Aleatoria Binomial Negativa, X=8, r=5, p=0,3
 x  1 r
xr
P( X  x)  f ( x)  
 r  1
 p (1  p ) ; para todo x  S ; S  {r , r  1, ...}


Solución y Rúbrica elaboradas por:
Ing. Wendy Plata Alarcón
Fecha de Actualización:
9-febrero-2016
SOLUCIÓN Y RÚBRICA
Segunda Evaluación - Estadística Descriptiva
Página 3 de 7
𝟖−𝟏
𝑷(𝑿 = 𝟖) = (
) 𝟎, 𝟑𝟓 (𝟏 − 𝟎, 𝟑)𝟖−𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟗𝟏𝟕
𝟓−𝟏
Nivel
Criterios
0
Puntos
3)
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
probabilidad con
Variable Aleatoria
Binomial Negativa
con X=8, r=5 y
p=0,3.
2
Satisfactorio
Realiza los cálculos
de la probabilidad
pero no llega a la
respuesta correcta.
Excelente
Realiza los cálculos
de la probabilidad y
llega a la respuesta
correcta.
3
4-5
(15 puntos) Suponiendo que las denuncias que realizan los trabajadores de cierta empresa a la Inspección de
Trabajo, siguen un modelo Poisson con media 1.5 al año, determine:
a) La probabilidad de que en un año determinado la empresa no sea denunciada. (3 puntos)
Variable Aleatoria Poisson con 𝝀 = 𝟏, 𝟓
x e  
P( X  x) 
; para todo x  S , S  {0,1, 2, 3, ...}
x!
P ( X  0) 
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Puntos
b)
1,50 e 1, 5
 0,223
0!
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
probabilidad con
Variable Aleatoria
Poisson con 𝜆 = 1,5
Satisfactorio
Realiza los cálculos
de la probabilidad
pero no llega a la
respuesta correcta.
Excelente
Realiza los cálculos
de la probabilidad y
llega a la respuesta
correcta.
1,5
1,5 - 2
3
La probabilidad de que en un año dado se produzcan más de cuatro denuncias. (5 puntos)
P ( X  4)  1  P ( X  4)  1  [ P ( X  0)  P ( X  1)  P ( X  2)  P( X  3)  P( X  4)]
1,50 e 1,5 1,51 e 1,5 1,52 e 1,5 1,53 e 1, 5 1,54 e 1,5 
P ( X  4)  1  




  0,0186
0!
1!
2!
3!
4!


Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Puntos
c)
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
probabilidad
P(X>4) con
Variable Aleatoria
Poisson con 𝜆 = 1,5
2
Satisfactorio
Realiza los cálculos
de la probabilidad
pero no llega a la
respuesta correcta.
Excelente
Realiza los cálculos
de la probabilidad y
llega a la respuesta
correcta.
3
4-5
La probabilidad de que en el primer cuatrimestre del año se produzcan dos o más denuncias. (7 puntos)
1,50 e 1,5 1,51 e 1, 5 
P ( X  2)  1  P ( X  2)  1  [ P ( X  0)  P ( X  1)]  1  

  0,09
0!
1!


Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Solución y Rúbrica elaboradas por:
Ing. Wendy Plata Alarcón
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
probabilidad
P(X>=2) con
Variable Aleatoria
Poisson con 𝜆 = 0,5
4
Satisfactorio
Realiza los cálculos
de la probabilidad
pero no llega a la
respuesta correcta.
Excelente
Realiza los cálculos
de la probabilidad y
llega a la respuesta
correcta.
5
6-7
Fecha de Actualización:
9-febrero-2016
SOLUCIÓN Y RÚBRICA
Segunda Evaluación - Estadística Descriptiva
Página 4 de 7
4)
(10 puntos) Durante una inspección física a 16 contenedores en la frontera, se ha reportado que 4 de ellos
tiene mercancía de dudosa procedencia. Si se selecciona aleatoriamente una muestra de 3 contenedores. ¿Cuál
es la probabilidad de no incluir contenedores sospechosos en la muestra?
a)
Si se lo hace con reemplazo. (5 puntos)
Éxito: El contenedor es sospechoso de tener mercancía de dudosa procedencia.
P (Éxito)=p=4/16 = 0,25
Fracaso: El contenedor no es sospechoso de tener mercancía de dudosa procedencia.
P (Fracaso)= 1- p = 1 - 4/16 =1 - 0,25 = 0,75
Variable Aleatoria Binomial, n=3, p=0,25
n x
n x
P( X  x)  f ( x)  
 x
 p (1  p ) ; para todo x  S ; S  {0,1, 2, ..., n}
 
𝟑
𝑷(𝑿 = 𝟎) = ( ) 𝟎, 𝟐𝟓𝟎 (𝟏 − 𝟎, 𝟐𝟓)𝟑−𝟎 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟏𝟖
𝟎
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Puntos
b)
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
probabilidad con
Variable Aleatoria
Binomial n=3 y
p=0,25.
2
Satisfactorio
Realiza los cálculos
de la probabilidad
pero no llega a la
respuesta correcta.
Excelente
Realiza los cálculos
de la probabilidad y
llega a la respuesta
correcta.
3
4-5
Si se lo hace sin reemplazo. (5 puntos)
Variable Aleatoria Hipergeométrica, N=16, a=4, n=3
 a  N  a 

 x

 nx 

 ; para todo x  S ; S  {0,1, ..., k }; k  min{ a; n}
P ( X  x )  f ( x )   
N

n

 
𝑷(𝑿 = 𝟎) =
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Solución y Rúbrica elaboradas por:
Ing. Wendy Plata Alarcón
(𝟒𝟎)(𝟏𝟔−𝟒
)
𝟑−𝟎
(𝟏𝟔
)
𝟑
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
probabilidad con
Variable Aleatoria
Hipergeométrica,
N=16, n=3 y a=4.
2
= 𝟎, 𝟑𝟗𝟐𝟖
Satisfactorio
Realiza los cálculos
de la probabilidad
pero no llega a la
respuesta correcta.
Excelente
Realiza los cálculos
de la probabilidad y
llega a la respuesta
correcta.
3
4-5
Fecha de Actualización:
9-febrero-2016
SOLUCIÓN Y RÚBRICA
Segunda Evaluación - Estadística Descriptiva
Página 5 de 7
5)
(20 puntos) Cierto artículo se fabrica en dos líneas de producción diferentes. La capacidad en cualquier día
dado para cada línea es de dos artículos. Supóngase que el número de artículos producidos por la línea uno
en un día cualquiera es una variable aleatoria 𝑋; y, que el número de artículos producidos por la línea dos
está dado por 𝑌, siendo la distribución conjunta de 𝑋 y 𝑌:
a)
Calcule 𝑃(𝑋 > 𝑌). (5 puntos)
𝑃(𝑋 > 𝑌) = 𝑃(𝑋 = 1; 𝑌 = 0) + 𝑃(𝑋 = 2; 𝑌 = 0) + 𝑃(𝑋 = 2; 𝑌 = 1)
𝑃(𝑋 > 𝑌) = 0,20 + 0,20 + 0,08 = 0,48
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Puntos
b)
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
probabilidad de
Variables Aleatorias
Conjuntas que
cumplen la
condición X>Y.
3
Satisfactorio
Selecciona
correctamente los
valores de la
Distribución
conjunta.
4
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
c)
Marginal de Y
0,50; 𝑦 = 0
0,20; 𝑦 = 1
𝑓𝑌 (𝑦) = {
0,30; 𝑦 = 2
0; 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑦
Desarrollo
Regular
Identifica las
marginales en la
Distribución
Conjunta de X y Y.
0
Puntos
5
Determine las reglas de correspondencia de la distribución marginal, tanto de 𝑋, como de 𝑌. (5 puntos)
Marginal de X
0,20; 𝑥 = 0
0,40; 𝑥 = 1
𝑓𝑋 (𝑥) = {
0,40; 𝑥 = 2
0; 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥
Nivel
Criterios
Excelente
Realiza los cálculos
correctos de la
probabilidad
P(X>Y).
Satisfactorio
Tabula las
Distribuciones
Marginales de X y
Y a partir de su
Distribución
Conjunta.
2
3
Excelente
Determina las reglas
de correspondencia
de las
Distribuciones
Marginales de X y
Y, con sus
respectivos
soportes.
4-5
Determine la distribución condicional de 𝑋, dado que 𝑌 = 1. (5 puntos)
Cálculo de Probabilidades Condicionales
Distribución Condicional de X/Y=1
0,2; 𝑥 = 0
0,4; 𝑥 = 1
𝑓(𝑋|𝑌 = 1) = {
0,4; 𝑥 = 2
0; 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥
Solución y Rúbrica elaboradas por:
Ing. Wendy Plata Alarcón
Fecha de Actualización:
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Segunda Evaluación - Estadística Descriptiva
Página 6 de 7
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
definición de
Probabilidad
Condicional
0
Puntos
Satisfactorio
Calcula
correctamente las
Probabilidades
Condicionales de X
dado Y=1
2
Excelente
Determina
correctamente la
Distribución
Condicional de 𝑋,
dado que 𝑌 = 1
3
4-5
Calcule 𝑃(𝑋 < 2⁄𝑌 = 1). (5 puntos)
d)
𝑷(𝑿 < 𝟐|𝒀 = 𝟏) = 𝑷(𝑿 = 𝟎|𝒀 = 𝟏) + 𝑷(𝑿 = 𝟏|𝒀 = 𝟏) = 𝟎, 𝟐 + 𝟎, 𝟒 = 𝟎, 𝟔
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Puntos
6)
Desarrollo
Regular
Plantea
correctamente la
probabilidad
𝑃(𝑋 < 2⁄𝑌 = 1).
Satisfactorio
Realiza los cálculos
de la probabilidad
pero no llega a la
respuesta correcta.
Excelente
Realiza los cálculos
de la probabilidad y
llega a la respuesta
correcta.
3
4-5
2
(15 puntos) En una clínica infantil se ha ido anotando, durante un mes, el número de metros que cada niño
anda, seguido y sin caerse, el primer día que comienza a caminar, obteniéndose la tabla de información
adjunta:
Número de metros
Número de niños
1
2
2
6
3
10
4
5
5
10
6
3
7
2
8
2
¿Entre qué valores se encuentra, como mínimo, el 75% de las observaciones?
𝑋̅ =
∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑋𝑖 (1 ∗ 2) + (2 ∗ 6) + ⋯ + (8 ∗ 2)
=
= 4,05
𝑛
40
𝑠2 =
∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
𝑛−1
=
2(1 − 4,05)2 + 2(2 − 4,05)2 + ⋯ + 2(8 − 4,05)2
= 3,17
40 − 1
𝑠 = √3,17 = 1,78
75 = (1 −
1
𝑘2
) . 100 -> 75 = (100 −
1
𝑘2
100) ->
1
𝑘2
100 = 25 ->
𝑘 2 = 4 -> 𝒌 = 𝟐
Se estima 𝝈 con 𝒔
̅ ± 𝒌𝝈) = (𝟒, 𝟎𝟓 ± 𝟐 ∗ 𝟏, 𝟕𝟖) = (𝟒, 𝟎𝟓 ± 𝟑, 𝟓𝟔) = (𝟎, 𝟒𝟗; 𝟕, 𝟔𝟏)
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐: (𝑿
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Solución y Rúbrica elaboradas por:
Ing. Wendy Plata Alarcón
Desarrollo
Regular
Calcula
correctamente la
Media Aritmética y
la Varianza de
Datos Agrupados.
Satisfactorio
Calcula
correctamente el
valor de k.
3-8
9 - 12
Excelente
Determina
correctamente el
intervalo donde se
encuentra como
mínimo el 75% de
las observaciones.
13 - 15
Fecha de Actualización:
9-febrero-2016
SOLUCIÓN Y RÚBRICA
Segunda Evaluación - Estadística Descriptiva
Página 7 de 7
7)
(10 puntos) Las ventas semanales (en miles de dólares) de una reconocida importadora de Guayaquil, se
muestran en la tabla adjunta (durante doce semanas). Con estos datos grafique la serie temporal de los datos
originales y posteriormente en el mismo gráfico incluir una serie suavizada con un filtro de medias móviles
con k=3 términos.
Nivel
Criterios
Puntos
Semana
Ventas Yt
Filtro de Medias
Móviles k=3
1
17
17
2
21
21
3
19
19
4
23
21
5
18
20
6
16
19
10
7
20
18
5
8
18
18
9
22
20
10
20
20
11
15
19
12
22
19
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Solución y Rúbrica elaboradas por:
Ing. Wendy Plata Alarcón
Gráfico de la Serie Original y la Serie Suavizada
25
20
15
0
1
2
3
4
5
6
7
Ventas Yt
Desarrollo
Regular
Grafica
correctamente la
serie original Yt.
2
Satisfactorio
Realiza
correctamente los
cálculos de la Serie
Suavizada con
Filtro de Medias
Móviles de tres
términos.
3-8
8
9
10
11
12
Media Móvil k=3
Excelente
Grafica
correctamente la
serie suavizada.
Fecha de Actualización:
9-febrero-2016
9 - 10
Segunda Evaluación de Estadística
Término: 2015-I
10 de septiembre de 2015
R y−β R β 1
1. Considere las variables aleatorias continuas X1 , X2 , cuya El integral quedaría así:
(x1 + x2 )dx2 dx1 +
0
0 β3
función de densidad conjunta depende de un parámetro R β R y−x1 1 (x + x )dx dx = y2 − y3 − 1 . Entonces, la
1
2
2
1
β3
β2
3β 3
3
y−β 0
β > 0 y está dada por
distribución de Y quedaría así:
f (x1 , x2 ) = k(x1 + x2 ), 0 < x1 < β, 0 < x2 < β
(
(a) (5 puntos) Encuentre el valor de la constante k (en
función de β) para que la función propuesta sea una
función de densidad conjunta.
RβRβ
Solución: 0 0 k(x1 + x2 )dx1 dx2 = kβ 3 = 1. De aquí se
deduce que k = β13
P (Y ≤ y) =
y2
1
2β 2 − 6
2
y
y3
β 2 − 3β 3
0<y<β
−
1
3
β < y < 2β
(c) (10 puntos) Se desea realizar el contraste de hipótesis H0 :
β ≤ 5 vs H1 : β > 5. Para probar esta hipótesis, se decide
tomar una muestra de esta función de densidad conjunta,
y rechazar la hipótesis nula si Y > 8. Halle el nivel de
significancia de esta prueba.
(b) (10 puntos) Suponga que Y = X1 + X2 . Encuentre la
función de distribución acumulada de Y , es decir, G(y) = Solución: El nivel de significancia se obtiene calculando la
P (Y ≤ y). (SUGERENCIA: halle P (X1 + X2 ≤ y) in- probabilidad de rechazar H0 , es decir P (Y > 8), cuando β = 5.
tegrando la función de densidad conjunta f (x1 , x2 ) para Entonces tenemos que
diferentes valores de y)
2
8
83
1
P (Y > 8) = 1−P (y ≤ 8) = 1− 2 −
−
= 0.1386667
5
3 · 53
3
Solución: En el caso de 0 < y < β, el gráfico es así:
y
β
2. (20 puntos) Una fábrica de jabas de plástico para bebidas
carbonatadas tiene problemas con los costos de fabricación
de su producto debido a que los costos de importación de la
materia prima se han elevado. Para enfrentar la situación,
la administración ha decidido utilizar material reciclado
nacional para fabricar sus jabas. Investigando en artículos
científicos, se dieron cuenta que hay 3 fórmulas distintas
para producir la materia prima a partir del material reciclado. El problema de utilizar material reciclado es que el
proceso produce una mayor cantidad de merma. Para verificar el nivel de merma que producen las distintas fórmulas,
la fábrica produce 100 jabas con cada una de las fórmulas
para producir material reciclado, y obtiene los siguientes
resultados:
=
x2
x2
y−
0
x1
y
x1
0
β
El integral sería así: P (X1 + X2 ≤ y) =
x2 )dx2 dx1 =
y2
2β 2
−
R β R y−x1
0
1
6
Para el caso de β < y < 2β, el gráfico sería así:
0
1
β 3 (x1
+
Inservible
Reparable
Buena
Fórmula A
20
30
50
Fórmula B
15
25
60
Fórmula C
25
30
45
β
Evalúe si en esta muestra existe evidencia estadística de que el
nivel de merma es distinto para cada marca. Incluya hipótesis,
estadístico de prueba y conclusión. (Ji Cuadrado con 4 grados
de libertad con cola superior 0.05 es 9.487729).
x2
=
y−
0 y−β
x2
x1
0 y−β
x1
β
3. Se desea comparar la resistencia de dos aleaciones de acero,
para lo cual se producen cables de 10 metros de longitud
con 5 milimetros de espesor con cada aleación. Cada cable
es sometido a una prueba de estrés, en la que se coloca
un peso que aumenta gradualemente hasta que el cable se
rompe. Los pesos de rompimiento, en kilogramos, de la
muestra hecha con la primera aleación son 3138, 2856, 3078,
2967, y con la segunda aleación son 2901, 2932, 2979, 3007,
2953.
(a) (10 puntos) ¿Existe evidencia estadística de que las
verdaderas varianzas son distintas? Incluye hipótesis,
estadístico de prueba y conclusión. (F con 3 y 4 grados
de libertad con cola superior 0.05 es 6.5913821)
(b) (10 puntos) ¿Existe evidencia estadística de que las
verdaderas medias son distintas? Sin importar su
respuesta al literal anterior, suponga que las varianzas
con iguales. Incluya hipótesis, estadístico de prueba y
conclusión. (F con 3 y 4 grados de libertad con cola
superior 0.05 es 6.5913821)
4. (10 puntos) El número de personas que llega a una agencia
de un banco en días laborables de 10:00 am a 11:00 am sigue
una distribución Poisson con λ = 18. Luego de observar
Table 1: Tabla Normal: Función
el número de personas de 10:00 a 11:00 durante 50 días
la Normal Estándar N (0, 1)
laborables se obtiene un promedio aritmético de estos 50
0.00
0.01
0.02
números. ¿Cuál es la probabilidad de que este promedio
0.0 0.5000 0.5040 0.5080
sea mayor que 19?
0.1 0.5398 0.5438 0.5478
5. (10 puntos) A un grupo de 500 personas de 40 años selec- 0.2 0.5793 0.5832 0.5871
cionadas al azar se les realiza una prueba de sangre para
0.3 0.6179 0.6217 0.6255
medir el nivel de azucar en la sangre. De los participantes
0.4 0.6554 0.6591 0.6628
en este estudio, 200 tenián un nivel de azúcar mayor a
0.5 0.6915 0.6950 0.6985
100. Obtenga un intervalo del 95% de confianza para la
0.6 0.7257 0.7291 0.7324
proporción de personas en la población que tienen un nivel
0.7 0.7580 0.7611 0.7642
de azúcar mayor a 100.
0.8 0.7881 0.7910 0.7939
0.9 0.8159 0.8186 0.8212
6. (15 puntos) Si X1 y X2 son variables aleatorias indepen1.0 0.8413 0.8438 0.8461
dientes Poisson con parámetros λ1 y λ2 , demuestre que
1.1 0.8643 0.8665 0.8686
distribución condicional de X1 dada la suma X1 + X2 = k
1.2 0.8849 0.8869 0.8888
es binomial con n = k y p = λ1 /(λ1 + λ2 ).
1.3 0.9032 0.9049 0.9066
1.4 0.9192 0.9207 0.9222
1.5 0.9332 0.9345 0.9357
1.6 0.9452 0.9463 0.9474
1.7 0.9554 0.9564 0.9573
1.8 0.9641 0.9649 0.9656
1.9 0.9713 0.9719 0.9726
2.0 0.9772 0.9778 0.9783
2.1 0.9821 0.9826 0.9830
2.2 0.9861 0.9864 0.9868
2.3 0.9893 0.9896 0.9898
2.4 0.9918 0.9920 0.9922
2.5 0.9938 0.9940 0.9941
2.6 0.9953 0.9955 0.9956
2.7 0.9965 0.9966 0.9967
2.8 0.9974 0.9975 0.9976
2.9 0.9981 0.9982 0.9982
3.0 0.9987 0.9987 0.9987
de distribución acumulada de
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
Examen de Estadística
Jueves, 19 de febrero de 2015
Matrícula:
Nombre:
Paralelo:
1. Considere una bolsa con papelitos numerados del uno al cinco, es decir la población es {1, 2, 3, 4, 5}. De esta población se
extrae sin reemplazo dos números al azar, llamados e1 y e2 . Definimos las dos variables aleatorias Xi = ei mód 3, i = 1, 2
(el residuo al dividir el número para 3).
(a) (6 puntos) Determine la función de distribución conjunta de X1 y X2 . No olvide especificar el soporte.
Solución:
Al tomar los números {1, 2, 3, 4, 5} y aplicarles las operación x mód 3, el resultado es {1, 2, 0, 1, 2}. El espacio muestral
está dado por Ω = {12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54}, y cada punto es equiprobable. Al aplicarle la operación x mód 3 quedaría {12, 10, 11, 12, 21, 20, 21, 22, 01, 02, 01, 02, 11, 12, 10, 12, 21, 22, 20, 21}.
Entonces la distribución conjunta es:
X2 X1=0 X1=1 X1=2
0
0.0
0.1
0.1
1
0.1
0.1
0.2
2
0.1
0.2
0.1
(b) (7 puntos) Determine la función de distribución exacta de X̄ =
X1 +X2
2
Solución: Los valores de X̄ correspondientes a las diferentes combinaciones de X1 y X2 son:
X2 X1=0 X1=1 X1=2
0
0.0
0.5
1.0
1
0.5
1.0
1.5
2
1.0
1.5
2.0
Por lo que la función de distribución de probabilidad de X̄ es:
x̄ 0 0.5
1 1.5
2
f (x̄) 0 0.2 0.3 0.4 0.1
(c) (7 puntos) Determine la función de distribución exacta de X(2) = máx(X1 , X2 )
Solución: Los valores de X(2) correspondientes a las diferentes combinaciones de X1 y X2 son:
X2 X1=0 X1=1 X1=2
0
0
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
Por lo que la función de distribución de probabilidad de X(2) es:
x(2)
f (x(2) )
0
0
1
0.3
2
0.7
2. Considere la función de densidad conjunta f (x, y) = k(x2 + y), −1 < x < 1, 0 < y < 1
(a) (5 puntos) Determine el valor de k para que la función sea una función de densidad conjunta apropiada.
Solución:
Z
1
Z
1
2
(x + y)dydx =
−1
De donde deducimos que k =
3
5.
0
Z
1
1
5
(x2 + )dx =
2
3
−1
Estadística
Segunda Evaluación - 2014-II
(b) (5 puntos) Determine las funciones de densidad marginales.
Solución:
1
Z
fX (x) =
0
Z
Jueves, 19 de febrero de 2015
3 2
3
1
(x + y)dy = (x2 + ), −1 < x < 1
5
5
2
1
fY (y) =
−1
1
3 2
(x + y)dx = (6y + 2), 0 < y < 1
5
5
(c) (5 puntos) Determine la función de densidad condicional de X dado Y = y.
Solución:
fX|Y (x|Y = y) =
f (x, y)
=
fY (y)
3
2
5 (x
1
5 (6y
+ y)
3(x2 + y)
=
, −1 < x < 1
(6y + 2)
+ 2)
(d) (5 puntos) Determine la media condicional de X dado Y = y.
Solución:
Z
∞
E[X|Y = y] =
Z
1
xfX|Y (x|Y = y)dx =
−∞
x
−1
3(x2 + y)
dx = 0
(6y + 2)
3. (15 puntos) Un taxista muy respetuso de la ley sale todos los días (lunes a domingo) a tu trabajo a las 6:00 am. Al
salir, hay un semáforo en una avenida grande cerca de su casa que casi siempre le detiene. De hecho, el tiempo de
espera en ese semáforo, en minutos, tiene una distribución uniforme (α = 0, β = 2). Considere el período de tiempo
total que el taxista pasa detenido por dicho semáforo en un período de un mes (30 días). ¿Cuál es la probabilidad que
el taxista haya esperado en el semáforo un total mayor a 35 minutos durante el mes? (SUGERENCIA: Teorema del
límite central)
Solución:
Denotemos Xi como el tiempo de espera en semáforo el día i, para i = 1, . . . , 30; T = X1 + · · · + X30 como el total que
taxista espera en todo el mes. Lo que se pregunta es P (T > 35). Por ende
1
1
T >
35 = P (X̄ > 1,17)
P (T > 35) = P
30
30
2
(2−0)
0+2
2
Por otro lado, como
√ Xi ∼ unif (0, 2), su media es µ = 2 = 1, su varianza es σ = 12 = 0,33 y su desviación
estándar es σ = 0,33 = 0,577. Aplicando ahora el teorema del límite central,
1,17 − 1
√
P (X̄ > 1,17) ≈ P Z >
= P (Z > 1,61) = 1 − 0,9463 = 0,0537
0,577/ 30
Sino plantea bien el problema, tiene 0/15. Si plantea bien el problema, entonces sus 15 puntos se distribuyen de la
siguiente manera: 5 puntos por planterlo bien, 5 puntos por utilizar correctamente el teorema del límite central, 3
puntos por hacer bien los cálculos, y 2 puntos por hallar el valor correcto en la tabla. Si se olvida restarle de 1 al
0.9463, entonces pierde estos últimos dos puntos.
4. (15 puntos) El cáncer al estómago es uno de los más agresivos que hay, teniendo una tasa de supervivencia muy baja.
Suponga que se realiza un estudio para ver si la medicina natural ayuda a prolongar el tiempo de vida de una persona
con esta enfermedad. Los pacientes fueron seleccionados entre pacientes que no tienen metástasis (el cáncer no se ha
regado), que el túmor no tuviera más de 2 cm de diámetro, y que estuvieran entre 40 y 50 años de edad. Los resultados
se describen en la tabla a continuación (recuerde que estos resultados no son reales, sino fabricados para este examen):
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Estadística
Segunda Evaluación - 2014-II
Jueves, 19 de febrero de 2015
Tratamiento
Muere.antes.del.año
Muere.de.1.a.5.años
Muere.después.de.5.años
Cirugía
Cirugía + Trat. Natural
Cirugía + Quimioterapia + Trat. Natural
8
4
5
13
12
10
4
5
21
¿Existe evidencia estadística de que el tiempo de sobrevivencia depende del tratamiento? Base su respuesta en el
valor-p de la prueba
Solución: Las frecuencias esperadas son:
A
B
C
Muere.antes.del.año
5.182927
4.353658
7.463415
Muere.de.1.a.5.años
10.670732
8.963415
15.365854
Muere.después.de.5.años
9.146342
7.682927
13.170732
Note que la mayoría son mayores que 5, excepto una que 4.35. La aproximaxión χ2 de la prueba de hipótesis podría
funcionar bastante bien. En este caso, los grados de libertad serían (3 − 1) × (3 − 1) = 4. El estadístico de prueba es
X (o − e)2
e
= 14,2705704
El valor-p exacto es 0.0064797, por lo que existe evidencia muy fuerte que el tratamiento natural si tiene un efecto en
la supervivencia del paciente.
La primera columna tiene las frecuencias esperadas más pequeñas, así que alguien pudiera haber unido las dos primeras
columnas antes de hacer la prueba, lo que resultaría en la siguiente tabla:
A
B
C
21
16
15
4
5
21
A
B
C
15.85366
13.31707
22.82927
9.146342
7.682927
13.170732
En este caso los grados de libertad son (3 − 1) × (2 − 1) = 2, y el estadístico de prueba es 13.3827705 y el valor-p es
0.0012416, lo cual también da evidencia fuerte de dependencia.
Cualquiera de las dos formas de hacerlos recibirá los puntos completos.
5. (15 puntos) Para que una estructura sea segura, es necesario que los tornillos de agarre tengan poca variabilidad entre
ellos. De hecho, se especifica que la desviación estándar debe ser a lo mucho 0.2 mm. En una muestra de 12 tornillos,
la desviación estándar es de 0.25 mm. ¿Existe evidencia estadistica de que la variabilidad sea más alta de lo que
requiere la especificación técnica? Realice sus conclusiones con un nivel de significancia de α = 0,05. Incluya además
los supuestos que hace para poder realizar su prueba de hipótesis.
Solución: Las hipótesis apropiadas son: H0 : σ ≤ 0,2 vs. H1 : σ > 0,2. La desviación estándar muestral es s = 0,25
basada en n = 12 observaciones. El estadístico de prueba es
(n − 1)s2
(12 − 1)0,252
=
= 17,1875
σ02
0,22
El valor crítico correspondiente a 11 grados de libertad es χ2,05 = 19,6751376. Cómo el estadístico de prueba no es
mayor que el valor crítico, por ende concluimos que no existe evidencia estadística que la desviación estándar sea
mayor que 0.2.
Si no plantea una hipótesis sobre desviación estándar o varianza, entonces tiene 0/15 en todo el tema. Si plantea
hipótesis sobre la varianza o desviación estándar, entonces los 15 puntos se distribuyen de la siguiente manera: 5 puntos
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Estadística
Segunda Evaluación - 2014-II
Jueves, 19 de febrero de 2015
por plantear bien la hipótesis, 4 puntos por calcular el estadístico, 2 puntos por usar el valor correcto de la tabla, 4
puntos por realizar la conclusión correcta.
6. (15 puntos) Se toma una muestra de pollos en una granja, y se les mide el peso (en Kg). Luego, se les administra una
dieta rica en hormonas, y después de una semana se les vuelve a medir el peso. Los resultados se muestran en la tabla
a continuación. ¿Existe evidencia estadística de que la dieta aumenta el peso de los pollitos? Base sus conclusiones en
el valor-p de la prueba.
antes
después
1
4.0
4.3
2
3.8
4.0
3
4.1
4.2
4
3.5
3.6
5
4.5
4.7
6
5.0
4.9
7
3.2
3.6
Solución:
Como la muestra es pareada, se debe trabajar con las diferencias: 0.3, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2, -0.1, 0.4. Las hipótesis apropiadas
son H0 : µd ≤ 0 vs. H1 : µd > 0. Las estadísticas descriptivas son d¯ = 0,1714286, s2d = 0,0257143. Para realizar esta
prueba debemos suponer que estas diferencias son iid normales. El estadístico de prueba es
0,1714286 − 0
q
= 2,8284271
0,0257143
7
Se debe observar la tabla t con 7 − 1 = 6 grados de libertad. El valor-p exacto es 0.015, por lo que existe evidencia en
contra de la hipótesis nula, es decir la dieta si aumenta el peso de los pollitos.
Si el estudiante aplica una comparación de medias de muestras independendientes, entonces pierde automáticamente
10 puntos, y cualquier resultado se evaluará sobre 5. Si la trata como muestra pareada, entonces su calificación sobre
15 se distribuirá así: 4 puntos por plantear bien la hipótesis, 2 puntos por escribir los supuestos que requiere para
poder hacer su prueba, 4 puntos por calcular bien el estadístico de prueba, 2 puntos por encontrar el valor correcto de
la tabla, 3 puntos por realizar la conclusión correcta.
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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE (colocar el departamento al que corresponda)
AÑO:
2017
PERIODO:
PRIMER TÈRMINO
MATERIA:
ESTADÍSTICA
PROFESORES:
EVALUACIÓN:
PRIMERA
FECHA:
CARDENAS N./CASTRO
J./CEVALLOS L./CEVALLOS
H./REYES S./UGARTE J./VERA X.
Jueves 29 de Junio 2017
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar este
compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una calculadora
ordinaria para cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del
examen; y, cualquier instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior del aula, junto con
algún otro material que se encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes adicionales a las que se entreguen
en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
Firma
NÚMERO DE MATRÍCULA:……………….……………………PARALELO:…………
TEMA 1: (20 PUNTOS)
En una comunidad rural del litoral ecuatoriano, se mide en dos decimales de precisión, la estatura en metros de 78
jefes de hogares que constituyen una muestra de esta comunidad. Los datos obtenidos se distribuyen en la
siguiente tabla de frecuencia:
Estatura
1.45
1.51
1.57
1.63
1.69
1.75
1.81
-
1.51
1.57
1.63
1.69
1.75
1.81
1.87
Número
de
jefes de hogar
1
6
29
17
15
7
3
a) Construya una tabla de frecuencias completa (marcas de clase, frecuencias relativas, frecuencias absolutas
acumuladas, frecuencias relativas acumuladas).
b) Determine la media aritmética, la varianza y la desviación estándar de la estatura de los jefes hogar.
c) Interprete los resultados del literal b
d) Construya la ojiva y determine el rango intercuartil de manera aproximada.
TEMA 2: (20 PUNTOS)
Supongamos que usted se va de excursión mañana a la montaña. En los últimos años, ha llovido 5 días al año en la
montaña. Desafortunadamente, el INAMHI ha predicho que mañana lloverá en esa zona. La experiencia dicta que
cuando llueve, el INAMHI acierta 90% de las veces y cuando no llueve, el INAMHI dice que va a llover el 10% de las
veces. ¿Cuál es la probabilidad que llueva durante su viaje a la montaña?
TEMA 3: (20 PUNTOS)
El tiempo que toma realizar cierta tarea, en horas, es una variable aleatoria continua con función de densidad
𝑘
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑥 > 1, donde 𝑘 es una constante. Si el trabajo toma más de 20 horas, entonces el cliente cancela la
orden. El dueño de la empresa envía a un auditor para analizar las 10 órdenes de la última semana. El auditor decide
escoger al azar 4 de estas órdenes para realizar su estudio.
a. ¿Cuál es la probabilidad que se hayan cancelado dos órdenes durante la semana en cuestión?
b. Si se cancelaron dos órdenes, ¿cuál es la probabilidad que sean escogidas por el auditor?
c. El 80% de los clientes que cancelan su orden no vuelven a la empresa. Si dos clientes cancelaron la
orden, ¿cuál es la probabilidad que ninguno de los dos vuelva a la empresa?
TEMA 4: (20 PUNTOS)
Comúnmente los doctores se refieren a problemas psicomáticos cuando existen factores psicológicos que
contribuyen a la iniciación o a la exacerbación de una enfermedad física. Un psiquiatra cree que el 80% de todas las
personas que visitan doctores en hospitales públicos de Guayaquil (una gran población) tienen problemas de esta
naturaleza. Para probar su teoría, el psiquiatra decide seleccionar 25 pacientes de manera aleatoria de esta
población y observar el número de pacientes que tienen problemas de naturaleza psicomática.
a)
Usando la creencia del psiquiatra, calcule el promedio de pacientes con problemas de naturaleza
psicomática si se toman infinitas muestras aleatorias de tamaño 25
b) Usando la creencia del psiquiatra, calcule el segundo momento central para el número de pacientes con
problemas de naturaleza psicomática cuando se toman muestras aleatorias de tamaño 25
c) En base a su creencia, el psiquiatra desea conocer qué tan probable es que haya cuando más 14 pacientes
que tengan problemas psicomáticos en una muestra aleatoria de tamaño 25. Calcule esta probabilidad.
d) El psiquiatra desea ahora probar su teoría. Suponga que el psiquiatra toma 25 muestras aleatorias y sin
reemplazo de la población de personas que visitan doctores en Guayaquil y observa que solamente 14
tienen problemas de naturaleza psicomática. ¿A qué conclusión llegará el psiquiatra con respecto a su
creencia de que el 80% de todas las personas que visitan doctores en hospitales públicos en Guayaquil
tienen este problema? Escriba su respuesta en máximo 3 líneas. Para efectos prácticos, suponga que el
psiquiatra puede realizar el muestreo gracias al apoyo económico e institucional del Ministerio de Salud
Pública, quien posee la información de los pacientes que son atendidos por doctores en hospitales
públicos.
TEMA 5: (20 PUNTOS)
McDonald’s ha anunciado que utilizará un nuevo aceite para preparar las papas a la francesa lo que reducirá
sustancialmente los niveles de ácidos grasos e incrementará la cantidad de grasa poliinsaturada más
benéfica. La compañía afirma que 97 de 100 persona no son capaces de detectar una diferencia de sabor
por el cambio de aceite. En una muestra aleatoria de 1000 individuos que han comprado papas a la francesa
en McDonald’s:
a.- Cuál es la probabilidad de que por lo menos 40 pueden notar la diferencia de sabor entre los dos aceites.
b.- Cuál es la probabilidad de que cuando mucho el 5% puede notar la diferencia de sabor entre los 2 aceites.
c.- Cuál es la probabilidad de que entre 15 y 45 compradores puedan notar la diferencia de sabor entre los 2
aceites.
d.- cuál es la cantidad de compradores que notarían la diferencia, con una probabilidad del 25%.
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE FCNM
AÑO:
2017
PERIODO:
MATERIA:
ESTADÍSTICA
PROFESORES:
EVALUACIÓN:
PRIMERA
FECHA:
PRIMER TÈRMINO
CARDENAS N./CASTRO
J./CEVALLOS L./CEVALLOS
H./REYES S./UGARTE J./VERA X.
Jueves 29 de Junio 2017
TEMA 1: (20 PUNTOS)
En una comunidad rural del litoral ecuatoriano, se mide en dos decimales de precisión, la estatura en metros de 78 jefes de hogares que
constituyen una muestra de esta comunidad. Los datos obtenidos se distribuyen en la siguiente tabla de frecuencia:
Estatura
a)
Número de jefes
de hogar
1.45 - 1.51
1
1.51 - 1.57
6
1.57 - 1.63
29
1.63 - 1.69
17
1.69 - 1.75
15
1.75 - 1.81
7
1.81 - 1.87
3
Construya una tabla de frecuencias completa (marcas de clase, frecuencias relativas, frecuencias absolutas acumuladas,
frecuencias relativas acumuladas).
Estatura
1.45
1.51
1.57
1.63
1.69
1.75
1.81
Nivel
-
1.51
1.57
1.63
1.69
1.75
1.81
1.87
Insuficiente
Número de jefes de Marca de
Frecuencia F. absoluta F. relativa
hogar
clase
relativa
acumulada acumulada
1
1.48
0.0128
1
0.0128
6
1.54
0.0769
7
0.0897
29
1.60
0.3718
36
0.4615
17
1.66
0.2179
53
0.6795
15
1.72
0.1923
68
0.8718
7
1.78
0.0897
75
0.9615
3
1.84
0.0385
78
1.0000
Regular
Satisfactorio
Calcula
No realiza cálculo correctamente la
marca de clase.
Criterios alguno.
0
50%
Puntos
Realiza correctamente el
cálculo de marca de clase y
frecuencia relativa.
70%
Excelente
Realiza correctamente
el cálculo de marca de
clase, frecuencia
relativa, f. absoluta
acumulada y f.
acumulada relativa
100%
b) Determine la media aritmética, la varianza y la desviación estándar de la estatura de los jefes hogar.
1,48
0,031
0,031
9,24
0,013
0,079
46,4
0,003
0,088
28,22
0,000
0,000
25,8
0,004
0,063
12,46
0,016
0,109
5,52
0,034
0,103
Ʃ 129,12
0,474
= 1.655
2
∑𝑘
𝑖=1(𝑚𝑖 −𝑥̅ ) ∗𝑓𝑖
𝑆2 =
𝑆
𝑛−1
2
∑𝑘
𝑖=1(𝑚𝑖 −𝑥̅ ) ∗𝑓𝑖
=√
𝑛−1
Nivel
= 0.006
=0.078
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Calcula
No realiza cálculo correctamente la
media aritmética
Criterios alguno.
0
50%
Puntos
c)
Realiza correctamente
el cálculo de la media
aritmética y varianza
70%
Excelente
Realiza correctamente el
cálculo de la media
aritmética, varianza y
desviación estándar
100%
Interprete los resultados del literal b
La varianza muestra las desviaciones cuadráticas respecto a la media, por este motivo es necesario obtener la raíz cuadrada para analizar con
las unidades originales.
Existe 0.006 metros de desviación cuadrática respecto al promedio de la estatura de los jefes de hogar.
Análisis usando la regla empírica:
El 68% de la estatura de los jefes de hogar datos se encuentra entre 1.649 y 1.661 aproximadamente.
El 95% de la estatura de los jefes de hogar está entre 1.642 y 1.667 aproximadamente.
El 99.7% de la estatura de los jefes de hogar están entre 1.637 y 1.673 aproximadamente
Nivel
Insuficiente
Regular
Interpreta
No realiza cálculo correctamente la
media aritmética
Criterios alguno.
0
50%
Puntos
d)
Satisfactorio
Realiza parcialmente correcta la
interpretación de la varianza y
desviación estándar. Interpreta
correctamente la media
aritmética.
70%
Excelente
Interpreta correctamente
la media aritmética,
varianza y desviación
estándar
100%
Construya la ojiva y determine el rango intercuartil de manera aproximada.
Ojiva
1,0000
0,9500
0,9000
0,8500
0,8000
0,7500
0,7000
0,6500
0,6000
0,5500
0,5000
0,4500
0,4000
0,3500
0,3000
0,2500
0,2000
0,1500
0,1000
0,0500
0,0000
1,48
Nivel
1,54
1,60
RI = Q3-Q1=1.68 – 1.56 = 0.12
Insuficiente
Regular
Realiza el gráfico
con frecuencia
Criterios No realiza gráfico absoluta
0
50%
Puntos
1,66
1,72
Satisfactorio
1,78
1,84
Excelente
Realiza el gráfico con
Realiza el gráfico con
frecuencia relativa y especifica
frecuencia relativa, aunque no correctamente el Rango
determina el Rango intercuartil intercuartil
70%
100%
TEMA 2: (20 PUNTOS)
Supongamos que usted se va de excursión mañana a la montaña. En los últimos años, ha llovido 5 días al año en la montaña.
Desafortunadamente, el INAMHI ha predicho que mañana lloverá en esa zona. La experiencia dicta que cuando llueve, el INAMHI acierta 90%
de las veces y cuando no llueve, el INAMHI dice que va a llover el 10% de las veces. ¿Cuál es la probabilidad que llueva durante su viaje a la
montaña?
Solución: el espacio muestral está dividido en dos eventos mutuamente excluyentes: que llueva y que no llueva. Adicionalmente, un tercer
evento ocurre: que el INAMHI prediga la lluvia.
Evento A1: Llueva en la montaña mañana.
Evento A2: No llueva en la montaña mañana.
Evento B: el INAMHI prediga lluvia.
P(A1)= 5/365 =0.0136985 (ha llovido 5 días al año en la montaña)
P(A2)= 360/365 = 0.9863014
P( B | A1 ) = 0.9 (cuando llueve, el INAMHI dice que va a llover el 90% de las veces)
P( B | A2 ) = 0.1 (cuando no llueve, el INAMHI dice que va a llover el 10% de las veces)
Queremos saber P( A1 | B), la probabilidad que llueva durante su viaje a la montaña dado que el INAMHI ha predicho que mañana lloverá en
esa zona.
P( A1 ) P( B | A1 )
P( A1 | B ) =
P( A1 ) P( B | A1 ) + P( A2 ) P( B | A2 )
P( A1 | B ) = (0.014)(0.9) / [ (0.014)(0.9) + (0.986)(0.1) ]
P( A1 | B ) = 0.111
Nivel
Insuficiente
Regular
Intermedio
Identifica eventos
Identifica
excluyentes
eventos
correctamente,
excluyentes
probabilidades simples
correctamente,
pero no las
pero no las
probabilidades
probabilidades.
condicionales.
25%
50%
No identifica
eventos ni
probabilidades
Criterios correctamente.
0
Puntos
Satisfactorio
Identifica eventos
excluyentes
correctamente,
probabilidades simples y
condicionales, pero no
aplica el Teorema de
Bayes adecuadamente.
75%
Excelente
Identifica eventos
excluyentes
correctamente,
probabilidades simples y
condicionales, y aplica
el Teorema de Bayes
adecuadamente.
100%
TEMA 3: (20 PUNTOS)
𝑘
El tiempo que toma realizar cierta tarea, en horas, es una variable aleatoria continua con función de densidad 𝑓(𝑥) = 2 , 𝑥 > 1, donde 𝑘 es una
𝑥
constante. Si el trabajo toma más de 20 horas, entonces el cliente cancela la orden. El dueño de la empresa envía a un auditor para analizar las 10
órdenes de la última semana. El auditor decide escoger al azar 4 de estas órdenes para realizar su estudio.
d.
¿Cuál es la probabilidad que se hayan cancelado dos órdenes durante la semana en cuestión?
Solución: Primeramente, hay que hallar el valor de 𝑘
∞
∞ 𝑘
1 = ∫−∞ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 = ∫1
𝑥2
𝑘 ∞
𝑘
𝑘
𝑥 1
∞
1
ⅆ𝑥 = − | = (− ) − (− ) = 𝑘, por lo que 𝑘 = 1
∞ 1
Segundo se halla la probabilidad de que se cancele una orden, 𝑃(𝑋 > 20) = ∫20
e.
𝑥2
1 ∞
ⅆ𝑥 = − |
10
binomial con 𝑛 = 10 y 𝑝 = 0.05. Entonces, 𝑃(𝑌 = 2) = ( ) 0.052 × 0.958 = 0.0746
2
Si se cancelaron dos órdenes, ¿cuál es la probabilidad que sean escogidas por el auditor?
𝑥 20
Solución: 𝑍 es hipergeométrica con parámetros 𝑁 = 10, 𝑎 = 2, 𝑛 = 4. Entonces, 𝑃(𝑍 = 2) =
f.
=
1
20
2 8
( )( )
2 2
10
( )
4
= 0.05. Ahora, 𝑌 es
=
2
15
= 0.13
El 80% de los clientes que cancelan su orden no vuelven a la empresa. Si dos clientes cancelaron la orden, ¿cuál es la
probabilidad que ninguno de los dos vuelva a la empresa?
2
Solución: 𝑊 es binomial con 𝑛 = 2 y 𝑝 = 0.8. Entonces, 𝑃(𝑊 = 2) = ( ) 0.82 × 0.20 = 0.64
2
Rúbrica:
a. Este literal lleva el 40% de la calificación de este tema. Si halla correctamente el valor de 𝑘, tiene el 10% del total del tema,
dividiéndose este 10% en 4% si plantea correctamente el integral y 6% si resuelve correctamente el integral. Si indica el valor de 𝑘
correcta, pero no indica como lo obtuvo, entonces 0.
Si halla correctamente la probabilidad de cancelar la orden, tiene 10% del total del tema, dividiéndose este 10% en 4% si plantea
correctamente la probabilidad en función del tiempo 𝑋, y 6% si resuelve correctamente el integral. Si hizo correctamente esta parte,
pero usó un 𝑘 mal calculado, pueden darle este 10%, siempre y cuando la probabilidad resultante sea un valor entre 0 y 1, después de
todo, ya se habrá bajado puntos arriba por calcular mal 𝑘. Si obtiene esta probabilidad, pero no indica como la obtuvo, entonces 0.
Si define correctamente la binomial, tiene 10%, dividiendo este 10% en 4% por identificar que es binomial, y 6% por identificar
correctamente los parámetros de la binomial.
b.
c.
Si calcula correctamente la probabilidad, tiene 10%, dividiendo este 10% en 4% por usar la fórmular correcta y 6% por realizar el
cálculo. La respuesta la puede dar en fracciones o en decimales
Este literal lleva el 30% de la calificación de este tema. Reconocer que se debe usar una hipergeométrica le gana al estudiante 5%,
reconocer correctamente los parámetros de la hipergeométrica es el 10%, usar la fórmula correcta para el cálculo de la probabilidad
conlleva el 5%, y realizar el cálculo correcto vale 10%.
Si llega a la respuesta correcta sin usar la hipergeométrica, sino usando argumentos combinatorios, también es válido y debe recibir el
30% completo, reconociendo 20% si lo plantea correctamente usando combinatorias y 10% por realizar el cálculo correcto.
Este literal lleva el 30% de la calificación de este tema. Reconocer que se debe usar una binomial le gana al estudiante 5%, reconocer
correctamente los parámetros de la binomial es el 10%, usar la fórmula correcta para el cálculo de la probabilidad conlleva el 5%, y
realizar el cálculo correcto vale 10%.
TEMA 4: (20 PUNTOS)
Comúnmente los doctores se refieren a problemas psicomáticos cuando existen factores psicológicos que contribuyen a la iniciación o a la
exacerbación de una enfermedad física. Un psiquiatra cree que el 80% de todas las personas que visitan doctores en hospitales públicos de
Guayaquil (una gran población) tienen problemas de esta naturaleza. Para probar su teoría, el psiquiatra decide seleccionar 25 pacientes de
manera aleatoria de esta población y observar el número de pacientes que tienen problemas de naturaleza psicomática.
e)
f)
g)
h)
Usando la creencia del psiquiatra, calcule el promedio de pacientes con problemas de naturaleza psicomática si se toman infinitas
muestras aleatorias de tamaño 25
Usando la creencia del psiquiatra, calcule el segundo momento central para el número de pacientes con problemas de naturaleza
psicomática cuando se toman muestras aleatorias de tamaño 25
En base a su creencia, el psiquiatra desea conocer qué tan probable es que haya cuando más 14 pacientes que tengan problemas
psicomáticos en una muestra aleatoria de tamaño 25. Calcule esta probabilidad.
El psiquiatra desea ahora probar su teoría. Suponga que el psiquiatra toma 25 muestras aleatorias y sin reemplazo de la población
de personas que visitan doctores en Guayaquil y observa que solamente 14 tienen problemas de naturaleza psicomática. ¿A qué
conclusión llegará el psiquiatra con respecto a su creencia de que el 80% de todas las personas que visitan doctores en hospitales
públicos en Guayaquil tienen este problema? Escriba su respuesta en máximo 3 líneas. Para efectos prácticos, suponga que el
psiquiatra puede realizar el muestreo gracias al apoyo económico e institucional del Ministerio de Salud Pública, quien posee la
información de los pacientes que son atendidos por doctores en hospitales públicos.
SOLUCIÓN:
a)
𝑋: número de pacientes que tienen problemas de naturaleza psicomática en una muestra aleatoria de tamaño 25
n x
n x
f ( x )    p (1  p )
x
 
 25 
x
25  x
f ( x )    0 . 80 ( 0 . 20 )
; para todo x  S ; S  {0 , 1, 2 , ..., 25 }
x
 
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑛𝑝 = 25(0.80) = 20
𝑥
RÚBRICA:
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No identifica la
función de
probabilidad de la
variable aleatoria X
0
Desarrollo
Regular
Identifica la función de
probabilidad pero no
determina
correctamente los
parámetros de la
función
10% - 20%
Satisfactorio
Escribe la fórmula del
Valor esperado
correctamente pero no
realiza el cálculo o el
cálculo es incorrecto
30% - 40%
Excelente
Calcula correctamente
𝐸(𝑋)
50% - 100%
𝑉𝑎𝑟(𝑋)  np (1  p ) = (25)(0.80)(0.20) = 4
b)
RÚBRICA:
Nivel
Criterios
Puntos
c)
Insuficiente
No identifica la
función de
probabilidad de la
variable aleatoria X
0
𝑃(𝑋 ≤ 14) = ∑14
𝑥=0 𝑏(𝑥, 25,0.80) = 0.0056
Desarrollo
Regular
Identifica la función de
probabilidad pero no
determina
correctamente los
parámetros de la
función
10% - 20%
Satisfactorio
Escribe la fórmula de
la Varianza
correctamente pero no
realiza el cálculo o el
cálculo es incorrecto
30% - 40%
Excelente
Calcula correctamente
𝑉𝑎𝑟(𝑋)
50% - 100%
Otra opción es usar la aproximación con la distribución normal con media 𝜇 = 𝑛𝑝 = 20 y varianza 𝑉𝑎𝑟(𝑋)  np (1  p ) = 4
𝑃(𝑋 ≤ 14) ≈ 𝑃 (𝑍 ≤
≈ 0.0013
14 − 20
)
2
RÚBRICA:
Nivel
Criterios
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno.
0
Puntos
a)
Desarrollo
Regular
Calcula la probabilidad
incorrectamente usando
la distribución binomial
o alguna aproximación
a la binomial
10% - 20%
Satisfactorio
Describe
correctamente como
realizar el cálculo,
pero el resultado de la
probabilidad exacta o
de la aproximación es
incorrecto
30% - 40%
Excelente
Calcula correctamente la
probabilidad exacta u
obtiene una aproximación
razonable para
𝑃(𝑋 ≤ 14)
50% - 100%
Si se asume como verdadera la teoría de que el 80% de todas las personas que visitan doctores tienen este problema, entonces el
psiquiatra tuvo muy mala suerte para observar sólo 14 personas con problemas dado que 𝑃(𝑋 ≤ 14) es muy baja. Sin embargo,
podríamos argumentar también que la teoría es falsa. El hecho de que se encontraron efectivamente 14 personas con problemas en una
muestra aleatoria de 25 y que 𝑃(𝑋 ≤ 14) es muy baja son también argumentos fuertes en contra de la teoría del psiquiatra.
RÚBRICA:
Nivel
Criterios
Insuficiente
No responde nada o
responde
incorrectamente
Desarrollo
Satisfactorio
Hay evidencia de que el estudiante sabe la
respuesta a la pregunta pero no organiza
correctamente sus ideas para construir una
respuesta con sentido.
0
Puntos
10% - 40%
Excelente
Da la respuesta correcta a la
pregunta.
50% - 100%
TEMA 5: ( 20 PUNTOS)
McDonald’s ha anunciado que utilizará un nuevo aceite para preparar las papas a la francesa lo que reducirá sustancialmente los niveles de
ácidos grasos e incrementará la cantidad de grasa poliinsaturada más benéfica. La compañía afirma que 97 de 100 persona no son capaces de
detectar una diferencia de sabor por el cambio de aceite. En una muestra aleatoria de 1000 individuos que han comprado papas a la francesa en
McDonald’s:
a.- Cuál es la probabilidad de que por lo menos 40 pueden notar la diferencia de sabor entre los dos aceites.
b.- Cuál es la probabilidad de que cuando mucho el 5% puede notar la diferencia de sabor entre los 2 aceites.
c.- Cuál es la probabilidad de que entre 15 y 45 compradores puedan notar la diferencia de sabor entre los 2 aceites.
d.- cuál es la cantidad de compradores que notarían la diferencia, con una probabilidad del 25%.
Calcula media y varianza con binomial y aproxima a normal (5 puntos)
  np  1000 * 0 . 03  30

2
 np (1  p )  1000 * 0 . 03 * 0 . 97  29 . 1
N(30,29.1)
Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno.
0
Identifica
aproximación a
Normal
50%
Realiza correctamente el
cálculo de la media
70%
Excelente
Realiza
correctamente el
cálculo de la media
y la varianza
100%
a) Calcula probabilidad de que por lo menos 40 pueden notal la diferencia de sabor entre los 2 aceites ( 5
puntos)
z
x

1

40  30

29 . 1
 1 . 854
P ( x  40 )  1   (1 .85 )   (  1 .85 )  0 .0322
Nivel
Insuficiente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno.
0
Regular
Realiza
correctamente la
estandarización de
la variable
aleatoria
50%
Satisfactorio
Excelente
Realiza correctamente la
estandarización de la variable
aleatoria e identifica el valor
de z en la tabla.
70%
Realiza
correctamente la
estandarización y la
probabilidad
100%
b) Calcula la probabilidad de que cuando mucho 5% puede notar la diferencia de sabor entre los 2 aceites (5
puntos).
x  0 . 05 * 1000  50
z
1

x


50  30
29 . 1
 3 .7
P ( x  50 )   ( 3 .7 )  1   (  3 .7 ) 
Nivel
Insuficiente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno.
0
0,999
Regular
Realiza
correctamente el
cálculo del valor de
x
50%
Satisfactorio
Realiza correctamente el
cálculo del valor de x y z
70%
Excelente
Realiza
correctamente el
cálculo del valor de
x, z y probabilidad
100%
c) Calcula la probabilidad de que entre 15 y 45 compradores puedan notar la diferencia de sabor entre los 2
aceites (5 puntos).
z
z
1
2


x

x



15  30
29 . 1
45  30
29 . 1
  2 . 78
 2 . 78
P (15  x  45 )   ( 2 .78 )   (  2 .78 )  1   ( 2 .78 )   (  2 .78 )  1  2 * 0 .0027  0 .99
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
Regular
No realiza cálculo
alguno.
0
Realiza correctamente
el cálculo de la
estandarización de los
extremos del intervalo
50%
Satisfactorio
Realiza correctamente el
cálculo de la estandarización
de los extremos del intervalo y
identifica los valores en la
tabla
70%
Excelente
Realiza correctamente el cálculo
de la de la estandarización de los
extremos del intervalo, identifica
los valores en la tabla y
probabilidad
100%
d) Calcula la cantidad de compradores que notarían la diferencia con una probabilidad del 25% (5 puntos).
 ( z )  0 .25
z   0 . 67
 0 . 67 
x  30
29 . 1
x  26 . 39
Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno.
0
Identifica correctamente el
valor de la probabilidad en
la tabla
50%
Identifica la probabilidad
en la tabla y obtiene el
valor de z
70%
Identifica la probabilidad
en la tabla, obtiene el
valor de z y encuentra x
100%
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AÑO:
2016
PERIODO:
MATERIA:
Estadística (IIT95)
PROFESORES:
EVALUACIÓN:
TERCERA
FECHA:
PRIMER TÈRMINO
Ing. Carlos Villafuerte Peña
Ing. Rosa Tapia Andino
14 de septiembre de 2016
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar este
compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una calculadora
ordinaria para cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del
examen; y, cualquier instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior del aula, junto con
algún otro material que se encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes adicionales a las que se entreguen
en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
NÚMERO DE MATRÍCULA:……………….……………………PARALELO:…………
Firma
1. Una encuesta reciente de una muestra de 150 ejecutivos de una importante empresa financiera y de
seguros, informó la cantidad de libras de sobrepeso de los ejecutivos.
Libras de Sobrepeso
0a6
6 a 12
12 a 18
18 a 24
24 a 30
a.
b.
c.
d.
Frecuencia
14
42
58
28
8
Calcule la media, la mediana y la moda
Calcule el rango y la desviación estándar
Calcule el primer y el tercer cuartiles
Calcule el coeficiente de sesgo. Comente sobre la forma de la distribución.
2. En un programa de empleados que realizan prácticas de gerencia en una importante empresa, 80%
de los empleados son mujeres y 20% son hombres. 90% de las mujeres fue a la universidad y 75%
de los hombres fue a la universidad.
a. Al azar se elige a un empleado que realiza prácticas de gerencia. ¿Cuál es la probabilidad de
que la persona seleccionada sea una mujer que no asistió a la universidad?
b. ¿El género y la asistencia a la universidad son independientes? ¿Por qué?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea un hombre que asistió a la
universidad?
d. Si la persona seleccionada no asistió a la universidad, ¿cuál es la probabilidad de que sea una
mujer?
3. Una variable X tiene una distribución normal con una media desconocida y una desviación estándar
igual a 2.
a. Si la probabilidad de que X sea mayor que 7.5 es 0.8, encuentre la media.
b. Otra variable Y tiene una distribución normal con una media y una desviación estándar
desconocidas. La probabilidad de que Y sea mayor que 4 es 0.9772, y la probabilidad de que
Y sea mayor que 5 es 0.9332. Calcule la media y la desviación estándar.
4. Una compañía cinematográfica utilizó una muestra aleatoria de 50 ciudadanos para calcular que el
ciudadano común vio videos y películas en DVD 78 horas el año pasado. La desviación estándar de
esta muestra fue de 9 horas.
a. Construya un intervalo de confianza de 92 % para la cantidad media poblacional de horas
empleadas en ver videos y películas en DVD el año pasado.
b. ¿De qué tamaño debe ser la muestra para que resulte 97% confiable de que la media de la
muestra se encuentre dentro de un margen de 1.0 hora de la media de la población?
FORMULARIO
𝑛
𝑓 (𝑥 ) = ( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘
𝑘
𝑓 (𝑥 ) =
𝑓 (𝑥 ) =
𝑒 −𝛼 𝛼 𝑘
𝑘!
1
𝑎+𝑏
; 𝜇=
𝑏−𝑎
2
𝑧=
𝑥−𝜇
𝜎
𝐼𝐶 = 𝑥̅ ± 𝑧𝛼/2
𝐼𝐶 = 𝑝̂ ± 𝑧𝛼/2 √
𝑛=(
𝜎
√𝑛
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
𝑧𝜎 2
)
𝑒
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
PRIMERA EVALUACIÓN DE ESTADÍSTICA
1.- (20 ptos) Una agencia evalúa dos medios de transporte que utilizan más frecuente los turistas para dirigirse desde el centro de la
ciudad de Guayaquil hasta el Zoológico El Pantanal, estas dos alternativas son transporte público y automóvil contratado. A
continuación vemos una muestra de tiempos de cada modo. Las cifras son minutos
Transporte Público: 28, 29, 32, 37, 33, 25 29, 32, 41
Automóvil:
29, 31, 33, 32, 34, 30, 31, 32, 35
a. Calcule la media de la muestra del tiempo que se lleva en cada modo de transporte
b. Calcule la desviación estándar de la muestra para cada modo de transporte
c. Con base en los resultados de los incisos a y b ¿qué modo de transporte debe preferirse?, explique sus razones le
recomendamos usar el coeficiente de variación.
2.- (20 ptos) Para la elaboración del Boletín Turístico del Ecuador, El Ministerio de Turismo en el año 2012 realizó una encuesta a
1500 personas, entre la extensa gama de preguntas, seleccionamos únicamente dos, las cuales nos ayudará a determinar los
motivos de viaje y el medio de transporte que utilizan los ecuatorianos. A continuación presentamos las respuestas y precisamos
que nos proporcione un diagrama de barras para la variable motivos de viaje y un diagrama de pastel para la variable medio de
transporte utilizado. (Las gráficas deben estar en porcentajes)
Cantidad de
Cantidad de Variable 2: Medio de
Variable 1:Motivo de viaje
ecuatorianos
ecuatorianos transporte utilizado
705
Visita a familiares y amigos
0.66
10
Avión
480
Recreo y Ocio
43.49
652
Auto propio
75
Religión
48.34
725
Bus
240
Otros
7.5
113
Otros
3.- (25 ptos) Las cuentas de comidas en el restaurante francés La Maison tiene la distribución de frecuencias de la tabla siguiente.
Cuenta por la
comida ($)
Frecuencia
25-34
2
35-44
7
45-54
4
55-64
3
65-74
2
a.
b.
c.
d.
e.
Calcule la media
Calcule la desviación estándar
Bosqueje el histograma de frecuencias
Grafique el Polígono de frecuencia acumulada(Ojiva)
Determine a través de la Ojiva el primer cuartil, el quinto decil y el
septuagésimo quinto percentil
4.- (20 ptos) Los siguientes datos muestran la cantidad de horas de investigación que ha implicado realizar estudios de factibilidad
de proyectos turísticos para una empresa de investigación y mercados.
652, 576, 1112, 971, 451, 1023, 852, 809, 596, 975, 400,711, 314, 1251, 907 y 820
a. Realizar un diagrama de caja
b. Identifique el o los valores atípicos
5.- (15 ptos) Conceptos:
a. Determine la diferencia entre Parámetro y Estimador
b. ¿Cuál es la diferencia entre población y muestra?
c. Mencione los tipos de datos y las escalas de medición existentes
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
AÑO:
2017
PERIODO:
MATERIA:
ESTADÍSTICA
PROFESORES:
EVALUACIÓN:
PRIMERA
FECHA:
Segundo Término
Cardenas N/Cevallos L./Cevallos H./Crow P./García
S./Gonzalez S./Pambapaby J./Sanchez J./Salazar
V/Ugarte J.
Jueves 30 de Noviembre 2017
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar este compromiso,
reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una calculadora sencilla, ordinaria para cálculos
aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del examen; y, cualquier instrumento de
comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior del aula, junto con algún otro material que se encuentre acompañándolo.
No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes adicionales a las que se entreguen en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
Firma
NÚMERO DE MATRÍCULA:……………….……………………PARALELO:…………
TEMA 1: (20 PUNTOS)
Una entidad bancaria dispone de 11 sucursales en el territorio nacional y ha observado el número de empleados que hay
en cada una de ellas para un estudio posterior. Las observaciones obtenidas han sido:
a) Construya una tabla de frecuencia de 4 intervalos
15 16 9 10 10 11 12 13 14 15 11
b) Grafique la Ojiva
c) Calcular el número medio de empleados y su desviación
d) Calcule la mediana, moda y el. 𝑃20
e) Interprete los resultados del numeral c y d
TEMA 2: (15 PUNTOS)
Sea X una variable aleatoria 𝑁(20,1)
a) Determine el percentil “veinticinco” y el “noventa y tres” de X.
b) Si se desea mantener la media de la distribución y que el percentil quinto sea 19 ¿Cuál debe ser el valor de la
varianza?
TEMA 3: (15 PUNTOS)
El sistema de dirección de un cohete trabaja en forma correcta con una probabilidad 𝑝 cuando se pone a funcionar.
Se instalan sistemas de respaldo independientes, pero idénticos, en el cohete de modo que la probabilidad de que
al menos un sistema trabaje en forma correcta cuando se necesite sea no menor que 0.99. Sea 𝑛 el número de
sistemas de dirección en el cohete. ¿Qué tan grande debe ser 𝑛 para alcanzar la probabilidad especificada de que
al menos trabaje un sistema de dirección si 𝑝 = 0.9.
TEMA 4: (15 PUNTOS)
En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se
lo lleva. A continuación, otra persona B elige otro libro al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?
b) Si se sabe que B eligió una novela, ¿Cuál es la probabilidad que el libro seleccionado por A sea una poesía?
TEMA 5: (20PUNTOS)
El tiempo T de Sobrevivencia se lo utiliza para determinar la probabilidad de que un individuo viva más allá de
un tiempo especificado a partir de que la enfermedad es diagnosticada. Si por ejemplo f(t) es la densidad del
tiempo T entonces se define la Función de Sobrevivencia como:
𝑡
𝑃 (𝑇 > 𝑡) = 1 − 𝐹(𝑡) = 1 − ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
0
El Soporte de T es S = { tЄR / t> 0}. Si el tiempo de sobrevivencia, a partir de que la enfermedad es diagnosticada
es una variable T que es Exponencial con parámetro β =2.3 años.
a) Encuentre la probabilidad de que una persona sobreviva más de 1.5 años a partir de la detección de la misma.
b) Si se analiza a un grupo de 20 personas que han sido diagnosticadas con una enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad
de que al menos uno de ellos sobreviva más de 1.5 años?
TEMA 6: (15 PUNTOS)
Existen 20 personas, de los cuales 15 son universitarios. 8 pertenecen a una federación y de estos últimos 4 son
universitarios.,
a) Si se toma al azar un persona encuentre la probabilidad que no sea universitario ni pertenezca a una federación
b) Si se toma al azar un persona encuentre la probabilidad que no pertenezca a un federación dado que es
universitario
c) Si se selecciona 5 personas al azar, encuentre la probabilidad que tres de ellos pertenezcan a una federación y
dos no.
Tablas de la Normal
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
AÑO:
2017
PERIODO:
SEGUNDO TÈRMINO
MATERIA:
ESTADÍSTICA
PROFESORES:
EVALUACIÓN:
PRIMERA
FECHA:
Cardenas N/Cevallos L./Cevallos H./Crow
P./García S./Gonzalez S./Pambapaby J./Sanchez
J./Salazar V/Ugarte J.
Jueves 29 de Junio 2017
TEMA 1: (20 PUNTOS)
Una entidad bancaria dispone de 11 sucursales en el territorio nacional y ha observado el número de empleados
que hay en cada una de ellas para un estudio posterior. Las observaciones obtenidas han sido:
1
2
15 16
a)
b)
c)
d)
e)
3
9
4
5
6
7
8
9
10
11
10 10 11 12 13 14 15 11
Construya la tabla de frecuencia (de 4 intervalos)
Construya la ojiva
Calcular el número medio de empleados y su desviación
Calcule la mediana, moda y el P20
Interprete los resultados del numeral c y d
a) Construya la tabla de frecuencia (no más de 4 intervalos) - 4 puntos.
Nivel
Insuficiente
Criterios
Puntos
No realiza
cálculo
alguno.
0
Regular
Satisfactorio
Identifica los campos
Define todos los campos y sus cálculos.
que se requieren en una Toma en consideración que los intervalos los
tabla de frecuencia,
intervalos sean exhaustivos, que entre ellos
Establece el cálculo en
sean mutuamente excluyentes y de igual
cada uno de ellos
longitud.
1
3
Clase
Intervalo
Marca de clase
Frecuencia
1
2
3
4
9 - 11
11 - 13
13 -15
15 -17
10
12
14
16
3
3
2
3
11
Frecuencia
relativa
Freciencia
acumulada
0,273
0,273
0,182
0,273
3
6
8
11
Excelente
Considera las
condiciones que debe
de cumplir y
Proporciona los
cálculos correctos.
4
Frecuencia
acumulada
relativa
0,273
0,545
0,727
1
b) Construya la Ojiva Nivel
Insuficiente
Criterios
Puntos
No realiza
cálculo
alguno.
0
Regular
Bosqueja la
gráfica pero no
sustenta sus
cálculos
0
Satisfactorio
define correctamente las
coordenadas a graficar en la
Ojiva
3
Excelente
Realiza gráfica, sustentando los cálculos,
representa correctamente en el plano
cartesiano los puntos a graficar en la
Ojiva
4
c) La Media 2.pts, La desviación estándar 2.pts
Nivel
Insuficiente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno.
0
Regular
No
realiza
cálculo
alguno.
0
Satisfactorio
Identifica lo que se solicita.
Planea el cálculo de forma correcta
(Utilizando datos agrupados o no
agrupados)
1
Excelente
Proporciona los valores
correctos.
2
Datos no agrupados: Media: 12,364 , Desviación: 2,26
d) Cada solicitud 1.33
Nivel
Insuficiente
Regular
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno.
0
No realiza
cálculo
alguno.
0
Satisfactorio
Identifica lo que se solicita.
Planea el cálculo de forma
correcta (Utilizando datos
agrupados/ no agrupados o los
estima a través de la Ojiva)
1
Excelente
Proporciona los valores
correctos.
1.33
Datos no agrupados: Mediana: 12, Moda: 10, 11 y 15, P20:
10
e)
Nivel
Insuficiente
Criterios
Puntos
No hay interpretación
de resultados
0
Regular
0
Satisfactorio
Proporciona una
interpretación que
obedece a definir el
cálculo o el significado
del indicador.
3.
Excelente
Acorde al contexto del
problema Interpreta
correctamente lo solicitado
4
TEMA 2: (15 PUNTOS)
Sea X una variable aleatoria 𝑁(20,1)
a) Determine el percentil “veinticinco” y el “noventa y tres” de X.
b) Si se desea mantener la media de la distribución y que el percentil quinto sea 19 ¿Cuál debe ser el valor de la
varianza?
𝑎. − 𝑃25 = 19.325
𝑃93 = 21.48
Nivel
Insuficiente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno.
0
𝑏. − 𝜎 = 0.608
Regular
Hace planteo
demostrando saber
el concepto de
estandarización
2
Satisfactorio
Excelente
Plantea correctamente el
percentil pero se equivoca en
el cálculo
3
Realiza
correctamente el
cálculo
7
Regular
Hace planteo
demostrando saber
el concepto de
estandarización
2
Satisfactorio
Excelente
Plantea correctamente el
percentil pero se equivoca en
el cálculo de varianza
3
Realiza
correctamente el
cálculo
8
𝜎 2 = 0.369
Nivel
Insuficiente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno.
0
TEMA 3: (15 PUNTOS)
El sistema de dirección de un cohete trabaja en forma correcta con una probabilidad 𝑝 cuando se pone a funcionar.
Se instalan sistemas de respaldo independientes, pero idénticos, en el cohete de modo que la probabilidad de que
al menos un sistema trabaje en forma correcta cuando se necesite sea no menor que 0.99. Sea 𝑛 el número de
sistemas de dirección en el cohete. ¿Qué tan grande debe ser 𝑛 para alcanzar la probabilidad especificada de que
al menos trabaje un sistema de dirección si 𝑝 = 0.9.
Sea 𝑋 el número de sistemas que trabajan en forma correcta. Si los sistemas son idénticos e independientes, 𝑋
tiene distribución binomial. Así.
𝑛
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − ( ) 𝑝0 (1 − 𝑝)𝑛
0
= 1 − (1 − 𝑝)𝑛
Las condiciones especifican que 𝑛 debe ser tal que 𝑃(𝑋 ≥ 1) = 0.99 o más
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − (1 − 0.9)𝑛 ≥ 0.99
= 1 − (0.1)𝑛 ≥ 0.99
1 − 0.99 ≥ (0.1)𝑛
(0.1)𝑛 ≤ 0.01
𝑛 ln(0.1) ≤ ln(0.01)
ln(0.01)
𝑛≤
≤2
ln(0.1)
Por lo tanto, 𝑛 = 2. Es decir, si se instalan dos sistemas de dirección se satisfarán las especificaciones.
Nota: No se puede alcanzar exactamente la probabilidad 0.99 porque 𝑌 sólo puede tomar valores enteros.
Nivel
Criterios
Puntos
Insuficiente
No desarrolla
procesos coherentes
0
Regular
Identifica correcta que el
número de sistemas que
funcionan (X) tienen
distribución binomial, pero
comete errores al plantear la
probabilidad 𝑃(𝑥 ≥ 1)
5
Satisfactorio
Identifica correcta que el número de
sistemas que funcionan (X) tienen
distribución binomial y plantea
correctamente la probabilidad
𝑃(𝑥 ≥ 1), pero comete errores al
encontrar el valor de 𝑛
6-10
Excelente
Realiza correctamente
el cálculo de 𝑛
15
TEMA 4: (15 PUNTOS)
En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se
lo lleva. A continuación, otra persona B elige otro libro al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?
b) Si se sabe que B eligió una novela, ¿Cuál es la probabilidad que el libro seleccionado por A sea una poesía?
Solución:
Defínase los eventos:
Na: La persona A selecciona una novela
Nb: La persona B selecciona una novela
Pa: La persona A selecciona una poesía
Pb: La persona B selecciona una poesía
1)P(Nb)=P(Nb\Na)P(Na)+P(Nb\Pa)P(Pa)=59/79*60/80+60/79*20/80=0.75
2)P(Pa\Nb)=(60/79*20/80)/0.75=0.2531
Nivel
Insuficiente
No realiza cálculo
alguno
Criterios
Puntos
Regular
Define los eventos
Propone un método para el
cálculo de la probabilidad
solicitada vàlida.
5
0
Satisfactorio
Calcula correctamente la
probabilidad total y Bayes.
Excelente
Realiza los cálculos
correctos
6-10
15
TEMA 5: (20PUNTOS)
El tiempo T de Sobrevivencia se lo utiliza para determinar la probabilidad de que un individuo viva más allá de
un tiempo especificado a partir de que la enfermedad es diagnosticada. Si por ejemplo f(t) es la densidad del
tiempo T entonces se define la Función de Sobrevivencia como:
𝑡
𝑃 (𝑇 > 𝑡) = 1 − 𝐹(𝑡) = 1 − ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
0
El Soporte de T es S = { tЄR / t> 0}. Si el tiempo de sobrevivencia, a partir de que la enfermedad es diagnosticada
es una variable T que es Exponencial con parámetro β =2.3 años.
a.-Encuentre la probabilidad de que una persona sobreviva más de 1.5 años a partir de la detección de la misma.
b.- Si se analiza a un grupo de 20 personas que han sido diagnosticadas con una enfermedad. ¿Cuál es la
probabilidad de que al menos uno de ellos sobreviva más de 1.5 años?
RESOLUCIÓN
a)
T es una variable exponencial cuya función de densidad es:
−𝑡
𝑓(𝑡) =
𝑒 2.3
{ 2.3 ,
−𝑡
𝑡>0
𝐹(𝑡) = {1
0, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡
𝑒 2.3
−
,
2.3
𝑡<0
0, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡
𝑃(𝑇 > 1.5) = 1 − 𝐹(1.5) = 1 − [1 − 𝑒
−1.5
2.3 ]
=𝑒
−1.5
2.3
= 0.5209
Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno
0
Plantea
correctamente la
f(t)
4
Plantea correctamente F(t) y
valores a evaluar pero no calcula
correctamente la probabilidad.
6
Obtiene el resultado
correcto.
10
b) Suceso: Una persona sobreviva más de 1.5 años
P(suceso): 0.5209
Variable aleatoria Binomial (20, 0.5209)
20
𝑃 (𝑋 ≥ 1) = 1 − [( ) 0.52090 (1 − 0.5209)20 ]
0
(𝑋
𝑃
≥ 1) = 1 − 0.00000040599
𝑃 (𝑋 ≥ 1) = 0.99999959400
Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno
0
Plantea correctamente
la variable aleatoria y el
suceso.
4
Plantea correctamente la variable
aleatoria y valores a evaluar pero no Obtiene la
obtiene el resultado correcto.
probabilidad correcta.
6
10
TEMA 6: (15 PUNTOS)
Existen 20 personas, de los cuales 15 son universitarios. 8 pertenecen a una federación y de estos últimos 4 son
universitarios.,
a) Si se toma al azar un persona encuentre la probabilidad que no sea universitario ni pertenezca a una federación
b) Si se toma al azar un persona encuentre la probabilidad que no pertenezca a un federación dado que es
universitario
c) Si se selecciona 5 personas al azar, encuentre la probabilidad que tres de ellos pertenezcan a una federación y
dos no.
PERSONAS
Federados
No Federado
Universitarios
4
11
15
No universitario
4
1
5
8
12
20
a) 1/20
b)
c)
11
15
(83)𝑥(12
2)
(20
5)
Cada literal vale 5 puntos
Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente
Criterios
Puntos
No realiza cálculo
alguno
0
Plantea correctamente
la variable aleatoria y el
suceso.
0
Plantea la correcta forma de calcular Proporciona los
las probabilidades que se solicitan.
valores correctos
3
5
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
AÑO:
2017
PERIODO:
MATERIA:
Estadística Descriptiva
PROFESORES:
EVALUACIÓN:
Segunda
FECHA:
II
Bauz, S. Cárdenas, N. Cevallos, L. Mendoza, M.
Pambabay, J. Plata, W. Roa, H.
Febrero 9 del 2018
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar
este compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una
calculadora ordinaria para cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de
la recepción del examen; y, cualquier instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior
del aula, junto con algún otro material que se encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes
adicionales a las que se entreguen en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
Firma ____________________________NÚMERO DE MATRÍCULA: ____________________________ PARALELO: ______
Tema 1: (4 Puntos) Defina
a) Función de densidad de probabilidad
b) Distribución marginal
c) Variables aleatorias independientes
d) Covarianza
Tema 2: (9 Puntos) Suponga que el departamento de proyectos, tiene la responsabilidad de asignar proyectos institucionales mediante
licitación. Teniendo como responsabilidad de estimar razonablemente las condiciones de dicha licitación. Para ello se considera que b es
el estimado del costo final del proyecto y la función de densidad para la licitación ganadora (la más baja) es como sigue:
a)
b)
c)
5
𝑓(𝑦) = {8𝑏 ,
0 ,
3
− 𝑏 <𝑦<𝑏
5
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Calcule F (y) y su gráfica
Determinar la probabilidad de que la licitación ganadora sea menor que la estimación preliminar b/5.
Determine la media y la varianza de Y.
Tema 3: (12 Puntos) El tiempo que tarda un operador telefónico en atender una llamada, es una variable aleatoria exponencial con media
minutos. Se conoce a demás que la probabilidad de que el operador tarde más de diez minutos en atender una llamada es 0,135335.
Determine:
a) La probabilidad de que el operador tarde entre 4 y 8 minutos en atender una llamada
b) La mediana del tiempo que tarda el operador en las llamadas
c) La probabilidad de que entre 15 y 25 llamadas que atendió el operador hayan tardado entre 4 y 8 minutos, de un total de 80 llamadas
recibidas
d) La probabilidad de que en total atienda 49 llamadas en menos de 3 horas
Tema 4: (16 Puntos) Una máquina envasa azúcar en fundas que tienen un peso medio de 500 gramos con una desviación estándar de 25
gramos. Las fundas se empaquetan en cajas de 100 unidades.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una funda de una caja sea menor que 495 g.?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja hayan al menos 45 fundas que pesen menos de 495 g.?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de las fundas de una caja sea menor que 495 g.?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja pese más de 51 kg.?
Tema 5: (9 Puntos) Un experimento consiste en lanzar tres veces una moneda. Sean las variables aleatorias: X ="número de caras en los
tres lanzamientos" e Y ="diferencia en valor absoluto entre el número de caras y el de sellos en los tres lanzamientos". Determine:
a) Determine la distribución de probabilidad conjunta de X e Y
b) Determine la Media y desviación estándar de X e Y.
c) ¿X e Y son independientes?
Escuela Superior Polit6cnica del Litoral
Facultad de Ciencias l{aturales y Matemrl,ticas
Departamento de Matemdticas
Afro: 2015
Materia: Estadistica
Evaluaci6s: llercera
Periodo: Segundo T6rmino
Profesor:
Fecha: 18 de febrerq de
201G
COMPROMISO DE HONOR
Yo
lur
, al firmar este compro_
miso, reconozco que el presente examen estri disefrado para ser resuelto de rnanera individ.ual, que
puedo usar
una calculadora ordinaria para c6,lcu1os aritm6ticos, un ld,piz o esferogrdfico; que solo pued.o
comunicarme con
la ggrsona responsable de la recepci6n del examen; y, cualquier instrumento de comunicaci6n que
hubiere
traido, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior del aula, junto con algfn otro material q*"
encuentre
acompafrSndolo. No debo adem6,s, consultar libros, notas, ni apuntes adicionales a las que se
"" en esta
entreguen
evaluaci6n- Los ternas debo desarrollarlos de manera ordenada. Firmo al pie del present" ;;il;;i;;;
como constancia de haber lefdo y aceptar la declaraci6n anterior.
"Como estudiante de ESPOT, me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por e$o no
copio ni dejo copiar".
4irq1a:1'
Nrimero de matricula;
Paraielo:
Se est6 realizando un estudio del virus del Ztka, en el que se capturan a 30 mosquitos
de gn sector de
la ciudad de Guayaquil para ver qu6 proporci6n tienen el virui del Zika. Supongamos que de los 30
mosquitos, 10 tienen el virus del Zika, pero los investigadores no saben esta informaci6n. En vista
de
los costos de detectar el vaus en un mosquito, el equipo decid.e hacer las pruebas de laboratio
en 12 de
mosquitos de los 30.
(a) (7 puntos) iCur{,I es la probabilidad
del Zika?
(b)
de que ninguno de los mosquitos seleccionados tenga el virus
(7 puntos) ;Cu6l es la probabilidad de que todos los mosquitos seleccionados tengan el virus del
Zlka?
:lr
(c) (7 puntos) iCu6ntos mmquitos
",::,
con el virus del Zika se espera obserran eo los mosquitos seleccipna-
dos?
2. Despu6s de quedar en cintd, el mosquito hembra
se alimenta de sangre, la cu6l la digiere durante dos o
tres dias a medida que va desarrollando los huevecillos. Despu6s de poner los huevecilloe busca quedar en
cinta nuevamente y el ciclo se vuel'rre a repetir hasta que luego de un par de semanas se muere. Suponga
que el nrimero de veces que una hembra pica a un ser humano en una semana es Poisson con pard.metro
(^:
1).
(a) (9 puntos)
iCur4,l es
la probabilida.d de que un mosquito hembra pique mris de 3 personas?
Page'2
.ir
-.;
(b)
(15 puntos) Si en una pequei.a comuna d.e 20 habitantes
hay dos er-fermos de Zika, lCuril es la
probabilidad (4 d""r331:t. de-precisi6n) de que en una .urrrur,,
un mosquito pique al menos a un
enfermo? (SUGERENCIA: Si un mosquito pica Y veces en una semana,
el nrihero
personas
:
de
infecta'das que pica X seria binomial con r,
[probabiiidad.condicional de -{ dado
Yv
99*o es poisson, habria que apricar la ley de piobabilidaj totar para
0, 1, i, 1.,. . ..-n""r"ra"
Ia lev probabilidad total dice qu,e, dada una partici6n der espacio
multral, p(Ai D p(AlEt)i(E)
No es necesario llegar hasta infinito porque s6lo se pide precisi6n a 4
decimales)
y
(c)
p:2/20
y:
ii.
:
(10 puntos) iCuri.l es la probabilidad condicional de qire un mosquito haya picado
a mds 4e 3 personas
dado que tiene el virus del Zika, y por ende, ha picado al menos a uri e.rfermo? (SUGERENCIA:
Teorema de Bayes)
Page 3
3' Algunas enfermededes suelet
detectarse indirectamente por medio de 1ma pru€ba de sangre en:l& que se
'mide la'presencia de algrin anticuerpo
en particular. Nuestro cuerpo natuialmente tiene ciertos anticrierpos
aunque no tenga ninguna enfermedad, sin embargo estos se elev'an cuando hay alguna enfermedad presentd.
Un ejemplo es el Hehcobacter Pylori y el iadieador de sus anticuerpos en la sangre es lgG. Una persona
tiene lgG, aunque !o tenga una iqfecci6n de Helicobacter Pylori. Sin emba.rgo; al adquirir la infecci6n,
el.lgG aumenta. Suponga que 6l indicador sigue upa distribuci6n normal con desviaci6n estd,ndar l, y
que su media es menor o igual que 7 en el caso de un paciente sano. Los mddicos suelen concluir que el
paciente puede tener una infecci6n de Helicobacter Pylori si el indicador lgG es mayor que 8.5. Suponga
que f/6 es que el paciente estd sano y Hl es que el paciente tiene Helicobacter Pylori.
(a) (10 puntos) .EamedicJna se conoce la especificidad de una prueba como la probabilida.d de decla,rar
sano a un paciente sano, lo que viene a ser en estadistica uno menos el nivel de significancia (1 c).
iCuriJ es la especfficida.d de la prueba? (SUGERENCIA: una muestra de sa,ngre en un paciente sdria
una muestra de tamafro 1)
(b)
(10 puntos) La sensitividad de una'prueba se define como la probabilidad de detecta.r la enfermedad,
que viene siendo en estadistica la potencia de la prueba. iCu5,1 es la sensitividad de esta prueba si
la persona tiene'la bacteria y su media-de lgG es de p 9?
=
Page 4
A
Se est6 desarrollando una insecticida que sea inofensivo para los humanos pero que mate al mosquito
Aedes, para poder evitar la propagaci6n del Zika, chikulgunya y dengue. Para probar la efectividad
del insecticida se hace un estudio en un Labbratorio que r@rea el a.rnbiente natural del tnosqriito.iy se
sueltan 50 mosquitos. Luego de un rato se aplica el insecticida ccn una cierta d6sis dcl compuesto (en
miligramoe) en estudio y se cuenta cud.ntos murieron. Los resultados se exponen a continu6ci6n:
(a) .(6 puntos) Calcule Ia media, mediana y varianza del nirmero de mosquitos muertos en la muestra.
7
(b) (l9-punios)
Se desea explicar el nrimero de mosquitos muertos en funci6n de la dosis del insecticida.
Para'esto se emplea una t6cnica estadistica llamada rugresidn lineal simple. F,sta t€cnica consiste en
aprofmar la relaci6n entre dos variables por medio de una linea recta. Suponga <fue r es Ia d5sis
del insecticida y Y es el nrlmero de mosquitos muertos. La aproximaci6n de la linea recta est6 dada,
por Yr : fro * gpt * ei,i = I,j.. . . ,n, donde Bs es el intercepto, B1 es la pendiente, er; €s el error y
n es el ta.maflo de. [a muestra. Los estimadores de Ba y h m6s comrmes se llaman estimadores de
mtnirnos cuadrd,os y estr6,n dados por las siguientes expresionest
a -Di=r@r-l)(V-l)
l\:ffi,ira:Y-/7tn
a
--
h=
Calcule para el experimento del insecticida el intercepto y la pendiente por el m&odo de minimos
cuadrados.
Page 5
Distribuci6n normal estdndar acumulad.a
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0,5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636
0.57L4 0.5753
a.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.5675
0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 A.62L:t 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.65e1 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 o.AirZ O.OAOa 0.6844 o.OAiS
0.5 c.6915
0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7L23 0.itsz 0.7190 0-72M
0'6 0.7257"0.6950
A.729r
0.7324 0.7357 0.7389 0.7422
0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0-761i 0.7M2 0 7673. 0.7704 0.7734 0.7454
0.7764 0.7794 0.7823 0-7852
0-8 0.7881 0.7910 0.7939 A.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.81S0 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315
0.8340 0.8365 0.8389
0:8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8541 0.8bs4 0.85?? 0.8b99 0.8621
:1111
r., 0.8643 0.8665 0.8686
0.8708 0.872s 0.8749 0.8770 0.8790 0.88i0 0.;$0
0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.e0J2 0.e04e 0.e066 0.m82 0.e0ee o.giis
a:.;r;; o.;I;; ;:.;;;;
1.4 0-9192 0.9207 Q.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.92?9 0.9292
0.9306 0.9319
1.5 0-9332 0.9345 0.9357 0.93i0 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 A.g42g
.
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 o.SSii 0.9441
0.;il;
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608
0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9616
0.9693 .0.9699 0,9706
1.9 0.9713 0"9719 o.gz2o o.9zz2 0.9238 o.g7M 0.92s0'
0.9?61 o:9767
2.0 a.9772 0.9778 0.9733 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9256
0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 - 0.eS42 0.9846 0.9850 o.SSS o.ffii
2.2 0.986i 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884
0.9890
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9887
0.9913 0.9916
2.4 0"9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.gg2g 0.9931 0.9932
0.9936
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 C.9934
0.9951 0.gg52
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963
0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.997i 0.gg72 0.9973 o.gg74
0.s974 0.9975 0.9976 0.9977 O.ss77 0.9978 O.s}ls 0.ee79
O.S9Si
?9
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9980
0.9986 0.9986
3-0 0.9987 0.9987 0.9s87 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
r.2
;.;ii;
Page 6
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
AÑO:
2017
PERIODO:
MATERIA:
Estadística Descriptiva
PROFESORES:
EVALUACIÓN:
Tercera
FECHA:
II
Bauz, S. Cárdenas, N. Cevallos, L. Mendoza, M.
Pambabay, J. Plata, W. Roa, H.
Febrero 22 del 2018
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar
este compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una
calculadora ordinaria para cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de
la recepción del examen; y, cualquier instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior
del aula, junto con algún otro material que se encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes
adicionales a las que se entreguen en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
Firma ____________________________NÚMERO DE MATRÍCULA: ____________________________ PARALELO: ______
Tema 1: (10 Puntos) Defina
a) Función de Probabilidades
b) Valor Esperado
c) Experimento Binomial
d) Función de densidad de Probabilidad
e) Covarianza
Tema 2: (10 puntos) En una encuesta realizada a 10 viviendas
con respecto a su consumo en dólares de energía eléctrica se
10
X
i
251,39
10
X
2
i
6455 ,22
i 1
tiene la siguiente información: i 1
Si Xi representa el consumo de energía en dólares en la vivienda
i.
a) Determine la media aritmética y la varianza muestral.
b) Si se incrementa una factura de $21,30, calcule nuevamente
la media aritmética y la varianza muestral para las once
observaciones.
Tema 3: (10 puntos) Se tiene un grupo de seis artículos de los
cuales dos tienen defectos. Se van a probar los artículos uno a
continuación del otro hasta encontrar el segundo con defectos
y se define la variable aleatoria X como el número de intentos
hasta lograr el objetivo. Determine:
a) La distribución de probabilidades de X y la distribución
acumulada
b) La media y varianza de X.
Tema 4: (25 puntos) Se realizó un estudio en el que se
determinó que el tiempo de espera (en minutos), que tarda un
estudiante en abordar un autobús para llegar a la ESPOL, es una
variable aleatoria cuya distribución es:
1
𝑥
0≤𝑥<5
𝑘2
𝑓(𝑥) = 2 1
− 𝑥
5 ≤ 𝑥 ≤ 10
𝑘 𝑘2
{
0
𝑑𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎
a) Determine le tiempo promedio de espera de los
estudiantes.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera de un
estudiante sea a lo mucho 3 minutos?
c) En un paralelo de 40 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad
de que al menos dos estudiantes tarde a lo mucho 3
minutos en abordar un autobús para llegar al campus?
d) Si se toman los tiempos de espera de un grupo de
estudiantes elegidos al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que
se requieran tomar los tiempos de espera de al menos
cuatro estudiantes para encontrar el segundo que espera
más de tres minutos?
e) En un paralelo de 50 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad
de que al menos quince estudiantes tarde a lo mucho 3
minutos en abordar un autobús para llegar al campus?
Tema 5: (25 puntos) Sea X la cantidad en gramos, que pesa una
barra de chocolate, se supone que X tiene distribución normal
con media  y varianza 2. A demás se conoce que la
probabilidad de que una barra de chocolate pese más de 52
gramos es de 0.1587 y de que pese menos de 49 gramos es de
0.3085.
a) Determine la media y la varianza del peso de las barras de
chocolate
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una barra pese menos de
48.5 gramos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de estas barras juntas
pesen más de 255 gramos, si son seleccionadas de manera
independiente?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir 36 de estas barras,
pesen en promedio entre 49 y 51 gramos?
e) Si en una caja van 10 de estas barras, determine la
distribución de probabilidades del peso de la caja.
Tema 6: (20 puntos) La cantidad de queroseno, en miles de
litros, en un tanque al principio de cualquier día es una cantidad
aleatoria Y de la que una cantidad aleatoria X se vende durante
el día. Suponga que el tanque no se reabastece durante el día
por lo que x < y, suponga que la función de densidad conjunta
de estas variables es:
2 0 < 𝑥 < 𝑦,
0<𝑦<1
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
0
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Determine
1
1
a) 𝑃 (𝑋 < 2 , 𝑌 < 2)
1
1
3
b) 𝑃 (4 < 𝑋 < 2 |𝑌 < 4).
c) Las distribuciones marginales
d) Si X y Y son independientes
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
AÑO:
2017
PERIODO:
MATERIA:
Estadística Descriptiva
PROFESORES:
EVALUACIÓN:
Primera
FECHA:
II
Bauz, S. Cárdenas, N. Cevallos, L. Mendoza, M.
Pambabay, J. Plata, W. Roa, H.
Noviembre 30 del 2017
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar
este compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una
calculadora ordinaria para cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de
la recepción del examen; y, cualquier instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior
del aula, junto con algún otro material que se encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes
adicionales a las que se entreguen en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
Firma ____________________________NÚMERO DE MATRÍCULA: ____________________________ PARALELO: ______
Tema 1: (4 Puntos) Defina
a) Probabilidad Condicional
b) Variable Aleatoria
c) Función de distribución de probabilidades
d) Función generadora de momentos
Tema 2: (6 Puntos) Pruebe que Si A y B son dos eventos definidos en un mismo espacio muestral (,L ) y se cumple además que
c
PA B  P A B , entonces A y B son eventos estocásticamente independientes.
 
Tema 3: (10 Puntos) Una entidad bancaria dispone de 11 sucursales en el territorio nacional y ha observado el número de empleados
que hay en cada una de ellas para un estudio posterior. Las observaciones obtenidas han sido:
15 16 9 10 10 11 12 13 14 15 11
a) Construya una tabla de frecuencia de 4 intervalos
b) Grafique la Ojiva
c) Calcular el número medio de empleados y su desviación
d) Calcule la mediana, moda y el. 𝑃20
e) Interprete los resultados del numeral c y d
Tema 4: (10 Puntos) Suponga que se tienen dos urnas, la primera tiene 8 canicas, de las cuales 3 son amarillas y las demás rojas. La
segunda tiene 10 canicas, 4 amarillas y las demás rojas. De la primera urna se extraen 3 canicas y se las introduce en la segunda urna,
luego de la segunda urna se extraen dos canicas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que de la urna dos, salgan dos canicas rojas?
b) Si de la urna dos salieron dos canicas rojas, ¿Cuál es la probabilidad de que de la urna uno haya salido una canica amarilla y dos
rojas?
Tema 5: (10 Puntos) Se tienen 10 bolas en una caja, de las cuales dos son rojas y las demás azules. Se van a elegir la bolas de la caja una
a continuación de la otra. Si X es la variable aleatoria que representa el número de bolas sacadas de la caja, hasta obtener la primera
roja. Determine:
a) La distribución de probabilidades de X
b) La media y la varianza de X
c) La Acumulada de X
d) Grafique el histograma de probabilidades
Tema 6: (10 Puntos) Suponga que se tienen sistemas como se indica la figura, donde cada componente tiene probabilidad de funcionar
correctamente de 0,97.
a)
b)
c)
¿Cuál es la probabilidad de que dos vías del sistema funcionen?
Si se eligen 5 de estos sistemas, ¿Cuál es la probabilidad de que cuando más cuatro de ellos tengan dos vías que funcionan?
Si se va a elegir diariamente uno de estos sistemas y se empieza un día lunes, ¿Cuál es la probabilidad de que el día viernes se
encuentre el segundo sistema que tiene dos vías funcionando?
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
PRIMERA EVALUACIÓN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Nombre: _______________________________________________
28 de Noviembre de 2011
PARALELO : ......
FIRMA______________________________________________ # de MATRICULA: _________________
PRESENTE DESARROLLADOS LOS TEMAS EN EL ORDEN DADO,
TEMA 1.- (5 puntos) Defina:
a) Varianza muestral
b) Covarianza muestral
c) Función de Probabilidades
d) Probabilidad condicional
e) Eventos excluyentes
TEMA 2.- (5 puntos) Pruebe la Ley Aditiva de Probabilidad
TEMA 3.- (10 puntos) Se tiene una muestra de tamaño 9 cuya media muestral es 10 y varianza 4, determine:
a) Determine a y b de la combinación línea Y=aX + b para que el nuevo conjunto tenga media 15 y varianza 9
b) Si al conjunto se le agrega una nueva observación X10=8, determine la media y la varianza de la nueva
muestra de tamaño 10.
TEMA 4.- (15 puntos) En una encuesta realizada por Pacifictel a un grupo de 26 abonados que han realizado
al menos una llamada, sea ésta local, nacional o internacional, se obtuvo la siguiente información: 23 abonados
han realizado llamadas nacionales o internacionales; 5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales; 12
abonados han hecho llamadas internacionales pero no locales; 8 abonados solo han hecho llamadas
internacionales; 5 abonados han hecho llamadas internacionales y nacionales; el número de personal que han
hecho sólo llamadas nacionales es igual al doble de personas que han hecho sólo llamadas internacionales y
locales pero no nacionales.
Si se elige una persona al azar de este grupo, determine:
a) La probabilidad de que una persona haya hecho las tres llamadas
b) La probabilidad de que una persona haya hecho llamadas locales.
c) Si una persona ha hecho llamas nacionales, ¿Cuál es la probabilidad de que también haya hecho llamadas
internacionales?
TEMA 5.- (15 puntos) Si se tiene una población formada por los números {1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3} y de dicha
población se toman muestras de tamaño n=3. Determine:
a) La probabilidad de que el mínimo de la muestra sea 1
b) La probabilidad de que el máximo de la muestra sea 2
c) La probabilidad de que la mediana de la muestra sea 2
TEMA 6.- (20 puntos) Se tienen 2 ánforas, la primera con 3 canicas negras y 4 blancas y la segunda con 2
canicas negras y 5 blancas. De la primera ánfora se elige una canica al azar y si esta es blanca se sacan dos
canicas mas y se las introducen (las tres) en el ánfora 2, de lo contrario se saca una canica mas y se las
introduce (las dos) en el ánfora 2. Luego del ánfora dos se sacan dos canicas. Determine:
a) La probabilidad de que las canicas que salgan del ánfora dos una sea blanca y una negra
b) La probabilidad de que la primera canica que haya salido del ánfora 1 haya sido negra y se conoce que del
ánfora 2 salieron una canica blanca y una negra.
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
2016
AÑO:
MATERIA:
EVALUACIÓN:
ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
PRIMERA
PERIODO:
SEGUNDO TÉRMINO
PROFESOR:
Ing. Wendy Plata Alarcón, Mg.
FECHA:
05 de diciembre de 2016
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar este
compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una calculadora
ordinaria para cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del
examen; y, cualquier instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior del aula, junto con
algún otro material que se encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes adicionales a las que se entreguen
en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
Firma
NÚMERO DE MATRÍCULA:……………….……………………PARALELO:…………
TEMA 1 (10 puntos)
Califique como Verdadera o Falsa a cada una de las siguientes afirmaciones:
Verdadera
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Si la media y la mediana son iguales, la distribución de la
variable no es simétrica.
Los valores extremos o atípicos únicamente se aprecian en
el extremo superior de la distribución de los datos.
Para determinar la Mediana de forma manual no se requiere
que los datos estén ordenados.
La caja en un Diagrama de Cajas agrupa el 50% de los datos.
A medida que el tamaño de la muestra aumenta la varianza
disminuye.
Ω representa el espacio muestral de un experimento.
Dos eventos son independientes si la probabilidad de la
intersección entre ellos es igual al producto de sus
probabilidades.
Las combinaciones son conjuntos ordenados, mientras que
las permutaciones son conjuntos no ordenados.
La Estadística es una ciencia transversal a todas las ciencias.
Si dos eventos son independientes,
mutuamente excluyentes y exhaustivos.
entonces son
Falsa
TEMA 2. (5 puntos)
El circuito ilustrado abajo sólo opera si hay una trayectoria de dispositivos funcionales de izquierda a
derecha. La probabilidad de que cada dispositivo funcione se indica en la Figura 1. ¿Cuál es la
probabilidad de que el circuito opere si se supone que los dispositivos fallan independientemente?
Figura 1
0,9
0,95
A
0,9
0,99
0,95
0,9
B
TEMA 3. (10 puntos)
Hace unos meses el Ministerio de Educación publicó la siguiente información sobre las calificaciones
de los Profesores de Secundaria quienes asistieron a un curso de Estadística en la ESPOL, con estos
datos calcular nota final promedio que alcanzaron los profesores, la moda y la varianza e interpretar
los resultados.
Frecuencia Absoluta
Histograma de la Nota Final - Estadística
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
39
19
5
2
1
[0 -20)
[20 - 40)
[40 - 60)
[60 - 80)
[80 - 100)
1
2
3
Nota Final
4
5
Frecuencia Absoluta
TEMA 4. (5 puntos)
Enuncie y demuestre el Teorema de Bayes.
TEMA 5. (20 puntos)
De los viajeros que llegan a un pequeño aeropuerto, 60% vuelan en líneas aéreas importantes, 30% en
aviones de propiedad privada y el resto en aviones comerciales que no pertenecen a una línea aérea
importante. De quienes viajan en líneas aéreas importantes, 50% viajan por negocios en tanto que 60%
de quienes llegan en aviones privados y 90% de quienes llegan en otros aviones comerciales viajan por
negocios. Suponga que seleccionamos al azar una persona que llega a este aeropuerto. ¿Cuál es la
probabilidad de que la persona
a) viaje por negocios?,
b) viaje por negocio en un avión privado?,
c) llegue en un avión privado, dado que la persona viaja por negocios?
d) viaja por negocio, dado que vuela en un avión comercial?
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
2016
AÑO:
MATERIA:
EVALUACIÓN:
ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
SEGUNDA
PERIODO:
PRIMER TÉRMINO
PROFESORES:
Ing. Wendy Plata Alarcón, Mgter.
FECHA:
29 de agosto de 2016
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar este
compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una calculadora
ordinaria para cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del
examen; y, cualquier instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior del aula, junto con
algún otro material que se encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes adicionales a las que se entreguen
en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
Firma
NÚMERO DE MATRÍCULA:……………….……………………PARALELO:…………
TEMA 1 (5 puntos)
Califique como Verdadera o Falsa a cada una de las siguientes afirmaciones:
Verdadera
a)
Cuando todos los datos de la distribución de una variable
aleatoria son iguales, la varianza y la desviación estándar son
diferentes de cero.
b)
El r-ésimo momento alrededor de la media de una variable
aleatoria X, denotado por µr es el valor esperado de (X-µ)r.
c)
Al aumentar el tamaño de la muestra, disminuye la varianza y
la desviación estándar.
d)
En el sentido estricto f(y|x)es una función que depende solo de
y puesto que x es un valor “dado”.
d)
Alrededor del 68% del área bajo la curva normal se encuentra
a dos desviaciones estándar de la media, lo que se puede
escribir 𝜇 ± 2𝜎.
Falsa
TEMA 2 (10 puntos)
De experiencias previas se ha determinado que el 7% de las unidades producidas en una fábrica tiene
defectos. Determine:
a) La probabilidad de que al elegir 15 unidades al azar de la producción de esta fábrica, 2 presenten
defectos.
b) La probabilidad que la octava unidad elegida al azar de la producción de la fábrica, sea la segunda
que presente defectos.
c) Si el costo por cada unidad defectuosa está dado por la expresión 𝑪 = 𝟎, 𝟑𝟎𝑿 + 𝟒𝟎 donde X es el
número de unidades defectuosas, determine el valor esperado del costo.
TEMA 3 (5 puntos)
Un plan de muestreo de aceptación de lotes consiste en elegir al azar 5 unidades de un lote de 30; y, si
por lo menos dos presentan defectos se devuelve el lote. Si en un lote se incluyen 3 unidades con
defectos, ¿cuál es la probabilidad de que se devuelva el lote?
TEMA 4 (5 puntos)
Si X e Y son Variables Aleatorias Discretas, con Desviaciones Estándar σx y σy respectivamente, al
mismo tiempo que 𝒂 y 𝒃 son constantes reales, demuestre que:
𝑽𝒂𝒓(𝒂𝑿 + 𝒃𝒀) = 𝒂𝟐 𝑽𝒂𝒓(𝑿) + 𝒃𝟐 𝑽𝒂𝒓(𝒀) + 𝟐𝒂𝒃𝑪𝑶𝑽(𝑿, 𝒀)
TEMA 5 (5 puntos)
Un grupo de estudiantes decide estudiar la evolución de los precios de tres artículos que consumen en
sus tiempos de ocio: discoteca, cine y conciertos. Para ello estudian a lo largo de dos años el precio de
las entradas (Pi) en dólares y el número de veces que asisten a lo largo de un año (Qi), como se muestra
en la siguiente tabla:
discoteca
Año
2010
2011
Pi
12
15
cine
Qi
25
30
Pi
5
6
conciertos
Qi
70
80
Pi
30
40
Qi
10
35
Calcular el Índice de Laspeyres para el año 2011, y la Variación porcentual del precio de los productos,
tomando 2010 como año base.
TEMA 6 (20 puntos)
La distribución conjunta de un vector aleatorio XT=(X Y Z) es:
𝑓(𝑥 𝑦 𝑧) = {
𝑘𝑥(𝑦 + 3𝑧); 𝑋 = 1; 2; 3 𝑌 = 3; 4 𝑍 = 4; 5
0; 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 (𝑋 𝑌 𝑍)
Determine:
a) El valor de 𝑘.
b) Las marginales de X, Y y Z.
c) 𝜇𝑥 , 𝜇𝑦 , 𝜇𝑧 , 𝜎𝑥2 , 𝜎𝑦2 , 𝜎𝑧2 .
d) La matriz de varianzas y covarianzas ΣX.
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AÑO:
MATERIA:
EVALUACIÓN:
2016
ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
PRIMERA
PERIODO:
PRIMER TÈRMINO
PROFESORES:
Ing. Wendy Plata Alarcón, Mg.
FECHA:
27 de junio de 2016
COMPROMISO DE HONOR
Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar este
compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una calculadora
ordinaria para cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del
examen; y, cualquier instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior del aula, junto con
algún otro material que se encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes adicionales a las que se entreguen
en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior.
"Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".
Firma
NÚMERO DE MATRÍCULA:……………….……………………PARALELO:…………
TEMA 1. Defina: (5 puntos)
a) Dato:
b) Información:
c) Población Objetivo:
d) Muestra:
e) Diferencia entre Media Aritmética y Mediana:
TEMA 2. Los datos mostrados a continuación corresponden a las calificaciones de un grupo de
sesentaiséis estudiantes de un curso de Estadística aplicada a la Investigación Educativa. (18 puntos)
88
86
77
79
80
60
92
25
85
79
81
56
86
95
50
80
89
65
79
49
81
87
70
0
72
80
70
84
85
78
82
91
0
82
85
88
88
86
87
81
81
71
86
90
90
73
85
73
81
83
77
66
54
88
81
74
89
74
41
85
78
78
90
90
86
94
a) Construir la Tabla de Frecuencias.
b) A partir de los resultados obtenidos en la tabla anterior, construir el Histograma de Frecuencias
Relativas.
c) Realizar el gráfico de la Ojiva; y, estimar el valor de los Cuartiles utilizando dicha gráfica.
d) Calcular de manera precisa los tres; y, compare los resultados obtenidos con los del paso previo.
e) Construir el gráfico del Diagrama de Cajas. ¿Existen valores aberrantes?
f) Determinar la Distribución Empírica de las calificaciones y graficar.
g) Calcular las siguientes Estadísticas Descriptivas (mostrar el desarrollo de los cálculos):
Media
Error
Estándar de
la Media
Moda
Varianza
Desviación
Estándar
Mínimo
Máximo
TEMA 3. Hace unos días el Ministerio de Fomento publicó la siguiente información sobre los salarios
que perciben los controladores aéreos en España, con estos datos calcular el salario promedio que
perciben los controladores aéreos. (5 puntos)
TEMA 4. En una prueba diagnóstica se sabe que P (Negativo/Sano) = 0,98 y que P (Positivo/Enfermo)
= 0,98; y, además que la P (Enfermo) = 0,04. Esta prueba diagnóstica se aplica a un individuo y da
positivo, ¿qué probabilidad tiene de estar enfermo? (9 puntos)
TEMA 5. Una caja contiene 24 bombillas, de las cuales 4 son defectuosas. Si una persona selecciona 4
sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que las 4 sean defectuosas? (5 puntos)
TEMA 6. Una variable aleatoria X puede tomar los valores 30, 40, 50 y 60 con probabilidades 0.4, 0.2,
0.1 y 0.3, respectivamente. Encuentre el valor esperado de la variable aleatoria y su varianza. (8 puntos)